Оптимальное кодирование в сенсорных сетях с ограниченной пропускной способностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

ОПТИМАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ В СЕНСОРНЫХ СЕТЯХ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТЬЮ*

Г. М. Жерлицын1, А. С. Матвеев2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Интенсивный интерес к сенсорным сетям обусловлен достижениями в области электроники, выразившихся в массовом производстве недорогих и эффективных устройств с сенсорными, вычислительными и коммуникационными способностями, а также многочисленными преимуществами сетей перед традиционными сенсорами. Приложения таких сетей включают оборонные системы, контроль качества производства, мониторинг районов и протяженных объектов, ансамбли автономных мобильных роботов и др.

Потенциал сенсорных сетей может быть раскрыт лишь за счет эффективных протоколов обмена и обработки данных [13]. Ключевое требование к ним — кооперация сенсоров во избежание дублирования и для увеличения суммарной информации от сети. Это особо актуально ввиду типичных для сенсорных сетей коммуникационных ограничений: хотя сети в целом может быть выделен канал связи большой емкости, каждому из многочисленных сенсоров обычно достается лишь ее малая часть, что приводит к квантованию измерений, связанной погрешности и принудительному ограничению объема отправляемой с сенсора информации.

Вопросы децентрализованного кодирования данных изучались традиционной многотерминальной теорией информации, начиная с классических работ [9, 12]. Исходящие из этого источника исследования сосредоточены на пределах качества, достижимых при неограниченном наращивании сложности кода и его длины. Этот фокус не отвечает потребностям систем реального времени, где важна быстрая передача данных и оптимизация одного временного такта работы сети. Такая оптимизация созвучна проблеме распределенного квантования данных [6], которой также посвящена обширная литература; ее обзор представлен в [4, 11].

Упомянутые работы, как и теория информации в целом, следуют вероятностному подходу. Он предполагает статистическое знание неопределенностей и гарантирует успех лишь с определенной вероятностью, не исключая неудачи. Этого, однако недостаточно для многих задач управления, где часто важны твердые гарантии определенного уровня качества. Их дают робастные системы и подходы, если погрешности моделирования остаются в заданных границах. Поэтому применение сенсорных сетей к задачам управления мотивирует интерес к проблеме робастного распределенного квантования и кодирования. Она сфокусирована на минимизации погрешности при наихудшем сценарии, а не при ожидаемой ошибке. Этот подход интересен и при отсутствии или ненадежности статистических данных.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №12-01-00808, 09-08-00803, 1108-01218) и федеральной программы «Научные и педагогические кадры» (проект 16.740.11.0042).

© Г. М. Жерлицын, А. С. Матвеев, 2012

Исследование этой проблемы было начато лишь недавно в работах [7, 5, 10], посвященных управлению по каналам связи конечной емкости. Однако решения были получены лишь при нереалистичном предположении об отсутствии ошибок в измерениях сенсоров. При некоторых технических различиях идейно они вполне однородны и сводятся к общему алгоритму.

Данная работа посвящена более реалистичной постановке: измерения сенсоров искажены шумами заданных уровней. Каждый сенсор передает показания по заданному каналу связи с конечной пропускной способностью, измеряемой в битах в секунду. Обратная передача информации, а также обмен данными между сенсорами невозможен. Алгоритмы кодирования и декодирования данных не заданы, а подлежат построению из условия минимизации наихудшей итоговой погрешности реконструкции измерения в центре принятия решения.

Показано, что в случае неточных измерений ранее известный алгоритм [7, 5, 10] не только теряет оптимальность, но и потенциально дает неприемлемую погрешность. Это например иллюстрирует тот факт, что для него эффект от увеличения числа сенсоров и емкости каналов связи в противоположность здравому смыслу негативен. Этот парадокс устраняется при применении оптимальной схемы, найденной в работе. Именно, произведен расчет минимальной достижимой максимальной погрешности и предложен оптимальный алгоритм кодирования, для которого эта минимальная погрешность достигается.

