CC BY
11
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2019 Управление, вычислительная техника и информатика № 46
УДК 658.512
DOI: 10.17223/19988605/46/2
Ю.И. Параев, Т.И. Грекова, К.О. Полуэктова
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ИЗМЕНЕНИИ ОСНОВНОГО КАПИТАЛА И ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ
Рассматривается задача оптимального управления односекторной экономикой при случайном изменении фондовооруженности труда и трудовых ресурсов. В качестве критерия оптимальности выбирается максимум среднего значения непроизводственного потребления на заданном периоде производства. Решение проводится с помощью метода динамического программирования.
Ключевые слова: односекторная экономика; основной капитал; трудовые ресурсы; фондовооруженность труда; непроизводственное потребление; оптимальное управление; динамическое программирование.
Проблема управления односекторной экономикой восходит к [1, 2]. Ей посвящено большое количество работ. В них рассматриваются и решаются разные варианты задач, в том числе и задачи оптимального управления такой экономикой (см., напр.: [3-7]). Естественным продолжением этих исследований является решение задач с учетом каких-либо случайных возмущений, действующих в процессе производства.
Состояние односекторной экономики определяется двумя величинами: основным капиталом и трудовыми ресурсами. Вообще говоря, изменение основного капитала во времени происходит случайным образом из-за таких факторов, как случайный износ основных производственных фондов, приобретение новых фондов, цена на которые зависит от курсов валют, производственная неопределенность, экономическая конъюнктура и т.п. Трудовые ресурсы также могут изменяться случайным образом за счет экономических факторов, а также по демографическим причинам, из-за миграции населения и т.п. В [8] на основании изучения статистических данных приводится определенное обоснование того, что влияние экзогенных случайных факторов на экономическую динамику можно моделировать процессом броуновского движения.
В настоящей работе задача оптимального управления односекторной экономикой при случайном изменении основного капитала и трудовых ресурсов решена в программной форме, получены формулы для моментов переключения управления и получена оценка максимального среднего значения непроизводственного потребления.
1. Постановка задачи
Состояние экономики определяется следующими величинами: K(t) — основной капитал, L(t) — трудовые ресурсы, C(t) — непроизводственное потребление, а также производственной функцией Y(K, L). Значение Y(K, L) есть валовый продукт, произведенный в единицу времени, т.е. Y(K, L)At — валовый продукт, произведенный за время At. Часть этого продукта IAt = uYAt идет на увеличение основного капитала, а часть SAt = (1 — u)YAt — на увеличение непроизводственного потребления C(t). Таким образом, управляющим параметром здесь является коэффициент u, определяющий долю валового продукта, которая идет на увеличение основного капитала. При этом
0 < u < 1. (1)
В результате в детерминированном случае изменение экономики во времени описывается уравнениями [6]
К = и!(К,Г) - ХК(О, К(О) = к0 > О, С = рС + (\-и)У(К,Ь), С(О) = О, (2)
Ь = \Ь,Ь(Ъ)=Ь0,
где X (> 0) - коэффициент амортизации, р (> 0) - норма дисконтирования, V - темп изменения трудовых ресурсов.
Для дальнейшего исследования вводятся переменные: к(г) = К(г)1Ь(г) — фондовооруженность труда, с(1) = С(1)/Ь(1) — непроизводственное потребление, приходящиеся на одного работника, и функция Е(к) = У/Ь — производительность труда. Для этих переменных на основании (2) можно получить уравнения
к = -ук + иР(к),к(Ъ) = к0 с = 5с + (\-и)Р(к), с(0) = 0,
где ц = X + V, 5 = р — V. Далее будем считать, что ц = X + V > 0 и 5 = р — V > 0. Это означает, что если трудовые ресурсы возрастают (V > 0), то темп их роста не может превышать норму дисконтирования р. Если трудовые ресурсы убывают (V < 0), то темп их убывания не может превышать коэффициент амортизации X. Иначе возникают «экзотические» варианты.
Детерминированная задача: в течение заданного конечного планируемого периода производства [0, Т] найти такое управление и(г) с учетом (1) для уравнений (3), при котором величина с(Т) максимальна.
В стохастическом случае односекторная экономика описывается уравнениями К = иУ(К,Ь) - ХК(0 + окК^к (0, К(0) = К0>0,
С = рС + (1 - и)У(К,Ь), С(0) = 0, (4)
Ь = \Ь + = Ь0 >0.
