УДК 621.983.7
Оптимальный параметрический синтез технологических процессов холодной штамповки
К. М. Иванов, А. С. Афанасьев, П. М. Винник, В. Н. Иванов
Введение
Проектирование технологических процессов штамповки в современных условиях должно осуществляться с применением принципа оптимальности. Для этого широко используют в среде CAD/CAM—САЕ-технологий методы структурного и параметрического синтеза.
В данной статье рассмотрена методология и приведен конкретный пример оптимального параметрического синтеза технологического процесса обжима полых тонкостенных оболочек (рис. 1).
Оптимальный параметрический синтез
При решении задач оптимального параметрического синтеза необходимо определить критерий оптимальности и вектор оптимизируемых параметров с учетом ограничений.
Выделим следующие цели синтеза:
• получение детали заданных размеров;
• обеспечение требуемого уровня механических свойств детали;
• обеспечение надежности технологического процесса.
Надежность реализации процесса обжима определяется возможностью потери устойчивости в различных зонах заготовки. Необходимо обеспечить три основных вида устойчивости: поперечную в период контактной деформации; поперечную в начальный период деформации; продольную в период контактной деформации. Выполнение этих условий можно считать достаточным для обеспечения надежности технологического процесса обжима.
Представим технологический процесс обжима в виде п циклов сочетаний последовательно выполняемых пар операций (обжима и термической обработки). Тогда вектор независимых оптимизируемых параметров будет иметь вид
хт = (, Щ т(1); I = 1, п),
I е[1:п], (1)
где е(1) — показатель степени деформации на
обжиме; ), т(1) — температура и длительность термической обработки.
Согласно работам [1, 2] ограничения, связанные с возможными потерями устойчивости записывают в виде:
1) условие потери поперечной устойчивости в период контактной деформации
,(1) < e(l)
< еГу>, l = 1,n,
(2)
где в(1) — предельная устойчивая деформация;
2) условие потери поперечной устойчивости заготовки в начальный период деформации в зоне «неприлегания» к матрице
,(l)
T(l) ^кр
(3)
где а^ ), а^ — тангенциальное сжимающее и критическое напряжение соответственно;
3) условие потери устойчивости в продольном направлении
Рис. 1. Технологическая схема обжима тонкостенных оболочек: 1 — заготовка; 2 — матрица
т(0 ртах
7(1>
кр
(4)
гИ)
где акр — критическое меридиональное напряжение, определяемое для опасного сечения заготовки; а^ах — максимальное значение меридионального напряжения.
Цель оптимального синтеза — получение деталей заданных размеров с требуемым уровнем механических свойств при заданных ограничениях. Ограничения заданы неравенствами (2)-(4). Требование обеспечения заданных размеров детали выразим в виде равенства
п
1=1
а(п)
т(1) =
(п) '
) -
а- = ^) (е(1), 1(1), т(1)), I = 1, п.
у1(1 )(х(1)) =
0,1251§а( 1) +-2—
6сов а(1)
q1(l )(х(1 -1)) =
(1 - 0,58^1 -1))
кн й(1 -1) '
У2(1 )(х( 1)) = - т( 1) = - ехр
Ге(1)^
Ь
V у
где
д2« >(х(1 >) = - =
2 (1 -1)) +
1,6 а(1 -1) сов а(1) - к(1 -1) (1 - Т/ -1) )2 (ав ))1 -1) [1 + 1) (3 - 2 сов а( 1))] У3( 1 )(х(1)) = еХ1); q2( 1 )(х(1)) = еЛI);
(х(1)) = (41), ¿(1), т(1)).
Дополним условия (6) очевидным геометрическим соотношением
(5)
^1) = ТГ(1 - т(1)),
(7)
где Н^^} — высота ската обжимаемой заготов-
где ), ) — диаметры детали соответственно в верхнем и нижнем сечениях.
Для оценки обеспечения заданного уровня механических свойств зададим соотношение, связывающее уровень механических свойств заготовки а^) с технологическими параметрами 1-й заготовки:
ки.
Ко второй группе отнесем условия, сформированные в виде равенств
У4(х) = q4; У5(х) = q5,
(8)
где
У4(х) = П ехр
Г „(I) 3
I=1
е
Ь
q4 =
(п)
й( п)
Разделим сформированные условия и требования на несколько групп. К первой группе отнесем условия обеспечения поперечной и продольной устойчивости заготовки. Для 1-й операции обжима эти условия можно записать в виде неравенств:
у1) (х (1) )< q11) ((1 -1)); у2) (х(1) )< ^) (х(1)); у31) (х(1))< q31) (х( 1)); I = 1,..., п;
а(1)
(6)
У5(х) = {(г) (, т(1)) = 1,..., п};
q5 = а(п); хТ = (е(1)), 1), т( 1), I = 1,..., п.
