Оптимальное управление ядерным реактором с учетом случайных возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

Д. С. Кабанов

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЯДЕРНЫМ РЕАКТОРОМ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Рассматривается задача оптимального управления ядерным реактором по неполным данным. Решение основано на принципе разделения с использованием фильтра Калмана и алгоритма оптимального управления по принципу максимума. Приведены результаты численного моделирования, которое позволило установить начальные значения параметров краевой задачи, обеспечивающие сходимость итерационной процедуры при воздействии случайных возмущений.

Ключевые слова: оптимальная фильтрация, управление по принципу максимума, метод Ньютона.

Решение задачи оптимального управления такой сложной системой, как ядерный реактор связано с трудностями, обусловленными необходимостью решения двухточечной краевой задачи. При решении по неполным данным терминальной задачи управления ядерным реактором, модель которого описывает одиночную группу медленных нейтронов [1, 2], требуется увеличить плотность потока нейтронов от исходного состояния до заданного конечного в фиксированный момент времени при минимальных затратах на управление. Использование принципа разделения и классических целевых функционалов позволяет свести алгоритм управления к уравнениям фильтра Калмана и решению двухточечной краевой задачи. Решение этой задачи связано с итерационной процедурой, сходимость которой существенно зависит от выбора начальных значений параметров краевой задачи [1, 3]. В результате применения метода Ньютона для решения этой задачи разработан алгоритм управления и рассмотрены варианты задачи с фиксированным и свободным правым концом [1, 3, 4].

Рассмотрим модель ядерного реактора в виде кинетических уравнений для размножения медленных нейтронов [1]:

х = u, ^+£х; (1)

/ (х, и, 0 = (/1, /2)Т , /1 = /2 = Л п - Хс ,

Т

где х = (п, с) — вектор состояния системы; п — поток нейтронов; с — поток возбужденных радиоактивных ядер; р — реактивность (принимается за управление); Р — доля запаздывающих нейтронов деления по отношению к мгновенным нейтронам деления; Л — эффективное

время жизни нейтронов; X — постоянная распада для возбужденных ядер; £х =[[хп ,0]Т,

£ ж — случайные возмущения типа белого шума с интенсивностью Вхп = ат. Величины Р , Л, X считаются постоянными, а начальные значения переменных п и с заданными. Уравнение наблюдения имеет вид

* = Ох+£ 2, (2)

где г = гп — вектор измерений параметров наблюдаемого процесса; О = (1 0); £ * = £ п —

2

случайный процесс типа белого шума с интенсивностью В* = В2п =огп.

Требуется увеличить поток нейтронов от исходного состояния п(^) до заданного конечного п/ в момент времени 1/- при минимальных затратах на управление.

Задача рассматривалась в двух постановках:

1) с заданным граничным условием n(tf ) = nf при минимизации функционала Лагранжа

tf

I = 0,5 Jyp2dt;

to

2) с целевым функционалом Больца

tf

I = 0,5а

n(tf ) - nf + 0,5 Jyp2 dt,

t0

здесь а, у — заданные коэффициенты.

В соответствии с принципом разделения задаче управления предшествует задача оценивания вектора состояния системы по неполным данным, которые определяются уравнением (2).

Оптимальную оценку вектора х можно вычислить с помощью фильтра Калмана [1, 3], уравнения которого для данной задачи имеют следующий вид:

n=Рлв n+lc+Ru0z"(- zn- n);

• в -2 c=лn-Xc+R2i° zn(zn- n);

R = fxR+RfT - RGTB-zlGR+Bx, Rfo) = R0,

(3)

д/ 2

здесь /х =—; ^(1,1) = 9 о хп; Вх = Вхп ,0); остальные элементы матрицы начальных ко-

дх

вариаций ошибок оценивания принимались равными нулю.

Для решения второй части задачи — выбора оптимального управления по принципу максимума — полагаем, что вектор состояния известен точно и равен вектору оценок состояния, определенному в системе (3). Чтобы вывести уравнения, составляющие алгоритм управления по принципу максимума, запишем гамильтониан задачи

Н(х,и, г) = Рп ^п+Ьсрс ^вп-Ьс)+0,5ур2.

Уравнения для сопряженных переменных р = (рп, Рс ) имеют вид [1—3]

р = дН р-в р в р = дН = р . р . (4)

Рп = -^=-Рп~к--Рс~Г , Рс =- — = - Рп Рс Ь (4)

дп Л Л дс

при граничных условиях Рп (/ ) = а |п(^/ )-п/ (для второго варианта постановки задачи).

дН

Управление определяется из условия-= 0 как

др

р(')=-у-1 Рп 0).

Двухточечную краевую задачу для уравнений (1), (4) при соответствующих граничных условиях решим методом Ньютона. Для этого введем вектор невязок Ф = (Ф1, Ф2) , Ф1 = ) - п/, Ф2 = п(/) - п/, неявным образом зависящий от параметров краевой задачи:

г=(Рп ОоХ Рс (^))Т, здесь п(г/)=Ж/).

