Научная статья на тему 'Оптимальное торможение жесткого цилиндра неоднородной преградой при ударе по нормали с учетом трения'

Оптимальное торможение жесткого цилиндра неоднородной преградой при ударе по нормали с учетом трения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
45
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕОДНОРОДНАЯ ПРЕГРАДА / ОПТИМАЛЬНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ / ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА / ДИНАМИЧЕСКАЯ ТВЕРДОСТЬ / ТРЕНИЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Аптуков Валерий Нагимович, Хасанов Александр Ренатович

Впервые постановка задачи поиска оптимального распределения механических характеристик неоднородной преграды минимального погонного веса при динамическом проникании в нее жесткого ударника была выполнена в работах [1, 2]. В настоящей статье, следуя [3, 4], рассмотрена новая постановка задачи оптимизации материала преграды при ударе жесткого цилиндра с учетом трения. Получены критерии оптимальной структуры таких преград.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Аптуков Валерий Нагимович, Хасанов Александр Ренатович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Оптимальное торможение жесткого цилиндра неоднородной преградой при ударе по нормали с учетом трения»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып.3(7)

МЕХАНИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 539.3

Оптимальное торможение жесткого цилиндра неоднородной преградой при ударе по нормали с учетом трения

В. Н. Аптуков \ А. Р. Хасанов2

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 [email protected]; (342) 2-396-819 [email protected]; (342) 2-396-819

Впервые постановка задачи поиска оптимального распределения механических характеристик неоднородной преграды минимального погонного веса при динамическом проникании в нее жесткого ударника была выполнена в работах [1, 2]. В настоящей статье, следуя [3,

4], рассмотрена новая постановка задачи оптимизации материала преграды при ударе жесткого цилиндра с учетом трения. Получены критерии оптимальной структуры таких преград.

Ключевые слова: неоднородная преграда; оптимальное торможение; принцип максимума Понтрягина; динамическая твердость; трение

1. Постановка задачи оптимизации имеет вид [6] (учет трения приводит к допол-

нительному слагаемому):

Описание процесса динамического вне- 1 —( 2)

дрения жесткого осесимметричного тела в —Ы——- =-лЕ2\ИЛ(Ь)+р(Ь)и2(Ь)]-

преграду может основываться на эмпириче- 2 (2)

ской зависимости удельного сопротивления Ь

внедрению р от параметров удара [5]: - 2яК|т(х—х ,

р = ИЛ + кри2, (1) 0

где Ий , р - динамическая твердость и плот- где Ь - текущая глубина внедрения ударни-

, ,, ка; К - радиус цилиндра; т(х) - удельная

ность материала преграды, к - коэффициент ^ у 7

формы головной части ударника, и - текущая сила трения (рис. 1).

скорость ударника.

В случае произвольного распределения

плотности р(Ь) и динамической твердости

И — (Ь) по толщине плиты уравнение движения цилиндрического ударника массой М

© В. Н. Аптуков, А. Р. Хасанов, 2011

TIT

a

Рис. 1. Процесс внедрения цилиндра в преграду

Здесь а = Иа (Ь) + р( Ь) и 2( Ь).

Рассмотрим ограничения на распределения плотности и твердости материала преграды

ре° 0=рх):р <рх) <р,, М°А])},

ИеН Н={И(х):И; <И(х)<И» (хе^])}. (3)

Ограничимся таким классом материалов, для которых существует взаимнооднозначное отображение р множества О в множество Н И=р(р), И1 =ррр), И2 =р(р2), причем справедливо условие д р / др > 0 . Материалы, не удовлетворяющие последнему условию, не эффективны в смысле критерия качества, формулируемого ниже.

Граничные условия для уравнения (2): ударник с начальной скоростью и (Ь = 0) = и 0 движется в преграде и достигает некоторой, заранее не заданной, конечной глубины внедрения Ьк : и (Ь = Ьк) = 0 . Нас будут интересовать преграды с толщиной, равной конечной глубине внедрения Ь = Ьк .

Погонный вес (плотность) таких преград и будет являться критерием качества в данной задаче

J = min j I p ( x ) dx

(4)

Рассмотрим динамическую оптимизационную задачу в условиях линейного приближения зависимости И = р (р) в виде

H (x) = A p( x) + B ,

A = (H2 - H1)/(p2 - pl),

B = (H 1 P 2 - H 2 P1)/( P 2 - P1).

