CC BY
90
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов С.А. Пути повышения эффективности использования симметричных кабелей связи // Труды учебных заведений связи. № 172. СПб.: СПбГУТ, 2005.
2. Комарова К.А. Возможность увеличения пропускной способности симметричных кабелей ГТС // Труды учебных заведений связи. № 174. СПб.: СПбГУТ. 2006.
3. Курицын С.А., Комарова К.А. Модель фантомной дуплексной цепи применительно к передаче цифровых сигналом методом QAM
технологии // Труды учебных заведений связи. № 175. СПб.: СПбГУТ. 2007.
4. Курицын С.А., Комарова К.А. Оптимальная обработка цифровых сигналов в фантомных цепях симметричных кабелей связи // Труды учебных заведений связи. № 176. СПб.: СПбГУТ, 2008.
5. Курицын С.А. Методы адаптивной обработки сигналов передачи данных. М.: Радио и связь, 1988.
6. Сендж Э., \1елс Д. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976.
УДК 621.396.969.181.34
Ю.Е. Сидоров, Ю.Г. Бельченко
ОПТИМАЛЬНЫЙ ОБНАРУЖИТЕЛЬ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТОЙ
Статистические методы оптимального обнаружения сигналов в аддитивном шуме хорошо известны и изложены в отечественной и зарубежной литературе 11—3). Эти методы характеризуют потенциальные возможности радиотехнических систем и в практически важных случаях нереализуе-мы в оптимальной форме, ибо полные априорные сведения о сигналах и шумах часто недоступны. Поэтому и эффективность таких систем далека от желаемой.
В связи с этим большую актуальность приобретают разработка и применение методов преодоления возникающей априорной неопределенности [4, 5]. В частности, плодотворно использование принципов несмещенности и подобия в задачах обнаружения с мешающими параметрами [4-6].
Задача обнаружения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности (когда функциональный вид закона распределения входных данных известен, а неопределенность выражается в незнании параметров этого закона [5|) может быть сведена к задаче проверки сложных статистических гипотез относительно распределения наблюдаемого процесса *(/)
или выборки из него. С отсутствием сигнала сопоставима гипотеза Н{) о том, что это распределение принадлежит семейству Р() = {Щх | 9); 9 е 0О}, а с его наличием — гипотеза //, о том, что процесс х(() имеет распределение из семейства Р} — { Щх \ 9); 9 е 0,}. Здесь Щх | 9) — плотности вероятности выборки из наблюдаемого процесса: 9 — в общем случае многомерный параметр распределения; 0О, 0, — непересекающиеся множества параметрического пространства 0, 0О и 0] = 0- Априорные сведения о параметре 9 ограничены только знанием множеств 0О, 0, его ожидаемых значений, причем никаких априорных распределений на этих множествах не задается [4].
Правила проверки гипотез представляются решающими функциями ср(х), которые задают процедуру принятия решения в пользу той или иной гипотезы при наблюдении х. На практике обычно используются так называемые нерандомизированные правила, у которых
9(х) =
[ i при х е X [0 при х е Х0,
(1)
где Х\ и Л'о — непересекающиеся множества пространства X реализаций наблюдаемого процесса; Х{ и Х0 = X. Решение о выполнении гипотезы Я, выносится при ф(лг) = 1, о выполнении гипотезы Я0 — при ф(х) = 0.
Вероятностные характеристики правила проверки гипотез представляются в виде функции мощности Р(ф | 9). Значение функции мощности при 9 € 0О равно вероятности ложной тревоги (ЛТ), а при 9 е 0, — вероятности правильного обнаружения (ПО) сигнала.
Правило обнаружения в условиях априорной неопределенности должно отвечать следующим основным требованиям:
оно должно быть структурно устойчивым, т. е. его решающая функция не должна зависеть от неизвестных параметров распределения наблюдаемого процесса:
потери в эффективности обнаружения по сравнению с потерями в правилах, оптимальных при полной априорной информации, должны быть минимальными, а сами характеристики обнаружения — устойчивыми к изменению априорно неопределенных параметров задачи.
