CC BY
28
Оптимальное управление экономикой предприятия с помощью
двухсекторной модели Optimal management of enterprise economy by means of twosectoral model
Слиденко Александр Михайлович Slidenko Alexandr Mikhailovich
Кандидат физико-математических наук, доцент Воронежский ГАУ имени императора Петра I e-mail: [email protected] Агапова Елена Анатольевна Agapova Elena Anatolievna Кандидат экономических наук, доцент Воронежский ГАУ имени императора Петра I e-mail:[email protected]
Формулируется задача оптимального управления сельскохозяйственным предприятием с помощью двухсекторной модели. Производственная функция первого сектора содержит управляющий параметр. Для поиска условного минимума интегрального функционала составлен расширенный функционал. Метод поиска решения краевой задачи состоит в выборе таких начальных значений функций Лагранжа, при которых будут достигнуты заданные значения основных показателей в конечный момент времени. Задача решается методом разностного градиентного спуска.
The task of optimal management is formulated by anagricultural enterprise by means of twosectoral model.The productive function of the first sector contains a managing parameter. For search of а conditional minimum of integral functional the extended functional is composed. The method for finding the solution of the boundary value problem consists of choice of such initial values of Lagrange function at which the set values of basic indexes will be attained in final moment of time. The task is solved by the method of the different gradient incline.
Ключевые слова: двухсекторная модель экономики; производственная функция; оптимальное управление; расширенный функционал; целевая функция; разностный градиент
Keywords: two-sector model of economics; productive function;
optimal management; extended functional; objective function; different gradient.
1. Введение
В работах Колемаева В.А., Охорзина В.А. и других авторов [1-5] изучаются методы управления экономическими системами с помощью секторных моделей экономики. В этих моделях в качестве производственных функций в основном используются неоклассические функции типа Кобба-Дугласа. Как правило, такие модели успешно описывают большие экономические системы. Необходимо отметить, что оценка параметров производственных функций является отдельной задачей и ее сложность заключается в отсутствии достаточного объема статистических данных, если речь идет о сельскохозяйственных предприятиях. Если получены статистические оценки основных параметров производственных функций на основе данных наблюдений для предприятий однородной структуры, то можно формулировать задачи оптимального управления с помощью математических моделей.
В работах [3,4] изучались различные способы управления путем оптимального распределения ресурсов по секторам. Выделим некоторые из этих способов:
а) выбор распределения труда и инвестиций на обновление основных фондов по секторам для обеспечения заданной траектории роста предметов потребления или основных фондов секторов;
б) в трехсекторной модели экономики с помощью распределения труда и инвестиций обеспечивается пропорциональное распределение продукции
материального сектора, что дает возможность формулировать задачи оптимального роста.
Перечисленные задачи решались с помощью разностных аналогов методов градиентного спуска.
В [2, 5] рассматривались примеры оптимального управления односекторной и двухсекторной моделями экономики с помощью изменения объема трудовых ресурсов.
В предложенной работе на примере сельскохозяйственного предприятия, представленного двухсекторной моделью, изучается аналогичный подход оптимального управления с помощью непрерывного изменения основных ресурсов (время предполагается непрерывным) при заданном их распределении по секторам. Такая постановка задачи позволяет применить методы вариационного исчисления (необходимое условие существования экстремума интегрального функционала при заданной системе ограничений). При такой постановке задачи ее решение (приближенное) находится численным методом в сочетании с методом разностного градиентного спуска.
2. Двухсекторная модель экономики сельскохозяйственного предприятия
В работе [3] построена двухсекторная модель экономики для сельскохозяйственного предприятия. Приведем коротко описание этой модели, следуя [3].
Условно предприятие делится на два сектора:
1) Технический сектор (денежные средства, техника, посевной материал, средства защиты растений и т.д.). В этот сектор происходит первоначальное поступление денежных ресурсов и формирование основных фондов предприятия. Этот сектор осуществляет воспроизводство за счет собственных ресурсов.
