Оптимальное решение одной задачи распределения ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 81-90 = Математика

УДК 519.6

Оптимальное решение одной задачи распределения ресурсов

Е. Н. Руренко

Аннотация. Решается задача оптимального управления одной нелинейной управляемой системы с терминальным функционалом при помощи принципа максимума Понтрягина.

Ключевые слова: оптимальное управление, нелинейная управляемая система дифференциальных уравнений, принцип максимума Понтрягина, точки переключения.

1. Постановка задачи

На фиксированном отрезке времени 0 ^ Ь ^ Т максимизируем терминальный функционал

Ф(Х(Т)) = 71 • Ж1(Т)+ 72 • Х2(Т) для управляемого процесса

х 1 = и • а1 • х1 — ¡1 • х1 и € [0,1] ,

X2 = (1 — и) • а2 • Х1 — ¡12 • Х2, (1)

х1(0) = х1о > 0, х2(0) = х2о > 0,

где а1, а2, ¡1, ¡2 — положительные параметры, 71 ^ 0, 72 ^ 0,71 + 72 > 0.

При замене переменных х1(£) = • е, х2(£) = ¿2(£) • е-^2'1 из (1) получим систему

6 = и • а1 • и € [0,1] ,

6 = (1 — и) • а2 • 6 • е^ (2)

¿1 (0) = Х10, 6(0)= Х20,

в которой V = ¡2 — ¡1.

Функционал в новых переменных будет

Ф(ё(Т)) = 71 • е-^т6(Т) + 72 • е-^2'т6(Т). (3)

Обозначим а1 = 71 • , в1 = 72 • е-^2'т.

Частный случай 72 = 0 в исходной задаче (1) особенно простой. В этом случае из (3) следует, что надо максимизировать функционал Ф({(Т)) =

= а1£1(Т), в котором из (2) имеем ^(Ь) = х10 • еа1иЬ € [0, Т]. Очевидно, что оптимальным управлением будет и(Ь) = 1, Ь € [0, Т], причем оно единственно. Частный случай 71 =0 в исходной задаче (1) рассмотрен в [1, 2]. В данной работе рассматривается случай 71 > 0,72 > 0, а1 + V = 0.

2. Основной результат

Пусть V = 0. Гамильтониан имеет вид

Н = ф1 • /1 + ф2 • /2, где /1 и /2 — правые части (2), т.е.

Н(£, и,ф,Ь) = и • & • (а1 • Ф1 — а2 • Ф2 • еи4) + ф2 • £1 • а2 • еи4. (4) Для (4) запишем сопряженную систему

%Ь1 = —и • а1 • ф1 — (1 — и) • а2 • ф2 • еи4,

(5)

ф2 =0.

Для функционала (3), взяв фо = 1, в силу условия трансверсальности ф(Т) — — фо • Ф^ = 0 имеем

ф1(Т )= 71 • , ф1(Т)= а1,

^ то есть (6)

ф2(Т)= 72 • е-^т, ф2(Т)= в1.

Из (5), (6) получаем

ф2(Ь)= 72 • е-^т > 0, Ь € [0,Т] . (7)

Подставляя (7) в первое уравнение системы (5), получим уравнение для ф1(Ь) в виде

ф = и • [—а1 • ф1 + а2 • 72 • е-^2•т • — 72 • а2 • е-^2•т • , (8)

причем из (6) ф1(Т) = 71 • е-^1т.

Пусть и(Ь),£(Ь),Ь € [0,Т] — оптимальная пара в задаче (2). Отметим, что управление и(^) будет оптимальным и в исходной задаче (1), и наоборот.

Согласно принципу максимума Понтрягина [3, с. 93] для оптимальных и(^),£(^) и решения ф(Ь) системы (5) почти всюду на [0,Т] выполняется соотношение максимума

Н(аг),и(Ь),ф(Ь),г) = тах Н(£(Ь),и,ф(Ь),Ь). (9)

ие[о,1]

При вычислении максимума по и € [0,1], стоящего в правой части (9), важную роль играет вычисление максимума по и € [0,1] функции

Н(Ь, и) = и • %1(Ь) • [(Ц • ф1(Ь) — а2 • ф2(Ь) • е^] , Ь € [0, Т] , (10)

т.к. гамильтониан (см. (4))

Н(|, и, ф, г) = Н(г, и) + гр2 • 6 • а2 • е^. (11)

Из (2) и положительности ¿1(0) = хю вытекает, что

#1(г) > 0, г € [0,Т].

