CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 1, С. 22-36
УДК 517.51
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ ОПЕРАТОРА РАДИАЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Т. Э. Баграмян
В работе рассматривается задача оптимального восстановления гармонической в единичном шаре функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования. Информация о значении оператора задается в виде функции, отличающейся от точного значения в средне квадратичной метрике не более чем на фиксированную величину погрешности, либо в виде конечного набора коэффициентов Фурье, вычисленных с фиксированной погрешностью в средне квадратичной или равномерной метрике.
Ключевые слова: оптимальное восстановление, гармоническая функция, пространство Харди, компьютерная томография.
В общем случае задача оптимального восстановления состоит в наилучшем приближении значения линейного оператора на некотором множестве по информации, являющейся значениями другого линейного оператора (называемого информационным), заданными с погрешностью в той или иной метрике (см. [1-3]). Во множестве случаев задачи оптимального восстановления операторов сводятся к задачам линейного программирования, впервые появившимся и получившим мощное развитие в работах Л. В. Канторовича, в которых были разработаны эффективные методы решения и анализа таких задач. В случае с задачами оптимального восстановления, соответствующие им задачи линейного программирования удается решить явно из-за небольшого числа присутствующих в них ограничений. В конкретных задачах восстановления в качестве информационного оператора обычно рассматривают линейные функционалы или операторы, сопоставляющие функции ее значения в точках, ее коэффициенты Фурье или просто саму функцию. Подобные задачи рассматривались во многих работах, начиная с [4]. Упомянем лишь некоторые из недавно опубликованных работ на эту тему — [5-8]. В настоящей работе рассматривается оператор, ставящий в соответствие функции множество ее интегралов, взятых вдоль радиусов единичного шара в Rd. Такого рода операторы применяются для моделирования различных томографических процессов и подробно изучаются в теории компьютерной томографии [9]. В теории оптимального восстановления информационные операторы томографического типа рассматривались ранее в [2, пример 3.2].
Рассмотрим пространство h2 гармонических в шаре Bd = {x £ Rd : \x\ < 1}, d ^ 2, функций, для которых конечна норма
II/Ik = sup II/H||L2(§d-i),
0<r<1
Sd-1 = {x £ Rd: \x\ = 1}.
© 2012 Баграмян Т. Э.
Следуя [10], будем называть h2 пространством Харди гармонических функций. Известно представление функций из h2 в виде разложения в ряд по ортонормированной системе сферических гармоник:
гс N(l,d) . ,
/(ж) = Е Е ^i^(r)' (1)
где
Рассмотрим оператор радиального интегрирования K, определенный равенством
1
Kf (Z) = / f (rZ) dr, Z e Sd-1. (2)
0
Предположим, что для любой функции f e Bh2 = {f e h2 : ||f ||h2 ^ 1} значение Kf известно с некоторой погрешностью, т. е. дана функция g e L2(Sd-1) такая, что l|Kf — дЦь2(Sd-1) ^ Зная функцию g, мы хотим наилучшим образом восстановить функцию f. Воспользуемся тем, что h2 непрерывно вложено в L2(Bd) и будем искать приближение в этом пространстве. Рассмотрим всевозможные методы восстановления — произвольные отображения m: L2(Sd-1) ^ L2(Bd). Для каждого m определим величину, называемую погрешностью метода
e(Bh2 ,K,S,m)= sup ||m(g) — f Ць^)-
f &Bh2,
\\Kf -g\\L2{&d-
Оптимальным назовем метод, который имеет наименьшую погрешность, т. е. тот, на котором достигается погрешность оптимального восстановления
E(Bh2 ,K,S)= inf e(Bh2,K,6,m). (3)
m: Ь2(Sd—1)—>Ь2(Bd)
Теорема 1. Положим
(xo,yo) = (0,0), = 4 = 1-2"- <4)
^ = у8 + 1 ~ Vs д2 = У3X3 + I ~ Уз + lXs ^
xs+1 xs xs+1 xs
где число s ^ 0 таково, что xs < 5-2 ^ xs+1. Тогда погрешность оптимального восстановления равна
E(Bh2,K,S) = д/Ai + Л252.