2) Земельный сектор (сельскохозяйственные угодья). Перед началом каждого сельскохозяйственного сезона обеспечивается воспроизводство данного сектора, то есть восстановление утраченного плодородия земли за счет
внесения удобрений, проведения сельскохозяйственных работ. Для этих целей привлекаются денежные и материальные ресурсы из первого сектора. В дальнейшем за счет земельного фонда осуществляется производство продукции. Схема функционирования экономики предприятия представлена на рис.1.
Рис.1. Схема функционирования экономики предприятия
Производственные функции секторов рассматривались в виде
А (ки А, к 2 )=АК1 ь?2 к?, Г2 (к2, ь2 )=^ к?ь?.
Предполагаемое распределение инвестиций и трудовых ресурсов по секторам:
Ь т Ь Ье
ь=А + /=/!+/2, е=Ь2=Т7е> Ь = те>
8=/ч А , /1 =/8
V 2 1 + 8
1 + 8
Хх = ахХ\ + Д + /2 + С , / = (1 - ах )Хх — С = (Хх - сг2Хх = аХх
С = ст2 Х1 , ( = <Ух — (Г2 •
(1)
Уравнения Солоу относительно основных фондов секторов имеют вид:
аК1(г Я—
аг и/ 11 + 8
(1 - «1 Цк (г)
«1
1 + £
>)«2 К (г)«3 - С -ИК (г)
(2)
а*2 й=г 1
аг 2У)
1 + 8
(1 - «1 )ЛК (г)
«1
1 + £
«2
Ь(г)«2 К2 (г)«3 - С -ъК (г).
(3)
В уравнениях (2,3) приняты следующие обозначения: х1 - объем выпуска первого сектора (стоимость валовой продукции); х2 - объем продукции, выпускаемой вторым сектором (средства труда для первого сектора); к -основные фонды первого сектора (автопарк, семена, удобрения, средства защиты растений); К - основные фонды второго сектора (земельные фонды); ьх - количество занятых в первом секторе; ь2 - количество занятых во втором секторе; 1Х - количество инвестиций в первый сектор; /2 - количество
инвестиций во второй сектор; «1 - коэффициент прямых затрат для первого сектора (доля основных фондов, которая используется при следующем цикле производства); «2 - коэффициент прямых затрат для второго сектора; С -прибыль предприятия.
В качестве примера рассматривались предприятия Воронежской и Белгородской областей. В таблице 1 приводятся данные о работе предприятий за период 2006-2008 гг. Подробное название предприятий представлено в работе [3].
В представленной работе использовались статистические данные (таблица 1). По сравнению с данными в [3] изменены единицы измерения величин. С помощью новых единиц измерения значения величин приводятся в основном к числам одного порядка.
£
£
Таблица 1 - Показатели работы предприятий за 2006-2008 гг.
« к н « к а с « и Стоимость основных фондов, млн. руб. Площадь с/х угодий, 1ед=100 га Трудовые ресурсы, чел. Стоимость валовой продукции, млн. руб.
а К 2006 2007 2008 2006-2008 2006-2008 2006 2007 2008
1 28,265 35,100 50,367 52,47 81 53,703 73,710 55,404
2 22,426 32,584 46,855 47,70 154 71,764 81,460 93,710
3 49,796 63,903 85,226 138,78 242 154,368 204,490 196,020
4 9,826 18,581 30,030 28,37 65 33,410 53,885 60,060
5 6,019 25,122 62,470 48,59 79 42,739 75,366 81,212
6 4,684 17,406 33,101 63,46 161 67,459 120,106 165,508
7 1,623 4,636 15,363 38,55 54 26,298 45,900 52,236
8 3,866 16,359 41,533 41,35 160 46,400 80,160 99,680
Для оценки значений параметров производственной функции применяется метод наименьших квадратов. Приведем коротко этот метод [6,7]. Объем выпуска продукции первого сектора определяется формулой
X! = АхКха1 Ца2 К2а3. Логарифмируя обе части равенства, получают:
1п Х1 = 1п А1 + а! 1п К1 + а21п ¿1 + аз 1п К2. Вводятся обозначения:
У = 1п X, Ь0 = 1п А1, ^ = 1п К, г2 = 1п Ц, ь = 1п К.