Отсюда в силу (11), (10) и принципа максимума оптимальное управление и(г) оказывается эквивалентным кусочно-постоянной функции, принимающей значения либо 0, либо 1 с конечным числом точек переключения, если функция

Н1(г) = а1 • ф 1(г) — а2 • ф2(г) • е"* (12)

имеет конечное число нулей на [0, Т].

Из (11), (10), положительности ф2(г) (см. (7)) и ¿1(г) при г € [0,Т] следует, что и(г) = 0 при тех г, где к1(г) < 0, и и(г) = 1 при тех г, где к1(г) ^ 0.

Заметим, что ^(¿)(см. (12)) является абсолютно непрерывной на [0,Т] и имеет на [0, Т] почти всюду суммируемую по Лебегу производную (с учетом

(7)) .

к 1(г) = а1 • ф 1(г) — а2 • 72 • е-^т • V • е*.

Из (8), (12) следует, что выполняется

к 1(г) = —и • (Ц • к1(г) — а2 • 72 • е-^т • (а1 + V) • еиЬ. (13)

Заметим, что из (12), (6) будем иметь концевое условие

к1 (Т) = а1 • 71 • е-^1т — а2 • 72 • е-^т • еиТ. (14)

Пусть в точке г* € [0, Т] к1(г*) = 0. Рассмотрим два возможных варианта.

Вариант 1. а1 + V > 0.Тогда в силу (13) почти всюду на [г* — 5, г* + 5] П П [0,Т] будет выполняться неравенство к 1(г) ^ —е, где числа 5 > 0,е > 0 достаточно малы. Отсюда вытекает, что при г € [г* — 5, г* + 5] П [0, Т] у функции к1 (г) других нулей, кроме г*, нет и к1 (г) строго монотонно убывает на этом множестве. Допустим, что правее точки г* на отрезке [0, Т] есть другой нуль г1 функции к1 (г). Тогда среди нулей функции к1 (г), лежащих правее г*, выделим наиближайший, обозначим его ¿2 (очевидно ¿2 — г* >5). Для точки ¿2 можно провести рассуждения, аналогичные вышеприведенным, и обосновать, что при г € [52 — г2,г2 + 52] П [0, Т], где 52 > 0 достаточно мало, функция к1 (г)строго монотонно убывает. Из сказанного следует, что при некотором € (г*,г2) к1(г3) = 0, что противоречит определению нуля г2 функции к1 (г). Аналогично рассматривается ситуация, когда предполагается, что есть нуль г1 функции к1 (г), лежащий на отрезке [0,Т] левее г*. Таким образом, при выполнении а1 + V > 0 обосновано, что функция к1 (г) имеет на отрезке [0, Т] не более одного нуля. Здесь использованы соображения из [4].

Вариант 2. а1 + V < 0. Здесь можно провести рассуждения, аналогичные как в варианте 1, и обосновать, что к1 (г) имеет на отрезке [0,Т] не более

одного нуля т, причем при Ь € [0, Т] и достаточно близких к т функция Н (Ь) строго монотонно растет.

Из вышеизложенного вытекают следующие четыре случая.

Случай 1. а1 + V > 0, Н1(Т) ^ 0. Условие Н1(Т) ^ 0 в силу (14) равносильно условию для параметров а1 • 71 ^ а2 • 72.

Функция Ь,1(Ь) корней иметь не будет, Н^Ь) не меняет свой знак, т.е. Н1(г) > 0 при Ь € [0,Т). Поэтому и(Ь) = 1 при Ь € [0,Т].

Случай 2. а1 + V > 0, Н1(Т) < 0. Условие Н1(Т) < 0 в силу (14) равносильно условию для параметров а1 • 71 < а2 • 72.