2. Постановка задачи. Каждый из N сенсоров, занумерованных индексом i £ [1 : N], измеряет общую величину x £ R с индивидуальной погрешностью ^: показание i-го сенсора yi = x + ^. Погрешность не превышает заданного порога | < £j и в указанной границе произвольна. Результат измерений интересен в удаленном от сенсоров пункте A, куда каждый из них может передать лишь фиксированное число bi > 1 бит информации. Для этого сенсор снабжается кодером, трансформирующим измерение yi в ^-битовое сообщение qi. Биты при передаче не искажаются. На основе сообщений от всех сенсоров в пункте А строится оценка х величины х. Алгоритмы кодирования г/i I—> rji и декодирования </i,..., </дг ► х подлежат построению, так чтобы ошибка оценивания была минимальна: \х — х\ —> min.

Считаем, что x — циклическая переменная: x и x +1 отвечают одной и той же величине. Типичным и важным примером являются, после масштабирования, угловые величины. Соответственно, x и yi рассматриваем как элементы фактор-пространства T = R mod 1.

Предполагаем, что декодер распознает источники сообщений. Тогда i-й кодер и декодер задаются отображениями:

N

Ci : T ^ [0 : 1][i=bi] =: Bi, D : Ц Bi ^ T. (1)

i=1

Здесь [bi : b2] —совокупность целых чисел b £ [bi,b2], а [0 : 1][1:—множество всех последовательностей ß : [1 : b] ^ [0:1]. Система оценивания A образована кодерами и декодером:

А -

Ci (.),C2(-),...,Cn (■), D(-) . (2)

Максимально возможная погрешность такой системы

ЕггтаХ[Л]= вир \х — (УN )]| , (3)

х,yiET: | х-у^

где |а — 6| интерпретируем как расстояние в факторпространстве.

Требуется построить систему, минимизирующую эту погрешность:

Errmax [A] -► inf . (4)

Так как работа сфокусирована на эффектах, вызванных квантованием данных, считаем, что погрешность квантования выше погрешности сенсоров:

max(ei,...,£N} < 2-(bl+-+bN+1). (5)

Основные моменты излагаемого далее решения переносятся на нециклические величины x £ R из заданного интервала [a, b]. При этом ответ оказывается более громоздким из-за модификации оптимальной системы вблизи концов интервала вследствие дополнительной априорной информации x £ [a, b]. Ввиду ограничений на объем работы авторы рассматривают соответствующие детали как предмет последующих публикаций.

3. Погрешность простой схемы кодирования. Для точных измерений y = x решение задачи дано в [7, 5, 10] и состоит в следующем. Измерение y = x записывается в двоичной системе счисления, первый сенсор передает первые b1 разрядов записи, второй — следующие b-2 разрядов, и так далее; декодер объединяет сообщения в надлежащем порядке и интерпретирует полученное (J^i b^-разрядное число как двоичную запись оценки х. При £j = 0 этот алгоритм Л* (именуемый далее простым) оптимален, а его погрешность (3) равна правой части (5). Этот алгоритм соответствует ряду общих методов распределенного кодирования коррелированных источников информации, ориентированных, в отличие от данной работы, на усредненный критерий качества (ожидаемую погрешность), в которых классический случайный биннинг заменен детерминированной схемой [2, 3, 8, 11, 14].

Предложение 3. В случае неточных измерений £ > 0 Vi погрешность простого алгоритма

Errmax[A*] = 2-bl + £1 - 2-(bl+ ' + bN + 1). (6)

Замечание 1. Это вскрывает парадоксальные свойства алгоритма A* в случае неточных измерений. Увеличение числа сенсоров N или суммарной емкости каналов связи b := Ъ-2 + • • • + Ьдг за исключением первого ухудшает точность оценивания (6); наилучшее решение — использовать один первый сенсор. При неограниченном увеличении N (либо 6) и точности измерений £j —> +0 Vi погрешность оценивания Errmax[A*] ^ 2-bl > 0 не стремится к нулю.

