Оптимальное хеджирование стохастических ставок с учетом промежуточного потребления Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»



но разница сумм налога на прибыль, возникающая вследствие разницы в суммах амортизационных отчислений. Если же р2 и р3 снижаются, то происходит обратное увеличение разницы отчислений налога на прибыль.

Снижение или увеличение норм амортизационных отчислений приводит также к изменению налога на имущество, Так, в период отсроченного налогообложения при использовании метода по ставке (32 по сравнению с методом по ставке происходит снижение разницы сумм налога на имущество между

И , что приводит к росту налогооблагаемой

прибыли, и наоборот, применение метода начисления амортизации ¡З3 по сравнению с методом р! приводит к снижению налогооблагаемой прибыли, так как происходит увеличение разницы сумм налога на имущество И, и И х .

Формула (16) универсальна, так как позволяет при подстановке в нее других значений коэффициента р1 приспособить ее к новым методам начисления амортизации, а следовательно, и к новым нормам амортизационных отчислений. Кроме того, она позволяет

И.Г.Наталухея

спрогнозировать, как эти изменения повлияют на налогооблагаемую базу налога на имущество и налога на прибыль.

С помощью разработанной математической модели можно вычислить, суммы денежных средств, высвобождаемых на предприятии в период отсроченного налогообложения для обновления основных средств, и сумму налога на прибыль и налога на имущество подлежащих выплате.

Приведенная математическая модель позволяет сделать вывод о том, что только сочетание метода суммы чисел лет (вариант снижающейся амортизации) через коэффициент - р2 и метода суммы чисел лет (вариант возрастающей амортизации) - (З3, могут дать наибольший экономический эффект, заключающийся в увеличении поступлений в бюджет налога на прибыль и налога на имущество.

Следует заметить, что применение линейного метода начисления амортизации в конечном счете приводит к меньшим поступлениям в бюджет.

Оптимальное хеджирование стохастических процентных ставок с учетов промежуточного потребления

Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в [1,2], однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. За редким исключением [3,4] в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно [5-8], что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение. Точные аналитические решения получены лишь в наиболее простых частных случаях. Так, при простой стохастической динамике цен рисковых активов и в предположении о постоянстве процентных ставок и волатильностей цен активов точное решение задачи инвестирования без учета промежуточного потребления найдено в [4]. В [3] в предположении

0 бесконечном временном горизонте получено приближенное аналитическое решение задачи инвестирования (в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны, но рисковые премии описываются стохастическим процессом), однако оно явно не связано с задачей оптимального потребления.

В [9,10] определены оптимальные стратегии инвестирования и потребления в замкнутой форме при произвольной немарковской динамике цен рисковых активов и временной структуре стохастических процентных ставок. В настоящей работе в явном виде получен портфель оптимального хеджирования против стохастических изменений процентных ставок с использованием купонных облигаций. Исследование проводилось на основе модели, предложенной в [9]. Рассматриваем размещение капитала инвестором в два основных класса рисковых активов: акции и облигации. Формально разделим п -мерный винеровский процесс, определяющий доходности финансовых активов, на две части,

соответствующие облигациям и акциям = (\ув, ), где м?в имеет размерность к, а - размерность

1 - п-к, Предполагаем, что динамика временной структуры процентных ставок и, следовательно, динамика цен облигаций и других производных временной структуры, продаваемых на рынке облигаций, зависит только от м?в. Динамика цен акций может зависеть и от и>й, и от , что допускает корреляцию между ценами акций и производных

временной структуры. Итак, агент рынка имеет возможность инвестировать в безрисковый банковский счет к произ-

водных временной структуры и I акций, Динамика цен указанных активов определяется следующими стохастическими

дифференциальными уравнениями:

с1В( = diag(BJ \{г(1к + сгВ(ЛВ( )сИ + (1)