Методы
гс N(l,d) .
ma(g)(x) = Y, Е аы(1 + 1)ды\х\Щ-^), (6)
1=0 k=1 У1 U
где gki — коэффициенты разложения функции g в ряд Фурье по ортонормированной
gki = i g(Z)Yi(Z) dz,
системе Y^
Л2 + /т ,0? , ^ , т 2l + d 1
аы = —--——+ 6--—— * \i(2l + d) + \2 п -1, (7
Ai(1 + 1)2 + А2 Ai (l + 1)2 + A2V (1 + 1)2
— произвольные числа из отрезка [-1; 1], которые являются оптимальными.
< С экстремальной задачей (3) тесно связана двойственная к ней задача
II/IIL2(Bd) ^ max, / £ Bh2, ||K/H^-i) < S. (8)
Эта связь подробно изучена и описана в [3] и других работах тех же авторов. Нам же потребуется следующее утверждение:
E(Bh2,K,S) Z sup II/IIL2(Bd). f 6 Bh2,
l|Kf ^L2(Sd-1)<5
Действительно, если функция / допустима в (8), то функция —/ также является допустимой. Поэтому верна цепочка неравенств
sup I\m(g) - /iiL2(bd) z suP ||m(0) — /11L2(bd) f6Bh2, f6Bh2,
llKf-g|lL2(§d-1) llKf ^L2(§d-1)<5
> sup llm(°) ~ /Им»*) + 11 -m(0) - /||Lj|BJ) ^ sup
f6Bh2, 2 f6Bh2,
l|Kf lL2(§d-1)<5 ||Kf |L2(Sd-1)<5
Таким образом, погрешность оптимального восстановления ограничена снизу значением двойственной задачи. Решив ее, получим явное выражение для этой оценки. Из (1) следует
гс N(l,d) „
Kf(0 = £ Е 7ТТ^'(0- (9)
l=0 k=1 +
Используя (1), (2), (9) и равенство Парсеваля, получим следующие формулы:
2
^ N(l,d) \/ki\2
ЫЩ ~Е Е 2l + d1 l=0 k=1
ГС N(l,d)
h2 ^ E \/kl\2' l=0 k=1
hk/HL(sd-1) = E E
ГС N(l,d) \/kl\2
(l + 1)2' l=0 k=1 v ;
Введем обозначение
N (l,d)
bl = E \/kl\2. k=1
Тогда задача (8) может быть переписана в виде
ГС , ГС ГС ,
E^—• *><> 00)
l=0 l=0 l=0
(для удобства мы рассматриваем квадраты функционала и ограничений). Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
¿(Ь, Ах, А2) = - Ах - А252 + ]Г
Ьг
1=0
(1+ 1)2
Ах (1 + 1)2 + А2 -
(I ± I)2 21 + й
Ь =(Ьо ,Ьх,...).
Множество точек {(х^, у) : г ^ 0}, определенное в (4), лежит на графике функции у = 2^75+5^2' которая является вогнутой при х ^ 0. Отсюда следует, что все это множество лежит под прямой, соединяющей соседние точки (х{,у) и , Уг+1) (см. рис. 1). Прямая, соединяющая точки (х8, у8) и (х8+1, у8+1), имеет вид у — Ахх + А2, где Ах, А2 определены в (5). Тогда у^ ^ АхХ{ + А2, г ^ 0. Подставляя г = 1 + 1, получим
(1+ 1)2
21 + й
откуда следует, что ¿(Ь, Ах, Л2) ^ —Лх — Л252.