Доказательство утверждения 3. Оценка погрешности снизу. Пусть

x £ j • 2-bl ,j • 2-bl + £i) , где j £ [l:2bl - 1]. (7)

Тогда существует такой шум |^1| <£1,что j ^2-bl -2-bl-b2-—-bN < y1 = x+^1 < j-2-bl. При := 0 Vi > 2 сенсоры i > 2 передают одни нули в силу (5), а сообщение от первого сенсора указывает на [(j — 1) • 2~bl,j ■ 2~bl). Поэтому х = (j — 1) • 2~bl +

2-bi-b2-...-bN-1 и

\x-x\ = \x - (j - 1) ■ 2-bl -2-bl-b2---bN-1\ = = |(x - j • 2-bl) +2-bl - 2-bl-b2-...-bN-1| .

Так как х — ] ■ 2 Ь1 пробегает (0,е^ при ограничении (7), переходя к супремуму, получаем

£ггтах[л*] > £1 + 2-Ь1 — 2-Ь1-Ь2--Ь^-1 =: £тах- (8)

О ценка по грешности сверху. Рассмотрим отдельно два случая. 1. Для всех 3„ € [0 : 2Ь^ — 1 ,г € [1 : N],

— ^ jv 2-(blH +bv )

> £r. (9)

Тогда все сенсоры верно определяют первые ^ b разрядов двоичной записи числа х. Следовательно, декодер верно их восстанавливает, и \х—х\ < bbjv+i) < emax.

2. Неравенство (9) нарушается для некоторых jv £ [0 : 2bv — 1 и r £ [1 : N]. Рассмотрим среди них набор с наименьшим r. Как и ранее, сенсоры i < r — 1 верно определяют первые ^Г_1 bi разрядов двоичной записи x. В силу (5) сенсоры i > r в зависимости от своей погрешности посылают либо одни нули 00 . . . 0, либо одни единицы 11... 1. Сенсор r показывает в качестве интервала локализации x один из интервалов длины 2_(bl + +br), примыкающий к x* :— V=i jv2_(bl + +bv). Следовательно, возможны две наихудших ситуации:

x = x — 2_(bH-----+br) i 2—(bi+-----+bN + 1) x [x x i £ )•

Js - Js* ¿a ¿a 7 Js £ [«*•'* } ^T ^r ) 1

x —x —vbr) _г>-(bl^—hbjv+i) x p гх _ p x ч

x - x* + 2 2 , x £ [x* Cr , x* ).

В обоих случаях

(5)

|x - x\ < er + 2-(bl+^+b-) - 2_(blH Hbjv+i) V £l + 2-bi _ Hbjv+i) = emax.

Доказательство завершается объединением нижней (8) и верхней оценок.

4. Оптимальная схема кодирования для двух сенсоров. Заметим, что перенумерацией всегда можно обеспечить неравенство ei > £2.

Теорема 1. При N — 2 и £i > £2 минимальная погрешность оценивания

inf Errmax[A] — 2_bl_b2_ + £2 + 2_b2 (ei — £2). (10)

Для описания оптимального алгоритма A0 распределенного кодирования обозначим

(5)

Aj :— [j2_bl, (j + 1)2_bl), t - 2_(bl+b2) — (1 — 22_b2) (£1 — £2) > £1 + £2 > 0, (x mod 2_bl) :— x — [x2blJ 2_bl, где |_aj :— ma^k : k < a, k — целое}.

