Оптимальное оценивание состояний обобщенного MAP-потока событий в условиях непродлевающегося мертвого времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 Управление, вычислительная техника и информатика № 41

УДК 519.21

DOI: 10.17223/19988605/41/2

Д.В. Березин, Л.А. Нежельская

ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ОБОБЩЕННОГО МАР-ПОТОКА СОБЫТИЙ В УСЛОВИЯХ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕГОСЯ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ

Получены явные выражения для апостериорных вероятностей состояний обобщенного MAP-потока событий, учитывающие эффект непродлевающегося мертвого времени. Разработан алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного MAP-потока событий при непродлевающемся мертвом времени. Проведены статистические эксперименты для установления качества оценивания, получены и проанализированы численные результаты. Ключевые слова: обобщенный MAP-поток событий; оптимальное оценивание состояний; метод максимума апостериорной вероятности; непродлевающееся мертвое время.

Интенсивное развитие компьютерной техники и информационных технологий послужило стимулом к созданию важной сферы приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей, телекоммуникационных сетей и т.п. Интенсивность входящих потоков событий в реальных системах и сетях меняется со временем, как правило, случайно, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс [1, 2]; ко второму - потоки с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний [3-5]. Отметим, что МАР-потоки событий [6] относятся ко второму классу дважды стохастических потоков и наиболее характерны для реальных телекоммуникационных сетей [7].

Реальные телекоммуникационные сети работают в условиях полной либо частичной неопределенности, т.е. когда параметры входящего потока неизвестны либо частично известны. Состояния же МАР-потока неизвестны по определению.

В связи с этим при исследовании дважды стохастических потоков событий выделяют два класса задач: 1) оценивание состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) в произвольный момент времени по наблюдениям за моментами наступления событий [8, 9]; 2) оценивание параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [10-12].

Исследование систем массового обслуживания, как правило, осуществляется в условиях, когда все события входящего потока доступны наблюдению. Однако зарегистрированное событие может вызвать период так называемого мертвого времени, в течение которого другие события становятся ненаблюдаемыми для регистрирующего прибора (теряются) [13-15]. Таким образом, эффект мертвого времени приводит к потерям событий потока, что отрицательно сказывается на оценке его состояний. Задача оптимального оценивания состояний МАР-потока событий в условиях непродлевающегося мертвого времени решена в [16].

В настоящей статье приведены аналитические и численные результаты оптимального оценивания состояний обобщенного МАР-потока. Предлагается алгоритм оптимального оценивания состояний, когда решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно получить, располагая только выборкой наблюдений [17]. Сам критерий минимизирует полную вероятность ошибки вынесения решения. Для получения численных результатов оценивания построена имитационная модель потока, с помощью которой проведен ряд статистических экспериментов.

1. Математическая модель обобщенного МАР-потока событий

D =

X1P1 (X1 | X1) X1P1 (X2 | X1) к 2 P1 (X1 | X 2 ) X2P1(X2 | X2

= 1D0D

Рассматривается обобщенный MAP-поток событий с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный стационарный случайный процесс k(t) с двумя состояниями: k(t) = k и k(t) = k2 (k > k2 > 0). Длительность пребывания процесса k(t) в i-м состоянии, i = 1, 2, является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону Fi = 1 - e -kit, i = 1, 2; в момент окончания i-го состояния процесс k(t) переходит с вероятностью Pi (kj | ki) в j-е состояние (i Ф j) с наступлением события; либо с вероятностью P0 (kj | ki) переходит в j-е состояние (i Ф j) без наступления события; либо с вероятностью P1 (k | к) остается в i-м состоянии с наступлением события; либо с вероятностью P0 (ki | k) остается в i-м состоянии без наступления события. (P1 (kj | ki) + P0 (kj | ki) + P1 (ki | ki) + P0 (ki | ki) = 1, i, j = 1, 2, i Ф j). Отметим, что в сделанных предположениях k(t) - марковский процесс.

Блочная матрица инфинитезимальных характеристик [18] процесса k(t) при этом примет вид

- X1 X1P0 (X2 1 X1) + X1P0 (X1 1 X1) X 2 P0 (X1 1 X 2 )+ X 2 P0 (X 2 1 X 2 ) - X 2 Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса k(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса k(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Отметим, что если P0 (k1 | k1) = P0 (k2 | k2) = 0, то имеет место обычный MAP-поток событий [18].

Пусть п i (t 110) - априорная вероятность того, что процесс k(t) в момент времени t принимает значение ki, i = 1, 2, при условии, что функционирование обобщенного МАР-потока началось в момент времени t0.

Лемма 1. Априорная вероятность п1 (t 110) первого состояния процесса k(t) для обобщенного МАР-потока событий удовлетворяет линейному неоднородному [19] дифференциальному уравнению n1(t|t0 )= X 2 [Р1 (XJX 2)+ P0 (X1IX 2 )]- П1 (t|t0 )(X1[P1 (X 2IX1)+ P0 (X 2IX1)]+ X 2 [P1 (X1IX 2)+ P0 (X1IX 2)). (1)

Доказательство осуществляется At -методом [20].