<Лх (г + 1)2 + Л2,
■5 у - Х\Х + А2 ' о о
•4 У / О У - А1зг
• 3 О / О
■2 | О
0 . ю / и
□ /
<г2 25 50 X 75 100
Рис. 1. На рисунке изображено множество точек {(х\, у) 11 ^ 0}, при 6-2 = 12, ^ = 2. Точки, изображенные квадратом, соответствуют тем значениям /, для которых можно положить аы-1 = 1, к = 1,..., N(1, ромбом — тем I, для которых а^-1 = 0, к = 1,..., N(1,
Пусть х5 <5 2 ^ х5+х. Тогда определены неотрицательные числа
Ь5 — х8
5 2 х
«+1
1
х8+1 хБ
Ь8+1 — х8+1
1 -
х8+1 х8
Положим Л — 0, при г ф {5,5 + 1}. Тогда получившийся набор Ь допустимый в (10), удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости
М ЁЛг - 0+ ЧЁ
Ьг
г=о 7 4 г=о и доставляет минимум функции Лагранжа
(1 + 1)2
52 — 0
шт ¿(Ь, Л1, Л2) — ¿(Ь, Л1, Л2) — -Л1 - Л252.
(11)
(12)
В силу того, что А1, А2 ^ 0, верно неравенство
" к
откуда
чмьА2К-£я + (Г
l=0
ГС b
mmL(b, Ai, А2) ^ min — > —---.
о v' ' J 0, l + d
Ег=о bi <1, l=0
¿-¡=0 (i+1)2
Но из (11), (12) следует
ГС Abl
Таким образом,
mmL(6,AbA2) = L(6,AbA2) = -^. l l=0
ГСГС
Abl bl
У —;-; ^ mm — > —;-
^21 + d ^0, ¿^21 + d'
l=0 Ег=о bi<1, l=0
Ei=0 (Щ)^
означает, что набор 6 является точкой максимума в задаче (10). Решение этой задачи
равно А1 + А2(52, а решение задачи (8), соответственно, — ^\\ + А2£2.
Итак, мы оценили погрешность оптимального восстановления снизу Е(ВЛ2, К, 5) ^
+ А2$2. Покажем теперь, что на самом деле в этой оценке выполнено равенство.
Рассмотрим метод та, определенный в (6). При А2 = 0 (эквивалентно в = 0 или 5 ^ 1) из (7) следует, что а = (0) и т0(д) = 0. Тогда
эир ||то(д) - /< йир II/) < А1. При А2 > 0, используя (1), имеем
гс N(l,d) п ^ ч2
21 + d
l=0 k=1
^ + + - 1))' 2
l=0 k=1 '
EE
21 + d
Применяя неравенство Коши — Буняковского \(x, y)\ ^ 11xHHУH к векторам
(аы{1 + 1) аы- l\ ( FT ( fki \ fF,
получим
IKW - /III,., « Ef + (4*. - ^у + w
Введем обозначение
1 (а2ы(г + 1)2 , (аы - 1)2
Тогда
Аы = —— ^ + . (13)
21 + d\ л2 Ах 1 ' J
e(Bh2, K, 5, ma)2 = sup ||m(g) - f ||L2(Bd)
/ e Bh2,
||K/-g||L2(§d-1)<ä
l2
rc N (1,d)
< SUp £ £ АиШ^-у^ЧА!/2 ).
