CC BY
59Д.И. Кинзин
ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова»
ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ВЫТЯЖНЫХ КАЛИБРОВ
В статье представлена постановка и решение задачи оптимизации формы простых калибров, относящейся к теории оптимального управления. Искомый контур калибра представляется как траектория движения точки, описываемого системой дифференциальных уравнений. Фазовые переменные определяют положение точки в пространстве, а управляющее воздействие -форму искомой кривой. Модель формоизменения металла при прокатке в калибрах являет собой условия трансверсальности, а предложенный функционал - критерий оптимизации.
Ключевые слова: вытяжные калибры, оптимизация, сортопрокатное производство, эффективность калибровки.
1. Введение
Основным элементом технологии производства сортового проката является калибровка валков, от правильности разработки которой зависят технико -экономические и качественные показатели процесса прокатки. При этом нет четких критериев правильности калибровки того или иного профиля, более того существует бесконечное множество вариантов калибровки, которые обеспечивают получение требуемого профиля проката из заданной заготовки. Таким образом, возникает задача выбора наилучшего варианта калибровки по тем или иным критериям.
В качестве критериев оптимизации могут выступать минимум энергозатрат, максимальный коэффициент эффективности калибровки, минимальный износ валков или другие показатели. Строгая математическая постановка и ре-
шение подобных задач оптимизации в прошлом не представлялись возможными из-за отсутствия научно обоснованных методов расчета калибровки валков. В большинстве своем работа калибровщика базировалась на практическом опыте, а не на формализованных методиках. В настоящее время благодаря многим научным исследованиям подобная ситуация начинает меняться [1, 2]. Имеющийся разрыв между теорией обработки металлов давлением и комплексом знаний по разработке калибровки постепенно сокращается, что в будущем, несомненно, должно привести к созданию достаточно стройной теории калибровки прокатных валков.
Многолетний опыт работы автора данной статьи в области разработки математических моделей процессов сортовой прокатки позволил поставить ряд задач оптимизации калибровки простых сортовых профилей, одна из которых и представлена далее.
2. Постановка задачи оптимизации
В большинстве своем калибровка простых сортовых профилей представляет собой систему вытяжных калибров, т.е. последовательность из чередующихся равноосных и неравноосных калибров, позволяющих из исходной заготовки получать требуемый профиль. При этом форма и размеры промежуточных равноосных калибров во многом могут быть обусловлены сортаментом стана, так как профили различных размеров выпускаются из разных клетей, а неравноосные калибры могут выбираться более свободно. Например, в сочетании с круглыми калибрами можно использовать овальные, оформленные различными радиусами, плоские или многорадиусные овалы или даже гладкую бочку.
Исходя из сказанного, рассмотрим прокатку в двух клетях. При этом зададим равноосные сечения на входе в первую клеть и на выходе из второй. В первой клети мы можем подобрать бесконечное многообразие неравноосных калибров, которые позволят из заданного входящего сечения получать требуе-
мый профиль на выходе из второй клети. Таким образом, имеется множество калибровок, дающих на выходе один и тот же профиль, но отличающихся по прочим характеристикам, т.е. возникает задача оптимизации формы и размеров неравноосного калибра.
В качестве критерия оптимизации выберем, например, максимум коэффициента эффективности калибровки [3]. Данное понятие относится к вытяжным калибрам и характеризует их вытяжную способность. При прочих равных условиях различные калибры позволяют получать различные коэффициенты вытяжки. Те калибры, которые обеспечивают больший коэффициент вытяжки, отличаются большей эффективностью.
Коэффициент эффективности будем определять по формуле:
где V и V - смещенный объем металла в продольном направлении (в направлении вытяжки) и по высоте (в направлении обжатия).
Так как в паре калибров общая вытяжка задана, то максимальная эффективность будет обеспечена в том случае, если сумма смещенных объемов металла по высоте в первой и второй клетях будет минимальной.
