CC BY
16Список литературы
1. Родионова Н.В. Специфика ценообразования на рынке жилья и факторы, влияющие на цену недвижимости // Аудит и финансовый анализ. 2009. №2.
2. Севостьянов А.В. Экономическая оцен-
ка недвижимости и инвестиции. М.: Академия, 2008.
3. Alexeyev V.V., Volkov G.G., Grigorev E.A. Econometric and OpenOffice.org Calc. UK Academy of Education scientific magazine. 2012. №1. Р. 5-6.
4. Enders W. Applied Econometric Time Series. John Wiley, 2009. 3rd edition. 544 p.
АЛЕКСЕЕВ Виктор Васильевич - магистрант. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: matemchci@ mail.ru
ALEKSEEV, Victor Vasilyevich - Graduate Student. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: matemchci@mail. ru
УДК 65.011.56
оптимизация деятельности предпринимателя
в условиях рынка
В.К. Краснов, А.Б. Пичужкин
Рассмотрены нестандартные подходы к решению различных экономических задач линейного программирования. Упор делается на использование теоретико-математических методов и на применение симплекс-таблицы в каноническом виде. Для упрощения системы уравнений предлагается использовать перебор базисных решений, основанный на методе Жордана-Гаусса.
Ключевые слова: задача линейного программирования; целевая функция; симплекс-таблица; рынок; таблицы; подход; метод.
V.K. Krasnov, A.B. Pichuzhkin. ENTERPRENEURS ACTIVITY OPTIMIZATION IN MARKET CONDITIONS
The article deals with unconventional approaches to solving various economic problems of linear programming. The stress is made on the use of theorethic-mathematical methods and application of simplex-table in its canonic form. In particular, enumeration of basic solutions based on Jordan-Gauss method is offered to simplify a system of equations.
Keywords: linear programming problem; the objective function; the simplex table; market; tables; the approach; the method.
Необходимость принятия правильных экономически обоснованных решений в условиях рынка требует от предпринимателей-руководителей овладения всеми приёмами экономико-математических методов и моделей. При этом важно знать все теоретические аспекты методов и умение правильно истолковывать полученные результаты. Наличие разнообразных пакетов прикладных программ (ППП) безусловно упрощает эту задачу, но совершенно не противоречит необходимости знания мате-магических методов, положенных в основу численных алгоритмов.
Одним из таких методов является так называемый «симплекс-метод», предназначенный для решения задач линейного программирования
(ЗЛП). Существует много литературных источников (см. напр. [1]), описывающих этот метод, однако как он алгоритмизован, например в ППП «Excel», доподлинно неизвестно.
Рассмотрим ЗЛП, которая путём математических преобразований упрощается и решается, что называется «устно».
Задача 1. Завод выпускает изделия трёх моделей (I, II, III). Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют 4000 и 6000 единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведён в таблице.
Трудоёмкость изготовления изделия I вдвое больше, чем изделия модели II, и втрое
142
Вестник Российского УНИВЕРСИТЕТА КООПЕРАЦИИ. 2013. № 2(12)
Расход ресурса на одно изделие
Ресурс данной модели
I II III
А 2 3 5
В 4 2 7
больше, чем изделия модели III. Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий модели I. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I, II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I, II и III должно быть равно 3:2:5. Удельные прибыли от реализации изделий моделей I, II и III составляют 30, 20 и 50 долл. соответственно. Определить объёмы выпуска изделий каждой модели, при которых прибыль будет максимальной.
Решение. Сформулируем ограничения на ресурсы:
2+ 3х2 + 5х3 < 4000 4х1 +2х2 + 7х3 < 6000
(1)
где х1, х2, х3 - количество изделий моделей 1, 2, 3 соответственно. Ограничение по трудоёмкости имеет вид:
х. Х-э _ _
х + — + — < 1500. 1 2 3
(2)
Ограничения по минимальному количеству изделий:
х1 > 200, х2 > 200, х3 > 150. (3) Соотношение количества изделий имеет
вид:
(4)
3;
2;
2 5
Требуется определить оптимальный план для максимизации функции:
/ — 30 х1 + 20 х2 + 50 х3.