/eBh-2, 1=0 V v 1 + 1/ /
22
||K/-gllL2(Sd-1)<5
Равенства (7) эквивалентны неравенствам A^ ^ 1, откуда
rc N (1,d)
I Ло I rii.i —
Z + b
rc j.iy,,u,/ , 2 \
e(Bh2,K,ö,ma)2 < sup V V A2 (to - у^т) + Ai/^ U A2£2 + Ai
/ 6ßh2, 1=0 t=1 V v 1+ 1У /
11к/'' 0 к 1
Таким образом, мы получили, что оценки снизу и сверху для величины Е(ВЛ2, К, 5) совпадают. Отсюда немедленно следует утверждение теоремы
\/л1 + А2£2 = 8ир ||/||ывЛ) < Е{ВН2,К,6) < е(Вк2,К,6,та) < А+А^2. >
/ 6ВЬ2,
Определенный в теореме 1 набор коэффициентов (акг) является фильтром, определяющим значение каждой гармоники в восстановлении функции /. Заметим, что при
5 ^ 1 погрешность оптимального восстановления становится равной а оптимальным оказывается метод то (д) = 0. Покажем, что в зависимости от величины погрешности 5 некоторые гармоники не нуждаются в фильтрации, а другие вовсе можно не учитывать.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда можно положить а кг =0 ПРИ 2ТТз ^ и аы = 1 при < А2.
< Подставляя акг = 0 и акг = 1 в (13), получаем, что условие Акг ^ 1 эквивалентно, соответственно, условиям ^ Ах и 21+с1 ^ А2. >
Приведенное следствие означает, что, начиная с некоторой степени, все гармоники большего порядка не влияют на погрешность восстановления и коэффициент перед ними можно взять равным нулю. Также все гармоники, степень которых не превосходит определенного значения, не нуждаются в фильтрации и коэффициент может быть выбран равным единице. С ростом погрешности измерения 5 число ненулевых коэффициентов в наборе а уменьшается, пока они все не становятся равными нулю при 5 ^ 1. При уменьшении погрешности измерения 5 увеличивается число гармоник, не нуждающихся в фильтрации, а оптимальный метод та переходит в точную формулу восстановления
оо N(г,й) . .
"»1(0) = £ Е (1 + 1)зФ№ ^ V
г=о к=1 Ч|Ж|/
Сказанное проиллюстрировано на рис. 1. На рис. 2 указаны области значений фильтра а, при которых метод та(д) является оптимальным. Видно, для каких I значение акг, к = 1,..., N(1, может быть взято равным 1 или 0.
Решая задачу оптимального восстановления функции f по неточно заданному значению оператора K, мы считали, что информация, которой мы владеем есть функция д £ L2(Sd—1), удовлетворяющая условию ||Kf — д||^2(§'-1) ^ В действительности, мы сразу перешли от функций f и д к рассмотрению их рядов Фурье и далее работали лишь с наборами коэффициентов Фурье {Дг} и {д^}. Предположим теперь, что вместо всего множества {ды} нам известно лишь конечное число первых его элементов. Получим следующую задачу. Пусть для каждой функции f £ Bh2 нам известен набор д £ Rq, q = Y1 ь—1 N(l, d) такой, что
N-1 N (М)
Е Е IKfki — д«12 < ¿2,
г=о fc=i
где
Kfki = | Kf (Z)Yk(Z) dZ.
В качестве методов восстановления рассмотрим отображения m : Rq ^ L2(Bd). Определим погрешность метода
e(Bh2 ,K,5,m)= sup ||т(д) — f Ц^в')
/6Bh2,
EN=-1 ESd) КЛк—ЫЧ«2
и погрешность оптимального восстановления
E (Bh2,K,5)= inf e(Bh2 ,K,5,m).
m: Rq^L2(Bd)
Рис. 2. На рисунке изображена область возможных значений фильтра аы, к = 1,.. ., N(7, й), в зависимости от параметра при 5-2 = 12, й = 2.
Теорема 2. Положим
( \ ( 2 ^ А • п 1 • / ^ п +1 . Уз+1 - У* \
(Хи Уг = И , п. , ,—^ , г = 0,1,..., Зм = 111111 : - ^-
V 2г + d - 2 \ +1 ж5+1 - )
Г Уз+1 - Уз -Г УзХз+1 - Уз+1Х 2 / п^ / П/П
А1 = -, А2 = - при Х3 < О < Ж5+1, 0 ^ в < ЗД, (14)
А1 = А2 = у5лг - ж5лгА1 при 5~2 ^ ж5дг. (15)
Хм+1
Тогда погрешность оптимального восстановления равна
Е{ВН2,К,6) = д/Лх + Л 262.