г

Значения вектора г вычисляются по следующему рекуррентному соотношению: = г + Аг , Аг = -яФ-1Ф, где матрица частных производных Фг и обратная ей матрица Ф-1

г+1 Ч з ЛЛ' ¿^г задаются выражениями

Ф =

г

"Ф1и Фю ' ; ф-1 =1 Ф2с -Ф1с "

_Ф 2п Ф2с _ г А _-Ф2п Ф1п _

. дФ1 дФ1 дФ2 дФ2

где Ф1п = ^-, Ф1с = , Ф2п = ^-, Ф2с = ^-; А — определитель матрицы Фг .

дрп дрс дрп дрс

Ввиду неявной зависимости вектора Ф от вектора г матрица частных производных Фг находится численно. Скалярный множитель ^ е(0,1] выбирается на каждой итерации исходя из

условия |Ф(гг+1)|<|Ф(гг-)|, |Ф(г)|= ^/ф2 +Ф2 . При достижении требований по точности решения задачи управления |Ф(гг+1)| <8 ( в >0 — заданная малая величина) итерации прекращаются.

Вначале расчет производился для детерминированного случая в целях нахождения таких значений вектора г , при которых обеспечивается устойчивая сходимость итерационной процедуры. Задача решалась при п(^) = 0,5 кВт, с(^) = 32 кВт, р(^) = 0, в = 0,0064, —3 —1

Л = 10 с, Х = 0,1с , при этом требуемые значения следующие: пу = 5 кВт, пу = 0. Для интервала оптимизации ¿у - ¿0 =1 с, шага численного интегрирования по методу Рунге — Кутты

т

Аt = 0,1 с, 8 = 0,1, у = 1000 получены следующие результаты при г = (-0,004; -0,001) : п(^у ) = 5,021 кВт, П^у ) = 0,066 кВт/с (за 3 итерации).

Для второго варианта постановки задачи с целевым функционалом Больца при тех же значениях вектора г и вектора невязок с компонентами Ф1 = рп (¿у)-а[п(^) - пу ],

Ф2 = п(1у) - пу приемлемые результаты были получены при а = 0,000006, в = 0,01:

п(у ) = 5,056 кВт, п^у ) = 0,000028 кВт/с (за 12 итераций).

Решение задачи во втором варианте оказалось менее устойчивым к выбору параметров алгоритма, поэтому для решения задачи при воздействии возмущений £х, £2 был выбран первый вариант постановки. Сравнение полученного решения с результатами применения алгоритма последовательной оптимизации [4] по иерархии целевых функционалов показало [2], что достижение реактором заданной конечной величины п(у) потока нейтронов осуществля-

33 ется посредством управления ртах = 8,86-10 , тогда как в работе [2] ртах = 14-10 . Кроме того,

достигнута более высокая точность конечного значения производной п^у) = 0 (в работе [2]

значение п^у) = 0,5 кВт/с зависит от точности итерационной процедуры подстройки модели

прогнозирования). Преимущество алгоритма, рассмотренного в работе [2], заключается в малом объеме вычислений, что позволяет формировать управление в реальном времени динамики процесса.

Совместное решение задач фильтрации и управления выявило существенный недостаток рассмотренного в настоящей статье решения, обусловленный необходимостью задания параметров двухточечной краевой задачи, достаточно близких к точным значениям. Поэтому при расчете на интервале t е[0; 0,9] с для обеспечения сходимости итерационной процедуры шаг численного моделирования (А^ принимался равным 0,02 с, а в конце расчета при t е( 0,9; 1] с составил Аt = 0,01 с. Вычисления производились при следующих характеристиках случайных процессов (среднеквадратических отклонениях): ахп = 0,1 кВт/с, ап = 0,3 кВт.

Получены следующие результаты: п^у ) = 5,025 кВт, п (¿у ) = 5,01 кВт. Как видно, численное

моделирование подтвердило возможность решения задачи оптимального управления стохастической моделью ядерного реактора по неполным данным с использованием принципа разделения.

Исследования, описанные в настоящей статье, выполнены по гранту Российского фонда фундаментальных исследований, № 09-08-00829.

1. Сейдж Э. П., Уайт Ч. С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

2. Kabanov D., Kabanov S. Application of algorithm of forecasting model to the optimal control of nuclear reactor // Proc. 4th MathMOD, 5—7 Febr., 2003, Vienna. Full Papers CD. Vol. 2. P. 1466—1471.

3. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

4. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дмитрий Сергеевич Кабанов

Сведения об авторе ГНПП „Регион", Москва; инженер; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой

систем обработки информации и управления

БГТУ „ВОЕНМЕХ", Санкт-Петербург

Поступила в редакцию 07.12.07 г.