На интервале Ao — [0, 2_bl) выделим два крайних подынтервала So :— [0,t), S2b2 _1 :— [2_bl — t, 2_bl) , а оставшуюся часть [t, 2_bl — t) разделим на 2b2 — 2 подынтервала S1,..., S2b2 _2 равной длины (2_bl — 2t)/(2b2 — 2). Для Sm с m — 0, 2b2_2 определим точку восстановления sm как середину подынтервала; для So и S2b2 _1 возьмем so :—

(5)

s и s2b2_1 :—2_bl — s, где s :—(£2 — £1 +1)/2 £ (0,t).

Алгоритм распределенного кодирования A2

Кодер 1: 1.1) находит такой интервал Д^-, что yi G Д^ ; 1.2) записывет его номер j в двоичной системе j ~ (п1,П2, • • • , % ), дописывая при необходимости нули слева для формирования битовой последовательности полной длины bi; 1.3) передает ее по каналу связи.

Кодер 2: 2.1) находит интервал Д^, содержащий измерение y2 G Д^ ; 2.2) повторяя операцию 1.2, строит свою битовую строку k ~ (ci,..., съ1 ); 2.3) находит интервал Sm, содержащий (y2 mod 2-bl); 2.4) записывет его номер m в двоичной системе m ~ (di, ¿2, • • •, db2 ), добавляя в случае необходимости нули слева для формирования битовой последовательности полной длины 62; 2.5) кодирует эту последовательность путем двоичного суммирования ф ее членов с битом съ1 , полученным на шаге 2.2, то есть пъ1+1 := di ф съ1 ,Пъ1+2 := ¿2 ф съ1 , • ••,пъ1+ъ2 := ¿ъ2 Фсъ1 ; 2.6) передает полученную последовательность пъ1+i, • • •, Пъ1 +Ъ2.

Декодер: d.1) восстанавливает номер j из 1.1 на основе переданных битов (г/1,..., r/bi ) из 1-2; d.2) строит оценку то номера то из 2.4, реверсируя 2.5 на основе доступных битов: то— целое число, представляемое в двоичной системе счисления строкой (0!, • • • ,0b2), где 0! := %+i Ф %, #2 := %+2 Ф %, • • •, 0Ъ2 := %+Ъ2 Ф % ; d.3 строит оценку ж := j2~bl +

Таким образом номер m кодируется битом, найденным вторым сенсором, а восстанавливается на основе бита, полученного от первого сенсора.

Теорема 2. Алгоритм A0 оптимален: он обеспечивает погрешность оценивания (10).

Доказательство теорем 1 и 2. Оценка погрешности снизу. Интерпретируем T = R mod 1 как окружность единичной длины. Для любой системы оценивания A = [Ci(-),C2(-),D(-)] введем множества уровня Lj(sj) := |yj G T : Cj(yj) = Sj}, где Sj G [0 : 1][i:bi]. Расстояния между точками окружности измеряем в ее стандартной метрике. Для S > 0 и E С T символом E5 обозначим совокупность точек окружности, отстоящих от множества E на расстояние <

Так как образ ImCi(-) С [0 : 1][i:bll содержит не более 2bl точек si, а множества Li(si) образуют разбиение T, мера Лебега mes одного из них si = s* не меньше 2-bl. Вследствие неравенства Брунна—Минковского [1]

mes [Li(s*)]ei-£2 > 2-bl + 2(ei - £2)-

Так как образ C2 ^[Li(s*)]£l £2j С [0 : 1][i:b2l содержит не более 2b2 точек s2, а множества уровня L2(s2) попарно дизъюнктны, для некоторого s2 = s*

me^ [Li(sî)]£l-£2 П l2(s*^ > 2-b2 [2-bl + 2(£i - £2)] • Повторно применяя неравенство Брунна—Минковского, устанавливаем, что

mes { [Li(s*)]ei-£2 П L2(s*)}^ > 2-b2 [2-bl + 2(£i - £2)] + 2£2^ (11)

4-v-'

L

Для произвольной точки x G L найдется такое £2 G (—£2,£2), что y2 := x + £2 G [Li(s*)]£l £2 П L2(s*), и поэтому C2(y2) = s*. Так как при этом y2 G [Li(s*)]£l £2,