Перечисленным требованиям наиболее полно соответствуют равномерно наиболее мощные (РИМ) правила. Их характерная особенность состоит в том, что они при одной и той же решающей функции обеспечивают максимальную вероятность правильного обнаружения при любом значении 9 е 0, и заданный уровень а вероятности ЛТ на множестве 0„. Устойчивость характеристик обнаружения РИМ правила обеспечивается гарантированным уровнем вероятности ложной тревоги при любых изменениях параметра 9 е 0О, а минимальные потери в эффективности — максимизацией вероятности правильного обнаружения сигнала при всех значениях 9е0, [4].
На практике РИМ правила встречаются редко. Поэтому были разработаны другие подходы к синтезу правил обнаружения в условиях априорной неопределенности. Для практического приложения к задачам обнаружения и различения сигналов достаточно эффективны подходы, основанные на принципах несмещенности, подобия и
инвариантности [4—6]. При использовании этих принципов производится сужение класса решающих правил таким образом, чтобы обеспечить существование в нем РИМ правила и одновременно получить ту или иную устойчивость характеристик обнаружения к изменению априорно неизвестных параметров задачи.
Так как принципы несмещенности и подобия играют важную роль в решении практических задач, рассмотрим их подробнее. При синтезе оптимального правила на основе принципа несмещенности выделяется класс Ги п правил, функции мощности которых удовлетворяют условиям несмещенности [4]:
Р(ф | 9) < а при всех 9 е 0(),
(3(ф | 9) > а при всех 9 € 0,. ( '
Первое условие (2) гарантирует, как и в случае РИМ правила, заданный уровень а вероятности ложной тревоги. Второе условие (2) повышает устойчивость правила в том смысле, что исключает значения вероятности правильного обнаружения, меньшие вероятности значения ложной тревоги. Правила из класса /г„ п называются несмещенными. Отметим, что РИМ правило, если оно имеется в классе всех решающих правил, оказывается несмещенным [6]. Поэтому переход к классу Рн п не сопровождается потерей РИМ правила в случае его существования. Оптимальное по критерию Неймана — Пирсона правило, у которого вероятность ПО максимальна при каждом 9 е 0, в классе /г„ „, называется РНМ несмещенным.
Принцип несмещенности приводит к построению РНМ несмещенного правила, если параметр 9 разделяется (непосредственно или после некоторого преобразования) на полезный у и мешающий я параметры. Полезным называют параметр, значения которого определяют выполнение гипотезы Я0 или альтернативы Я,, мешающим — параметр, изменение которого не влияет на выполнение любой из проверяемых гипотез.
В решаемой задаче в роли мешающих будут выступать параметры распределения
шума, а в роли полезных — параметры, зависящие от энергетических характеристик сигнала.
Постановка задачи. Рассмотрим задачу обнаружения узкополосного сигнала с неизвестной несушей частотой (4|. На вход обнаружителя от анализатора спектра поступают оценки х^ спектральных плотностей принятого сигнала. Индекс / обозначает номер цикла формирования спектральных оценок, индекс /— номер интервала разрешения по частоте. Ширину интервала разрешения полагаем равной или большей ширины спектра обнаруживаемого сигнала. Спектральная плотность мощности шума постоянна в пределах т > 2 интервалов разрешения. Известно, что в пределах поддиапазона может находиться только один сигнал.
Описание алгоритма обнаружения. При построении алгоритма обнаружения сигнала в условиях параметрической априорной неопределенности часто оказывается полезен метод контраста [4—51. При использовании этого метода происходит одновременное наблюдение п участков разрешения, и считается, что сигнал может присутствовать только в одном из них. Решение об обнаружении сигнала выносится на основании регистрации несовпадения распределения процессов в данных интервалах. Стоит отметить, что метод контраста применим только в тех случаях, когда шумовой процесс стационарен в пределах исследуемых интервалов.