Условия обеспечения поперечной устойчивости в период контактной деформации можно отнести к прямым ограничениям на компоненты е(1) вектора оптимизируемых параметров. Таким образом, множество целей проектирования технологического процесса обжима сведено к множеству условий работоспособности в виде системы неравенств и равенств. Для технологического процесса, состоящего в общем случае из п операций обжима, число условий-неравенств равно 3п.
Для решения многокритериальной задачи оптимального параметрического синтеза технологического процесса обжима воспользуемся максимальной сверткой векторного критерия, получившей распространение в практике проектирования сложных систем.
Для условий-неравенств (6) вводятся количественные оценки степени их выполнения:
2; (х), ] е [1: 3п],
(9)
причем цели проектирования должны совпадать со стремлением увеличить значения
(в первую очередь наименьшие из них), т. е.
+
тт тах г; (х), хеЛ ; е[1:3 п] 1
(10)
где Л — множество, в котором выполняются прямые ограничения и ограничения равенства (8) на вектор параметров х .
Как показывают исследования, функции минимума, подобные г; (х), ] е[1 : 3п], не являются гладкими, условия непрерывной диф-ференцируемости для них не выполняются, что требует привлечения специальных процедур оптимизации.
Рассмотрим вопрос о существовании решения сформулированной задачи (6)-(8). Для этого проведем анализ условий работоспособности (6) при следующих исходных данных по конечной и исходной штампованным заготовкам и термической обработке:
4,п) = 26,5 мм; 4п) = 1,35 мм; а^ = 650 МПа
4п) = 16,42 мм; 4П) = 0,8 мм; о(В) = 480 МПа
<(0) = 26,786 мм; 4° = 1,336 мм; 4° = 0,595 мм
к^П) = 10,9 мм; а(п) = 0,108; 5*п) = 40 %;
Т = 780 °С;
е(0) = 0,045; е(0) = 0,050;
и
(002 ) = 225 МПа; (в0)) = 353 МПа;
е^ = 0,35; Т у = 0,26. (11)
Ограничим размерность вектора параметров х , варьируя только значения степеней
У1 , «1
2
деформации е('), ' = 1,..., п , считая параметры ^'), т( ') термической обработки заданными. Вначале определим, какие из условий системы (9) обладают минимальными запасами работоспособности при п = 1 (т. е. при проведении обжима за одну операцию):
тт г; (х), ] е[1: 3п].
Для принятых исходных данных (11) требуемому значению коэффициента обжима
<п)
т{1) = и = 0,62 соответствует значение сте-<(п)
пени деформации е(') = 0,489.
Как видно из рис. 2-4, при таком значении
е( ') будет выполняться равенство у1) (е(')) =
= «1'), т. е. запас работоспособности по условию поперечной устойчивости в начальный период деформации будет нулевым. Условия продольной и поперечной устойчивости в период контактной деформации не выполняются, и запасы работоспособности по ним отсутствуют:
У2') ('))> «2') ((')). 4') > >.
Очевидно, что минимальным запасом работоспособности обладает условие поперечной устойчивости в период контактной деформации, так как для его выполнения необходимо реализовать значительно меньшую степень деформации. Определим минимальное значе-
у2), д()
-0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0
2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Рис.^ 2. Зависимость параметра поперечной устойчи
Рис. 3. Зависимость параметра продольной устой
вости у11) (1) и параметра ограничения (2) от степе- чивости у2') (1) и параметра ограничения (2) от сте ни деформации е\'
( )
пени деформации е(
( )
е
(i) (i) y3 > %
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
2 / L
/
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
( )
Рис. 4. Зависимость параметра поперечной устой чивости в начальный период деформации у31) (1) и па
раметра ограничения (2) от степени деформации е(
ние параметра пт1п, при котором множество планов задачи параметрического синтеза процесса обжима Л становится непустым.
Перепишем ограничение, определяемое заданной геометрией заготовок, предполагая равномерное распределение деформаций по операциям и принимая I = 1:
( )
d(n)
uu d(n >
= nm
(l) =
- ne (l)
(12)
(l) (i) где m \ et
значения коэффициента обжима и степени деформации, реализуемые на каждой операции обжима.