найдется такое Д£, что |Д£| < £1 — £2, У1 := У2 + Д£ € ^(в*), и поэтому С (ух) = в*. Так как погрешности |у2 — х| < £2 и |у* — х| < |у1 — у21 + |у2 — х| = |Д£| + |у2 — х| < £* —£2+£2 = £1 меньше границ возможных шумов, у — возможные показания сенсоров при истинном значении измеряемой величины х. При этом на вход декодера попадает [в*, в2], а с выхода снимается х* := Д^!, в*]. Таким образом, общее значение х* оценки х может встретиться для всех х € Ь. Следовательно,

(3) 1 (11) 1

Егттах[Л] > 8пр|ж-ж*| > -теьЬ > - {2^ [2^+2{£1 - е2)] +2е2) = жеь 2 2

= 2-Ь1-Ь2-1 + £2 +2-Ь2 (£1 — £2).

Оценка погрешности сверху для Л2- Рассмотрим отдельно два случая.

1. у1 V у2(шоё 2_&1) € 21,..., 22Ь2_2. Оба сенсора определяют один и тот же интервал длины 2~&1 как интервал локализации измерения, т. е. 3 = к. Поэтому то = то, декодер восстанавливает показания второго сенсора и

1 2_ь1 — 24

\х-х\< \х-у2\ + \у2-х\<е2 + -- 2&2_2 =2-Ь1-Ь2-1+£2+2-Ь2(£1 -£2).

2. у1 А у2(шоё2_&1) € 21,..., 22ь2 _2. Если у1 > 3 ■ 2_&1 и у2 > 3 ■ 2_&1 или У1 <3 ■ 2_&1 и у2 <3 ■ 2_&1, то первые 61 бит в двоичном представлении у у1,у2 и х одинаковы. Получаем

\х-х\ < \х-у1\ + \у! -х\ <е2+г-з = 2-Ь1-Ь2-1+е2+2-Ь2(£1 - е2).

2.а) у1 > 3 ■ 2_Ь1, у2 < 3 ■ 2_Ь1. Тогда у1 € 2о и у2 € 22Ь2 _2, а если у2 € Д,-, то у1 € Д^+ь Это означает, что первые (61 + 62) бит бинарных строк кодеров выглядят следующим образом: П1 ... Пь100 ... 0 и С1 ... еь111... 1, где пь1 = сь1. Поэтому декодер определяет в качестве номеров интервалов Д и 2 строки П1 ... Пь1 и 00 ... 0 соответственно и таким образом восстанавливает данные первого сенсора. Следовательно,

\х-х\ < \х - У\\ + \У1-Х\ < £1 + 5 = 2-61-62-1 + £2 + 2-б2(£! - £2). (12)

2.Ь) у1 <3 ■ 2_&1, у2 > 3 ■ 2_&1 рассматривается аналогично.

Объединяя сделанные выводы, в соответствии с (3) получим (10). □

5. Произвольное число сенсоров. Обеспечим за счет перенумерации неравенства

£1 > £2 > £3 > ... > £*.

Теорема 3. Минимальная погрешность оценивания (3) равна

1 *

ттЕггтах[Л] = := -2-Ьг---Ьм + ^ 2-ьк---б* ^ _ + (13)

й=2

Таким образом, простая схема кодирования не оптимальна, а ее парадоксальные свойства из замечания 1 не переносятся на оптимальную схему: оптимальная точность оценивания (13) улучшается как при росте суммарной емкости ^ 1 6^ сети, так и при добавлении сенсоров, и стремится к нулю при неограниченном увеличении количества сенсоров и их точности.