Правила обнаружения для всех частотных поддиапазонов одинаковы, поэтому рассмотрим задачу обнаружения только в одном произвольном поддиапазоне. Наблюдаемой выборкой является совокупность х = {хи;1 = 1,л;у = 1,/и}, где п — число циклов формирования спектральных оценок Ху. При статистической независимости спектральных оценок и аппроксимации их распределений х2-распределением с V степенями свободы (где V — произведение времени оценки на ширину интервала разрешения) плотность вероятности выборки а* при наличии сигнала в А:-м интервале разрешения имеет вид |4|
у/2-1
I " I" гг-
'1 /=| у = 1
, 02"°1 V ч X ехр(- - , ,
(3)
где а,~ — мощность шумового фона; сг; — мощность смеси шумового фона и сигнала. В обоих случаях речь идет о мощностях, отнесенных к одному интервалу разрешения по частоте.
Выделим из выражения (3) мешающий параметр я и полезный параметр у:
я = —
2а
а; -стг
г; у = ~
(4)
'I
Достаточная для мешающего параметра статистика [4]:
п т
= (5)
/=1 7=1
Сформулируем задачу поиска номера интервала разрешения как задачу проверки многоальтернативных гипотез:
Я0 : у = 0; я е П = (-со, 0);
_ (6)
Нг :к = г; у е Г = (О.оо); я е П: г = 1 ,т.
В [4[ показано, что в данной задаче выполнены все предпосылки, необходимые для существования многоальтернативного РНМ несмещенного правила. Действительно, согласно [4] существует многоальтернативное РНМ несмещенное правило, если выполняются следующие посылки:
1) для любых gi, gk е (7 произведение
е С;
2) | я) | | = №(х | я) при всех х е А': яеП;/ = 1,ш; (7)
3) 1Г(&х | /; у; л) | | = Щх \ к = I; у: я) при
всех .г е X: у е Г; я е П: / = 1,/и.
Решающая функция многоальтернативного РНМ несмещенного правила имеет вид [4|
ф(*) =
(8)
(Ф,00 = 0.....Фи(х) = 0)
при птах ¿/¿(.г) < ЦТ(х): а].
к = I ,т;
(О.....ф,(х) = 1.0.....0)
при тах ик(х) = и,(х) > ЦТ(х): а]. / = 1./и, к = 1 ,т.
Удовлетворяющая условиям (7) совокупность преобразований (7 задается циклическими перестановками величины дг ,_/ = !.т по индексу / Условные отношения правдоподобия при каждой альтернативе Нк монотонны относительно статистик:
п
(9)
м
(10)
чаю соответствует второе неравенство в выражении (10). В противном случае выносится решение об отсутствии полезного сигнала на входе обнаружителя, первое неравенство в выражении (10).
Структурная схема обнаружителя, работающего согласно полученному правилу, представлена на рис. 1.
Подставляя статистики (5) и (9) в (8) и вычисляя пороговую функцию по методике, приведенной в [4], получаем итоговую решающую функцию:
(Ф,(*) = 0.....Фш(*) = 0)
II п ш
при тах <С(а
(-1
} = \.т; (0.....фДдг) = 1.0.....0)
п п п т
при тах = >
1-1 <=1 1=1 )-\
к = \.т. у = \,т.
С точки зрения конкретной радиотехнической задачи (обнаружение узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой) выражение (10) означает, что если максимальное значение суммы последовательно пришедших спектральных оценок х,к в А:-м интервале разрешения оказывается равно или больше значения суммы пришедших спектральных оценок, умноженных на порог С (так как вероятностные характеристики вычисляются при строго определенном значении ложной тревоги), то решающая функция ф(дг) принимает значение I и выносится решение о наличии полезного сигнала на входе обнаружителя. Этому слу-
С( а)
Рис. I. Структурная схема обнаружителя
Поясним обозначения блоков, применяемых в схеме: АС — параллельный анализатор спектра; Н — накопитель; УВМ — устройство выбора максимального значения; ПУ — пороговое устройство; Р — решение.
Аналитический расчет характеристик обнаружения согласно правилу (10) довольно сложен из-за присутствия в нем экстремальных статистик 14]. Поэтому для расчета вероятностных характеристик данного правила целесообразно прибегнуть к моделированию на ЭВМ.