Методы
N-1 N (М) , ,
та(д)(х) = Е Е + ^ыМЧ' ( А ) , (16)
1=о к=1 V1 и
где а и, определенные равенствами (7), являются оптимальными. < Рассмотрим двойственную задачу
N-1 N (М)
II/1112(14) ^ тах, / е Е Е I/I2 < ¿2- (17)
г=о к=1
Аналогично доказательству теоремы 1, получим оценку снизу
Е(ВЛ2,К,5) ^ йпр ||/|Ь2(Б4).
/ 65^2,
Е;=-1 К/ЫЧ«2
Переходя к квадратам функционала и ограничений, используя (9) и обозначение Ьг = 1/ы|2> перепишем задачу (17) в виде
гс , гс N-1 ,
г=о г=о г=о у у
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
ГС Ь Л „ ^ (1 + 1)2
¿(6, А!, А2) = - А! - А2£2 + Е (А! (I + I)2 + Xм (I) А2 -
г=о (1+1)ч ' у А 'у 21+лу
где xN(1) — характеристическая функция множества {0,..., N — 1}, Ь = (Ьо, Ь1,...). Рассмотрим два случая.
Пусть < $-2 < жз+1, 5 < зд. Выберем А1 и А2 как в (14). Следуя тем же рассуждениям, что и в доказательстве теоремы 1, получим ^ -1ж^+1 + -2, ] ^ N — 1. При ] ^ N, имеем
А Уз+1 - Уз ^ УN+1 . „ - Уз+1 = --—гхШ ~ Уз+1 > --ХШ ~ Уз+1 > 0.
Хз+1 +1
Таким образом, выполнено неравенство Ь(Ь, -1, -2) ^ —-1 — -2Положим
А ¿2ж5+1 - 1 - 1 -Ъ3=х3-, Ъ3+1=х3+1-,
Хз+1 Хз+1 Х
Ь» = 0 при г ^ {5,5 + 1}. Тогда получившийся набор Ь допустим в (18), удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости
и доставляет минимум функции Лагранжа
шло ¿(Ь, А1, А2) = ¿(Ь, А1, А2) = ¿(Ь, А1, А2) = — А1 — А252.
Отсюда (аналогично доказательству теоремы 1) следует, что Ь доставляет максимум в задаче (18), что означает
Е{ВН2,К,5) ^ д/лх + Л262.
Пусть 5 2 ^ . Выберем А1 и А2 как в (15), так что прямая у = А1ж + А2 проходит через точку (х3м,у3м) параллельно прямой у = Тогда при 0 ^ ] ^ вм — 1 имеем
Уо+1 < У'к " ^ + ~ х.„ Уа» ~ ^
^ ' гу _ гу -,-1 1У 1У гу _ гу
^ ^^ — 1 ^ ^^ — 1
(точки (ж^+1,у^+1) лежат под прямой, соединяющей (ж^—1, у^—1) и (ж^)), откуда < Узм - _ (х8м - хш) < у8м - - хш) = \1ХШ + А2.
— 1 ЖN+1
При зд ^ 3 ^ N — 1 выполнено
< —-1--^-+1 + Увк - Хзк---=--
+1 +1
(точки (Ж^+1,у^+1) лежат под прямой, соединяющей (ж^, У^) и (ж^+1,У^+1)), откуда
У3+1 < + ^ДГ+1 _ У*М 0^+1 - Ж5ЛГ) ^ у5лг + - Ж5ЛГ) = А1Ж^+1 + А2.
+1 ЖN+1
Если 3 > N, то
^ - * = (2ЛгЛ-2 " >
Таким образом, выполнено
¿(Ь, А1, А2) ^ — А1 — А252.
