CC BY
54
Вюник ПДАБА До 80 - ргччя Приднтровсъког державног академП будгвництва та архтектури
8. Голышев А. Б. Проектирование железобетонных конструкций: Справочное пособие / А. Б. Голышев, В. Я. Бачинский, В. П. Полищук и др. / Под ред. А. Б. Голышева // - К. : Буд!вельник, 1990. - 544 с.
9. Пономарев С. Д. Расчеты на прочность в машиностроении / Под ред. С. Д. Пономарева: В 3-х т. // -М. : Машгиз,1958. - Т. 2. - 975 с.
10. СНиП 2.03.01 - 84*. Бетонные и железобетонные конструкции / Госстрой СССР // - М. : ЦИТП Госстроя СССР, 1989. - 80 с.
УДК 624.04
ОПТИМАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ КОНСТРУКЦ1Й В УМОВАХ НЕЧ1ТКО ПОСТАВЛЕНИХ
Ц1ЛЕЙ ТА ОБМЕЖЕНЬ
В. О. Бараненко, д. т. н., проф., I. П. Дулща, здобувач
Ключовi слова: оптимгзацтна модель, нечгтю множини, критерИ] обмеження. Вступ. Р1зноманггш форми опису невизначено! шформацп про вихвдш даш будь-яко! техшчно! системи утворюють широке коло формулювань ошгашзацшних задач [2]. Серед них можна видшити таш типи: 1) задача з нечеткими описами параметр1в як в цшьовш функци, так 1 в обмеженнях; 2) задач! досягнення нечгтко поставлених цшей при нечгтких обмеженнях. Деяк1 приклади задач першого типу в мехашщ конструкцш подано в працях [3; 8], а другого типу в литератур! практично нема.
Мета ще! роботи полягае в адаптацп теори нечетких множин до деяких задач оптимального проектування конструкцш другого типу. Досягнення ще! мети може бути здшснене на основ! використання нечгтких чисел, принцишв розширення, злиття та а - р1вшв у теори нечетких множин [1].
Основна частина. Нехай О е нечеткий критерш, а С - нечгтке обмеження, що являють собою нечита множини, яш визначеш в ушверсуму Х з ввдповвдними функц1ями належносп
МО (х) та МС (х); х е X е Я1.
Означення 1. Принцип злиття нечигсих множин за Белманом - Заде [9] полягае у визначенш нечигсо! пвдмножини Б е X як результат операцп л - перетину множин О та С, тобто Б = О п С !,
вщповвдно, МО = МО ЛМс .
Означення 2. Оптим1зацшною задачею досягнення нечижо поставлено! мети при нечеткому обмеженш називають таку задачу:
х/ор = ах%{БирмО (х)}; х е О с С е Я\ ;а е[0,1] ( 1 )
х
для а -р1вня. Розв'язання ошгашзацшно! задач! (1) грунтуеться на використанш принцишв злиття, узагальнення, а -р1вшв, а також ввдповщних чисельних метод1в одновим1рно! ошгашзацп.
На практиш можна опинитися в ситуаци, коли цш та обмеження - нечита пвдмножини 1 розмщеш в р1зних просторах результапв. Цей випадок бшьш щкавий. Наприклад, нехай маемо одну цшь 1 два обмеження: 1) нечита цшь О(х) задана як нечита множина в простор! X; 2) нечита обмеження як
множини С1(у), С2(х), ввдповщно в просторах У та 2 з вщповщними функщями належност! Мс1, Мс2 . Припустимо, що !снуе перетворення у ^ х ! х ^ х, тобто х = /1(у) I х = /2 (х).
Маючи нечигсу множину С1 в У, треба знайти таку нечигсу множину С1 в X , функщя належност! яко! ввдповщае умов!
Мс1( х) = Мс1 (/1 (У)). ( 2 )
Аналопчним чином, маючи нечигсу множину С2 в 2 , знаходять таку нечгтку множину С 2 в X , функщя належност! яко! вщповвдае умов!
Мс 2(х) = Мс2( /2(х)). ( 3 )
Множини С1, С 2 знаходяться шляхом використання а - р!вшв, вщповвдно у множинах С1, С2, принципу розширення (узагальнення) ! сп!вв!дношень (2), (3). На рисунку 1 як шюстращя подана граф!чна !нтерпретац!я обудопви множини С1.