Прологарифмируем значение (12) и запишем его относительно п:
ln
n=
d( n)
иv
v d( n ) ,
Уци (l)
(13)
Минимальное значение пт1п получим, подставив в (13) максимальное значение е(1), равное предельной до^начала локализации степени деформации е( ), исходя из условий
первой операции обжима.
Воспользуемся зависимостью е(г) от тех нологических параметров [3] У
е( 1) = 0,074 + 0,05ls(l-1) + 0,039е(1 -1) -
1У 1
- 0,045T(l-1) - 0,15m£l) - 0,028s(l-1)е(l-1) + + 0,011s(l-1) T(l-1) + 0,03s(l-1) m6l) +
+ 0,014е(1 -1)Т(1 -1) - 0,121е(1 -1)(Т(1 -1))2 +
+ 0,025Т(1 -1)т61) - 0,147(1 -1))2 -
- 0,044(е(1 -1))2 + 0,00454(Т(1 -1))2 -
- 0,0276(т61 ))2. (14)
При постоянных значениях £(г - 1) = 780 °С, т6) = 0,15, е(0) = 0,050 величина е^) незначительно изменяется с ростом 1(1 = 1, 2, ... ..., п) в связи с увеличением толщины заготовки в процессе обжима. Считая предельную деформацию е(1) постоянной и равной е( ), определим минимУ альное значение парамеУтра:
ln
n
d( n)
V d( n ) ,
u
(l)
1,588
или округленное до ближайшего большего целого: nmin = 2. Таким образом, проведение обжима за две и более операций (n > 2) обеспечивает выполнение всех ограничений-неравенств (6), а также геометрического ограничения вида (8). Следовательно, допустимое множество планов непусто, т. е. непусто допустимое множество переменных D:
d = ul): е.l) < е( l) < е.l) ,
I I • I I
L min max
l е [1: n], n = 2,3,..., nmax},
где е(т)п, е^ — нижняя и верхняя границы замкнутого интервала возможных значений параметров a(l); nmax — максимально возможное количество операций технологического процесса обжима;
е
(l)
0; е(
(l)
ln
d( n)
uu
v d( n) ,
v
Л •
Кроме того, множество D ограничено и замкнуто:
D = Ul) : е.l) < е^) < е^l) ;
I I ■ I I
min max
t(l) : t(l) < t(l) < t(l) .
1 • ''min - 1 - ''max'
T(l) : T(l) < T(l) < T(l)
L : Lmin - L - max,
l е [1: n], n = 2,3,..., nmax}, (15)
y
t(l) t(l) T(l) T(l) _ mi^ 'max' 'max
где *Ш1п, гшах, тШ1п, ТШах — НижНие и ВерхНие границы замкнутых интервалов возможных
значений параметров £('), т(').
В качестве количественной оценки степени выполнения у-го условия надежности процесса обжима используем выражения:
Zj - aj
Л
(b^j Vs j " Ь
zj = aj
(q - yj (x) Л
_Jh__I
S - .
(16)
где yj — номинальное значение параметра yj;
JH c. J
qj — параметр ограничения; Sj — оценка рассеяния параметра; a;- — весовой коэффициент. Функционал max min Zj (x) не являет-x eD j e[1:3n ] 1
ся гладким, поэтому воспользуемся подходом, основанным на средневзвешенной аппроксимации максимального критерия. Задача (10) эквивалентна задаче
min max [exp(-Zj)]. (17)
x eD j e[1:3n ] 1
Применив среднестепенную свертку, получим критерий оптимальности
n
min Е exp I- vZj (x) I, v - 2,3,..., (18)
7~l ^^ L J J
x eD
j=1
который является гладким.
Упростим формулировку задачи параметрического синтеза процесса обжима, исключив ограничение-равенство из системы (8), связанное с требованием получения заготовки заданной геометрии:
п <(п)
П ехр (- е' )= •
l =1
( n)
Выразим значение параметра е\ через остальные е('), I = 1, 2, ..., п - 1, воспользовавшись следующими несложными преобразованиями:
n-1
-Е
l=1
,(l) - e(l) -
ei - ei
- ln
(d n) Л
n)
V v
e( n) =
ej
ln
( d(n) Л n-1
dv
и_
(n )
e(l)
l-1
(19)
Подставив (19) в условие (6), сократим размерность вектора оптимизируемых пара-
метров и одновременно учтем ограничение-равенство:
3n
min Е exp [-vZj (x)]; v - 2, 3, ..., n - 1, 2, ...;
(qj - yjH (x)
zj- ~-aj V jH sj
e(l) e En-1 : e(l) imin
-1
t(l) e En : t(l) < t(l) < t(l) .
