CC BY
25
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ
УДК 629
Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НОВЫХ КВАТЕРНИОННЫХ ОСКУЛИРУЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ'
Рассматривается задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата (КА) с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической ксплеровской орбите.
Задача о встрече двух КА формулируется как задача оптимального управления движением центра масс управляемого КА с подвижным правым концом траектории и решаегся на основе принципа максимума Пон-трягина.
Для описания ориентации мгновенной орбиты управляемого КА используется новый кватернионный оскулирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты управляемого КА.
1. Постановка задачи. Поставим следующую задачу: требуется построить офапиченное по модулю управление р:
О < р 5 ртах< оо, р = |р|, (1)
переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями [1]
V," = с^"3 - Мг"2 + Р1, г' = VI, с' = гр2,
ф,/ =сг"2 + г(с2 - (Мг)"'с05ф,г(ср1с05ф|1- - (с + Шгс)р2$тф(г), 2(Аог)" = Аог о =П|1| + П212 + ^¡з = (г/с)рз(соз<рег11 + зтф,г12) -- г(с2 - ЛУ1г)' 'совф^ср ] СОБф,, - (с + Шг/с)р28Шф,г)|,,
(ф*У = с*(г*)~2, г* = р*(1 + е*созф*)-', (2)
из заданного начального состояния
1о = 0, г(0) = г°, у,(0) = V,0, с(0) = с0, ф|г(0) = ф1г°, А|ог(0) = (Л/") 0 = 0..3),
Ф*(0) = Ф<Л (3)
в конечное состояние, удовлетворяющее соотношениям
" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундамен тальных исследований (проект 02-01-00988).
r(tk) = r*(tk) = p*/(l + e*cosVk*), v,(tk) = v,*(tk) = (e*c*/p*)sin<pk*,
c(tk)j=c*(tk),
Av = vect(A°'(tk) о А*) = 0 (4)
(здесь Лог = Ло°' - A|0ri| - Л20Г«2 - A3or i3 - кватернион, сопряжённый к Аог), и минимизирующее функционал k
J = J(1 +■ ap2(t))dt, a = const > 0. о
В уравнениях (1) - (4) f - гравитационная постоянная, M — масса притягивающего тела, р - вектор ускорения от тяги реактивного двигателя, V], г, с, (р|г, Аог - фазовые координаты управляемого КА; v,, г, с характеризуют форму и размеры мгновенной орбиты управляемого КА, угловая переменная ф,г характеризует положение управляемого КА на орбите, Лог -кватернионный оскулирующий элемент орбиты управляемого КА, характеризующий ее мгновенную ориентацию, А* = const - кватернион ориентации орбиты неуправляемого КА, величины со звездочками описывают движение неуправляемого КА.
2. Необходимые условия оптимальности. Задачу решаем, используя принцип максимума Понтрягина. Вводим дополнительную перемен-ную g, удовлетворяющую дифференциальному уравнению g = 1 + ар2 и начальному условию g(0) = 0. Вводим сопряженные переменные р, S|, е, Хк> Mjor, Ф* и соответствующие фазовым переменным г, vb с, ф1г> А°г, ф* и переменной g.
Функция Гами.чьтона-Понтрягина имеет вид
Н = фп(1 + ap2) + pv, + S|( c2r"3 - fMr"2 + p,') + erp2 + Xtrcr"2 + + (Xir - (1/2)Nj0r)r(c2 - АИгУ'созф.^ср^озф,, - (с + fMrc '')р2ятф,г) + + (l/2)(N|°r со5ф|Г + N2°r зтф1г)гс "'рз + Ф*с*(р*)"2(1 + е*сояф*)2, (5) где а > 0; N|"r, N2", N30r- компоненты кватерниона
№г = No + N,i, + N2i2 + N3i3 = ЛЛо Mor. Сопряжённая система уравнений имеет вид s,' = - р, р' = F, (si, с, г, х.г, е, р, №г, <ptr), е' = F2 (s,, с, г, х,г> Р- №г, ф1г), Ъ = Рз(с, г, Ъ„ р, №', ф1г), (Ф*) = 2с*е*(р*)'гФ*(1 + e*cosV*)sinV*,
2(М0Г)'= М0Г о Slz*, ilz* = , (6)
Ф«' = 0. (7)
В дальнейшем в силу принципа максимума и уравнения (7) в выражении (5) для функции Н множитель ф0 полагается равным - 1.