(5)

2. Аналитическое решение задачи

В рамках данной статьи ограничимся рассмотрением частного случая т(х) = const.

Уравнение движения (2) преобразуется к виду

d(u2)

dL

--EHd (L) + p(L) и2 (L)] - DtL , (б)

где E =

2nR2

D =

4nR

М ' М Сформулируем задачу в терминах теории оптимального управления (у1 = и 2- фазовая координата; Ї = L - аналог времени)

dy

dt

-e{p( A+у1)+в)-Dir.

(7)

Имеем неавтономную задачу (7) с закрепленным левым концом траектории

у\1 = 0) = и2 и свободным правым концом у1(ї = ^ ) = 0 , їк - нефиксированное «время» (толщина плиты) процесса.

Управление р(і), ограниченное (3), ищется из условия минимума функционала (4)

■’ = “А {|Р)d% } •

Оптимальное решение поставленной задачи ищем с помощью принципа максимума Понтрягина [7]. Гамильтониан системы (7)

h = у0Р~¥іЕ (р(А + у1) + 5 )-y1Dtт. (8)

Сопряженные переменные 1//0, 1//^ определяются дифференциальными уравнениями

dh

d/1

dh

----L =------^ = 0 ’ =------г = E/1p .

dt Dy0 dt Dy1 1

Для оптимальности процесса p(t), ~(t)) необходимо существование таких нетривиальных константы / < 0 и функции /(t), чтобы выполнилось условие максимума

max h(w(t), y(t), t, p(t)) =

peQ (9)

= Н(/ О X Я* X1р))

и условие трансверсальности

Н (/ (*кX У (*к X *к, р(*к) )= 0. (10)

Последнее условие с учетом выражения для Н и зависимости у1(*) = С ехр^Е^р—^

дает связь между постоянными /0, С1

Г ^ 1 /0рк -С1Е(В+^у~к)ехР>Е|-

V 0 ^

- С1 Dtkт ехр|^ е| р—£ 1 = 0,

рк = Ж).

Преобразуем функцию Н , поделив ее на положительную константу /0

Н = рФ + (ВЕ + Dtт)Ф 2

Ф=-1+p,

(іі) E(A+ у1)

E(B+Apk)+Dikr

ехр

k

- Ej pd£

V i J

Очевидно, что в силу линейности гамильтониана h от /5 оптимальное управление достигается на границах области допустимых управлений

p=

\P2, Ф> 0

(12)

р, Ф< 0

Выясним условия, определяющие знак функции Ф (' )на сегменте [0, 'к ]

Рассмотрим полную производную —ф_ Ерк

di E (B + Apk) + Dikr

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Это означает, что функция Ф (') может иметь локальный экстремум в точке

* ВЕ ' =-

Dr

Рассмотрим вторую производную

d2 Ф Epk

E (B + AJ~k) + Dikr

k

■ (- Dr + Ep(- BE - Dir))exp - E j pd£

V t

d 2Ф

dt2

(t ) «-Dr <0.

(14)

Таким образом, в точке ' функция Ф (') может иметь только локальный максимум (в силу (14)).

Рассмотрим производную (13). При ус-

функция Ф (') возрастает

ловии

B <-

Dtr

E

на некотором сегменте [0, І* ], при условии В >- ш

B=-

E

Dtr

функция Ф (i) убывает, а при

функция Ф(/) достигает своего

Е

максимума.

Знак функции Ф (') в конечный момент времени также определяется знаком постоянной - ВЕ - Dtkт, как следует из (11)

Ф(ік ) =

- BE - Dtkr

(15)

rd/_

dt

е(в + Арк) +

Из анализа (13) - (15) следует, что существует такой интервал ('*, 'к ], внутри которого оптимальное управление постоянно р = consl. Здесь 4 - точка переключения.

+ Ep (a + у1)] exp I - E j pd£ I.

Очевидно, при условии B < -

Dt, r

функция

у V ‘

С учетом уравнения (7) нетрудно показать, что

функция

йФ

— «-BE - Dtr. dt

(1З)

Е Dt т

Ф('к ) > 0 , при условии В >----—

Е

Ф^к) < 0.

Сформулируем теперь условия оптимальной структуры пластины с тыльной сто-

роны, используя понятие качества материала для цилиндра Qц = р(р)/ р .