Лемма 2. Априорные вероятности состояний процесса k(t) для обобщенного МАР-потока событий имеют вид

X 2 [P1 (XJX 2 )+ P0 (XJX 2 )]

П1 ((110 )

X1 [Р1 (X 2 I X1) + P0 (X 2 I X1)] + X 2 Р (( I X 2 ) + P0 (X1 I X 2 )]

Л

X2 [P1 (X1IX2 ) + Pp (X1 I X2 )] _ e-(Pl-

- п

e

X1 [P1 (X2 I X1 ) + P0 (X2 I X1)] + X2 [P1 (X11 X2) + P0 (X11X2 )]

п 2 (t 110 )= 1 - п1 (t 110) с начальными условиями в момент t0 вида

п1 (t0 110 )= п , п2 (t0 110)= 1 - п , P1 =k1 [P1 (k2 I k1) + P0(k2 I k1)], P2 =k2[P1 (kjk2)+P0(kjk2)].

Доказательство проводится интегрированием уравнения (1).

Следствие леммы 2. Априорные финальные вероятности [21] состояний процесса k(t) для обобщенного МАР-потока событий при t ^ да (или t0 ^ -да) имеют вид

п =_X 2 [Pj (X1 I X2 ) + P0 (X1 I X2 )]__(2)

1 X1P1 (X 2IX1)+ P0 (X 2IX1)] + X 2 Р (X1IX 2 )+ P0 (X1 I X 2 )]' п 2 = 1 - п1 .

После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного обобщенного MAP-

потока недоступны наблюдению [22]. По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д. Пример возникающей ситуации приведен на рис. 1, где 1 и 2 — состояния процесса А,(?), t\, ?2... — моменты наступления событий в наблюдаемом потоке, жирной линией обозначены длительности мертвого времени, черными кружками - события обобщенного МАР-потока, недоступные наблюдению.

PiO.iI/.i)

1 1М г Рс(>.2|>.г) 4 гч ■ г Р1(>.2|/.г) й ' ! — 1 ТТ" ! £1 I

1

| Процесс I ■ I 1

Ч>-<Н>-

Обобщенный МАР-гк5ток событий

Л>

-•-О

Схема создания мертвого времени

-О-о-

ь ь

Наблюдаемый поток событий

Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий

Процесс Х(^ принципиально ненаблюдаем (скрытый марковский процесс), а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий потока t\, t2..., поэтому необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса Х(?) (или обобщенного МАР-потока) в момент окончания наблюдения.

Рассматривается стационарный режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (?0, 0, где t0 - момент начала наблюдений, t - момент вынесения решения о состоянии процесса Х(^, пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить ^ = 0. Для вынесения решения о состоянии процесса Х(0 в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности н(Х, | ^ = н(Х, | t1, ..., tm, I = 1,2, того, что в момент времени t значение процесса Х(^ = Х, (т - количество наблюденных событий за время при этом ^(Х1 | ^ + н(Х2 | t) = 1. Решение о состоянии процесса Х(^ выносится путем сравнения вероятностей: если н(Х, | t) > н(Ху | t) , г,у = 1, 2, I Фу, то оценка состояния Х(t) = Хг-, иначе Х^) = Ху.

2. Алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного МАР-потока событий

Рассмотрим интервал (4, 4+1), к = 1, 2, ..., между соседними событиями рассматриваемого потока. Момент вынесения решения t будет принадлежать этому интервалу. При этом для начального интервала t1) момент t будет лежать между моментом начала наблюдения ^ и моментом наступления первого события потока. Значение длительности интервала tk+1) есть тк = tk+1 — tk, к = 1, 2, ... . С другой стороны, так как наблюдаемое в момент tk событие порождает период мертвого времени длительностью Т, то тс = Т + п, где п - значение длительности интервала между моментом окончания периода мертвого времени tk + Ти моментом 4+ь т.е. интервал (4, ^^ разбивается на два смежных: первый полуинтервал (4, 4 + Т], второй - интервал (4 + Т, tk+1). Подчеркнем, что условия нахождения апостериорной вероятности н^Х! 0 на полуинтервале (4, tk + Т] и интервале (4 + Т, tk+1) принципиально разные. Кроме того, для нахождения вероятности н^Х^) необходимо точно знать значение Т либо, по крайней мере, предварительно осуществить оценку Т. В противном случае отсутствие такой информации делает попытку строгого нахождения вероятности н^Х^ 0 невозможной. Здесь предполагается, что значение Т известно точно.

Рассмотрим ситуацию, когда Т = 0, т.е. мертвое время отсутствует. Применим методику [24] получения рекуррентных соотношений для апостериорных вероятностей ^(А,г| ?), I = 1, 2.

Пусть наблюдения за потоком начинаются в момент времени ? = 0 и время ? изменяется дискретно с шагом Д?: ?(к) = кД?, к = 0, 1, ... . Введем двумерный случайный процесс (Х(к),гк), где Х(к) - значение процесса А,(?) в момент времени кД?, гк - количество событий потока, наступивших на интервале времени ((к - 1)Д?,кД?) длительности Д?, к = 0, 1, ..., т. Поскольку на интервале (-Д?, 0) наблюдение за потоком не производится, то положим г0 = 0.

