CC BY
20
Соответствующие асимптотики имеют вид
"2 = («з)2 + (l - 2«3) П2 + |(«2 + 2So)v4 + O(n6), (12) n2 = (П2)2 + V - -8 n4 + o(n6), (13)
К2 -0 где n3 = n(2n - 1)/2 (n = 1, 2,...).
Сравнение асимптотик (8), (9), (10), (12) и (13) с соответствующими численными решениями показало высокую точность их совпадения.
-0
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Moukhomodiarov R.R., Pichugin A.V., Rogerson G. A. The Transition between Neumann and Diriehlet Boundary Conditions in Isotropic Elastic Plates // Mathematics and Mechanics of Solids, 2009. Published online, doi:10.1177/1081286509103781.
2. Коссович Л.Ю., Мухомодъяров P.P., Парфёнова Я.А. Распространение волн в упруго-закреплённом изотропном слое // Вестн. Самар. ун-та. Естественно-научная сер.: Механика. 2008. № 8/2. С. 78-88.
УДК 629.78
Я.Г. Сапунков
ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫВОД НА ОРБИТУ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С КОМБИНИРОВАННОЙ ТЯГОЙ
В статье с использованием кватернионных элементов орбиты с помощью принципа максимума Понтрягина решена пространственная задача об оптимальном выводе космического аппарата (КА) с комбинированной тягой на заданную круговую орбиту. Даны результаты численного решения.
1. В безразмерных кватернионных элементах орбиты А = = (A0, Ai, A2, A3), В = (B0, B\, B2, B3) движение КА с комбинированной тягой описывается системой уравнений (t - время, f - независимая вспомогательная переменная)
лп • лп dt 2 г—
— = -QF 1 sin f, — = QF1 cos f, — = u \J2Q, df df df
Q = A2 + B2, q = P (u)(p 1 + ep 2), F1 = u2q + (w,q) w, (1)
u = A cos ^ + В sin w = —A sin ^ + В cos
Радиус-вектор положения KA г и вектор скорости v связаны с кватернионными элементами орбиты соотношениями
P (и) =
Uo — U3 U2
Щ u2 u3 -U'i Щ u0 -u3 — U0 Щ
r = PT (u)u , V =
2
PT (u)w.
r(2Q)1/2
Безразмерные управляющие векторные параметры, характеризующие тягу, удовлетворяют ограничениям |р 1| ^ р1тах, |р2| ^ 1-
Размерные масштабные множители для расстояния, скорости, времени и двух тяг КА определяются выражениями
Я, (7М/Я)1/2, Я3/2/(7М)1/2, 7М/Я2,
p2max, p1max =
Pi
max
p2
max
yMR—2 YMR
2
= £ << 1.
Состояние KA в начальный момент времени
t = 0,^ = 0, А = АН,В = Вн.
(2)
Круговая орбита, на которую необходимо перевести КА, характеризуется классическими элементами орбиты а = , е = 0, г = , ^ = -
Критерий оптимальности процесса управления определяется функционалом с весовыми множителями а ^ 0, г = 0,1, 2:
¿к Рк
I = J (ао + «1 |р 1| + £2а2Р2 = J (ао + «1 |р 1| + £2а2р2)и2(2^)1/2^>, о о
который для оптимального процесса принимает минимальное значение.
2. Функция Гамильтона I кштрягина выражается через сопряженные кватернионные переменные фа,фь, соответствующие кватернионным элементам А, В, по формуле
H = —(ao + ai |р 1| + £2«2p2)u2Q1/2 + Q(Fi, П), П = фъ cos ^ — фа sin
181
Сопряженные переменные удовлетворяют сопряженной системе
= F2 cos у + F3 sin у + AF4, ^ = F2 sin y — F3 cos y + BF4. (3)
Условия для фазовых координат на правом конце траектории имеют вид
A2 — ак = 0, B2 — = 0, (A, B) = 0,
/(B, P(A)ji) — ак sin ik sin ^k = 0, /(B, P(A)j3) — ак cos ik = 0. Условия трансверсальности на правом конце траектории
(4)
/(фа, А) + /(фь, В) = 0, / (фа, Р(В)^) + /(фь, Р(А)^) = 0,
[/(фа, Р(А)]з) + /(фь, Р(В)]з)]+ (5)
/(А, Р(В)]2)[/(фа, Р(В)]1) - /(фь, Р(А).ц)] = 0.
Функция Гимильтони 1кип рягини удовлетворяет условию
^ = 0. (6)
Оптимальное управление согласно условию максимума для функции Ги.милыони 11онтрягини выражается через фазовые и сопряженные переменные по формулам
_ Рт(и)(и2П + w(w, П)) Р1ор = |Рт(и)(и2П)+ w(w, П)|Рlmax,
2
|Рт(и)(и2П + w(w,П))|> ^,
2
Рьр = 0, если |Рт(и)(и2П + w(w, П))| < , (7)
_ Рт(и)(и2П + w(w, П))
Р2ор = ^(ихйПуТ^^ПУ!,
|Рт(и)(и2П + w(w, П))1 ^
если
если
Q1/2 '
Q1/2 r>T *
P2opt = ^-2PT (u)(u2n + w(w, П)),
2£a2 u2
если
Q1/2
|PT(u)(u2n + w(w, П))| < 1. (8)
¿ea2u2
Решение задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы уравнений (1), (3) с граничными условиями (2) в начальный момент времени и условиями (4), (5). (6) в конечный момент времени, при этом в каждый момент времени управляющие параметры определяются из соотношений (7), (8).
3. Пример расчета. Начальное состояние К А определяется координатами: x1 = 1.0, x2 = 0, x3 = 0, v1 = 0, v2 = 1.0, v3 = 0. Классические элементы конечной орбиты: ak = 1.52, ek = 0.0, ik = 5.0o, Qk = 30.0o. Весовые множители в функционале качества процесса: а0 = 0.35, а1 = 1.0, а2 = 0.5. Ограничения на управляющие параметры: p1 max = 1.0, £ = 0.2. Режим работы первого управляющего параметра состоит из трех этапов. На первом этапе 0 < t < 0.1086, |p11 = 1.0, на втором 0.1086 < t < 2.0529, | = 0.0, па третьем 2.0529 ^ t < 2.1733, |p11 = 1.0. В конечный момент времени при t = 2.1733 при выходе па заданную орбиту состояние К А определяется координатами:
Х1 = -0.0797, Х2 = 1.5133, хз = 0.1181,
V1 = -0.8092, V2 = -0.0451, V3 = 0.0320.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 0801-00310).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Штифель Е., Шейфиле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М,: Наука, 1975. 304 е.
УДК 533.6.011
Я.Г. Сапунков, Р.В. Мосин К ЗАДАЧЕ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В статье получено приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне, хорошо аппроксимирующее точное решение во всей области течения газа. Приводятся таблицы значений показателей автомодельности в зависимости от отношения теплоемкостей, полученных на основе приближенного решения, и их погрешности.