Рассмотрим два случая.

Б',т

Случай Л: В <--------——.

Отсюда следует, что О'т

В <-----— (У е [0,tk])

Е

и, в частности, В < 0 .

Значит, существование точки экстремума на полуинтервале [0, tk ] невозможно и функция Ф ^) возрастает всюду на сегменте [0, tk ]. Поэтому в случае А) - либо существует одна точка переключения и функция Ф ^)

один раз меняет знак на данном интервале, либо не существует ни одной точки переключения и функция Ф ^) знакоопределенна на

интервале (рис. 2).

Для случая, когда Ф ^) не имеет точек переключения, оптимальной является однородная тяжёлая пластина р = р2; для случая же, когда Ф ^ ) имеет точку переключения, оптимальной является пластина, состоящая из Гр2, тыльный слой

Условие А) - условие того, что Ф& ) > 0 ^ /7к = р2. Из соотношения (5) получим

В = рр2( И1 / р - И 2 / р2)/(р2 - р1) . (16)

Так как р2 - р1 > 0, то знак параметра

В определяется выражением, стоящим в круглых скобках, представляющим разность качества граничных материалов

Оц (р1) - Оц (р2). Условие В < 0 говорит о более высоком качестве наиболее тяжелого материала Оц (р2) среди всех материалов с

качеством О = И / р, У р е [р1, р2 ].

о DtкT

Итак, при условии В <-------------——

и (16)

получим условие оптимальности однородной тяжелой пластины с тыльной стороны

бц (Р2) > бц (Р1) + А ,

(17)

двух слоев: р = .

I р13 лицевой слой

. 2tkт(р2 - р1)

где А = к 2——.

Мр2

Б',т

Случай Б: В >-------—-.

В этом случае, рассуждая аналогичным образом, получим условие оптимальности однородной легкой пластины с тыльной стороны

Случай А

Рис. 2. Общий вид функции Ф от времени

О Б'т

для случая В <------——

б (Рі) > б (Р2) -А .

(18)

Таким образом, учет трения приводит к расширению условий для оптимального легкого материала с тыльной стороны преграды.

Для случая Б рассмотрим еще два частных варианта.

Вариант Б1: В > 0.

Отсюда следует, что В > -

Dtz

~Ё~

( у* е [0, tk ]). Поэтому существование точки экстремума на полуинтервале [0, tk ] невозможно и функция Ф ^) убывает всюду на сегменте [0, 'ь ]. Значит, в варианте Б1, также как и в А, - либо существует одна точка переключения и функция Ф ^) один раз меняет

t

знак, либо не существует ни одной точки переключения и функция Ф ^) знакоопределенна на данном интервале (рис. 3).

Рис. 3. Общий вид функции Ф от времени для условия В > 0

Итак, для случая, когда Ф ^) не имеет точек переключения, оптимальной является однородная легкая пластина Р = Рх; при наличии же точки переключения оптимальной является двухслойная пластина:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p=

p2 , лицевой слой p, тыльный слой

Вариант Б2: -

Dir

E

<B < 0.

В этом случае Зі є [0, tk ] такая, что

*

Dt r

E

= B . То есть функция Ф (i) возрас-

тает на промежутке

[0,4

* * t , в точке t

в точке I достигает максимума, а затем убывает на [ ^],

причем в момент времени /к функция Ф ^) отрицательна (рис. 4), так как

Dt r <B^0(ik) <0

Ek

- не существует ни одной точки переключения, функция Ф ^) знакоопределенна (оптимальная пластина является однородной легкой р = рх);

- существует одна точка переключения, функция Ф (I) один раз меняет знак (оптимальная пластина является двух-

„ ~ Гр2, лицевой слой слойной р = ^2 , состоит

р, тыльныйслой из двух однородных слоев);

- существует две точки переключения, функция Ф (t) два раза меняет знак (оптимальная пластина является трех-

р1, лицевой слой слойной р =, р^, средний слой , состоит р1, тыльный слой из трех однородных слоев).

Рис. 4. Общий вид функции Ф от времени

для условия -

Dir

E

<B<0

Поэтому при условии Б2 возможны следующие случаи:

Итак, получены условия для оптимального материала преграды, находящегося с тыльной стороны в зависимости от значения параметра B .