В результате получают линейную зависимость:
У = Ьо + а1 г! + а2 ¿2 + аз гз. Метод наименьших квадратов заключается в нахождении таких значений
т
Ьо,а1,а2,аз, при которых функция и(Ь0,а1,а2,а3) = ^(ук ~Ук) принимает
к=1
наименьшее значение. Система МНК находится из условий:
ди ди ди ди
— = 0, -= 0, -= 0,-= 0 и имеет вид:
дЬ0 да1 да2 да3
Ь0 т т + «1X 1=1 тт + «2 X ¿2/ +«3 X ¿3/ /=1 /=1 т /=1
т Ь0 X /=1 < т + «1 X 2 /=1 тт + «2 X ^ ' +«3 X ¿3/ /=1 /=1 II //М т
т Ь0 X г2/ /=1 т +«1 X ¿и /=1 тт ¿2/ +«2 X ^2 +«3 X ¿3/ /=1 /=1 • ¿2/ и
т Ь0 X „ /=1 т +«1 X /=1 тт ¿3/ +«2 X ' 73г +«3 X /=1 /=1 2 ¿3/ и ¿3/
В системе МаШсаё этот метод реализован в матричной форме. Функциональная схема программы приведена на рисунке 2.
Рис. 2. Функциональная схема программы Результаты расчетов (оценки основных параметров) приведены в таблице 2 (отличие от данных работы [3] связано с принятыми единицами измерения).
Таблица 2. Оценки параметров производственной функции
А1 1,34
а1 0,209
а2 0,361
о а3 0,409
С доверительной вероятностью у = 0,9 найдены доверительные интервалы для параметров производственной функции: 0,66 < А <2,74 0,13 < « < 0,29 0,11 < «2 < 0,612 , 0,18 < «3 < 0,63 .
Важно отметить, что основные ресурсы принимали значения: Ь=54-242 (чел), К=1,6 - 85 млн. руб. Площадь с/х угодий 2800 - 13800 га; Стоимость валовой продукции 26 -210 млн. руб. Следует отметить, что параметры производственной функции второго сектора приняты по данным работы [4], так как в рассмотренной модели эта функция играет второстепенную роль.
Так как ресурсы предприятия ограничены, то необходимо провести оценочный расчет мощности предприятия.
Результаты оценочных расчетов приведены на рис.3, 4.
Рис.3. Оценка нижней мощности предприятия. Исходные данные: ь(о) = Ь0 = 50 (чел); К (о) = К10 = 2 (ден.ед.); К 2 (о) = К 2() = 5 (ден.ед.).
260 234 208 182 156 130 104 78 52 26 0
_
Я -
К
К2
_ я^ — ^
{
0.8 1.6 2.4 3.2 4
Рис.4. Оценка верхней мощности предприятия. Исходные данные: 1(0) = Ьо = 250 (чел); К(о) = Кш = 80 (ден. ед.); Кг(о) = Км = 5 (ден. ед.)
3.Постановка задач оптимального управления
Затраты на общие трудовые ресурсы определяются по формуле [2]
V (¿И L0 )1
dt
Возможны различные постановки задач управления.
Задача 1. Найти такое управление l = L(t), при котором за период времени [о, T] объем производства первого сектора Xx (t) вырастет от значения X10 = Xx (о) до значения Xх = Xх (T). Причем затраты на трудовые ресурсы (4) будут минимальными.
Величина Xx (t) определяется формулой
\а2
X (t ) = A1K«1 L«2 K«3 = A11
1 + £
K«j l«2 K«3
(5)
Здесь к (г), К (г), ь(г) - решение системы (1)-(3) при краевых условиях
К(0) = к^ к2(0) = X(т) = х.