Положим А = 0, г ^ {зд — 1, N}, —1 = 52, ЬN = 1 — 52ж5^. Тогда набор Ь допустим в (18), удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости
Кё^Н^-'Ь0
и доставляет минимум функции Лагранжа
шш ¿(Ь, А1, а2) = ¿(Ь, А1, а2) = — А1 — а25
ЬгЛ0
Отсюда Е(ВН2,К,5) ^ ^\г + \282.
Для произвольного 5 рассмотрим метод та, определенный в (16). При -2 = 0 из (7) следует, что а = (0) и то(д) = 0. Тогда
эир Цто(д) - /Н|2(В4) < вир ||/(14) < А1.
/ 6ВЬ2, /
При А2 > 0 имеем
(аы(1 + - /ы)2 , ^ ^ ./^г
n-1 N(1,d) (a (/ + 1)д f )2 ~ N(1'd) f2
+ E E 2i+i
г=о fe=1 «=n fc=1
,2
= A ^ (аи(* + l)(gM ~ + /и(ви ~ I))' A ^
^ ^ 21 + d ^ ^ 21 +d'
1=N —1 k=1 i=N k=1
Аналогично теореме 1 применим неравенство Коши — Буняковского, получим
N —1 N(М) х j, 2 х ^ N(М)
Ы
N — / f2 \ j»v>"y f
K(5)-/iiL(Bd)^E Е ^Ч^-утт) +ЗД + Е Е '
1—П I--1 V + ' ]—Kt I--1
/ + 1/ wk ^ ^ 2/ + d' г=о fe=1 х 7 г=ь fe=1
где Аы определено в (13). Равенства (7) эквивалентны неравенствам Aи ^ 1. Заметим также, что 2N+d ^ и потому ^ Ai при I ^ N . Тогда
e(Bh2,K,^,ma )2 = sup ||т(д) — f HL2(b')
f ,
EN=-1 ENLId) |Kfik—gik|2<52
N—1 N (1,d) f 2 ^ N (1,d)
< sup £ £ Л2(ды — t~t) +E E Ai/fe2i<A252 + Ai.>
fsBh2, T „ v 1 + 17
г=о fe=1 г=о fe=1
¡=0 ^ k=1
EN=-1E N=1 d) кл™^«2
В рассмотренном выше случае мы располагали неточной информацией о конечном наборе первых коэффициентов Фурье функции Kf, причем отличие этой информации от точной мы измеряли в метрике /2. Пусть теперь нам дан набор чисел {¿ы ^ 0 : / = 0,..., N — 1, k = 1,..., N (/, d)}, характеризующий неточность информации для каждого коэффициента ды в отдельности, т. е. для каждой функции f £ Bh2 нам известен набор д £ Rq, q = ^N=—1 N(/, d) такой, что
If — ды| < ¿ы, / = 0,...,N — 1, k = 1,...,N(/,d).
В качестве методов восстановления рассмотрим отображения m : Rq ^ L2 (Bd). Определим погрешность метода
e(Bh2,K,5,m) = sup ^(д) — f Hl2 md)
f eBh2,
и погрешность оптимального восстановления
E (Bh2,K,5)= inf e(Bh2 ,K,5,m).
m:Rq ^L2(Bd)
Теорема 3. Положим
p N(l,d)
p = max < 0 < p < N - 1 : £ £ ¿2i(1 + 1)2 < 1 ^ l=0 k=1 ^
- 1 - (/ +1)2 ~
Л = 2(?ТТ)Т^' Лы = 1ГТТ-А(; + 1)2' < = О....,** = 1,....*М). (19)
при 5ю ^ 1, или
А = 4 Лы=0, I = 0,... ,р, к = 1,..., N(1, д), (20)
а
при 510 > 1.
Тогда погрешность оптимального восстановления равна
E(Bh2 =
Метод
\
p N(l,d)
А + Е Е .
l=0 k=1
p N(l,d)
(9)(*) = E E + (21)
i=o k=1 VN/
где
(23)
mn(Q)(x) = > > аы(1. + ,
.|x|,
akl = ^-Xkl ^ , (22)
А(/ + 1)2 + АЫ'
является оптимальным.