Для определения точки переключения t„ (точки, в которой Ф(і, ) = 0) нужно исследовать поведение Ф (i) при t = 0:

Ф0 =-1 + pkE--------------------

0 Ик E(B+Apk) + Dtkr

• exp

E J pdi; I.

(19)

Dt

f1 - exP(EPA)]- B Dt,t

(B + Ap) +

E

exp(_ Epktk ) (21)

Разложим функцию exp(Epkt) в ряд Тейлора и, полагая t = tk, получим

exP(Epktk ) = £

(Etk Pk) n

; подставим по-

n=o n!

лученное выражение в (21), Ф 0 примет вид

_ DtkT _ B _ DT I (EtkPk )

E E2р n=2 n!

Ф 0 =

(B + Ар) +

E

exP(_ EPktk ).

(22)

Вернемся к случаям А и Б.

Dtkт

Случай Л: В <-------—- .

Для данного случая выше получено, что функция Ф (t) является возрастающей на

сегменте [0, tk ], а в конечный момент времени t = tk она положительна. В случае А реализуется однослойный вариант только тогда, когда функция Ф ^) знакоопределенна на

рассматриваемом отрезке, т.е. Ф0 > 0 . Выясним условия, определяющие знак Ф 0. Из соотношения (22) следует, что Ф 0 > 0 при

B < DtkT Dt ^

E E Pk

n=2

(Etk Pk)n

n!

(23)

Определим знак Ф 0 при условии существования постоянного оптимального управления р = ~k = const . В этом случае общее решение уравнения движения (6) имеет вид

Г П t Dt y1 = exp(_Ept)J yj + (— _ — t _ (B + Ар)) •

[ E p E

•(_ 1 + exp(Ept))/p _ —Pt|. (20)

E p J

Полагая в последнем соотношении t = tk, y1 = 0 , выразим y1 и подставим его в (19). Тогда Ф 0 преобразуется к следующему виду:

Следовательно, при выполнении условия (23) оптимальной является однородная

тяжелая преграда р = р2, И =И2 (качественный вид кривой Ф (^) представлен на рис. 2,

без точки переключения), а при выполнении условия

DtkT

Dt

E Ezpk

I

n=2

(Etk Pk) n < B <_ DtkT

n!

E

оптимальная преграда состоит из двух слоев: мягкий и легкий лицевой слой, твердый и тяжелый тыльный слой (качественный вид кривой Ф (^) представлен на рис. 2, с точкой переключения). Заметим, что условие (23) можно заменить (учитывая (21)) условием

B <

Dt

Ё%

[1 _ exp( Epktk )].

(24)

Пt t

Случай Б: B >-----

ранее получено

ФА ) < 0 . Рассмотрим выражение (22). Очевидно, при выполнении условия Б выполняется Ф 0 < 0 . Следовательно, исключен вариант поведения функции Ф (^) с точкой переключения, представленный на рис. 3, и для случая Б1 возможен только следующий вариант: функция Ф (^) убывает и является отрицательной на всем промежутке [0, ^ ], при этом оптимальной является однородная легкая преграда р = р1, И =И1 (поведение функции ф ^) показано на рис. 3). Также исключен вариант поведения функции Ф (^) с одной точкой переключения, представленный на рис. 4.

Остался нерешенным вопрос - может ли для варианта Б2 реализоваться трехслойный вариант? Для ответа на этот вопрос определим знак функции Ф (^) в точке максимума

*

t = t

л *1

А + у 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ф* =Ф^ = t ) = _1 + pkE

E (B + А Pk) + DtkT

tk

• exp

Е J pd% I.

(25)

t

Знак Ф* также будем определять при условии существования постоянного оптимального управления р = pk = const . По* 1 *1 *1 ложим в (20) t = t , y = y и подставим y

в (25). Ф* преобразуется, учитывая

* BE

t =-------, к следующему виду

Dt

Dt

Ф* = -1 +

B + Pk(А + yJ) + [exp(EPkt *)—1]

E Pk

(B + А Pk) +

E

exp(— EPktk ).

(2б)

Из соотношений (19) и (26) получим следующее выражение для Ф*

Dt

B +

Ф * = Ф 0 + -

E 2Pk

[exp(Epkt *)—1]

Dt r

(B + А pk) + -T E

• exp(_ EPktk ). (27)

А теперь преобразуем Ф*, подставив в (27) выражение (21) для Ф 0, к виду Dt Г И

E !Pk

(B + А Pk) + Dr E

• exp(— Epktk ) .