А = сИаё(811 + ф8( + сг5и + а^ {2}

где сИа§(В{) и сИсщ{3!) - диагональные матрицы с элементами В( и по главной диагонали и нулями вне главной диагонали; ав, <т5 и сг^ - матричные процессы размерности кхк, !хк и /х/ соответственно; 1к, - векторы из единиц. Матрицы ав и <7^ предполагаются несингулярными, так что рынки акций и облигаций являются полными. Изменения доходностей производных временной структуры и акций коррелированы, эти корреляции описываются ковариационной матрицей сгв,с/5 размерности кх! (штрих означает транспонирование). Процесс рисковых премий (рыночных цен риска) может быть представлен в виде

К

(X Л у

Где К = а1\Ф81 ~ ^^ЛВГ

Заметим, что при этом введен / - мерный стохастический процесс ф3( — <г3иЯВ( + сг£ л, который может быть

интерпретирован как ожидаемая избыточная доходность акций.

Динамику временной структуры процентных ставок описываем к - факторной моделью [11]. Для любой даты погашения г динамика мгновенной форвардной ставки со сроком платежа т определяется следующим образом:

/ {

// (Т) = /о М + + (5, т)(1м>в$ , (3)

о о

где «Ту (•,?*) - к - мерная детерминированная функция; - форвардная ставка со сроком погашения т,

рассматриваемая с момента времени 0. Краткосрочная процентная ставка есть г( =/,(/). Наиболее важной чертой

модели [11] является то, что при отсутствии арбитража следует только охарактеризовать начальную временную структуру форвардных ставок и структуру волагильностей одля всех /иг. Ограничение на тенденцию, накладываемое условием безарбитражности рынка, имеет вид

Г г \

, т) = (/, г 1 Яв ) + |сгг и)с1и .

V г )

Далее в качестве производных временной структуры рассматриваем бездефолтные облигации. Динамика цены

/;(г)=ехр[

\ I

облигации с нулевым купоном со сроком погашения г определяется уравнением

¿ЙР(г) = Р({т\(г( + а; (/)>// + , (4)

в котором

х

<7Р(/, т) = - ^а,({,и)с1и . (

В дальнейшем будет также рассматриваться облигация, выплачивающая непрерывный купон &(/) до момента Т и характеризующаяся единовременной выплатой к(т) в момент Т. Цена в момент I такой облигации

в; =+к(тШт)'

г

Цена облигации с непрерывным купоном описывается стохастическим дифференциальным уравнением:

¿всг = -к(г)(И + в;[{г, + ст'вЛв(ф + а'в^В(1

в котором

I

\k(s)Pt(s)ap(t,s)ds + k(T)Pt(T)ap(tj) _

^(5)^(^5+ (г)

-----. (5)

Для того, чтобы проанализировать механизмы хеджирования против изменения процентных ставок, будем предполагать, что рисковые премии Xt = k(t) и волатильности форвардной ставки af(t,r) являются детерминированными

функциями времени. Тем самым стохастически меняются только процентные ставки и, следовательно, нет необходимости хеджирования против стохастических изменений рисковых премий или волатильностей форвардных ставок. Заметим, однако, что никаких предположений о детерминированности диффузионных коэффициентов <JB,crSi и crs

рисковых активов не делается (эти коэффициенты могут описываться любыми немарковскими процессами).

Из допущения о том, что рисковые премии и волатильности форвардных ставок являются детерминированными функциями, следует, что краткосрочная процентная ставка нормально распределена (гауссовская случайная величина), а ядро ценообразования ¿;t, определяемое выражением

£ = expi - Jrsds - JX[dws - ~ jl|Л,||2 ds 1 ,

loo ^0 J

(6)

логнормально распределено (заметим, что текущее значение любого стохастического платежа X, выплачиваемого в некоторый будущий момент 5 , может быть определено с помощью ядра ценообразования (6) следующим образом:

(ё Л

где Ег - оператор математического ожидания, причем последнее равенство является определением форвард-ожидаемого платежа Е'[Х] [12]). Поэтому можно вычислить в замкнутом виде ожидания в выражении для (), из [9]и, следовательно, получить аналитическое выражение для Й • Сформулируем следующую теорему.