Обозначим гт = (г0,г^...,гт) - последовательность значений количества наблюденных событий за время от 0 до тД? на интервалах ((к - 1)Д?, кД?) длительности Д?, к = 0, 1, ..., т; р(Х(к),гк | Х(к-1),гк-1) -вероятность перехода процесса (Х(к), гк) за один шаг Д? из состояния (Х(к-1), гк-1) в состояние (Х(к), гк); м>(\(т) | гт) - условная вероятность значения X(т) при условии, что наблюдалась реализация гт . Случайный процесс (Х(к), гк) является марковским. Тогда для дважды стохастических потоков событий с

двумя состояниями справедливо рекуррентное соотношение для апостериорных вероятностей [23]:

X

(Т )р(х (т+1), Гт+1 | X Гт )

^(+1) I ^ )= Х2Х т ^ (() )(----), (3)

(22 ( 22 Цх ) | ^ ))(+1), Гш+1 | X(т), Гт )

X (т)=Х 1 X (т+1)=Х 1

где Цх(т) | гт)= ^(Х(т) | ?), Цх(т+1) | гт+1 )= ^(Х(т+1) | ? + Д?). В связи с тем, что для обобщенного МАР-потока р(х(т+1),гт+1 | X(т),гт )= р(х(т+1) | X(т))р(гт+1 | X(т),X(т+1)), рекуррентное соотношение (3) принимает вид

2 *(х(т) | ?)р(Х(т+1) | X(т))р(гт+11X(т),X(т+1))

41) | ? + Д?)= ХХ(т=ХX-. (4)

( 22 ( iw(x(т) | ?)р(Х(+1) | X(т)))((+11X(т),X(т+1))

X (т)=Х 1 X (т+1)=Х 1

Замечание 1. Компонента Гк вектора наблюдений гт = (г0, г1, ..., гт) может принимать значения Гк = 0 или Гк = 1. Случаи гк = 2,3,... в силу определения обобщенного МАР-потока событий имеют вероятность о(Д?).

Пусть в (4) гт+1 = 0 , т.е. на интервале (?, ? + Д?), где ? = тД?, ? + Д? = (т +1)Д?, нет событий потока. Кроме того, в (4) положим X(т+1) = Х1. Переходные вероятности для обобщенного МАР-потока событий в (4) имеют вид

р(х (+1) = Х11Xт = Х1 )р(гт+1 = 01Xт = Х1, X ("+1) = Х1 )= р(гт+1 = 0, X ^ = Х11X( = Х1 )= = 1 - Х1 (1 - Р0 (х11 х1 ))д? + о(д?) ,

р(х{т+1] = X2 | хт = Х1 )р(г„+1 = 01 Xт = Х1,X("+1) = X2) = р(г„+1 = 0,X("+1) = X2 | X( = Х1) = = Х1Р0 (х2 | Х1 )д? + о(Д?),

р(х{т+1] = Х11 Xт = X2)р(г„+1 = 01 Xт = X2,X("+1) = Х1 )= р(г„+1 = 0,X("+1) = Х1 | X( = X2)=

= X2Р0 (Х1 | X2 )Д? + °(Д?),

р(х(т+1) = х2 | х(") = X2)р(гт+1 = 01X(") = X2,X(-+1) = X2) = р(гт+1 = 0,X^ = X2 | X( = X2)= = 1 - X2 (1 - Р0 (х2 | X2))Д? + о( . Тогда справедлива следующая лемма.

Лемма 3. На временных интервалах (?0, ?1) и (?к, ?к+\), к = 1, 2, ..., апостериорная вероятность

?) удовлетворяет дифференциальному уравнению

V ( | X) = [[ ( ( 2 1^2 ) + Ро (1 | X 2 ) - 1) - X! (( (2 ) + Р> (1) - 1] ( | X) +

+ [ (1 ^ )-Х 2 Ро (X 2 |Х 2 )- 2Х 2 Ро (Х1 |Х 2 )-Х1 + Х 2 ]] | X )+Х 2 Р, (Х1 | X 2 ); (6)

х, < х < гк < х < Хк+1> к =1»2» - •

Доказательство. Подставляя (5) в (4), выполняя необходимые преобразования и переходя к пределу при Ах ^ о, получаем дифференциальное уравнение Риккати (6). Лемма доказана.

Пусть в (4) гт+1 = 1, что соответствует случаю наблюдения одного события потока на интервале

времени (X, X + Ах), допустим, в момент времени хк. Для определенности в (4) положим X (т+1) = .