Задача 2. Найти такое управление ь = ь(г), при котором за период времени [0, Т] основные фонды первого сектора кх (г) вырастут от значения
К10 = К (0) до значения К = Кх (Т), а основные фонды второго сектора к2 (г) вырастут от значения К20 = К2 (0) до значения К2 = К2(Т). Причем затраты на трудовые ресурсы (4) будут минимальными.
Сформулированы задачи на условный экстремум функционала (4). Решение задач будем искать методом множителей Лагранжа [1].
Составим расширенный функционал, для чего введем функцию
F * It, L(t), Kj (t), K2 (t), A (t )Л (t),
dK1 dK2 ^ dt ' dt
= [L(t )]2 +A (t)
dK1 (t) S
dt
1 + S
oAK (t)
21
£
1 + £
22
L(t)22 K2 (t)«3 +MK (t)
+
+
A (t)
dK2 (t) 1
dt
1+ S
0A1K1 (t)
«1
£
1 + £
22
L(t)«2 K2 (t)«3 +M2K2 (t)
(6)
0
Тогда получаем интегральный функционал
9
с (
V* [ь] = } Е* к 4), К (г), К2 (г), л (г), ¿2 (г)
йК2 Л
бх " Ж
ж
(7)
Здесь л ^) и Л2 ) - функции Лагранжа.
Находим частные производные и составляем систему уравнений Эйлера.
дЕ * = 2Ь(' )Л )Л1 6
дЬ
1 + 6
)
«1
«2 ^ £ Л «2 Ь')«2 -1 К2 (')«3
1 + £
У
-л('Мт^т К^')«1 1 + 6
' £ «
1 + £
«2 Ь(')«2-1 К2 (')«3
дЕ
дЬ
- = 0,
дЕ
дК1
—Л ('И
6
= Л1 (')--аЛ1а1К1(')
«1—1
1 + 6
/ \«2 ( £
У 1 + £
Ь(')«2 К2 (')«3 +^1
1 + 6
«К (')
«1—1
( £ « ч 1 + £
Ь(')«2 К 2 ('«
дЕ
дК,
= Л ('),
К=ц— ^и«
/ \«2 ' £ ^ 2
1 + £
ь(')«2 «3К2 (')
«3 —1
+
+ Л(') —^Л1К1 ('«
/ л«2
1 + £
Ь(')«2«зК 2 (')«3 —1 +^2
Л дЕ*
дК
= Л ('),
дЕ Ж
дЛ1 &
= &К1(/ )—
6
1 + 6
к)
/ „ л«2
«1
1 + £
ь(0«2 К2 (0« (О, дЕ- = 0
дЛ
= &К2 (, )—(-!-'
дЛ2 Ж У1 + 6,
(1—«1 Ик^)
«1
^ „ Л «2
Л
ЬО)«2 К2(/« +^2К2(0, дЕ- = 0 .
V1 + £у дЛ
Запишем систему уравнений Эйлера [3]:
дЕ ~дЬ
= 0
дЕ Ж
дЛ Ж
удЛ У
= 0
дЕ Ж
дЛ &
УдЛ2 У
= 0-
дЕ Ж
дКх Ж
V дК,
V 1У
= 0-
дЕ * Ж_ дК2 Ж
V 2 У
0
После подстановки производных в уравнения и элементарных преобразований получаем функциональное уравнение (8) и систему дифференциальных уравнений первого порядка (9)-(12):
о
*
ь{г )=
1А^Кх(г)а 2 «2К2(г)а 3 )
2-а,
1 + З
аАК (г)
Р1
Г „ \а2
1 + £
ь(г)а2 К2 (г)аз (г);
~К2 (г ) = ^ 1 йг 217
1+ З
аАК (г)
а1
/ „ Ла2
1 + £
1(г )а2 К2 (г )аз К2 (г);
йА _ а
¿г 1+ З
А1а1К1 (г)
а1-
11 г
1 + г
а2
¿(г )а2 К2 (г )аз (ЗА (г )+А (г))+(г);
а
йг 1+ З
А1азК2 (г)а
аз -
-11 г
1 + г
а2
¿(г )а2 К1 (г )а1 (ЗА (г) + А (г)) + ^ А (г) •
(8)
(9)
(10)
(11) (12)
Для поиска приближенного решения начально-краевой задачи 1 с уравнениями (8)-(12) определим целевой функционал
и(А(о)л (о) К1 (г) К2 (г) X (г ))= с(х (г)-X )"• (13)
Для поиска приближенного решения начально-краевой задачи 2 с уравнениями (8)-(12) целевой функционал имеет вид
и(А(о),А2 (о), х(г), К2 (г), х(г))=с (х(г)-К1) + с (К2 (г)-К2 )2. (14)
Весовые коэффициенты с, с и с2 определяются расчетным путем. Новые задачи формулируется следующим образом.