Теорема. Если рисковые премии Д, и волатильности форвардных ставок ау(*,г) являются детерминированными функциями, то неявная функция полезности и оптимальная стратегия потребления определяются уравнениями (11),(12) из [9], в которых в рассматриваемом случае

т

Qt = \Zt{s)ds + Zt{т) (7)

t

Zt(s) = X {Pt{s))У expj-—-(s-/)+ <t<s<T, (8)

Ф) = (1 - ri (P,(T))T expj-1 (Т - 0+^Ц, (9)

а функция g(t,s) имеет вид

is s

du + ^\<rp(u,s)f du-2 ^X'B(u)<7p(u,s)du. (10)

Оптимальная портфельная стратегия в момент / описывается соотношением

У г

вч

у

(11)

где с е - вектор волатильностей цены облигации, определяемый уравнением (5), которая платит непрерывный купон,

определяемый выражением

*(») = Й;[С7в] = от' ехр^! —-0+^ ^ ^ * < ^ , (12)

& I Г 2 у

и характеризуется единовременной выплатой к(т) в момент Т

к(т) = ЕЖ] = (1 - 41 ШУТ ехр {- 1(Т - ,) +

(13)

Доказательство. Необходимо проверить, что при сделанных предположениях процесс Qt, определяемый уравнением (9) из [9], принимает вид, установленный соотношениями (7)-(10). Из выражения ()( [9] следует, что процесс может быть записан в виде (7), если положить

1 А.-)

У „ У

Г К \

у-1

а' е

Е,[

4,

Р

],0 <1<8<Т ,

у-1

/ч / ч* (гЛг

г,{т)={1-а)уе ' ЕД

(14)

(15)

у

Из предположения о том, что рисковые премии Я(?) и волатильности форвардных ставок ау(*,г) являются детерминированными функциями времени, следует, что ядро ценообразования (6) логнормально распределено и, следовательно, можно вычислить в замкнутой форме ожидания, входящие в выражения для и Zt{т) (14) и (15), Сначала заметим, что цена облигации с нулевым купоном должна удовлетворять условию

и 1 1 2

у

] •

Отсюда следует, что

Е,[

у-1

гОт

.Г-1

] = Ф)г ехр^ <1<з<Т,

(16)

где введена детерминированная функция

g{t,s)=Vart[]ní^

и У

3,

которая может быть преобразована с использованием выражений (3) и (6) следующим образом

£(г,8)=УагХ-\ги&1 -- с1и - ]л'(и)</и>в] =

I ^ I I

5 Я 5

/ ( /

Устанавливаемые теоремой формулы для Z((s) и (7) и (8) получаются при подстановке (16) в (14) и (15).

Докажем, что оптимальная инвестиционная стратегия определяется соотношением (11). Для этого следует показать, что

=

Г

V» У

Сначала докажем формулы для форвард-ожидаемых потребления и конечного капитала (12) и (13), По определению форвард-ожидаемого платежа, соответствующего стохастической норме потребления С5,0 < I < 5 < Т, имеем

V

СЛ-

Подставляя в это выражение оптимальный план потребления [9] в виде

1

IV - --(»-о С, - ~а7е 7

а

Г у \

$<1<8<Т ,

получаем

1 Л

, чл IV ~ --(»-О Р,Ш[Са] = -£а'е ' ЕД

/ ~ л

у-1

к1*, /

(18)

Формула для форвард-ожидаемой нормы потребления (12) теперь следует из подстановки выражения для 2,(5) в (8) (которое доказано выше) в соотношение (18) и решения полученного уравнения относительно

Аналогичная формула для Щ [Жг] в (13)

может быть проверена подобным образом.