< Рассмотрим двойственную задачу
II/IliaCBd) ^ max, f G Bh2, |K/fci| < l = 0,..., N - 1, k = 1,..., N(1,d).
Имеем оценку снизу
E(Bh2,K,5) ^ sup |f |L2(Bd). f 6Bh2,
Переходя к квадратам функционала и ограничений и используя (9), перепишем задачу (23) в виде
те N(l,d) 2 N(l,d) 2
l—0 k—1 l—0 k—1
l = 0,..., N - 1, k = 1,..., N(1,d). Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
N-1 N (l,d) N-1 N (l,d) . .2 2
l=0 k=1 l=0 k=1 ( ) V
« + 1)'Г + :11 - Я+i
где A = { A, Аю,..., An(i,d)N-1 }•
Пусть 5ю ^ 1, возьмем
Т 1 = +
2{р+1) + (Г \о, 1.
Заметим, что
л {1 + 1)2 {1 + 1)2 >П /<„
Тогда при 1 ^ р
\(1 4- 112 4- Л,., - ■
2/ + с1
При 1 > р
^ (7 I 1\2 (7 I 1\2
Таким образом,
УП1)2 (¿ + 1)2_ (¿+1)2 С + 1)\0 ^ ^ 2/ + с? 2(р+1) + й 2/ + с? "
N-1N(г,^) р N(г,^)
Ь(Ь,^ -А - £ £ Аы52г = -- -ЕЕ Аы52.
г=о к=1 г=о к=1
Положим
/« = ад+1)2.
к0, 1>р +1.
Функция /(ж) = Е^о ЕГЛ'^ ) допустима в (24), так как
гс N(г,^) / 2
г=о к=1 (1 + 1)
Если р < N - 1, то
|/%Н-1|2 , г 2 От.
(р + 2)2
так как в противном случае имели бы ХХ+о 5|г(1 + 1)2 < 1, что противоречит
определению р. Тогда
/ гс N(г,й) \ N-1N(г,й) / . - , ч
а ЕЕ ш2-1 +Е ЕАЧтггтр-^)=0
V г=о к=1 / г=о к=1 у ( ) 7
и
N-1N(г^) р N(г^)
Д/,= -А - Е Е А кг5 2г = -А -ЕЕ Акг52г•
г=о =1 г=о =1
Следовательно,
Е(£^2, К, 5) ^
\
р N0,^)
А + Е Е Акг5!г-
г=о =1
Пусть ¿ю > 1. Положим А = 0,..., 0). Тогда, очевидно,
Функция /(ж) = допустима в (24), удовлетворяет условиям дополняющей нежест-
кости и £(/, А) = откуда следует
Е{ВН2,К,5) ^ У?.