Здесь ^к(0 и — стандартные независимые между собой белые гауссовские шумы, ок и оь— соответствующие коэффициенты волатильности. Такое включение в модель случайных воздействий достаточно традиционно в экономико-математических задачах [8—11].
Из (4) с помощью формулы Ито можно получить уравнения для фондовооруженности к = К/Ь и непроизводственного потребления с = С/Ь:
к = -цк + иР(к)+окк^к(0-о1к^Х к(0) = к0, с = 5с + (1 - и)Р(к) -оьсус,ь (0, с(0) = 0. Здесь ц = X + V + окоь — оь2, 5 = р — V + оь2, ко = Ко/Ьо, Е(к) = У/Ь — производительность труда (валовый продукт на одного работника). Далее предполагается, что ц > 0 и 5 > 0.
Стохастическая задача: в течение заданного интервала времени [0, Т] найти такое управление и(1) с учетом (1) для уравнений (5), при котором среднее значение величины с(Т) максимально.
Далее будет использоваться производственная функция Кобба—Дугласа У(К, Ь) = АКаЬв, где А -масштаб темпа производства (А > 0), а — коэффициент эластичности по основным фондам, в = 1 — а — коэффициент эластичности по трудовым ресурсам (а, в > 0, а + в = 1). Тогда Е(к) = У/Ь = АКа. Предполагается, что переменные К, Ь, С и, следовательно, к и с доступны измерению в каждый момент времени.
2. Решение стохастической задачи
Для решения задачи используем метод динамического программирования. Введем функцию Беллмана s(k, с; г, Т) — среднее значение величины с(Т) при условии, что процесс продолжается на интервале времени [1, Т] с начальными условиями к(г) = к и с(г) = с, и на этом интервале применяется оптимальное управление. Для этой функции можно записать уравнение Беллмана [12]:
ds(k,с;t,T) = max {dsjk,c;t,T)^ — ^ + 8s(kc;t,T)(8с + (1 — u)F(k)) + ф,c)],
8t o<u (t)<i dk 8c ' (6)
s(k, c;T ,T) = c.
Здесь
(7)
, . 1/ 9 9\ 98 s ( k,c;t,T) 9 8 s (k,c;t,T) 1 9 9 8 s (k,c;t,T) q ( k,c ) = -( ai + aL I k -^—--'- + aLkc-^-'- + -aLc-^—--'H f , ' 2 V L> dk2 L 8k8c 2 L 8c2
Это уравнение детерминированное, а c и k — просто аргументы функции. Из его решения получается решение задачи. Уравнение (6) перепишем в виде:
8s(k,c; tT) = max [(dL —dS)uF(k) — ^ * + ^ (& + F(k)) + q(k, c)],
дг о<ы (г)<1 дк до дк до (8)
s(k, е;Т ,Т) = е.
Максимум правой части этого уравнения по и с учетом (1) достигается при
u(t) =
8s 8s 1, если — >—, 8k 8c
8s 8s
unc, если — = —, (9)
8k 8c
8s 8s 0, если —<—.
8k 8c
Здесь Uoc — так называемое особое управление [13,14], которое будет определено ниже. Временной участок, где используется особое управление, называется магистралью.
Можно допустить, что если коэффициенты <k и < малы, то решение стохастической задачи будет близко к решению детерминированной задачи. Последняя задача с помощью принципа максимума Понтрягина подробно решена в [6]. Полученное решение состоит в том, что интервал [0, T] точками t1 и t2 (0 < t1 < t2 < T) разбивается на три интервала: [0, t1], [t1, t2] и [t2, Т]. Интервал [0, t1] соответствует выходу на магистраль, интервал [t1, t2] — магистрали (если она существует), интервал [t2, Т] — заключительному этапу (сходу с магистрали). На магистрали k = koc = const, причем
kl— =ТГ , иос =~ЕГ. (10)
о+ц F
Далее рассматривается основной вариант, когда k(0) < koc и на интервале [0, t1] u = 1. На заключительном интервале [t2, Т] u = 0. При этом предполагается, что период производства [0, Т] достаточно велик. Таким образом, структура оптимального управления имеет вид:
1 при 0 < t < t1, u(t) = \unc при t1 < t < t2, (11)
0 при t2 < t < Т.