(28)

Так как tk > t , то из (28) следует

Ф* < 0.

Итак, для случая Б)

Ф(' ) < 0 у* е [0, tk ], а значит, исключены все варианты поведения функции Ф (^) с точками переключения, представленные на рис. 3

Dtkт

и 4. Поэтому при условии В >-------------воз-

Е

можен лишь следующий вариант: оптимальной является однородная легкая преграда

р = рг, И =И1 (поведение функции Ф (t) иллюстрируют рис. 3 и 4).

Получены следующие результаты: в обо Dtкт

ласти В > -

E

оптимальной является од-

нородная легкая пластина p = p:, H =H:, в

Dr

E 2Pk

родная тяжелая, а в области

области B < ^2P [1 — exp(Epkik)] - одно-

Dr г, /г— чп n Dir

[1- exp(Epktk)] < B <------=t"

E

Е 2~к

двухслойная преграда с лицевым легким и тыльным тяжелым слоем; во всех случаях положение точки tk определяется численно. Поиск точки tk осуществляется следующим способом: положим t = 'ь , у1 = 0 в (20), получим уравнение

! Dт Dtkт Р

у0 + (т;^р------- —(В + АРк)) ■

E Pk E

DtT

■ (-1 + ехр(ЕР^к))/ Рк --^~ = 0, (29)

Ерк

далее зададим значения параметров и ищем корень tk уравнения (29) каким-либо численным методом. Заметим, что для определения Dtkт

нужно положить в (29)

границы

E

[exp(EPkt*)— exp(EPktk )] E Pk

pk = f\, а для определения границы

DT

^^[1 _ exp(EpA )] положить pk = p2.

Полученные результаты представлены ниже графически (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость оптимальной структуры пластины от значения параметра В

Учитывая соотношения E =

2jR

~M~

ет значение p = p „„„ = const, а на сегменте

* * лиц 7

d =

4jR

M

можно получить следующее пред-

ставление результатов:

Mt 2jR

p 2, B <^j^[l_exP(—TT

jR pk M

p =

PA)]

A + p2,

Mt 2jR 2 P 2t, t

-[1 _exp(^-Pktk)] < B <_- k

jR pk

M

R

< b

R

[t*, tk ] - p = ртыл = const. Полагая в соотношении (20) t = t*, p = p, получим выражение для квадрата скорости в момент t,:

Dt Dt, t

ц2 = exp(_EpJ,)(yj + (- 2 p

E p E

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/ лиц

_ (B + Арлиц ))(_ 1 + ^P^P^*^/ P

-L t

EP

).

лиц

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1) Учет трения привел к расширению области значений параметра В, которая является определяющей для оптимальной легкой пластины (в работе [3] получено, что однородная легкая преграда является оптимальной для области В > 0), причем чем больше величина удельного трения, тем шире область

в >-^.

Е

2) При выполнении условий в виде нера-

Dт Г1 Ч1 _ Dtkт

венств т:^Р[1 - ехРЕрА )] < В <-----------~

Е рк Е

оптимальная структура преграды может состоять из двух однородных слоев - легкого лицевого и тыльного тяжелого. Это качественно новый результат (по сравнению с [3]), полученный при учете трения.

3. Численный анализ

Основываясь на полученных выше аналитических условиях оптимальности, далее можно использовать численный анализ, решая основные уравнения и перебирая варианты двухслойных преград.

Определим конкретно оптимальную (двухслойную или однородную) структуру преграды из условия минимума функционала (4). Общее решение уравнения (7) при начальном

условии У’1(' = 0) = у° имеет вид (20).

Полагаем (согласно полученным результатам), что оптимальным будет вариант двухслойной преграды. В этом случае ^ -точка переключения, а оптимальное управление постоянно и на сегменте [0, ^ ] принима-

Следовательно, y'(t = t,) = Ц2 является начальным условием для сегмента [t*, tk ]. Общее решение уравнения (7) при этом начальном условии следующее:

, r Dt DtT

y = [-------------------------------(B + Аp )]/p +

L т-г? 7-т v ~ тыл si ~ тыл

E p E

тыл

+ ^р^Ртыл^ _ U) •

Ц + (_1-Т + -T+ (B+Ap„J)/ Рт

(30)

Е2р Е

/тыл

Из условия t = , у1 = 0 можно чис-

ленно найти корень ^. Конечную глубину внедрения ^ находим из (20) или (30) с помощью численного метода. Алгоритм решения заключается в следующем: задаем значения параметров, ищем корень tk уравнения

(20), задаем точку переключения ^ ; если выполняется неравенство t* < tk, то ищем корень уравнения (30); затем сравниваем значения функционала (4) для различных значений ^, при минимальном значении J получаем оптимальную структуру. Для решения задачи была разработана программа на языке С++.