Для произвольного 5 рассмотрим метод та, определенный в (21). При Акг = 0 из (22) следует, что акг = 0. Тогда
эир ||то(д) — /11^) < вир II/
В противном случае, имеем
p N(l,d) / , . ч2 те N(l,d) 2
IKW -/11|2(е') = Е Е <аи('++ Е Е 5ты
21 + d ^ ^ 21 + d
l=0 k=1 l=p+1 k=1
(Ml + !)(№ ~ fe + /и(ам - I))2 f^
^ ^ 2l + d ^ ^ 21 +d'
l=0 k=1 l=p+1 k=1
Аналогично теореме 1 применим неравенство Коши — Буняковского. Получим
p N (l,d) / 2 . те N (l,d) 2
fkl \2 Т j-2 \ , V^ V^ f '
/ —П I--1 V / / —I--1
kl
1 + 1/ Jkl ^ 21 + d'
l=0 k=1 7 l=p+1 k=1
где
л 1 /4(1 +1)2 (аЫ~1)2
Ы 21 + d \ \kl A
Равенства (22) эквивалентны равенствам A^i = 1. Заметим также, что -щ^ ^ А, при 1 ^ p + 1 • Тогда
e(Bh2,K,5,ma)2 = sup ||m(g) - f ||L2(Bd) / 6Bh2,
p N (l,d) / 2 те N (l,d) p N(l,d)
< SUP E E Ц^ - t^y) + E E < E E + A. >
/ l=0 k=1 + l=p+1 k=1 l=0 k=1
Если разложение функции f состоит только из гармоник степени не более N - 1, то при стремлении max ¿ki ^ 0 оптимальный метод ma(g) переходит в точную формулу
N-1 N (l,d) , ,
^i(5) = E E^ + ^N^io V i=0 k=1 V|x|/
Заметим, что величина р определяет, какое количество информации достаточно знать для оптимального восстановления, так как при р < N - 1 мы не используем коэффициенты {дкг}, 1 = Р, • • •, N - 1. Более того, исключение лишней информации и применение фильтра а позволяет существенно улучшить результат восстановления, по сравнению с методом т1(д).
Рис. 4. Слева — результат восстановления оптимальным методом та(д), справа — методом т1(д).
Рассмотрим функцию /(г) = — гармоническую в круге В2, для ко-
торой ||/||ь2 = 1 (рис. 3). Пусть N = 10, т. е. известны ^^=о N(1,2) = 19 первых коэффициентов Фурье функции К/, заданных с погрешностями
(5 г) =
0, 02 0, 01 0, 001 0, 02 0, 01 0, 01 0, 01 0, 2 0, 2 0, 01 0,01 0,001 0,02 0,01 0,01 0,01 0,2 0,2 0,01
В этом случае, р = 6 ив оптимальном методе используются только 13 первых коэффициентов. Результаты восстановления представлены на рис. 4. Из рисунка видно, что оптимальный метод ша(д) восстанавливает функцию / значительно точнее метода т1(д).
Литература
1. Michelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory / Eds. C. A. Michelli, T. J. Rivlin.—New York: Plenum Press, 1977.—P. 1-54.
2. Michelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes in Math. Numerical Anal. Lancaster.—Berlin: Springer-Verlag, 1984.—P. 21-93.
3. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление операторов по неточной информации // Мат. форум. Том 2. Исследования по выпуклому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.—C. 158-192.—(Итоги науки. Южный федеральный округ).
4. Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Мат. заметки.—1972.— Т. 12, № 4.—С. 465-476.
5. Osipenko K. Yu., Stessin M. I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx.—2010.—Vol. 31, № 1.—P. 37-67.
6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН.—М.: МАИК, 2010.—Т. 269.—С. 181-192.
7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функ. анализ и его приложения.—2010.—Т. 44, № 3.—С. 76-79.
8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полиа и восстановление производных по неточной информации // Докл. АН.—2011.—Т. 438, № 3.—С. 300-302.
9. Natterer F. The mathematics of computerized tomography.—Stuttgart: John Wiley & Sons, 1986.— 222 p.
10. Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. Second edition.—New York: SpringerVerlag, 2001.—270 p.
Статья поступила 5 июля 2011 г.
Баграмян Тигран Эммануилович Российский университет дружбы народов, аспирант каф. нелинейного анализа и оптимизации РОССИЯ, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
OPTIMAL RECOVERY OF A HARMONIC FUNCTION FROM INACCURATE INFORMATION ON THE VALUES OF THE RADIAL INTEGRATION OPERATOR
Bagramyan T.
We consider the problem of optimal recovery of a harmonic function in the unit ball from the inaccurate values of the radial integration operator. Information on the values of the operator is given as a function that differs from the exact values in the mean-square metric not more than a fixed error, either in the form of a finite set of Fourier coefficients calculated with a fixed error in the mean square or uniform metric.
Key words: optimal recovery, harmonic function, computerized tomography.