Подслучай 2.1. Если Н1 (Ь) при Ь = Ь* имеет корень, то Н1(Ь) > 0 при Ь € [0,Ь*) и Н1(Ь) < 0 при Ь € (Ь*,Т].

Поэтому{

( 1, Ь € [0,Ь*] , и(Ь) = <

i 0, Ь € (Ь*,Т].

Исследуя на максимум функционал, в этом подслучае получим (см. ниже), что

Ь* = Т_ 1 , а2 • 72 • (а1 + V)

V а1 • (71 • V + 72 • а2)'

Подслучай 2.2. Если Н1(Ь)при Ь € [0,Т] корней не имеет, то Н1(Ь)не меняет свой знак, т.е. Н1(Ь) < 0 при Ь € [0, Т]. Поэтому и(Ь) = 0 при Ь € [0,Т].

Случай 3. а1 + V < 0, Н1(Т) > 0. Условие Н1(Т) ^ 0 в силу (14) дает а1 • 71 > а2 • 72 .

Подслучай 3.1. Если Н1(Ь)при Ь = Ь* имеет корень, то Н1(Ь) < 0 при Ь € [0,Ь*) и Н1(Ь) > 0 при Ь € (Ь*,Т], поэтому

( 0, Ь € [0,Ь*),

и(Ь) = {

\ 1, Ь € [Ь*,Т].

Исследуя на максимум функционал, в этом подслучае получим (см.ниже), что

Ь* = Т • 1п .

а1 + V 71 • а1

Подслучай 3.2. Если Н1 (Ь)при Ь € [0,Т] корней не имеет, то Н1(Ь) не меняет свой знак, т.е. Н1(Ь) > 0 при Ь € [0, Т]. Поэтому и(Ь) = 1 при Ь € [0,Т].

Случай 4. а1 + V < 0, Н1(Т) ^ 0. Условие Н1(Т) ^ 0 в силу (14) дает а1 • 71 ^ а2 • 72-

Функция Н^Ь) при Ь € [0,Т] корней иметь не будет, ^(Ь) не меняет, т.е. Н1(Ь) < 0 при Ь € [0,Т]. Поэтому и(Ь) = 0 при Ь € [0,Т].

Рассмотренным выше случаям будут соответствовать следующие утверждения.

Теорема 1. Если V = ц2 — ц1 = 0, а1 + V > 0, а1 • 71 ^ а2 • 72, то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

и(г) = 1, г € [0,Т].

Теорема 2.1. Если а1 + V > 0, а1 • 71 < а2 • 72, ¡л1 =

Т> 1 . 1п а1 • а2 • 72 + а2 • 72 • V > 0 V а1 • а2 • 72 + а1 • 71 • V '

то оптимальное управление в задаче (1) и имеет вид

1, г € [0,г*] ,

и

и(г) = ,

1 0, г € (г*,Т],

где точка г* переключения определяется равенством

г* = т _ 1 . 1п а1 • а2 • 72 + а2 • 72 • V V а1 • а2 • 72 + а1 • 71 • V'

Замечание. Если а1 + V > 0, а1 • 71 < а2 • 72, то нетрудно показать существование и положительность выражения с логарифмом, стоящего в условиях этой теоремы и следующей.

Теорема 2.2. Если а1 + V > 0, а1 • 71 < а2 • 72, ц1 =

0 <Т < 1 . 1п а1 • а2 • 72 + а2 • 72 •

^ V а1 • а2 • ъ + а1 • 71 • V'

то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

и(г) = 0, г € [0,Т] .

Теорема 3.1. Если а1 + V < 0, а1 • 71 > а2 • 72, ц1 = ¡л2,

Т > —1— • 1п > 0,

а1 + V а1 • 71

то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

0, г € [0,г*),

с

и(г) =

1, г € [г*,т],

где точка переключения г* определяется равенством

г* = т • 1п.

а1 + V а1 • 71

Замечание. Если а1 + V < 0 и а1 • 71 > а2 • 72, то нетрудно показать существование и положительность выражения с логарифмом, стоящего в условиях этой теоремы и следующей.