Покажем, что двухслойный вариант преграды как оптимальный действительно возможен для данной постановки задачи. Для этого приведем численный пример такой преграды. Возьмем материалы с близкими механическими характеристиками:

титановый сплав с параметрами И1, р1 и

сталь с параметрами И2 , р2

Зададим следующие значения параметров:

Н1 = 6500 кг/см2; Н2 = 13200 кг/см2;

Р1 = 0,459-10-5 кгх2/см4; Р2= 0,795^10-5 кгх2/см4;

М = 2,04^ 10-5 кг-с2/см; 1)0 = 80000 см/с;

Т = 50 кг/см2; ^ = 0,35 см.

Рассмотрим структуру преграды вида титановый сплав + сталь, полученные результаты представлены ниже в табл. 1.

Таблица 1. Зависимость погонного веса преграды

Очевидно, что в этом примере оптимальной является двухслойная пластина с общей толщиной 6,15 см, при этом более легкий материал (титановый сплав), находящийся с лицевой стороны, занимает ~ 41% общей толщины.

Заключение

Получены условия оптимальной структуры неоднородной преграды при нормальном ударе и внедрении жесткого цилиндра с учетом трения. Показано, что в общем случае оптимальное управление является кусочнооднородным, изучено влияние параметров задачи на оптимальную структуру. Аналитические результаты и численный анализ показа-

ли, что оптимальная преграда может включать в себя два разных материала. Таким образом, учет трения в задаче об ударе цилиндра привел к качественно новому оптимальному решению по сравнению с известными ранее [2, 3].

Список литературы

1. Аптуков В.Н. Исследование сопротивления пластин динамическому внедрению жестких ударников: автореферат дисс. канд. техн. наук. Пермь: ППИ, 1979. 16 с.

2. Аптуков В.Н. Взаимодействие ударника с преградой как игровая ситуация // У-й Всес. съезд по теорет. и прикл. механике: сб. аннот. Алма-Ата. 1981. С. 29.

3. Аптуков В.Н., Петрухин Г.И., Поздеев А.А. Оптимальное торможение твердого тела неоднородной пластиной при ударе по нормали // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1985. №1. С. 165-170.

4. Аптуков В. Н. Оптимальная структура неоднородной пластиной с непрерывным распределением свойств по толщине // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1985. №3. С. 149-152.

5. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях / под ред. Н.А. Златина и Г.И. Мишина. М.: Наука, 1974. 344 с.

6. Аптуков В.Н., Мурзакаев Р.Т., Фонарев А.В. Прикладная теория проникания. М.: Наука, 1992. 104 с.

7. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.М., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

i, ik J *105

0,01 5,10 4,0505

0,10 5,14 4,0502

1,00 5,51 4,0474

2,00 5,94 4,04б0

3,00 б,3б 4,04б2

4,00 6,7s 4,0480

5,00 7,21 4,0510

б,00 7,б4 4,0549

7,00 8,07 4,0593

S,S6 8,8б 4,0бб0

Optimal braking of a rigid cylinder by an inhomogeneous target at normal impact with a friction

V. N. Aptukov1, A. R. Khasanov2

Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15

[email protected]; (342) 2-396-819 [email protected]; (342) 2-396-819

B. H. Anmyme, A. P. XacaHoe

For the first time formulation on the problem to find the optimal distribution of the mechanical properties of an inhomogeneous target minimum weight per unit length for the dynamic penetration of rigid indenter was carries out in [1, 2]. In this article, following [3], we consider a new approach to the problem of optimizing the target material under impact a rigid cylinder with friction. Criteria for the optimal structure of such targets were obtained.

Key words: inhomogeneous target; optimal braking; the Pontryagin maximum principle; dynamic hardness; friction.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.