Фактически получается, что решение детерминированной задачи сводится к нахождению значений t1 и t2. Можно предположить, что в стохастическом случае при достаточно малых коэффициентах <k и < решение будет близко к решению детерминированной задачи, т.е. структура оптимального управления имеет вид (11). Таким образом, решение стохастической задачи также сводится к нахождению значений t1 и t2.
Решение уравнения (8) начнем с правого конца. Обозначим через S1(k, c; t, T), S2(k, c; t, T), S3(k, c; t, T) функции Беллмана, если момент t относится к интервалам [0, t1], [t1, t2], [t2, Т] соответственно. Обозначим также ki = k(ti) и ci = c(ti), i = 1, 2.
3. Сход с магистрали
На интервале [¿2, Т] и = 0. Поэтому уравнение (8) принимает вид: дзъ(к, е;г,Т) дзъ(к, е;г ,Т) дзъ(к, е;г ,Т)
--^-- = -- +-- (§е + Р (к)) + ч(к , о),
дг дк до (12)
з3(к, е;Т ,Т )=е.
Пользуясь методом разделения переменных, его решение будем искать в виде:
зъ(к, е;г,Т) = евКТч) + Е(к)щ(г,Т), (13)
где Т) — искомая функция, причем такая, что м>з(Т, Т) = 0. Подставляя (13) в (7) и (12) и сокращая подобные слагаемые, получаем
2 2
где а = (оК + аь )/2. Учитывая, что
Р(к) = Лка, Р(к) = аЛка'1 = аР(к)/к, Р" (к) = а(а — 1)Лка—2 = —арр(к)/к2, из последнего получаем
-Е{к)м>з (г, Т) = -щ)]<(кЩ (г, Т) - аРо^(А>3 (г, Т) + .
Сократив здесь на Р(к), приходим к уравнению
-й, Ц,Т) = -О^з Ц,Т) + е8(г"°, м?^ (Т,Т) = 0, где 9 = ца + аРа. Параметр о можно назвать обобщенным коэффициентом волатильности. Решение последнего уравнения примет вид:
е 5(Т—г) — р-9(Т—)
-^-. (14)
5 + 9
4. Магистраль
На магистрали уравнение (8) принимает вид:
8s2(k,c;t,T> =—^k (5c + F(k)) + q(k,c). (15)
дг дк до
Согласно (4) на интервале [¿1, ¿2] должно выполняться условие
дз2(к,е;г,Т) _ дз2(к,е;г,Т) дк дс
Решение уравнения (15) будем искать в виде:
(16)
s2(k, c;t,T) = (c+H(k))e5T—t) + B, (17)
где Н(к) — искомая функция, В — какая-то константа. Подставляя (17) в (7) и (15), сокращая на eS(^T-t'> и приводя подобные члены, получаем
—5H(k) = — ЦН '(k)+F (k) + ak2H "(k). (18)
Из (16) и (17) видно, что для выполнения условия (16) необходимо, чтобы Н' (k) = 1. Если последнее выполняется, то и Н' '(k) = 0. Поэтому из (18) следует
Н (k) = . (19)
5
К выражению (19) еще раз применим условие Н' = 1. Получаем
н (k) = aAk a—1—Ц = 1. 5
Отсюда следует выражение (10) для k = koc. Поскольку на интервале [t1, t2] koc = const, то из (3) при <k = <l = 0 следует выражение (10) для uoc.
Константа В в (17) определяется из условия ,?2(к2, с2; t2, Т) = ,^3(к2, с2; t2, Т). Это следует из принципа оптимальности Беллмана. Подставляя сюда (13) и (17), получаем
В = Р (к2)м>3(12,Г)—Н(к2)еЪ{Т}.
Подставляя это выражение в (17), получаем окончательно с учетом (14)
s2(k;t,T) = (с + Н(к))е5(Т—° + З(к2) — Щк^е^^2} — О^е^^2}, (20)
где
Р (к)
Q (k )=
8 + 0
Заметим, что в этом выражении t < t2 и к2 = кос.
Поскольку последнее выражение зависит от параметра t2, то естественно выбрать его так, чтобы достигался максимум. Вычислим первую производную и приравняем ее к нулю:
-J2 = -8(Q(k2 ) - H (k2 ))e
8(T-t2)
-0Q(k2 )e
-0(Т-t2) _
= 0.