Теорема 3.2. Если а1 + V < 0, а1 • 71 > а2 • 72, ц1 = ц2,

0 < Т • 1п ^,

а1 + V а1 • 71

то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

и(Ь) = 1, Ь € [0,Т] .

Теорема 4. Если V = /л2 — /л1 = 0, а1 + V < 0, а1 • 71 ^ а2 • 72, то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

и(Ь) = 0, Ь € [0,Т] .

3. Приложение

К доказательству теоремы 2.1. Покажем, что в условиях теоремы 2.1

точка переключения Ь* будет давать максимальное значение функционала.

Р (2) т / М € [0,Ь*]

Решая (2) при и(Ь) = < 0 £ € (Ь* Т] , получим

£1(Т)= ж 10 • еа1г*,

Ь(Т) = ж20 + Х10 • а2 • еа1г* • 1 • (еыт — еыг*). В силу (3) будем иметь функционал в виде функции ф(Ь*) = 71 • е-^т • жю • еа1г* + 72 • е-^т

V

(15)

Условие Ф^* = 0 даст единственную подозрительную на локальный экстремум точку

ь* = т — 1 • ,

V а1 • (71 • V + 72 • а2)

которая по условиям теоремы 2.1 находится внутри отрезка [0, Т]. Действительно,

ф'(Ь*) = 71 • е-^т • жю • а1 • еа11* + 72 • е-^2т • жш • а1 • а2 • 1 еа1** • еыт—

—72 • е-^2т • ж10 • (а1 + V) • а2 • V е(а1+ы)г* = 0. Следовательно, 71 • е-^1т • а1 + 72 • е-^2т • а1 • а2 • 1 еыт — 72 • е-^2т • (а1 +

+ V) • а2 • 1 еыг* =0.

Отсюда, так как V — ц2 = —у1, имеем еыг* = 0тО '72 , то есть

vtl = vT + 1п .

1 (ы+а1) а ^2

. ж10 • а2 а11* ( ыт ыг ж20 +--• еа1г • [еы± — еыг

Нетрудно показать, что Ф"(гЦ) < 0 при условиях теоремы, т.е. точка г\ дает локальный максимум функции (15). Действительно,

Ф"(г*) = 71 • е-^т • хю • а2 • еа1Ь* + 72 • е-^т • хю • а2 • а2 • 1 еа1Ь* е"т—

-Y2 • e ^2T • Х10 • (ai + v)2 • • - e

(ai+v )t*

n vtt (7iv+72a2)•e ^iTai / \

С учетом того, что e 1 = (v+ai) e-WJI a2 72 (см- выше), получим, вводя естественную положительную константу,

const • Ф"(¿1) = —Yival — Y2a2 < 0,

так как по условию теоремы 2-1 v + ai > 0, где ai > 0, то есть v > 0.

В силу непрерывности функции (15) и единственности внутри [0,Т] локального максимума точка t = t* будет давать наибольшее значение функции (15) на всем отрезке [0,Т].К доказательству теоремы 3-1- Покажем, что в условиях теоремы 3-1 точка переключения t* будет давать максимальное значение функционала-Решая (2) при

= (0, t & [0,п

u(t) = \i, t & [t*,T],

получим

= Хлп ■ eai(T-t*)

ii(T) = Х10 • e

6(T) = Х20 +

xio•a2

• (e — 1).

В силу (3) будем иметь функционал в виде функции Ф(^) = Yi • e-^iT • xio • eai(T-tt) + 72 • e-^T

. xi0 • a2 vt* a2 • xi0 Х20 +--• e--

Условие Ф^» = 0 даст единственную подозрительную на локальный экстремум точку

ti = T —

i

ln

72 • a2

а1 + V 71 • а1

которая по условиям теоремы 3.1 находится внутри отрезка [0,Т]. Действительно,

Ф'(г*) = —71 • е-^т • хю • аг • еа1(т-» + 72 • е-^т • хю • а2 • е^ = 0.