Рассмотрим два смежных интервала (X, 4) и (хк, х + Ах), длительности которых есть Ах' = хк - X и АХ'' = X + Ах - хк соответственно. Тогда с учетом сделанных обозначений (4) принимает вид

(У ^((т) | хк - Ах')р^(т+1) = Х1 | X(т))р(гт+1 = 11 X(т),X(т+1) = Х1) X (т) = X

1 х^ + Ах'') = xг2-;-г^-^-г. (7)

У ( У ^((т) | хк -Ах ')p(х(m+l)|X(т ))(гт+1 = 1| X(т), X (т+1))

X(т )=X 1 X (m+l)=X 1

В этой ситуации переходные вероятности для обобщенного МАР-потока событий в (7) выпишутся в виде

Рр (т+1) = ^ | X(т) = X1 )р(гт+1 = 11X(т) = X (т+1) = X1) = X1P1 (X11 X1 )Ах + о (Ах),

Рр (т+1) = X 2 | X(т) = Xl )р(гт+1 = 11 X(т) = Xl, X (т+1) = X 2 )= \Р1 (X 2 | Xl )Ах + о (Ах),

(т+1) = Xl | X(т) = X2)р(гт+1 = 11 X(т) = X2,X(т+1) = X!)= X2Р (Xl | X2) + о() , (т+1) = X2 | X(т) = X2)р(гт+1 = 1 | X(т) = X2,X(т+1) = X2)= X2Р (X2 | X2) + о(Ах) . (8)

Для обобщенного МАР-потока событий имеет место следующая лемма.

Лемма 4. Апостериорная вероятность ^А,^ X) в момент хк, к = 1, 2, ..., наступления события модулированного МАР-потока определяется формулой пересчета

|х + о) =_>чР (1 | ^ | хк - о)+X 2 Р1 (Xl | X 2 )w(x 2 к - о)_

1 к ' X 2 [[1 (1^2 )+ Р1 (2 | X 2 )М(| хк - о)+ Xl [Р1 (2^1)+ Р1 (х^ | хк - о) ^

где ^(2|хк - о) = 1 - wpl|Xk - о).

Доказательство. Подставляя (8) в (7), учитывая при этом, что w(X2 | хк - Ах')= 1 - w(X11 хк - Ах'), и переходя к пределу Ах ^ о (Ах'^ о и Ах"^ о одновременно), получим утверждение леммы. Лемма доказана.

Замечание 2. В точке хк вероятность w(Xl| X) претерпевает разрыв (имеет место конечный скачок). Вероятность w(Xl| хк + о) зависит от значения w(Xl| хк - о), где w(Xl| хк - о) - значение вероятности w(Xl| X) в момент времени хк, когда w(Xl| X), определяемая в уравнении (6), изменяется на интервале (хк-ь хк), соседнем с интервалом (хк, хк+1), к = 2, 3, ... . Таким образом, в значении w(Xl| хк + о) «сосредоточена» вся предыстория наблюдений за обобщенным МАР-потоком, начиная от момента хо = о до момента хк. В качестве начального значения w(Xl| хо + о) = w(Xl| хо = о) на полуинтервале [хо, XI) выбирается априорная финальная вероятность первого состояния процесса Х(х), представленная в (2).

Леммы 3, 4 позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема. Поведение апостериорной вероятности w(Xl| X) на временных интервалах (хо, XI) и (хк, хк+1), к = 1, 2, ., определяется явными формулами

А |х)= - w(Xl | хк + о)]- W2[wl - | хк + о)>-А^2-WlХх-к) (1о)

W2 - wРl|Xk + о) - [ - *(|хк + оГ^1)((-хк) , ( '

- В -Vв2 - 4АС - В + 7В2 - 4АС

=-, w2 =-,

1 2 А 2А

А = X 2 (Ро (х 2 | х 2 ) + Ро ( | х 2 )-1) - Х1 (Ро (X 2 | Х1) + Ро (Х1 | Х1)-1) * о

В - kjР0 (kj I kj ) - k2p0 (k 2 I k2) - 2k2p0 (k1 I k2) -k1 + k 2 C - k2P0 (k1 1 k2);

для А - 0

Kkjo -((+B • ^лчЪ^- C

w(kjt) --, (11)

В

t0< t < t1, tk< t < tk+b k- 1, 2, ...; w(k1| tk + 0) определена формулой (9), w(k1 110 + 0)-л1; где л1 определена в (2).

Возвратимся к ситуации, когда длительность мертвого времени T Ф 0 (см. рис. 1). Тогда вычисление вероятности w(k1| t) по формуле (10) справедливо на интервале (tk + T, tk+1). При этом начальное условие для w(k1| t) привязывается к моменту времени tk + T, т.е. в формуле (10) нужно заменить w(k1| tk + 0) на w(k1| tk + T) и tk + T< t < tk+1, k - 1, 2, ... . Формула (9) остается без изменения, так как предназначена для вычисления w(k1| t) в момент tk наступления события, которое порождает мертвое время. Рассмотрим полуинтервал (tk, tk + T], k - 1, 2, ... . На этом полуинтервале событие имеет место в граничной точке tk, на самом полуинтервале события отсутствуют.

Утверждение. Поведение апостериорной вероятности w(k1| t) на временных полуинтервалах (tk, tk + T], k - 1, 2, ., определяется явной формулой

w(k1 11) - ^ + [w(k1 | tk + 0)- ^ ]e-(р1+р2)(t-tk), (12)

P1 - к^ (к2 | ) + Р0 (X2 | k1)], в2 - к2 [P1 (^ |к2) + P0 (^ |к2)], tk< t < tk + T, k- 1, 2, ...; w(k1| tk + 0) определена формулой (9); л1 определена в (2).