Начальные значения функций Лагранжа А (о) и А (о) должны быть такими, при которых функционал (13) (задача 1), или (14) (задача 2) принимает наименьшее значение.
Для поиска решений таких задач применяется метод градиентного спуска.
Алгоритм общей программы представлен на рис.3.
Рис.5. Алгоритм общей программы (поток расчетных данных показан
стрелками графа)
Назначение функциональных блоков: К1,К2, Ь,Л1 ,Л2), /2(К1,К2,Ь,Л1 ,Л2), Г1(К1,К2,Л1 ,Л2 Ь), Г2(К1,К2,Ь,Л1 ,Л2) — задают правые части системы дифференциальных уравнений; Ь(К1,К2,Л1 ,Л2) — вычисляет оптимальное значение Ь при известных К1, К2, Л1, Л2; В1/(Ы,/1,/2,/3,Г,Л1 ,Л2)- решает систему дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях; и(Ы,Л10 ,Л20,К1,К2,Х1 ) — вычисляет отклонение расчетных значений на конце временного отрезка от заданных; ОЯЛВ(Ы,Л10 ,Л20,К1,К2,Х1,,М )- вычисляет градиент функции в заданной точке и координаты новой точки. ОЯЛОи(Ы,Л10 ,Л20,К1,К2 ,Х1, М ) - управляет основными функциями.
Запишем формулу для вычисления разностного градиента целевой функции
Уги (АоЛо) =
и (4о +Г' ^20 )-и (Ло^о ) и (Л10,Л20 и (Л10,Л20 )
Координаты новой точки определяются по формулам
)=^10 С-1)-Ьи (д10(г-1) + ^.^20-1))-и (
- и(Л10-1),^20-1
т
т
т
ЛоМ-ЛоИ) — „У(л10(|—1),Ло('—М— и(Ло(|—1).Ло('—1)), , = 1,2, ..,
+ Т]~ I Т
= 1,2,...,т.
Вычисления продолжаются до выполнения условия
и Ло(т), Ло(т))
где £ - заданная погрешность. 4. Результаты расчетов и основные выводы
На рис.6 представлены значения целевой функции в итерационном процессе (задача 1). В фазовой плоскости изображены точки с координатами (Л (о), Л (о)) в итерационном процессе. То есть показано приближение начальных значений функций Лагранжа к оптимальной точке. При расчете приняты следующие значения: « = о,21, « = 0,36 , « = 0,41, « = 0,3, « = 0,7, д = 1,34, Д = 1,34 .
а б
Рис.6. Значения целевой функции в итерационном процессе (а); Приближение к оптимальной точке начальных значений функций Лагранжа (б)
На рис.7. показаны оптимальные траектории роста основных фондов и продукции первого сектора.
150 135
120 105
90 75
60 45
30 15
---
1—" ___--
________ X;
К.2 _
г
0.8
1.6
2.4
3.2
Рис.7. Оптимальные траектории роста (Х1 (Т) = 100 )
13
Для обеспечения заданного роста продукции X¡ необходимо обеспечить изменение трудовых ресурсов L по расчетной траектории (рис.7).