Из соотношений (4) имеем:
3 5 Тогда соотношения (1) и (2)
х, — х п. . х, — х п. . 1 2 2 2
преобразуются к виду:
х2 < 216,2 х2 < 218,18. х2 < 529,4
Откуда следует, что х2 < 216,2. Благодаря соотношениям (4) ограничения (3) примут вид: х2 > 133,3; х2 > 200; х2 > 60, а целевая функция / —190 х. Таким образом, имеем следующую
ЗЛП:
х2 < 216,2 х2 > 200
/т. = 190 х2
которая имеет следующее
решение: х2 — 216, х1 — —х2 — 324, х3 — - х2 — 540, / — 1 90 * 2 1 6 — 4 1 040$ .
3 2 2 ' л тах
Рассмотрим другую ЗЛП с большим числом неизвестных.
Задача 2. Производить или покупать?
Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий месяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов.
Тип химикатов Продажи по контракту, т
1 100
2 120
Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таблице приведён фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе.
Реактор Время на обработку Фонд
1т химикатов, ч времени, ч
типа 1 типа 2
1 4 2 300
2 3 6 400
Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:
Тип Затраты на Затраты на
химикатов производство, закупку,
тыс. руб./т тыс. руб./т
1 35 45
2 56 66
Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько -закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками.
х
2
Решение. Введём обозначения: х1 - кол-во продукта 1, производимого компанией; 2 -кол-во продукта 1, закупаемого компанией; х2 -кол-во продукта 2, производимого компанией, 22 - кол-во продукта 2, закупаемого компанией.
Модель линейного программирования приведена в следующей таблице:
Целевая функция 35x1+56x2+45z1+66z2 ^ min
Ресурсные
ограничения: 4x1+2x2 < 300
реактор 1, 3x+6x2 < 400
реактор 2
Ограничение на
спрос: x1+z1 = 100
продукт 1, x2+z2 = 120
продукт 2
Условие неотрицательности переменных: х1, х2, 21, 22 > 0. Согласно симплекс-методу перепишем систему неравенств в виде канонической системы уравнений, введя две вспомогательные неизвестные х х4 > 0.
4 x1 + 2 x2 + x3 = 300 3x1 + 6 x2 + x4 = 400 x1 + z1 = 100 x2 + z2 = 120
(5)
Вводить искусственные переменные в уравнения 3 и 4 этой системы не следует, так как 21 и 22 являются базисными, так же как х3 и х4.
Для использования симплекс-таблицы необходимо, чтобы целевая функция была выражена через свободные переменные: / = 35 х + 56 х2 + 45 • (100 - х) + 66 • (120 - х2)
или / + 10х1+10х2 = 12420. (6)
Форма (6) - запись целевой функции на минимум. Таким образом, уравнения (5) и (6) - представление симплекс-таблицы, основным преимуществом которой является отказ от введения искусственных переменных М-метода.
Рассмотрим третий пример применения ЗЛП с большим числом независимых переменных. При этом также удаётся избежать применения М-метода.
Задача 3. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма четырёх видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества трёх видов, необходимые для кормления коров. Необходимо составить еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.
Данные, необходимые для составления рациона, приведены в следующей таблице (содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну).
Вопросы:
1. Какое количество кормов 1, 2, 3, 4 следует закупить для составления еженедельного рациона кормления коровы?
2. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного рациона одной коровы?