До 80 - ргччя Приднтровсъког державног академп будгвництва та архтектури № 6 червень 2010
Рис. 1. Геометрична ттерпретащя принципу злиття 1люстративний приклад. Проектування ферми покриття
Треба спроектувати мщну конструкцш - п'ятнадцятиелементну ферму покриття (рис.1), на яку плануеться «близько 0,03 -г- 0,2 м3» металу (критерiй G), i щоб перша кругова частота вшьних коливань бажано дорiвнювала б «приблизно 15 Гц» (обмеження С1), а коефiцiент використання матерiалу (КВМ) був би «у границях 0.2^0.6» (обмеження С2).
Рис. 2. Схема ферми та навантаження
На ферму дiе навантаження Pj(у = 1,2,...,7), яке прикладене у вузли. Нехай Ру = Р0(У = 1,7),
Р0 = 2 кН , модуль пружностi матерiалу Е = 2,09 • 105 МПа , розрахунковий опiр для розтягнутих елементiв Яу = 395МПа , для стислих - Яу = 280МПа , довжина ферми Ь = 24 м , I = 6 м , Н = 300см, кшьшсть елеменпв ферми п = 15. Припускаеться, що величини перерiзу усiх елементiв ферми однаковi, тобто А = А0; 1 = 1,15. Величина А шдлягае пошуку в множинi дiйсних додатних чисел так, щоб виконувались нечiткi обмеження С1, С2 i критерiй G, а також чiтке обмеження ( по мщносп)
< < Я,
( 4 )
Осшльки критерiй G та обмеження С2 подаються у формi нечiтких множин - нечiтких iнтервалiв, то, за рекомендащею автора працi [7], щ множини можна описати за допомогою нечггких трапецiеподiбних чисел, а множину Сх - нечiтким числом з такою функщею належностi:
Ма(х) = (1 + к(х -15)т)-1;т = 2;к = 0.1; х е X = А с Я++. ( 5 )
Визначення першо! частоти вiльних коливань ферми покриття здшснимо за методом [5] замши ще! конструкцп деякою балкою, що коливаеться. В результата маемо:
2 к* , 02 Л 5Л
со = — ; к* = я Л ; Л =-
Д ' 384
( 6 )
Вюник ПДАБА До 80 - ргччя Приднтровсъког державног академгг будгвництва та архтектури
де я - величина прискорення в№ного падшня; Д0 - найбшьший вертикальний прогин характерного вузла ферми (у прикладi вузол 4);
Д0 = В /А; В = £ N,N,1, / Е;
( 7 )
Ni, N1 - величини поздовжшх зусиль в елементах ферми ввдповщно ввд зовнiшнього навантаження та одиночного навантаження у вузол 4 ; ^ - довжина г -го елемента. 1з виразiв (6) - (7) виходить:
Ву 2
х = А = Ж у) = ; у = с0. к*
( 8 )
Величина коефщента використання матерiалу [6] для ферми визначаеться як
Ж
Л =—2, ТА2
( 9 )
де
1 15 ы2/ 1 15 Я2, N■ > 0
Ж = ^ У ^ ; Т = I У ; Я* =|Яу , ^ > 0
2 й Е 2 £ Е [я , ыг < 0
1з виразу (9) виходить:
Ж
х=А=/2( 2);2 = л
\\ 2Т
( 10 )
1з означення обсягу матерiалу V = У/гАг при Аг = А маемо:
г=1
= А = /0 (и) = х; и = V; Ь =у /г .
Ь
г=1
( 11 )
На рисунку 3 наведено графши функцш належностi для величин х, отриманих за формулами (8), (10), (11) з урахуванням вихвдних даних задачi.
Рис. 3. Графгчне розв 'язання задачг проектування Перетин цих графЫв з урахуванням сшввщношення (1) буде таким:
Л = тах(0,18;0,75;0,22; 0,88;0,75;0,03) = 0,88,
г=1
х
До 80 - ргччя Приднтровсько1 державног академИ' будгвництва та архгтектури № 6 червень 2010
що вщповвдае х* = Afopt = 14,4 см2. Вщповщне значения обсягу металу складае Vfopt = 0,109354 i 3. При детермiнованому пвдходу до розв'язаиня оптимiзацiйноï задачi з такими ж вихвдними даними отримано Vdopt = 0,063151 i 3 [9].