Оптимальный алгоритм кодирования использует разбиение окружности T на M := 20l + +0n подынтервалов Sj = , 1) точками занумерованными

индексом j £ [0 : M — 1]. (Здесь +--суммирование mod M.) Уровнем L(j) индекса

j (точки ) назовем наименьшее целое k, для которого 20fc+l+ +0n делит j (здесь и

=m

парами целых чисел m, г:

далее ^¿=+„- • • • := 0 при m+ < m ). Индексы j уровня k однозначно нумеруются

0 = (2Ькш + т = 0,..., 2Ь1+-+Ьк-1 -1, ¿ = 1,..., 2Ьк -1, если к> 1,

0 = ¿2Ь2+-+Ь^, i = 0,..., 261 - 1, если к = 1.

(14)

Назовем уровнем ] интервала Е^- минимум из уровней его концов, а минимизирующий конец— ведущим. При ] < N этот конец определен однозначно, иначе оба конца ведущие. Разбиение назовем эффективным, если = 0 и интервалы уровня Ь имеют длину

(5)

:=2^ - - £ь > + £ь > 0. (15)

Лемма 1. Эффективное разбиение существует и единственно. Доказательство: Достаточно установить, что

S :=2 DL(j) + 53 DN = 1.

j'L(j)<N интервалы

уровня N

Используя соответствие (14), убеждаемся, что

N-1

S = 22blD1 + 2 2bl+'"b-L-1 (20r — 1) DL + 2bl+ ^N-1 (20n — 2) DN =

L=2 N-1

= 22blD1 + 2 53 (20l+"0r — 2bl +-bL-1) + 2bl+ - bN-1 (20n — 2) D

L=2

N-1

= 22bl (25n — £N — £1) + 2 £ (20l+"°L — 20l+"°r-1) (2<*N — £N — £L) +

L=2

+ 2bl+-bN-l (2bN — 2) (2Jn — 2£N) = 2bl+^bN (2Jn — £N) — 22bl£1 —

N-1

"N.

0l+----Or oOl +----OL-1 \ ~ ~ 001 +----ON-1 / o0N n\ (13)

— 2 53 (2°l+"'°L — 20l+-"0r-^ £l — £n20l+ -0n-1 (20n — 2)

(13)

L=2

N

201+-----+0n

— 22bl £1 —

2-0l-"'-0N + 2 53 2-0k 0n (£k-1 — £k) + £N

k=2

N-1 N —1

— 2 53 2°l + "'°L£L + 2 53 20l+ •0r-1 £L — £N2°l + -°N-1 (20n — 2) =

L=2 L=2

N N-1 N

= 1 + ^5^20l+• • •+0k-1 (£k-1 — £fc) — 2 53 20l+•• • • 0k£fc +^5^20l+ ^fc-1 £k = 1 D

k=2 fc=1 k=2

Эффективное разбиение порождает разбиение к-го уровня для любого к € [1 : Ж]:

5 := ^i2ъk+l + ■■■ + ъN , + , г = 0, ..., 2&1 + '''+Ьк - 1

Заметим, что Е^ = Е^- и с ростом к разбиение становится мельче:

J

С Е*-1, где i := |_j2-bfcJ . (16)

Алгоритм распределенного кодирования AN

Кодер 1: .1.1) находит такой индекс j( 1), что у\ £ 1-2) записывает его в

двоичной системе j (1) ~ (d], d2, • • •, d]), дописывая при необходимости нули слева для получения битовой строки длины Ъ\] L3) передает ее (rj{ = d\, г/2 = ..., г)1 = d]i) по каналу связи.

Кодер к при к > 2: k.l) находит такой индекс j(k), что G —

имитирует действия (k — 1)-го кодера, исходя из доступного измерения y^ и используя (16), то есть записывает i = [j(k)2-bfcJ mod bfc_i в двоичной системе (d^^ уЬк 2+1, .. ., уЬк ); к.З) записывет j(k) mod 2Ьк в двоичной системе

• + bfc_i + 1, • • •, < + • • • + bfc), дописывая при необходимости нули слева для получения строки длины 62; к.4) кодирует ее путем двоичного суммирования © ее элементов с доступным bfc_i := (bi + • • • + 6^_])-м битом:

i = 1, • • •, bk

к.5) передает результат ,..., гЁ ) по каналу связи.