Покажем теперь, что формула (17) для сТд, имеет место. Сначала заметим, что с использованием леммы Ито и выражений (8) и (4) динамика может быть представлена в форме

Г

5/

/

где член с тенденцией оставлен неопределенным; поскольку не влияет на дальнейший вывод. Далее, записывая ()( в дифференциальной форме, получаем

I

/г Л

с10( = Вой +

Г-1

У

VI )

дм?

В(

(19)

Сравнивая выражение (10) из [9] с выражением для ¿/Ц 8 виАе (19), имеем

<7,

у-1

Qt

' Л

Из (18) имеем, что

1

1____,

¡г^з + гХт)

УУ,

(20)

где по определению = Ё* [Су ]. Подставляя это выражение в (20) и деля числитель и знаменатель на преобразуем выражение (20) к виду

Г-1

Г

у

где сг определяется выражением (5), что и требовалось доказать,

Теорема дает явное выражение для оптимальной инвестиционной стратегии при весьма общей (в том числе немарковской) многофакторной динамике процентных ставок. Оптимальная портфельная стратегия в (11) определяется двумя составляющими, одна из которых описывает спекулятивный спрос на рисковые активы, а другая определяет спрос на хеджирование на рисковые активы. Форма спроса на хеджирование такова, что, выбирая веса рисковых активов в портфеле в соответствии с этим спросом (и инвестируя оставшуюся часть капитала в безрисковый банковский счет), можно получить портфель облигаций, в основном повторяющий динамику специфической облигации с процентными купонами. Ниже будем называть эту облигацию хедж-облигацией. В частности, теорема показывает, что с учетом полезности от промежуточного потребления эта хедж-облигация эквивалентна купонной облигации с процентными ставками, равными достоверным эквивалентам оптимально планируемых будущих норм потребления.

В особом случае, если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала (что соответствует а = 0), соответствующая целям хеджирования облигация сводится к облигации с нулевым купоном и сроком погашения, равным инвестиционному горизонту. Облигация с нулевым купоном является интуитивно привлекательным инструментом для хеджирования изменений процентных ставок в случае извлечения инвестором полезности только из конечного капитала, поскольку эта ценная бумага характеризуется достоверным платежом на инвестиционном горизонте независимо от того, как изменяются процентные ставки. Аналогично, в случае, если инвестор получает полезность также и от промежуточного потребления, предлагаемая облигация с процентными купонами представляется подходящим инструментом для хеджирования сдвигов в процентных ставках в том смысле, что определенные платежи по облигации соответствуют расходам планируемого будущего потребления независимо от того, как эволюционируют процентные ставки.

Оптимальная портфельная стратегия, описываемая уравнением (11), фактически может быть осуществлена путем

размещения части капитала — в спекулятивный портфель и части капитала 1 — — в соответствующую хедж-

облигацию, Для того, чтобы убедиться в этом, рассмотрим п +1 - мерный векторный процесс я(, описывающий веса расширенного оптимального портфеля, в который доли капитала, инвестированного в рисковые активы, входят в качестве первых п компонент, а доля капитала, инвестированного в безрисковый банковский счет, является п 4-1 - ой компонентой. Заметим, что, подставляя оптимальные веса рисковых активов из (11), можно представить оптимальную расширенную портфельную стратегию в форме

Первый член в (21) описывает веса расширенного оптимального портфеля при логарифмической функции полезности, т.е. при у — 1. Этот портфель обычно называется портфелем оптимального роста или, эквивалентно,

спекулятивным портфелем. Второй член определяет веса расширенного оптимального портфеля, необходимые для применения соответствующей хедж-облигации. Согласно теореме, конкретная динамика временной структуры процентных ставок имеет значение для хеджирования против изменений инвестиционных возможностей только в той степени, в которой она влияет на структуру оптимального форвард-ожидаемого потребления.