• min max'
T(l) e En : T(l) < T(l) < T(l) ; T : Tmin < T < Tmax;
У5 (x) - q5, l - 1, 2, ..., n}.
(20)
Задача (20) является частично целочисленной задачей математического нелинейного программирования, поскольку к оптимизируемым относится параметр n (количество операций обжима). Исходя из опыта проектирования технологических процессов обжима множество возможных значений п можно ограничить: n = 1, 2, ..., 5. Тогда процедура параметрического синтеза (20) сможет строиться на основе поэтапного наращивания значения п с ограниченным шагом, начиная с n = 1, и минимизации функционала на каждом этапе. Окончательный вариант технологического процесса следует выбирать с привлечением дополнительных критериев, например минимума суммы приведенных затрат на изготовление. Исходя из анализа ограничений и условий, определяющих надежность технологического процесса обжима, находим минимальное количество операций nmin, при котором выполняются ограничения-неравенства и геометрическое ограничение.
При подборе и формировании целевой функции возможны следующие варианты.
1. Целевая функция J (x) может быть построена на основе среднестепенной аппроксимации максиминных критериев. При этом поскольку максиминные критерии вида max min Zj (x) формируются на основе огра-
x eD 1
ничений-неравенств, в частности неравенств, выражающих требования к надежности технологического процесса обжима, то они получают очевидную для технолога математическую интерпретацию. Недостаток подобных критериев является следствием использования вычислительных процедур при минимизации целевой функции в виде среднестепенной аппроксимации. При этом технолог вынужден полагаться на точность сформулированных
критериев и отказаться от физически очевидной интерпретации результатов оптимального параметрического синтеза.
2. Критерии оптимизации и целевые функции могут формироваться на основе анализа дерева целей проектирования технологического процесса обжима. В процессе построения такого дерева выявляются приоритетные цели проектирования, а также основные и вспомогательные признаки технологического процесса, которые могут учитываться при формировании критериев или критериальных ограничений при решении задач оптимального параметрического синтеза. Стремлению получить максимальную экономию при обеспечении заданного технического уровня изготавливаемой детали и допустимого уровня технологического процесса отвечает критерий минимума приведенных затрат. Целевая функция представляется зависимостью затрат на реализацию технологического процесса обжима от вектора варьируемых параметров X : min C (x).
x eD
Рассмотрим задачу определения оптимальных значений параметров операций технологического процесса обжима для исходных данных (11). Ограничимся расчетом степеней деформации e( , I = 1, ..., n, которые составляют вектор оптимизируемых параметров X. Запасы работоспособности будем оценивать в виде (17). Задачу решим в упрощенной постановке без учета ограничения-равенства.
Параметры рассеяния 5j зададим в процентном отношении к соответствующим значениям qi. Примем 5j равным 20 %, q1 и 52, 53 — 10 % от q2 и q3 соответственно. Таким образом, 51 = 0,0043; 52 = 0,06 1 2 ; 53 = 0,032. Все весовые коэффициенты выбраны равными единице. Для решения задачи минимизации применены алгоритмы методов покоординатного спуска Пауэлла. Функционал минимизировался для четырех значений n — 2, 3, 4, 5. Для получения начальных приближений ми-
нимизация проводилась при V = 1, при этом удалось избежать возведения в высокую степень больших значений ехр (х)] . Из тех же соображений выбирали начальные точки х0. Выбор окончательного варианта технологического процесса обжима при п, равном 2, 3, 4 или 5, может проводиться с привлечением дополнительного критерия.
Полученные результаты близки к данным, приведенным в работе [3], в которой применялся итерационный способ определения степеней деформации при п = 3:
е1 = 0,223; т(1) = 0,80; е2 = 0,221; т(2) = 0,802; е3 = 0,046; т(3) = 0,955.
Выводы
В статье рассмотрен современный подход к решению задач оптимального параметрического синтеза процессов холодной штамповки на примере обжима полой заготовки. Рассмотренные принципы могут быть эффективно использованы для решения задач оптимизации процессов вытяжки, выдавливания и т. д.
Литература
1. Сопротивление материалов пластическому деформированию в приложениях к процессам обработки металлов давлением / А. В. Лясников, Н. П. Агеев, Д. П. Кузнецов [и др.]. СПб.: Внешторгиздат-Петербург, 1995. 527 с.
2. Справочник по технологии патронного производства: в 2 т. Т. 1, 2 / Под ред. Н. П. Агеева. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2011. 345 с.
3. Автоматизированное проектирование технологического процесса обжима полых заготовок: учеб. пособие/ Н. П. Агеев [и др.]. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 1993. 74 с.