1Т-1

Декодер реверсирует эти операции, используя доступные данные: ¿.1) использует биты от первого сенсора, в^ := г (Е [1 : 61]; ¿.2) биты от других сенсоров г (Е [2 : Ж] декодирует в порядке возрастания г, используя каждый раз ранее декодированный Ь(г - 1)-й бит

:= Щ{г-1)+и ® &Ь(г-1)> V = \, . . . ,Ък]

¿.3) строит число то, двоичной записью которого служит вся полученная строка #1,..., 0£(дг); ¿.4) в качестве оценки ж выбирает точку интервала Ет на расстоянии

(5)

:= + е^ — £ь)/2 € (0, от его ведущего конца, где Ь — уровень 5т (при Ь = N это его середина).

Теорема 4. Алгоритм оптимален: он обеспечивает погрешность оценивания (13).

Доказательство теорем 3 и 4. Оценка погрешности снизу. Для произвольной системы оценивания (2), продолжим начатый при доказательстве теорем 1 и 2 процесс итеративного построения множеств ¿¿(в*). Вследствие неравенства Брюн-на—Минковского

шее { [¿1(4)]е1-£2 П ¿2(^2)}£2-£3 > 2-Ь2 [2-Ь1 + 2(е1 — е2)] + 2(е2 — ез).

4-V-'

М2

Так как образ С3 (М2) С [0 : 1]11:Ьз1 содержит не более 2Ьз точек в3, а множества уровня Ьз(вз) попарно дизъюнктны, для некоторого вз =

([Li(sî)]£l £2 n £2 £3 П L3(s5)} >

> 2-Ьз [2-b2(2-bl + 2(ei - £2)) + 2(£2 - £3)] .

Продолжая аналогично, строим последовательность s*, s*,..., sN, для которой при любом i G [1 : N] выполнено неравенство (где £n+i := 0)

mes { [([Li(s*)]£1-£2 П L2(s$))£2-£3 П L3(s3)]£3-£4 П ... П L^)}£*> 2-ь. {2-ь.-1 (... 2-b3 [2-b2 (2-bl +2(£i - £2)) + 2(£2 - £3)] .. . + 2(£i_i - е4))}+2(е,-е4+1). При i = N имеем

mes { [([Li(sî)]£1-£2 П ¿2(s$))£2-£3 П L3^)]£3-£4 П ... П Lw(sN)}^ >

4-V-'

Ln

>2-bN|2-bN-1 (... 2-b3 [2-b2(2-bl+2(£i-£2)) + 2(£2 -£3)]... + 2(£n-i-£n))}+2£n = :Z.

Это приводит к оценке погрешности рассматриваемой системы A:

(3) 1 1 (13)

Errmax[A] > sup \х-х*\ > -mesLN > -Z = SN. xGln 2 2

Оценка погрешности сверху для алгоритма AN. В случае, когда для любого k строка из k.3 равна соответствующей части двоичной записи числа j(N), в d.3 m = j(N) и поэтому

\х-х\ < \х — ум\ + \vn — х\ < £дг + maxmax{sL; DL — sL} ô]\r. (17)

Так как DL > £n + £fc VL, k в силу (15) и (5), противный случай возникает только, если yk и yN при некотором k' < N попадают в два разных интервала Sj, Sj+1 уровня L < k' с общим концом. Заметим также, что DL1 > £L VLi,L в силу (15) и (5), а между любыми двумя точками младших уровней лежит как минимум два интервала S; и, значит, расстояние между ними превосходит £l' + £l'' VL',L''. Отсюда следует, что отправляемая любым сенсором k бинарная строка получается добавлением бита b^—i двоичной записи числа 3fc к элементам отрезка той же записи в диапазоне от бита b^—i + 1 до Ъ^, где либо jk = j, либо jk = j+1. При этом записи чисел j и 3+1, , тождественны до бита Ьь-i включитель-