Отсюда получаем
o-(8+0)(r-t2 )J(H (k2) - Q(k2))
" 0Q(k2)
0Q(k2)
T - и = r = -
8 + 0
-ln
8(H (k2) - Q(k2))
(21)
(22)
Таким образом, длина интервала [^2, Т] равна значению Г3. Анализ второй производной функции ,^2(к, с; t2, Т) показывает, что при условии (21) она всегда отрицательна и, следовательно, эта функция имеет максимум. Подставляя (21) в (20), получаем окончательно
S2(k -АТ) = (с + Н (к ))е5^Т ^ + е5(~т —2} (З^) — Н (к2)).
о
и
5. Выход на магистраль
На интервале [0, и = 1. Поэтому согласно (2) непроизводственное потребление С(() = 0. Следовательно, с{() = 0 и ^(к, с; t, Ь) = 0. Согласно принципу оптимальности имеем
(к, с^,Т) = s1(k, с;?, ?!) + S2 (k1, ) = S2 (k1), ).
Здесь к1 = кос и с1 = 0. На интервале [0, уравнение (6) имеет вид:
&1(к,С;^С;— цк) + 5с ^С;^Т) + д(к,с),
dt dk до
sx(k, о;Т ,T ) = s2(k, о;Т ,T).
Поскольку S1(k, с; t, t\) = const, то слагаемым q(k, c) можно пренебречь. В результате получаем уравнение в частных производных первого порядка, которое можно решать методом характеристик [15]. Соответствующие характеристические уравнения имеют вид:
k = -\xk + F(k), кф) = к0, с = 5с, с(0) = 0.
Отсюда следует, что c(t) = 0, а решение первого уравнения имеет вид:
kв(t) = A (1 - e~m-t»)) + k0pe-^(t-t°).
Это решение получается в результате подстановки: k(t) = exp{y(t) + z(t)}, где y(t) и z(t) - произвольные функции.
Момент t1 определяется из условия k(t\) = кос или
A
(1 - е-+ kß е-= kl.
Отсюда
1 ,
t, =—ln
1 Hß
A -
A - A
(23)
Если обозначить через г\, Г2 и гз длины интервалов [0, [tl, t2] и ^2, Т] соответственно (г1 + Г2 + гз = Т), то Г1 = tl определяется из (23), гз определяется из (22) и Г2 = Т — г\ — гз. Отсюда, в частности, необходимо для существования рассматриваемого решения, чтобы Т > г\ + гз. Полученное решение относится к случаю, когда к(0) < кос. Аналогично можно рассмотреть вариант, когда к(0) > кос. Соответствующее решение приводить не будем. Отметим только, что в этом случае на интервале [0, tl] и = 0.
Ц
Заключение
В данной работе решена задача оптимального управления односекторной экономикой при случайном изменении основного капитала и трудовых ресурсов. Получено управление в программной форме (4).
Проведен анализ влияния случайных составляющих, из которого следует, что случайные составляющие влияют только на длину интервала [fe, Т], определяемую в (22). Из данной формулы видно, что эта длина убывает до нуля с ростом обобщенного коэффициента волатильности о.
Максимальное среднее значение непроизводственного потребления на интервале [0,Т] составляет
s(k0,0;0,T) = s2(k,0;txJ) = H(k)e5(T+ e5(T^ ^(Q(k2) -H(k2)),
где k\ = кг = koc. При увеличении параметра о это значение убывает. Это объясняется тем, что при увеличении о уменьшается интервал [¿2, Т и увеличивается интервал [ti, fe], где прирост непроизводственного потребления меньше, чем на интервале [¿2, Т (uoc <1). При этом нижняя граница равна
lim s(k0,0;0,T) = H(k1)e5(T-tl).
ЛИТЕРАТУРА
1. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту // Математическая экономика. М. : Мир, 1974. C. 7-45.
2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М. : Наука, 1984. 296 с.
3. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей в случае производственной функции общего вида //
Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 326-327.
4. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом потребления
работодателей // Автоматика и телемеханика. 2008. № 9. С. 140-155.
5. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Принцип магистрали в задаче управления односекторной экономикой при наличии ограниче-
ний на накопление и потребление // Вестник Томского государственного унитверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 2 (7). С. 5-23.
6. Параев Ю.И., Грекова Т.И., Данилюк Е.Ю. Аналитическое решение задачи оптимального управления односекторной эко-
номикой на конечном интервале времени // Вестник Томского государственного унитверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 4 (17). С. 5-15.