Контур калибра первой клети можно рассматривать как неизвестную функцию, а смещенный объем металла по высоте в качестве функционала. Т. е. наша задача оптимизации должна относиться к области вариационного исчисления, однако не всякая функция может быть использована в качестве контура калибра, например, ломаная линия (рис. 1), по понятным причинам не может рассматриваться в качестве решения.
Кэ = у,/у„ ,
(1)
V
у
Рис. 1. К вопросу ограничений на форму калибров
Это означает, что необходимо ввести ограничения на вид искомого контура (искомой кривой), что переводит задачу из области классического вариационного исчисления в область теории оптимального управления.
Сформулируем задачу оптимального управления (ЗОУ).
Известно, что теория оптимального управления изучает управляемые объекты и ищет наилучшие способы управления ими [4]. Исходя из этого будем условно рассматривать искомый контур калибра, описываемый функцией x = f (t), как траекторию движения некоторого абстрактного объекта с началом в точке (x0, to) и концом в точке (x1? ti) (рис. 2).
SQ = AQL; Sj = ACHK; S6 = ADEN; S2 = ACGL; S3 = ACFN; S4 = ABHK; S5 = ABML; S1 = ADEP; S8 = ACRP; p = tga.
Рис.2. К ЗОУ с подвижными концами
Математическую модель движения данного объекта представим в виде системы дифференциальных уравнений:
dp
---= u,
dt
(2)
dx , ч
— = u(ti -t) -p,
. dt
где x и p - фазовые переменные, а u - управляющее воздействие.
В качестве критерия оптимальности, как уже оговаривалось, возьмем минимум смещенного объема металла по высоте
3 = Ь-° +Ь-1 ^ гиГ. (3)
S2 5з ' ’
Введем дополнительные ограничения на вид искомой кривой. Логично
потребовать, чтобы функция х = /) на интервале (/0, ) была выпуклой и
убывающей. Выпуск в калибре не должен быть меньше определенной, заранее заданной величины, а значение Х\ должно позволить построить калибр первой клети без установки валков в забой и с определенным запасом на уширение. В математической записи данные утверждения будут выглядеть следующим образом:
0 < и < Р , р < Д, Х\ > Ь, (4)
/\ _ /
где Д и Ь - заданные постоянные величины.
Также в качестве дополнительных ограничений мы должны записать уравнения, которые будут определять уширение в первой и второй клетях.
Большинство из известных методик для расчета уширения на данную роль не
подходят в силу того, что они разработаны для определенных систем калибров, а в рассматриваемом случае система калибров неизвестна. Необходимо универсальное уравнение, которое подойдет для любых калибров простой формы. Подобное уравнение было разработано в работе [5]. Используя это уравнение, можно представить условия трансверсальности для рассматриваемой задачи:
", ^0 „ 5,, S4
= К™тт ? ’
О, О4 О5
(5)
1 5, „ 5б1 5 7
1п — = К™ — 1и —,
0» гК ^ С
Об О7 О8
где К г« и К гК - коэффициенты, учитывающие форму очага деформации.
Таким образом, ЗОУ можно записать так. Дана математическая модель объекта (Т-ТУ).
(I)
йі
(II)
йх , ч
— - и(іі -і) — р; аі
J - 1п — + 1п — ^ ю£
*2 *3
(III) 0 < и < Р , (р<Р, х1 > Ь, і є[і0, і1 ];
іі — і
(IV)
іп *0 -*і
1п *1 -*
к *И *4
К™ — 1п—.
™*4 *5
К *7
К™ — 1п—.
рк л *
Найти управление и(/), которое удовлетворяет условию (III) и переводит систему (I) из начального состояния (хо, ^) в конечное (х,, /\) и минимизирует функционал 3 и соответствующую этому управлению траекторию х(/), которая удовлетворяет условию (IV).