Алгоритм моделирования. При моделировании использовался метод статистических испытаний (также известный как метод Монте-Карло). Его можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений [7].
Моделирование осуществлялось в пакете МаНаЬ 7.0.1. Распределения случайных величин моделировались согласно алгоритмам, приведенным в работе (8|.
Для получения значений порога также применялся метод статистических испытаний (Монте-Карло). Были заданы желаемые значения вероятности ложной тревоги а,
ддя которых итерационным методом вычислялись соответствующие значения порога С. При этом моделировался случай, когда на вход обнаружителя поступают только шумовые отсчеты, а отсчеты полезного сигнала отсутствуют. В этом случае любое срабатывание обнаружителя априори является ложным. Подсчитав количество обнаружений и поделив его на общее количество испытаний, получаем вероятность ложной тревоги. Изменяя на каждом шаге значение С, эксперимент повторяют до тех пор, пока полученная вероятность ложной тревоги не станет равной (с наперед заданной точностью) желаемому значению ЛТ. Полученные значения С не зависят от мощности шума [9].
Были получены следующие значения порога для заданных вероятностей ложной тревоги:
т = 2 т = 5 т 10
С а С а С а
0,7745 ю-' 0,3863 Ю--4 0,2118 ю-3
0,8157 10"4 0,4284 ю-4 0,2299 ю-»
Действие обнаружителя состоит в сравнении максимума суммы последовательно пришедших спектральных оценок х1к в к-м интервале разрешения со значением суммы пришедших спектральных оценок, умноженных на порог С. Непосредственно решающее правило, по которому выносится решение о наличии или отсутствии сигнала на входе, описано в предыдущем разделе. На вход обнаружителя поступают оценки Ху спектральных плотностей принятого сигнала, состоящего из смеси узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой и шума с постоянной спектральной плотностью мощности. Полученные оценки формируются в течение временных интервалов, после чего поступают на параллельно расположенные накопители Н. Каждый накопитель соответствует одному из к интервалов разрешения по частоте (А =1,/и). Реализуя накопитель в виде сумматора, обнуляющего свое значение после поступления п входных величин, предварительно записывая полученную сумму в ячейку памяти, получаем на выходе к-го
п
накопителя сумму /!■%. Такие элементы
;=|
со всех присутствующих в схеме накопителей одновременно поступают как на устройство выбора максимального значения, так и на обычный сумматор, выходное значение которого в дальнейшем умножается на значение порога С, задаваемого испытателем вручную для каждой серии испытаний. В первой "ветви" алгоритма вычисляется левая часть неравенства (10) (тах
п
), во второй — соответственно правая
/=1
п /11
(С(а)^^.х,у). На следующем этапе полу-
Ы /=1
ченные значения поступают на стандартный компаратор, где и выносится решение о наличии или отсутствии полезного сигнала. Вероятность правильного обнаружения находится как отношение количества зарегистрированных сигналов к общему количеству испытаний.
Расчет вероятностных характеристик. Моделируя работу данного обнаружителя в пакете Ма11аЬ, были получены зависимости вероятности правильного обнаружения Рп 0 от отношения сигнал/шум # при различном количестве интервалов разрешения по частоте т и фиксированных значениях вероятности ложной тревоги а. Результаты представлены на рис. 2.
Для расчета вероятностных характеристик число испытаний N было выбрано 150000. Поскольку точность метода Монте-
Карло равна —¡= [7], то в нашем случае N
погрешность моделирования составит 0,0026.
Рассмотренный в данной статье несмещенный обнаружитель узкополосного сигнала с априорно неизвестной несущей частотой обеспечивает стабильную вероятность ложной тревоги при любых изменениях уровня шумового фона и формы его энергетического спектра, не нарушающих постоянства спектральной плотности в пределах установленных поддиапазонов. Вероятность правильного обнаружения сигнала не зависит от его местоположения в поддиапазоне и максимальна для всех отношений сигнал/шум.