Решение. Запишем ограничения - неравенства:
'2 0х + 40x2+60x3 +10x4 > 5
30х +10x2 + 20x4 < 4
3 0x + 10x2 + 20x4 > 3 (7)
50x + 90x2 + 40x3 + 60x4 < 10
50x + 90x2 + 40x3 + 60x4 > 8
и целевую функцию f = 180xj + 200x2 + + 250x3 + 100x4 ^min. Перепишем систему ограничений (7) в виде системы канонических уравнений путём введения положительных вспомогательных неизвестных х5, х6, х7, х8, х9.
20х + 40x2+60x3 +10x4 - x5 = 5 30 х +10 x2 + 20 x4 + x6 = 4
30x1 +10x2 + 20x4 - x7 = 3
50x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + x8 = 10
50x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 - x9 = 8
(8)
Если из 2-го уравнения вычесть 3-е уравнение, то получится х8 + х9 = 2; если из 4-го уравнения вычесть 5-е, то х8 + х9 = 2. Таким образом, система уравнений (8) может быть переписана в виде:
^чКорм 1 2 3 4 Норма содержания веществ в
Вещество еженедельном рационе коровы, кг
А 20 40 60 10 Не менее 5
В 30 10 0 20 Не менее 3, не более 4
С 50 90 40 60 Не менее 8, не более 10
Цена 1 т корма, руб. 180 200 250 100
144
Вестник Российского университета кооперации. 2013. № 2(12)
20x1 + 40x2 +60x3 +10x4 - x5 — 5 l ^^l — 1 30x +10x2 + 20x4 - x7 — 3
XB ^h x9 — 2
50x + 90x2 + 40x3 + 60x4 - x9 — В
(9)
Далее, перебирая базисные неизвестные методом Жордана-Гаусса в системе уравнений (9), при помощи специальной программы вычислений [2], получим опорное базисное решение. Выражаем целевую функцию через свободные неизвестные и подставляем в сим-
плекс-таблицу. Решением данной задачи будет: х1=30,7 кг; х2=0; х3=55,7 кг; х4=103,8 кг; / . =29,865 руб.
-'тт ' '
список литературы
1. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / ред. Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2008. 479 с.; 2002. 471 с.
2. Краснов В.К., Пичужкин А.Б. Об оптимизации стратегии посредника в торгово-экономической деятельности // Экономика, финансы и менеджмент: проблемы и перспективы развития: сб. материалов междунар. науч.-практ. конф. Чебоксары: РИО ЧКИ РУК, 2013. С. 105-110.
КРАСНОВ Вячеслав Константинович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических и инструментальных методов экономики. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: [email protected]
ПИЧУжКИН Александр Борисович - аспирант. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: [email protected]
KRASNOV, Vyacheslav Konstantinovich - Candidate of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical and Instrumental Methods of Economics. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: [email protected]
PICHUZHKIN, Aleksander Borisovich - Post-Graduate Student. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: [email protected]
УДК 65.011.56
об управлении бизнес-процессами торгового предприятия
А.Б. Иичужкин, Ю.А. Романов, В.И. Филиппов
Проведено моделирование деловых процессов торговой организации с применением функционального моделирования (IDEF0), построена ER модель базы данных, показан интерфейс информационной системы; построен график динамики продаж.
Ключевые слова: бизнес-процессы; диаграмма декомпозиции; IDEF0; ER модель; СУБД; торговая организация; предприятие.
A.B. Pichuzhkin, Y.A. Romanov, V.P. Filippov. ABOUT BUSINESS PROCESS MANAGEMENT TRADING COMPANIES
The modeling of business processes Trade Organization using functional modeling (IDEF0), built ER database model, shows the interface information system; plotted sales dynamics.
Keywords: business processes; decomposition chart; IDEF0; ER model; DBMS; Trade Organization; enterprise.
Современный уровень развития общества ха-растеризуется постоянно развивающимися средствами информационных технологий, отличительными чертами которых являются их интеграция с научными и производственными сферами. Ин-
формация из вспомогательного и второстепенного фактора общественного производства превращается в фактор, решающим образом влияющий на экономику. Более того, она становится непосредственным фактором экономического развития.