Доказательство. В течение периода мертвого времени Т, т.е. на полуинтервале (tk, tk + T], k - 1, 2, ., обобщенный МАР-поток событий является ненаблюдаемым. В этой связи поведение апостериорной вероятности w(k1| t) на (tk, tk + T] аналогично поведению априорной вероятности n1(t 110) первого состояния процесса k(t) для обобщенного МАР-потока событий (лемма 2); разница лишь в задании начального значения w(k1| t) в момент времени tk наступления события наблюдаемого потока. Нетрудно показать (лемма 1), что вероятность w(k1| t) на полуинтервале (tk, tk + T], k - 1, 2, ., определяется уравнением

+ ((1[[1 (к 2 |kj + Р0 (к 2 | X )] + к 2 [Р1((1 |к 2) + Р0 ((1 |к 2 )])] | t) - к2 [[ (к1 |к2) + Р0 ((1 | к 2 )]

dt

с начальным условием w(k1| t = tk) = w(k1| tk + 0), k- 1, 2, ... . Интегрируя выписанное дифференциальное уравнение, находим (12). Утверждение доказано.

Полученные формулы позволяют сформулировать алгоритм расчета вероятности w(k1| t) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса к(0 в любой момент времени t (алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного MAP-потока):

1) вычисляется априорная вероятность нахождения процесса в состоянии k1 в момент начала наблюдения t0 по формуле (2);

2) на промежутке (t0, t1) по формуле (10) или (11) в зависимости от значения коэффициента А вычисляется апостериорная вероятность w(k1| t) в любой момент времени t, где в качестве w(k1| t0 + 0), t0 -момент начала наблюдения, используется значение я1;

3) в момент наступления события tk апостериорная вероятность w(k1| tk + 0) рассчитывается по формуле (9). Здесь в качестве w(k1| tk - 0) используется значение, вычисленное по формуле (10) или (11) в момент времени t = tk-1, k- 1, 2, ..., при этом w(k1| tk + 0) заменяется на w(k1| tk-1 + 0), а tk- на tk-1;

4) на промежутке (tk, tk + T] апостериорная вероятность w(k1| t) вычисляется по формуле (12), где w(k1| tk + 0) - значение, вычисленное на предыдущем шаге алгоритма по формуле (9);

5) на интервале (tk + T, tk+1), k - 1, 2, ., значение w(k1| t) рассчитывается по формуле (10) или (11), где в качестве w(k1| tk + 0) используется значение w(k1| tk + T), вычисленное на шаге 4. Далее осуществляется переход на шаг 3. Шаги 3-5 повторяются до момента t окончания наблюдения за потоком.

Параллельно по ходу вычисления w(k1| t) в любой момент времени выносится решение о состоянии процесса к(0: если w(k1| t) > w(k2| t), то оценка состояния k (t) - k1, иначе k (t) - k2.

3. Результаты численных расчетов

Для получения численных результатов построена имитационная модель обобщенного МАР-потока событий с двумя состояниями и проведен статистический эксперимент. Основой для построения имитационной модели являются датчики случайных чисел и метод обратных функций [25]. На первом этапе работы программы строится реализация потока. На втором этапе на основании полученной выборки XI, х2 ..., хп моментов наступления событий в наблюдаемом потоке происходит оценивание состояний потока методом максимума апостериорной вероятности. На рис. 2 изображена реализация потока для а, = 4, А2 = 1, Тт = 5, Т = 1, Р (А1 | АО = о,5, Ро (Х1 | Х1) = о,1, Р1 (X | Х1) = о,3, Ро (Х2 | Х1) = о,1, Р1 (Х2 | Х2) = о,3, Ро (Х2 | X) = о,1, Р, (X! | Х2) = о,4, Ро (X! | Х2) = о,2.

Рис. 2. Реализация обобщенного МАР-потока событий На рис. 3 приведено поведение апостериорной вероятности w(Аl| X) для тех же значений параметров.

Рис. 3. Поведение апостериорной вероятности w(А1| X)

На рис. 4 изображено поведение оценки X (X) процесса >^(х). Тонкая прямая линия проведена на тех временных участках, где поведение X(X) и X (X) не совпадает.

Рис. 4. Поведение оценки Х(х)

Чтобы установить частоту ошибочных решений о состоянии процесса >^(х), проведены статистические эксперименты, состоящие из следующих этапов:

1) для определенного набора параметров осуществляется моделирование потока (-й опыт);

2) по формулам (2), (9), (1о), (12) рассчитывается апостериорная вероятность w(А1| X) и по методу максимума апостериорной вероятности выносится решение о значении процесса (х) в любой момент времени х;

3) определяется значение Ф - суммарная протяженность интервалов времени, на которых поведение X(х) и X (X) не совпадает;

4) вычисляется доля ошибочных решений р г = —L, где Тт - время моделирования;

Тт

5) шаги 1-4 повторяются N раз.

Результатом описанного алгоритма является выборка рь..., рN долей ошибочных решений в N

1 N

испытаниях, на основании которой вычисляются выборочное среднее Ро = — 2 р г - оценка полной

N г=1

вероятности ошибки принятия решения Ро, и выборочная дисперсия S2 = —1— 222 (рг - Ро ) .