Оптимальное управление р°, найденное из условия максимума функции Н, определяемой соотношением (5), по переменной р с учётом ограничения (1) имеет вид
рп° = Pl0i, + р2° i2 + рз° i3 = Р° пп / |п|, (8)
n„ = G| (S|,r, с,е, Xtr, №г, ф1г), где р° при а > 0 определяется соотношениями
0 f(2arV, если (2a)"1H<pmax,
Р = \ . (9)
[Ртах» если (2а) |л|>ртах,
а при a = 0 - соотношением
P° = P,„ax. (Ю)
Условия трансверсальности на правом конце траектории после исключения неопределённых множителей Лагранжа принимают вид: при t = tk
Ao*Mo°r+ A|*Mi°r + Лг*М2°г + Аз*Мз°г =0,
Ф* + ре*р*(1 + e*cos9*)'2sin(p* + Sie*c*(p*)"'c0S(p* = 0,
5Сг = 0. (И)
Таким образом, задача сводится к интегрированию восемнадцати дифференциальных уравнений (2), (6) — (10), относительно переменных г, V|, с, ф, Aj, Mj, (j = 0..3), ф*, р, S), е, х»г, Ф*- При интегрировании уравнений появится восемнадцать произвольных постоянных интефирования, девятнадцатым неизвестным будет время tk. Для определения постоянных и времени tt имеем девятнадцать условий: пятнадцать фаничных условий (3) - (4), три условия трансверсальности (11) и равенство гамильтониана нулю в конечный момент времени, имеющее место для оптимального управления р°.
3. Анализ задачи. Уравнения задачи имеют первые интегралы: ||Л°Г||2 = 1, ||M°f = const, Н (г, v„ с, ф„, Лиг, ф*, р, х.г, М"\ Ф*. р°) - 0, Мото Апг= N* = const, Ф*( 1 + е*созф*)2 = CV= const.
Использование двух последних ингефалов и кватернионной замены переменных №г = А"го Мог позволяет понизить порядок системы на шесть единиц без усложнения правых частей уравнений. Правые части уравнений (6) F|, F2, F3 являются сложными функциями фазовых и сопряжённых переменных. Анализ этих уравнений показал, что при выполнении условия Х,г = (1/2)Ыз°' уравнения и соотношения краевой задачи существенно упрощаются, а порядок системы понижается ещё на единицу. Численное решение задачи показало, что указанное условие для изучаемых параметров задачи выполняется.
Заключение. В статье сформулирована новая краевая задача принципа максимума, к которой сводится задача о встрече двух КА при использовании новой модели орбитального движения КА.
Эта модель позволяет наиболее эффективно рассматривать общую задачу оптимального управления движением КА как композицию двух взаимосвязанных задач: задачи управления формой и размерами орбиты КА и задачи управления ориентацией орбиты КА, поскольку введённый новый кватернионный оскулирующий элемент непосредственно характеризует собой ориентацию мгновенной орбиты КА, в отличие от других, ранее использованных кватернионных переменных.
Получены первые интегралы уравнений краевой задачи, установлено условие, при выполнении которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются.
КИКЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. II // Космические исследования. 2003. Т. 41, № 1. С. 92 - 107
УДК 539.3
К. Г. Бахтин, В. Н. Михайлов
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ РАСЧЁТА КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Рассмотрим упругий призматический стержень, составленный из различных материалов. Пусть постоянное по длине многосвязное поперечное сечение стержня £) образуется из областей 01,02,. .,Ом, соответствующих материалам с различными модулями сдвига С1,С2,...,СЛ1. Обозначим через £>() область, внешнюю к О; через Г0 - внешнюю границу области О; через Гд, к =1,2,...,/ - границы внутренних полостей и через - линии раздела между подобластями О,- и Поместим начало декартовой системы координат (х,у,г) в некоторой произвольной точке торцевого сечения стержня, направив ось г параллельно образующей боковой поверхности стержня. Известно [1], ч то задача расчёта кручения стержней сводится к решению уравнений Пуассона для функций напряжения и¡{х, у) в каждой подобласти Д-
У2и1(х,у)=-2С01 = 1,2,...,М. (1)
На границах между областями О, и О^ должны выполняться условия сопряжения
с, Щ дпу
где--производная по внешней к подобласти £>, нормали. На внешней
границе Г0 и на границах полостей Г4, к = 1,2,...,/ функция напряжений и(х,у) должна удовлетворять граничному условию первого рода
и(х,у)=ск, {х,у)еГк,к = 0,1,...,/. (3)
Постоянные ск не известны (с0 можно положить равной нулю) и находятся из условий