7. Анисимов А.В., Григоренко Н.Л., Лукьянова Л.Н. Задача оптимального управления для односекторной модели экономиче-
ского роста со смешанными ограничениями // Прикладная математика и информатика : труды факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. М. : МАКС Пресс, 2013. Т. 44. C. 5-21.
8. Соловьев В.И. Стохастические методы в экономике и финансах. М. : ГУУ, 2000. 154 с.
9. Merton R.C. Life time portfolio selection underuncertainity: the continuous time case // Review of Economics and Statistics. 1969.
V. 51, No. 3. P. 247-257.
10. Merton R.C. An asymptotic theory of growth under uncertainty // Review of Economic Stuies. 1975. V. 42, No. 3. P. 375-393.
11. Merton R.C., Samuelson P.A. Continuous-time finance. Cambridge, MA : Basil Blackwell, 1990. 700 p.
12. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М. : Сов. радио, 1976. 184 с.
13. Параев Ю.И. Об особом управлении в оптимальных процессах, линейных относительно управляющих воздействий // Автоматика и телемеханика. 1962. № 9. С. 1202-1209.
14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М., 1973. 256 с.
15. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М. : ГИФМЛ. 1966. 260 с.
Поступила в редакцию 24 апреля 2018 г.
Paraev Ju.I., Grekova T.I., Poluektova K.O. (2019) OPTIMAL CONTROL OF ONE-SECTOR ECONOMY UNDER RANDOM VARIATION OF FIXED CAPITAL AND LABOR RESOURCES. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Jounal of Control and Computer Science]. 46. pp. 12-19
DOI: 10.17223/19988605/46/2
The problem of optimal control of one-sector economy under random variation of fixed capital and labor resources is considered. The state of the economy is characterized by such variables: the fixed capital ^(t), the labor resources L(t), the non-productive con-
sumption C(t), and also the production function Y{K, L). In a stochastic case change of these sizes is described by the equations
K = uY(K,L) - XK(t) + oKKl,K{t), K{ 0) = K0>0,
C = pC + (1 - u)Y(K,L), C(0) = 0, (1)
L = vL + cr£i^(0,i(0) = ¿o > 0,
where X (> 0) is the depreciation rate, p (> 0) is the discount rate, S^t) and ^t(t) denote the standard independent white Gaussian noises, <k and <l are the coefficients of volatility correspondingly. Here u is the control parameter defining the share of the product produced, which is used to increase in fixed capital. Then size 1 - u defines part of a product which goes on increase in non-productive consumption. It is obvious that 0 < u < 1.
For research variables are entered: k(t) = K(t)/L(t) is the capital-labor ratio and c(t) = C(t)/L(t) - the non-productive consumption falling on one worker. For these variables on the basis of Ito's formula from (1) the equations turn out
k = -y.k+uF(k) + oKk^K(t)-aLk^L(t), k(0) = k0, c = 5c + (1 -u)F{k)-aLc^L(f), c(0) = 0. Here | = X + v + <k<l - <l2, 8 = p - v + <l2, ko = K0/L0, F(k) = Y(K, L)/L is the labor productivity (a gross product on one worker). Further it is supposed that | > 0 and 8 > 0. In this study the production function of Kobb-Douglas is considered, that is Y(K, L) = AKaLp, where A denotes the scale of rate of production (A > 0), a is the elasticity coefficient on fixed capital, p is the elasticity coefficient on labor resources. From here F(k) = Aka. It is supposed that the planned period of production [0,7] is given and rather great.
The task consists in finding on the time interval [0, 7] for system (2) of such control u(t) satisfying the condition 0 < u < 1 at which the average value of c(7) is maximum. This problem is solved by making use of a method of dynamic programming. Bellman's function s(k,c;t,7) is considered, which is an average value of c(7) provided that the process proceeds on the interval [t, 7] with initial conditions k(t) = k and c(t) = c. The solution of a task we obtain by solving Bellman's equation.
This solution consists in the fact that the interval [0, 7] by the points ti and t2 (0 < ti < t2 < 7) is divided into three intervals: [0, ti], [ti, t2], and [t2, 7]. The interval [0, ti] corresponds to the output to the highway, the interval [ti, t2] - to the highway (if it exists), the interval [t2, 7] - to the final stage (to a descent from the highway). The highway is the time site, where special control uoc is used. On the highway k = koc = const, and
,!-a = h = ykoc
kOC s , Uae
5 + | F {koc )
If k(0) < koc, then u = i on the interval [0, ti] and u = 0 on the interval [t2, 7]. As a result, it turns out that the control structure is determined by values of ti and fe. The moment ti depends only on the initial condition k(0) and doesn't depend on a stochastic component. The moment fe doesn't depend on the initial condition, but depends on the volatility coefficients <k and <l. Thus with growth of these coefficients the interval length [t2, 7] and average value of non-productive consumption decrease.