N -1 г=1

В первом эксперименте устанавливается зависимость оценки Ро от длительности мертвого времени Т. Данные для эксперимента приведены в табл. 1. Количество экспериментов N = 100.

Таблица 1

Данные для первого эксперимента

Тт = 100 Х = 5; 10; 15 Р1 (Л.1 | Х0 = 0,5 Рс (Л.1 | = 0,1 Р1 (Х | Х1) = 0,3 Ре (Х | Х1) = 0,1

Т = 0; 1; ...; 10 Х2 = 1 Р1 (Х | Х2) = 0,1 Рс (Х | Х2) = 0,1 Р1 (Х | Х2) = 0,7 Ре (Х | Х2) = 0,1

Результаты продемонстрированы в табл. 2 и на рис. 5.

Таблица 2

Результаты первого эксперимента

Т Х = 5 Х = 10 Х = 15

Ро 52 х 103 Ро 52 х 103 Ро 5 2 х 103

0 0,22 1,0 0,13 1,0 0,09 1,3

1 0,25 2,2 0,15 1,1 0,11 1,4

2 0,26 2,3 0,16 1,4 0,11 1,3

3 0,27 2,3 0,16 1,5 0,11 1,3

4 0,27 2,1 0,16 1,0 0,12 1,2

5 0,27 2,2 0,16 1,3 0,12 1,0

6 0,27 2,5 0,16 1,2 0,12 1,1

7 0,27 2,4 0,16 1,1 0,12 1,1

8 0,28 2,1 0,16 1,2 0,12 1,6

9 0,28 2,2 0,16 1,4 0,12 1,5

10 0,27 2,4 0,16 1,3 0,12 1,5

12 3 4 5 6 7 6

Рис. 5. Зависимость Ро от длительности мертвого времени

Результаты свидетельствуют о том, что оценка Р0 растет с увеличением значения Т, так как событий в наблюдаемом потоке наступает меньше, в результате чего уменьшается количество информа-

ции для алгоритма принятия решения о значении процесса X(X)• Также чем больше соотношение X,/X2 , тем точнее оценивание, так как в этом случае состояния потока для алгоритма различимы лучше.

Во втором эксперименте устанавливается зависимость оценки Ро от длительности времени моделирования Тт. Данные для эксперимента приведены в табл. 3. Количество экспериментов N = 1оо. Результаты продемонстрированы в табл. 4 и на рис. 6, 7.

Таблица 3

Данные для второго эксперимента

Тт = 5; 1о; ...; 1оо X! = 5 Р, (А, | а,) = о,3 Ро (А, | А,) = о,1 Р, (Х2 | А,) = о,6 Ро (Х2 | А,) = о

Т = 1 Х2 = 1 Р, (Х2 | Х2) = о Ро (Х2 | Х2) = о,1 Р, (А, | Х2) = о,8 Ро (А, | Х2) = о,1

Таблица 4

Результаты второго эксперимента

Т ± т А! = 5 А! = 7 А! = 1о

Ро 52 х 1о3 Ро 52 х 1о3 Ро 52 х 1о3

1о о,22 1о,о о,18 6,4 о,12 4,4

15 о,22 6,3 о,16 4,1 о,11 2,о

2о о,22 7,3 о,16 3,4 о,12 2,3

25 о,23 3,2 о,15 3,2 о,12 2,1

3о о,2о 3,4 о,15 3,3 о,11 2,2

4о о,21 3,2 о,16 2,1 о,12 1,5

5о о,21 2,о о,16 1,6 о,12 1,1

7о о,2о 2,3 о,15 1,1 о,12 1,4

1оо о,2о 1,4 о,15 1,1 о,12 1,2

О Л) 045 0Д0 0,05 0,00

бЫО3 12,0

10,0

8,0

6,0

4,0

г,0 0,0

10 15 20 25 30 40 50 70 100 Тгп

Рис. 6. Зависимость Ро от времени моделирования

10 15 20 25 30 4 0 50 70 100 Тт

Рис. 7. Зависимость S 2 х 1о3 от времени моделирования

2о

Согласно результатам оценка Pa с ростом времени моделирования практически не изменяется. Однако с ростом времени моделирования выборочная дисперсия значительно убывает и при Tm ~ 100 приближается к значению 0,001. Это означает, что отклонение доли ошибочных решений pt в i-м эксперименте от выборочного среднего P0 достаточно мало и составляет VS2 « 0,03. Таким образом, с ростом времени моделирования P0 сходится к истинной вероятности ошибки принятия решения Pa.

Также результаты показывают, что чем больше k1, тем быстрее убывает S 2 с ростом времени моделирования.

Заключение

В статье предложен алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного MAP-потока при наличии непродлевающегося мертвого времени, приведены численные результаты ряда экспериментов по выявлению зависимости оценки P(y от изменения различных параметров потока. Результаты экспериментов показывают, что оценка возрастает с увеличением длительности мертвого времени, а с увеличением отношения k1 к k2 оценивание состояний процесса к() происходит значительно лучше. С ростом времени моделирования оценка сходится к истинной вероятности ошибки принятия решения Pa.

ЛИТЕРАТУРА

1. CoxD.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1955. V. 51, No. 3. P. 433-441.

2. Kingman J.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proc. of Cambridge Philosophical Society. 1964. V. 60, Issue. 4. P. 923-930.

3. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. Ч. 1 // Изв. АН

СССР. Техническая кибернетика. 1979. № 6. С. 92-99.

4. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. Ч. 2 // Изв. АН

СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 1. С. 55-61.

5. Neuts M.F. A versatile Markovian point process // Journal of Applied Probability. 1979. No. 16. P. 764-779.

6. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch Marcovian arrival process // Communications in Statistics. Sto-

chastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.

7. Дудин А.Н., Клименок В.Н. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск : Изд-во БГУ, 2000.

175 с.

8. Gortsev A.M., Nezhel'skayaL.A., Shevchenko T.I. Estimation of the states of an MC-stream of events in the presence of measurement

errors // Russian Physics Journal. 1993. V. 36, No. 12. P. 1153-1167.

9. ЛеоноваМ.А., Нежельская Л.А. Вероятность ошибки при оценивании состояний обобщенного асинхронного потока событий

// Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 2 (19). С. 88-101.

10. Centanni S. Estimation and filtering by reversible jump MCMC for a doubly stochastic Poisson model for ultra-high-frequency financial data // Stat. Model. 2006. No. 6. P. 97-118.

11. Okamura H., Dohi T., Trivedi K.S. Markovian arrival process parameter estimation with group data // IEEE/ACM Transactions on Networking (TON). 2009. V. 17, No. 4. P. 1326-1339.

12. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1. С. 18-23.

13. Горцев А.М., Леонова М.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 4 (21). С. 14-25.

14. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 2 (27). С. 19-29.

15. Normey-Rico J.E. Control of dead-time process. London : Springer-Verlag, 2007. 462 p.

16. Gortsev A.M., Nezhel 'skaya L.A., Solov'ev A.A. Optimal state estimation in MAP event flows with unextendable dead time // Automation and Remote Control. 2012. V. 73, No. 8. P. 1316-1326.

17. Левин А.А. Теоретические основы статистической радиотехники. М. : Советское радио, 1968. 504 с.

18. НазаровА.А., ТерпуговА.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск : Изд-во НТЛ, 2006. 204 с.

19. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1976. 576 с.

20. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Физматлит, 1961. 311 с.

21. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М. : Физматлит, 1963. 236 с.

22. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск : Университетское, 1988. 256 с.

23. Nezhel'skaya L.A. Optimal state estimation in modulated MAP event flows with unextendible dead time // Communications in Computer and Information Science. 2014. V. 487. P. 342-350.

24. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М. : Советское радио, 1968. 256 с.

25. СобольИ.М. Численные методы Монте-Карло. М. : Наука, 1973. 312 с. Березин Дмитрий Владимирович. E-mail: [email protected]

Нежельская Людмила Алексеевна, д-р физ.-мат. наук, доцент. E-mail: [email protected] Национальный исследовательский Томский государственный университет

Поступила в редакцию 3 сентября 2017 г.

Berezin Dmitriy V., Nezhel 'skaya Lyudmila A. (National Research Tomsk State University, Russian Federation). Optimal state estimation of Generalized MAP under conditions of non-extendable dead time.

Keywords: generalized MAP; optimal state estimation; method of a posteriori probability maximum; non-extendable dead time. DOI: 10.17223/19988605/41/2

The paper deals with Generalized MAP (GMAP) with intensity being piecewise constant stationary process X(t) with two states: 'k(t) = X1 and 'k(t) = X2 (Xi > X2 > 0). The duration of state i (i = 1,2) is an exponentially distributed random variable with distribution

function Fi = 1 - e-X,t, i = 1, 2. When the state i ends the process switches to state j with probability P1 (Xj | X,) at an event, and switches to state j with probability P0 (X,- | X,), i, j = 1, 2, £?=1 (P P j I ^)+ P0 j I ^ ))= 1 without an event. Each registered event at time

instant tk generates dead time period of duration T when the other occurring events of GMAP are not observable. After ending of dead time the first occurring event again generates dead time T. The process X(t) is not observable, only time instants of events t1, t2 ... are observable. It is necessary to estimate states of X(t) (or GMAP) by only these time instants t1, t2 ... .

It is assumed that X(t) is stationary. The observation of the process is performed over the period (t0, t), where t0 is the beginning of observation, and t is the end of observation. To estimate states of X(t) it is necessary to calculate a posteriori probabilities w(X, | t) that at time instant t the process' state X(t) = X,, i = 1, 2. If w(X, | t) > w(Xj | t), i, j = 1, 2, i Ф j, then X(i) = X,, otherwise X (t) = Xj.

The explicit formula for a posteriori probability w(X1 | t) (w(X1 | t) = 1 - w(X1 | t)) at time intervals is derived when GMAP is observable. The recalculation formula of a posteriori probability at time instants tk of occurring an event is derived as well as explicit formula for w(X1 | t) at time intervals, where the GMAP is not observable, i.e. during dead time T. The described numerical results demonstrate high quality of estimation.