Аналитическое решение данной задачи не представляется возможным по ряду причин (сложный вид функционала, не обладающего свойством локальности; непостоянство области допустимых управляющих воздействий; наличие ограничений на фазовые переменные; рекуррентность условий трансверсальности), однако вполне возможно численное решение.
3. Численное решение ЗОУ
В силу того, что аналитическое решение задачи оптимизации невозможно, был разработан алгоритм численного решения, суть которого заключалась в разбиении искомой кривой на прямолинейные участки, координаты концов которых являются варьируемыми параметрами. Так как изначально нам не было
известно какое количество глобальных и локальных решений имеет задача и состоит ли пространство допустимых решений из одной или множества непере-секающихся областей, поэтому воспользовались методом полного перебора всех возможных вариантов решения с предварительным исключением явно недопустимых вариантов. Плоскость (х, /) была представлена в виде сетки с определенными шагами по осям. Шаги и точность выполнения всех ограничений выбирали из практически необходимой точности расчета геометрических размеров калибра. Наибольшее влияние на время расчета оказывает величина шага сетки, который выбирали около 1% от ширины раската. При такой величине шага время расчета оптимального калибра составляло около суток. Дальнейшее уменьшение шага приводило к существенному замедлению работы алгоритма, который, надо признать, еще недостаточно совершенен и имеет значительные резервы для увеличения скорости работы.
Численное решение ЗОУ проводили для первых десяти клетей стана 370 ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат». Предварительные расчеты позволяют сделать следующие выводы.
Оптимальный неравноосный калибр всегда имеет плоское дно, по крайней мере, кривизна дна не улавливается при выбранной точности расчетов. Боковая стенка калибра представлена кусочной кривой, состоящей как минимум из двух линий второго (в простейшем случае) или более высоких порядков (рис. 3). Эта форма характерна для всех пяти рассчитанных калибров, пропорции и размеры в каждом случае, естественно, отличаются.
I
Рис. 3. Пример оптимальной формы неравноосного калибра
Коэффициент эффективности новой калибровки на 10% выше, чем для действующей на стане калибровки круг-овал. Работа деформации также снизи-
лась примерно на 10%, а распределение нагрузки по клетям стало более равномерным. Уменьшилось отношение ширины раската к его высоте для неравноосных сечений, что привело к более равномерному распределению обжатия по ширине раската, и, как следствие, более равномерный износ валков.
Из сказанного можно заключить, что профили, входящие в сортамент стана 370 ОАО «ММК», можно прокатать в 16 клетях вместо 18 без увеличения нагрузки на оборудование.
4. Заключение
Следует отметить, что кроме приведенной задачи можно поставить и более сложные, в которых искомыми будут геометрические параметры всех калибров прокатного стана для прокатки определенного профиля или даже определенного сортамента.
При таком подходе можно рассматривать калибровку валков не как конструктивную разработку, полученную в основном из практического опыта, а как нетиповое и оригинальное решение четко сформулированной математической задачи, что позволит максимально использовать возможности оборудования стана и минимизировать производственные издержки.
Библиографический список
1. Смирнов В.К., Шилов В.А., Инатович Ю.В. Калибровка прокатных валков. М.: Теплотехник, 2010. 490 с.
2. Тулупов О.Н. Структурно-матричные модели для повышения эффективности процессов сортовой прокатки. Магнитогорск: МГТУ, 2002. 224 с.
3. Эффективность деформации сортовых профилей / Тулупов С.А., Гун Г.С., Онискив В.Д., Курдюмова В.А., Радюкевич К.Л. М.: Металлургия, 1990. 280 с.
4. Математическая теория оптимальных процессов / Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. М.: Наука, 1983. 392 с.
5. Кинзин Д.И. Совершенствование и проектирование калибровок простых сортовых профилей на основе анализа показателей формоизменения и энергосиловых параметров: Дис. ... канд. техн. наук. Магнитогорск, 2003. 107 с.