Keywords: the one-sector economy; fixed capital; labor resources; non-productive consumption; optimal control; dynamic programming.
PARAEV Jury Ivanovich (Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Russian Federation). E-mail: [email protected]
GREKOVA 7atiana Ivanovna (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, National Research Tomsk State University, Russian Federation). E-mail: [email protected]
POLUEK7OVA Kseniya Olegovna (Post-graduate student, National Research Tomsk State University, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Arrow, K. (1974) Primenenie teorii upravleniya k ekonomicheskomu rostu [Application of control theory to economic growth].
In: Mityagin, B.S. (ed.)Matematicheskaya ekonomika [Mathematical Economics]. Moscow: Mir. pp. 7-45.
2. Ashmanov, S.A. (1984) Vvedenie v matematicheskuyu ekonomiku [Introduction to mathematical economy]. Moscow: Nauka.
3. Demin, N.S. & Kuleschova, E.V. (2004) Maksimizatsiya potrebleniya rabotodateley v sluchae proizvodstvennoy funktsii obshchego
vida [Maximizing consumption of employers in case of production function of a general view]. Obozrenieprikladnoy ipromisch-lennoy matematiki. 11(2). pp. 326-327.
4. Demin, N.S. & Kuleschova, E.V. (2008) Control of single-sector economy over a finite time interval with allowance for employer
consumption. Automation and Remote Control. 9. pp. 140-155. DOI: 10.1134/S0005117908090117.
5. Demin, N.S. & Kuleschova, E.V. (2009) Turnpike principle in a problem of management onesectoreconomy in the presence of
restrictions on saving and consumption. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo unitversiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(7). (In Russian).
6. Paraev, Yu.I., Grekova, T.I. & Danilyuk, E.Yu. (2011) The analytical decision of a problem of optimumcontrol one-sector economy
on a final interval of time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo unitversiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 4(17) (In Russian).
7. Anisimov, A.V., Grigorenko, N.L. & Lukyanova, L.N. (2013) Zadacha optimal'nogo upravleniya dlya odnosektornoy modeli
ekonomicheskogo rosta so smeshannymi ogranicheniyami [Problem of optimum control for one-sector model of economic growth with the mixed restrictions]. In: Kostomarov, D.P. & Dmitriev, V.I. (eds) Prikladnaya matematika i informatika [Applied Mathematics and Computer Science]. Vol. 44. Moscow: Maks Press. pp. 5-21.
8. Solovyev, V.I. (2000) Stokhasticheskie metody v ekonomike ifinansakh [Stochastic Methods in Economics and Finance]. Moscow:
State University of Management.
9. Merton, R.C. (1969) Life time portfolio selection underuncertainity: the continuous time case. Review of Economics and Statistics.
51(3). pp. 247-257. DOI: 10.2307/1926560
10. Merton, R.C. (1975) An asymptotic theory of growth under uncertainty. Review of Economic Studies. 42(3). pp. 375-393.
11. Merton, R.C. & Samuelson, P.A. (1999) Continuous-time finance. Cambridge, MA: Basil Blackwell.
12. Paraev, Yu.I. (1976) Vvedenie v statisticheskuyu dinamiku protsessov upravleniya i fil'tratsii [Introduction to statistical dynamics of control processes and filtrations]. Moscow: Sovetskoe Radio.
13. Paraev, Yu.I. (1962) Ob osobom upravlenii v optimal'nykh protsessakh, lineynykh otnositel'no upravlyayushchikh vozdeystviy [On special control in optimum processes linear in relation to control actions]. Avtomatika i telemehanika. 9. pp. 1202-1209.
14. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (1973) Osobye optimal'nye upravleniya [Special optimal controls]. Moscow: Librokom.
15. Kamke, E. (1961) Spravochnikpo differentsial'nym uravneniyam v chastnykhproizvodnykh pervogoporyadka [A reference-book on the ordinary differential equations]. Moscow: GIFML.