Отсюда имеем

7i • e

• P-^iT • ai • eaiT • e-ait*l = 72 • p-V2T • a2 • evt

72 • e 2 • a2 • e

7i • e-^iT • ai • eaiT = y2 • e-^2T • a2 • e(ai+v)tl,

;(ai+v)t\ = 7i • ai • e(ai+v)T

" 72 • a2 '

v

(а1 + V)(£1 — Т) =1п .

72 • а2

Нетрудно показывается, что ф''(£Ц) < 0 при условиях данной теоремы. Действительно,

ф''(£*) = 71 • е-^т • жю • а2 • еа1(т-г*) + 72 • V • е-^т • жю • а2 • еыг*, ф''(£*) • еа1г* = 71 • е-^т • жю • а2± • еа1т + 72 • V • е-^т • жю • а2 • е(а1+ы)г*, где

т . а . еа1т

e(ai +v)ti = --^- (см. выше).

Y2 ■ e■ a2

Следовательно,

<b"(t*) ■ eait"ï = yi ■ e(ai-^l)T ■ xio ■ a1 ■ (ai + v),

где по условию теоремы 3.1 ai + v < 0. Далее рассуждаем, как в теореме 2.1.

Пусть v = 0. Из рассмотренных выше четырех случаев в силу ai > 0 остаются два первых случая, а именно:

Случай 1. hi(T) ^ 0, т.е. ai ■ 7i ^ a2 ■ 72. Здесь U(t) = 1 при t e [0,T].

Случай 2. hi(T) < 0, т.е. ai ■ 7i < a2 ■ 72. Здесь либо подслучай 2.1 и

f 1, t e [0,t*], u(t) = <

{ 0, t e (t*,T],

либо подслучай 2.2 и и(Ь) = 0 при Ь € [0, Т].

Этим случаям соответствуют следующие утверждения.

Лемма 1. Если ц1 = ц2, а1 • 71 ^ а2 • 72, то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

и(Ь) = 1, £ € [0,Т] .

Лемма 2.1. Если ц1 = ц2, а1 • 71 < а2 • 72,

Т > 1 — ^ > 0, а1 72 • а2

то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

1, £ € [0,Ь*],

К:

u(t) =

0, t e (t*,T],

где точка переключения t* определяется равенством

гт 1 71

t* = T--+

ai 72 ■ a2

Замечание. Точка переключения г*в данной лемме найдена аналогично как в теоремах 2.1, 3.1.

Лемма 2.2. Если /л1 = ц2, а1 • 71 < а2 • 72,

„1 71 0 <Т <--д

а1 72 • а2

то оптимальное управление в задаче (1) имеет вид

и(г) = 0, г € [0,т] .

Замечание. По правилу Лопиталя нетрудно показать, что

1 а1 • а2 • 72 + а2 • 72 • V 1 71 11т - 1п

^о V а1 • а2 • 72 + а2 • 71 • V а1 72 • а2

Приношу глубокую признательность М.С. Никольскому за внимание к работе.

Список литературы

1. Построение оптимального решения и множества достижимости в одной задаче распределения ресурсов / Ю.Н. Киселев, В.Ю. Решетов, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов // Проблемы оптимального управления. М.: МАКС Пресс, 2007. Вып. 2. С. 106-120.

2. Киселев Ю.Н, Аввакумов С.Н., Орлов М.В. Построение в аналитической форме оптимального управления и множеств достижимости в одной задаче распределения ресурсов // Прикладная математика и информатика. М.: МАКС Пресс, 2007. № 27. С. 80-99.

3. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983. 392 с.

4. Никольский М.С. Упрощенная игровая модель взаимодействия двух государств // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2009. № 2. С. 14-20.

Руренко Елена Николаевна ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики, Вятский государственный университет, Киров.

The optimal solution of a problem of resources distribution

E. N. Rurenko

Abstract. A problem of the optimal control of a nonlinear controlled system with terminal functional is solved using Pontryagin's maximum principle.

Keywords : optimal control, nonlinear controlled system of differential equations, Pontryagin's maximum principle, switch points.

Rurenko Elena ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of higher mathematics, Vyatka State University, Kirov.

Поступила 10.05.2015