REFERENCES

1. Cox, D.R. (1955) The analysis of non-Markovian stochastic processes. Proc. of Cambridge Philosophical Society. 51(3). pp. 433-

441. DOI: 10.1017/S0305004100030437

2. Kingman, J.F.C. (1964) On doubly stochastic Poisson process. Proc. of Cambridge Philosophical Society. 60(4). pp. 923-930. DOI:

10.1017/S030500410003838X

3. Basharin, G.P., Kokotushkin, V.A. & Naumov, V.A. (1979) O metode ekvivalentnykh zamen rascheta fragmentov setey svyazi. Ch. 1

[On the equivalent substitutions method for computing fragments of communication networks]. Izvestiya Akademii Nauk USSR. Tekhn. Kibern. 17(6). pp. 92-99.

4. Basharin, G.P., Kokotushkin, V.A. & Naumov, V.A. (1980) O metode ekvivalentnykh zamen rascheta fragmentov setey svyazi. Ch. 2

[On the equivalent substitutions method for computing fragments of communication networks]. Izvestiya Akademii Nauk USSR. Tekhn. Kibern. 1. pp. 55-61.

5. Neuts, M.F. (1979) A versatile Markovian point process. Journal of Applied Probability. 16. pp. 764-779. DOI: 10.2307/3213143

6. Lucantoni, D.M. (1991) New results on the single server queue with a batch Marcovian arrival process. Communications in Statistics.

Stochastic Models. 7. P. 1-46. DOI: 10.1080/15326349108807174

7. Dudin, A.N. & Klimenok, V.I. (2000) Sistemy massovogo obsluzhivaniya s korrelirovannymi potokami [Queueing systems with cor-

related flows]. Minsk: Belarusian State University.

8. Gortsev, A.M., Nezhelskaya, L.A. & Shevchenko, T.I. (1993) Estimation of the states of an MC-stream of events in the presence of

measurement errors. Russian Physics Journal. 12. pp. 1153-1167. DOI: 10.1007/BF00559693

9. Leonova, M.A. & Nezhelskaya, L.A. (2012) The probability of wrong decisions in the estimation of states of a generalized asynchro-

nous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(19). pp. 88-101. (In Russian).

10. Centanni, S. (2006) Estimation and filtering by reversible jump MCMC for a doubly stochastic Poisson model for ultra-high-frequency financial data. Statistical Modelling. 6. pp. 97-118. DOI: 10.1191/1471082X06st112oa

11. Okamura, H., Dohi, T. & Trivedi, K.S. (2009) Markovian arrival process parameter estimation with group data. IEEE/ACM Transactions on Networking (TON). 17(4). pp. 1326-1339. DOI: 10.1109/TNET.2008.2008750

12. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2002) Parameter estimation of semi-synchronous twice-stochastic event flow using the method of moments. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. Issue. 1. pp. 18-23.

13. Gortsev, A.M., Leonova, M.A. & Nezhelskaya, L.A. (2012) Joint probability density function of interval duration of generic asynchronous event flow in conditions of fixed dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'na-ya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 4(21). pp. 14-25. (In Russian).

14. Gortsev, A.M., Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2014) The joint probability density of duration of the intervals in a generalized semi-synchronous flow of events with unprolonging dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(27). pp. 19-29. (In Russian).

15. Normey-Rico, J.E. (2007) Control of dead-time process. London: Springer-Verlag.

16. Gortsev, A.M., Nezhelskaya, L.A. & Soloviev, A.A. (2012) Optimal state estimation in MAP event flows with unextendable dead time. Automation and Remote Control. 73(8). pp. 1316-1326. DOI: 10.1134/S000511791208005X

17. Levin, A.A. (1968) Teoreticheskie osnovy statisticheskoy radiotekhniki [Theoretical Foundations of Statistical Radio Engineering]. Moscow: Soviet Radio. 504 p. (In Russian).

18. Nazarov, A.A. & Terpugov, A.F. (2006) Teoriya veroyatnostey i sluchaynykh protsessov [Theory of Probabilities and Random Processes]. Tomsk: NTL.

19. Kamke, E. (1976) Spravochnikpo obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Differential Equations]. Translated from German by S. Fomin. Moscow: Nauka.

20. Pontryagin, L.S. (1961) Obyknovennye differentsial'nye uravneniya [Ordinary Differential Equations]. Moscow: Fizmatlit.

21. Khinchin, A.Y. (1963) Raboty po matematicheskoy teorii massovogo obsluzhivaniya [Mathematical Queuing Theory]. Moscow: Fizmatlit.

22. Apanasovich, V.V., Kolyada, A.A. & Chernyavskiy, A.F. (1988) Statisticheskiy analiz sluchaynykh potokov v fizicheskom eksperi-mente [The statistical analysis of series of random events in physical experiment]. Minsk: University Press.

23. Nezhelskaya, L.A. (2014) Optimal state estimation in modulated MAP event flows with unextendible dead time. Communications in Computer and Information Science. 487. pp. 342-350.

24. Hazen, E.M. (1968) Metody optimal'nykh statisticheskikh resheniy i zadachi optimal'nogo upravleniya [Methods of optimal statistical decisions]. Moscow: Soviet Radio.

25. Sobol, I.M. (1973) Chislennye metodyMonte-Karlo [Numerical Methods of Monte Carlo]. Moscow: Nauka.