Зауваження. На рисунку 3 показано також область можливих розв'язшв за умовою мiцностi
. - - - ш
A > A iз виразу (4), де A = max ( A ); A.- = Ц^ .
1<i <15 R.
Висновки. Злиття нечiтких цiлей та обмежень у невизначеному програмуваинi дозволяе отримати розв'язок нестандартно! оптимiзацiйноï задачi. У наведеному прикладi проектування значення цiльовоï функцiï збшьшуеться. Це е «вартють» уведення невизначеносп в оптимiзацiйну модель. Пропонований шдхвд дае можливiсть проектувальникам провести попереднш аналiз вiрогiдностi проектiв, отриманих шшим чином.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА
1. Аверкин А. Н. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д. А. Поспелова. М. : Наука.-1986.- 312 с.
2. Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкцш. М. : Наука.- 1986 .- 302 с.
3. Бараненко В., Войнаков А. Оптимальне проектування конструкцш при випадковш та нечггкш шформацп про навантаження // Зб. наук. праць «Theoretical Foundations of Civil Engineering» Polish-Ukraïnian-Lithuanian Transaction-Warsaw, XV, Maj 2007. P. 25 -32.
4. Бараненко В. А. Динамическое программирование и последовательные приближения // Придншров. наук. журн. Фiзико-математичнi науки, №112 (179). - 1998. - С. 38-44.
5. Киселёв В. А. Строительная механика. Специальный курс (Динамика и устойчивость). М. : Изд. литер. по строительству.-1964.- 331 с.
6. Малков В. П. Энергоёмкость механических систем: Моногр. / Н. Новгород : Изд-во Нижегород. унта, 1995.- 256 с.
7. Яхьева Г. Э. Нечёткие множества и нейронные сети.- М. : Интернет-Университет информац. технологий, БИНОМ. Лаборатория знаний.- 2008.- 316 с.
8. Baranenko V.A., Vojnakov A.Ju. The use of the theory of sets in design of minimum
Volume trusses// Lightweight Structures in Civil Engineering.- Local Seminar IASS. -Warsaw, 1 Dec.2006 P. 22 24.
9. Bellman R., Zadeh L.A. Decision-making in a fuzzy environment. - Management Science.-1970.-V. 17.-P. 141-162.
УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
А. В. Плеханов, д. т. н., проф., В. В. Наеров, к. т. н.
Ключевые слова: оболочка, напряжение, перемещение, численная методика.
Введение. Цель работы. Как отмечается в обзорной работе [1], одной из актуальных проблем механики слоистых оболочек и пластин является разработка и развитие аналитических и численных методов и методик реализации различных вариантов теорий, учитывающих реальные свойства, условия нагружения и закрепления слоистых конструкций.
В статьях [2, 3] разработаны и реализованы численные методики определения напряженно-деформированного состояния (НДС) однородных и слоистых пологих оболочек и пластин на основе геометрически линейных итерационных теорий с использованием метода локальных вариаций (МЛВ) [4]. Данная работа посвящена развитию этой методики применительно к расчету слоистых пологих оболочек и пластин на основе геометрически нелинейной итерационной модели [5].
В соответствии с МЛВ краевая задача статики сводится к вариационной задаче, в которой в качестве минимизируемого функционала выступает полная энергия, а в качестве искомых функций - компоненты перемещения оболочки. При этом вместо решения непрерывной вариационной задачи рассматривается дискретная задача на основе ее конечноразностного представления и последовательно реализуется условие минимума энергии в соответствующих ячейках. В итоге получается рекуррентный процесс последовательных приближений, где искомыми являются перемещения в узлах сетки. Разработанная методика расчета включает несколько вложенных друг в друга итерационных процессов: процесс итераций с фиксированным шагом сетки и шагом варьирования перемещений, процесс уменьшения шага варьирования перемещений и процесс уменьшения шага сетки.