но, а далее выглядят следующим образом: с^ ..., с^ ' ' ' ' ^ |Л,ЛЯ 3 и

cL ..., ci , 0,0,..., 0 для 3+1) гДе сьь сьь ■ Поэтому независимо от зна-

чений jk, сенсор L + 1 посылает строку <т, <т,..., а с а = с^ © 1 = ci © 0, a сенсоры с большими номерами — строки из нулей. Как следствие, декодер восстанавливает первую запись при jL = j и вторую при jL = j+1 и, таким образом, m = jL в d.3. Если при этом jL = jN, доказательство завершается согласно (17). В противном случае, \х — х\ < тах{£ь + sL; £дг + DL — sL} = 5n.

6. Заключение. В работе рассмотрена задача распределенного оценивания в сенсорной сети с ограниченной пропускной способностью. Оценка строится центром принятия решений на основе зашумленных измерений, полученных от сенсоров по каналам связи с ограниченной емкостью. Главный результат — оптимальная схема кодирования-декодирования данных, минимизирующая максимально возможную ошибку измерений для заданных значений пропускных способностей каналов. Показано, что этот алгоритм значительно превосходит простой, предлагаемый в некоторых современных работах в этой области.

Литература

1. Булдыгин В. В., Харацишвили А. Б. Неравенство Брунна—Минковского и его приложения. Киев: Наукова Думка, 1985.

2. Forney G. D. Coset codes — Part 1: Introduction and geometrical classification // IEEE Trans. Inform. Theory, 1988. Vol. 34. P. 1123-1151.

3. Forney G. D. Geometrically uniform codes // IEEE Trans. Inform. Theory, 1991. Vol. 34. P. 1241-1260.

4. Luo Z. Q., Xiao J. J. Decentralized estimation in an inhomogeneous sensing environment // IEEE Trans. Inform. Theory, 2005. Vol. 51(10). P. 3564-3575.

5. Matveev A. S., Savkin A. V. Multi-rate stabilization of linear multiple sensor systems via limited capacity communication channels // SIAM Journal on Control and Optimization, 2005. Vol. 44(2). P. 584-618.

6. Max J. Quantizing for minimum distortion // IRE Trans. Inform. Theory, 1960. Vol.6. P. 7-12.

7. Nair G. N., Evans R. J., Caines P. E. Stabilizing decentralized linear systems under data rate constraints // Proc. of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control. Atlantis, Bahamas, December 2004. P. 3992-3997.

8. Pradhan S., Ramchandran K. Distributed source coding using syndromes (DISCUS): Design and construction // IEEE Trans. Inform. Theory, 2003. Vol. 49. P. 626-643.

9. Slepian D., Wolf J. K. Noiseless coding of correlated information sources // IEEE Trans. Inform. Theory, 1973. Vol. 19(4). P. 471-480.

10. Tatikonda S. C. Some scaling properties of large distributed control systems // Proceedings of the 42nd Conf. on Decision and Control. Maui H. I., December 2003. P. 3142-3147.

11. Wernersson N., Karlsson J., Skoglund M. Distributed quantization over noisy channels // IEEE Trans. Comm., 2009. Vol. 57(6). P. 1693-1700.

12. Wyner A., Ziv J. The rate-distortion function for source coding with side information at the decoder // IEEE Trans. Inform. Theory, 1976. Vol. 2(1). P. 1-10.

13. Yicka J., Mukherjeea B., Ghosal D. Wireless sensor network survey // Comp. Networks, 2008. Vol. 52(12). P. 2292-2330.

14. Zamir R., Shamai S., Erez U. Nested linear/lattice codes for structured multiterminal binning // IEEE Trans. Inform. Theory, 2002. Vol. 48(6). P. 1250-1276.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.