Исследование помехоустойчивости оптимального несмещенного обнаружителя
ч.с1в
Рис. 2. Вероятность правильного обнаружения
радиосигнала с помощью метода статистического имитационного моделирования (метода Монте-Карло) позволяет сделать следующие выводы:
при увеличении количества интервалов разрешения по частоте вероятность правильного обнаружения растет, так как возрастает информация о мощности шума;
наибольшую "выгоду" с точки зрения улучшения вероятностных характеристик обнаружителя принесло увеличение количества интервалов разрешения по частоте с 2 до 5. Увеличение числа интервалов с 5 до 10 дало в отношении сигнал/шум выиг-
рыш гораздо меньший. Ясно, что дальнейшее увеличение количества интервалов разрешения нецелесообразно и на практике можно обходиться довольно скромными значениями пи что полезно с точки зрения экономичного использования ресурсов ЭВМ.
Практически ценные достоинства оптимального обнаружителя позволяют сделать заключение о целесообразности его использования в автоматизированных цифровых системах обработки радиотехнической информации, функционирующих в условиях априорной неопределенности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. В 2-х т. М.: Сов. радио, 1962. Т. 2. 831 с.
2. Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприема при флюктуационных помехах. М.: Сов. радио, 1972. 448 с.
3. Цикин И.А. Оптимальная обработка сигналов в радиотехнических системах: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ. 1986. 77 с.
4. Теория обнаружения сигналов / Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А. и др.; Под ред. Г1.А. Бакута. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.
5. Сидоров Ю.Е. Статистический синтез автоматизированных решающих систем при априорной неопределенности. М.: Воен. изд-во. 1993. 231 с.
6. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука. 1979. 408 с.
7. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 472 с.
8. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 328 с.
9. Прокофьев В.Н. Обнаружение квазигармонического сигнала с неизвестной частотой в шуме неизвестной мощности и формы спектра // Известия вузов СССР. Радиоэлектроника. 1978. Т. 21, № 7. С. 108-111.
УДК 62 1.391.8
О.В. Чернояров, А.В. Сальникова
ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО РАДИОИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ ПОМЕХ
Следуя [1—3], под случайным радиоимпульсом .?(/) будем понимать мультипликативную комбинацию вида
(1-1. } , ч ¡1 Ы < 1/2;
^ То У [0, |дс| >1/2,
где а0 — время прихода; т0 — длительность сигнала; ¿(0 — реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса, обладающего спектральной плотностью (СП)
(а-ю] + / Га + ш]
1 о J 1 « J
Здесь 9 — центральная частота, Q — ширина полосы частот, d — величина СП.
Полагаем, что случайный радиоимпульс (1) наблюдается на фоне гауссовского белого шума n(t) с односторонней СП /V0. В работах [I, 2] на основе метода максимального правдоподобия исследована эффективность приема сигнала (1) при условии. что неизвестно его время прихода. Однако в ряде практических задач длительность радиоимпульса известна неточно. Ниже найдены асимптотические выражения для характеристик обнаружения сигнала (1) с неточно известной длительнос-
тью, а также приведены результаты статистического моделирования работы обнаружителя на ЭВМ.
Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени [0, Т] поступает реализация x(f) = s(t) + n(t) или х(0 = п(/). По определению [4] приемник максимального правдоподобия (ПМП) должен формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) ¿(А., т) для всех возможных значений А. е [ А,, А2], те [Т,, Т2] неизвестных параметров и т0. Будем считать, что
ц = тоП/2я»1. (3)
Тогда в соответствии с [1—3] логарифм ФОП имеет вид
L(\, т) = М(К т)/N0 - (тП/2л)( I + q)\ (4)
А+т/2
М{Кх)= J y2(t)dt, (5)
А-т/2
где q = d/N0, y(l)= £°x(t')h(t-t')dt' - отклик фильтра с импульсной переходной функцией h(t) на реатизацию наблюдаемых данных х(/), причем передаточная функция //(со) этого фильтра удовлетворяет условию: |//(м)|2 = /[(9 - ш)/П] + /](Э + ю)/П]. Как