Результаты решения задачи 2 представлены на рис.8. В отличие от
первой задачи трудовые ресурсы вначале возрастают, а затем убывают. На
практике непрерывное изменение трудовых ресурсов реализовать достаточно
сложно. Полученные результаты следует рассматривать только как
предварительные. Для точной интерпретации полученных результатов
требуются дополнительные подробные исследования. Важным результатом
работы можно считать проверку алгоритма оптимального управления
предприятием в диапазоне значений параметров, близких к реальным.
150 135 120 105 90 75 60 45 30 15
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4
Рис.8. Оптимальное решение задачи 2 (K(T) = 150 , K2(T) = 150 )
По результатам работы можно рекомендовать следующий алгоритм оптимального управления предприятием с помощью двухсекторной модели.
1. По статистическим данным находятся интервальные оценки основных параметров производственной функции первого и второго сектора. Проверяется значимость уравнения регрессии. Для обеспечения устойчивости метода градиентного спуска выбирается рациональная размерность основных переменных.
2. Оцениваются нижние и верхние значения мощности предприятия при ограниченных ресурсах, которые определяются полученными интервальными оценками параметров производственной функции первого сектора. Таким
образом, определяются границы параметров для корректной постановки задач оптимального управления.
3. Формулируются основные задачи оптимального управления (типа задач 1, 2). Вводится интегральный функционал, значением которого являются затраты на трудовые ресурсы. Составляется расширенный функционал с функциями Лагранжа. Составляется система уравнений Эйлера, для которой формулируются начально-краевые задачи.
4. Для поиска приближенного решения начально-краевых задач строится функционал, минимум которого находится методом разностного градиентного спуска. Для второй начально-краевой задачи целевой функционал может быть представлен интегральной сверткой двух критериев.
Библиографический список
1. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2002. 399 с.
2.Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad: учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. СПб. «Лань», 2008. 352с.
3. Терновых К.С. , Слиденко А.М., Чернов Д.В. Сравнительный анализ показателей эффективности деятельности сельскохозяйственных предприятий на основе модели двухсекторной экономики // Вестник Воронежского государственного аграрного университета. 2010. № 3(26) . С.79-84.
4. Пальчикова А.А. , Растогуева И.И., Слиденко А.М. О выборе производственных функций в моделях экономики //Молодежный вектор развития аграрной науки. Материалы 63-й научной студенческой конференции. 4.III. Воронеж: ФГБОУ ВПО Воронежский ГАУ, 2012. С.49-54
5. Слиденко А.М. Численно-функциональный метод поиска оптимального управления двухсекторной экономикой //Современные тенденции развития науки и технологий. Периодический научный сборник. По материалам Международной научно-практической конференции, г. Белгород, 2016 г. №9-4, С.107-112.
6.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики: Учебник для вузов. М.: Наука, 1970. 664с.
7. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. М.:ЮНИТИ - ДАНА. 2010. 479 с.
Reference
1. Kolemaev V.A. Mathematical Economics. The textbook for higher education institutions. M.: UNITI-DANA, 2002.
2. Ohorzin V.A. Applied mathematics in the Mathcad system. Training manual, SPU, LAN, 2008
3. Ternovich K.S., Slidenko A.M., Chernov D.V. The comparative analysis of indicators of the efficiency of activity of the agricultural enterprises on the basis of model of two-sector economy. Bulletin of Voronezh State Agricultural University, 2010, № 3(26), pp. 79-84.
4. Palchikova A.A., Rastorueva I.I., Slidenko A.M. On the choice of production functions in economic models. Youth vector of development of agrarian science. Materials of the 63rd scientific student conference, VSAU, 2012, pp.49-54.
5. Slidenko A.M. Numerical and functional method of search of optimum control of two-sector economy. Current trends of development of science and technologies. Periodic scientific collection. On the materials of the International scientific and practical conference, Belgorod, 2016. №9-4, pp. 107-112.
6. Demidovich B.P., Maron I.A. Fundamentals of calculus mathematics. The textbook for higher education institutions, M.: Science, 1970.
7. Kremer N. Sh.The higher mathematics for economists. M.: UNITI-DANA, 2010.