Библиографический список

1. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous - time case II Review of Economics and Statistics, -1969. - V. 51, № 2. - P. 247-257.

2. Merton R.C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous - time modei II Journal of Economic Theory. - 1971. - V.3, № 2. - P. 373-413.

3. Campbell J.Y., Viceira L.M. Consumption and portfolio decisions when expected returns are time - varying // Quarterly Journal of Economics. - 1999. - V. 114, №2. - P. 433-495.

4. Kim T.S., Omberg E. Dynamic nonmyopic portfolio behaviour II Review of Financial Studies. - 1996. - V,9, №1. - P. 141-161.

5. Balduzzi P., Lynch A.W. Transaction costs and predictability: юте utility cost calculations // Journal of Financial Economics. -1999. - V. 52, №1. - P. 47-78,

6. Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable II Journal of Finance, - 2000, - V, 55, №1. - P. 225-264.

7. Brandt M.W. Estimating portfolio and consumption choice: a conditional Euler equations approach II Journal of Finance. - 1999. -V. 54, N°6. - P. 1609-1645.

8. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation II Journal of Economic Dynamics and Control. - 1997. - V. 21, №7. - P. .1377-1403.

Г

У

71,

(21)

9. Наталуха И.Г. Моделирование оптимальных стратегий инвестирования и потребления в стохастической инвестиционной среде II Вестник ИрПУ. -2005. - N 1.

10. Наталуха И.Г. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастических условиях II Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. -Т. 11, вып. 4. - С. 886-887.

11. Heath D., Jarrow R., Morion A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation II Econometrica. -1992. -V, 60, N 1. - P. 77-105.

12. Jamshidian F. An exact bond option formula II Journal of F Finance. -1989. - V. 44, N 1. - P. 205-209.

13. Jamshidian F. An exact bond option formula II Journal of F Finance. -1989. - V. 44, N 1. - P. 205-209.

С.В.Снницкий

Факторы экономического роста и конкурентные преимущества России в системе мирохозяйственных

отношений

Глобальные экономические процессы, которые сегодня развиваются крайне динамично, значительно обострили проблему включения экономики России в систему мировых экономических отношений. Острота ситуации обусловливается, прежде всего, спектром существующих субъективных и объективных факторов. Субъективная составляющая экономического существования России состоит, прежде всего, в её территориальной масштабности, многообразии климатического ландшафта, численности и структуре населения и множестве других аспектов. Россия и сегодня занимает площадь более 17 млн,кв. км, то есть, по сути дела, одну восьмую часть суши, её сухопутные границы по протяженности равны 20 тыс., а береговая черта - 38 тыс.км. Территория России пересекает 11 часовых поясов, На всем пространстве представлены почти все климатические зоны. По занимаемой территории Россия в 1,8 раза превосходит США, а по численности населения находится на шестом месте в мире после Китая, Индии, Соединенных Штатов, Индонезии и Бра-зилии[9,с.68]. Уникальнейшая особенность России заключается в том, что при преобладании населения с европейскими традициями, она представляет собой единственное в своем роде евразийское государство, расположенное на двух континентах. Это обстоятельство открывает не имеющую аналогов в мире возможность играть особую роль не только в Европе и Азии, но и в мире в целом. Не акцентируя пока внимания на деталях такого влияния, можно предположить, что через российскую территорию могут проходить наиболее экономически выгодные воздушные и сухопутные транспортные маршруты, которые свяжут Европу, Центральную и Юго-Восточную Азию. Задача сегодня заключается, в том, чтобы эффективно использовать появившуюся возможность: во-первых, максимально использовать выгоды своего геополитического положения и, во-вторых, ускорить развитие многих национальных регионов, экономический рост которых

сдерживается именно фактором расстояния. Определенную устойчивость экономике придает и то обстоятельство, что по запасам энергетического сырья Россия все ещё остаётся доминирующей в мире страной. В частности, по существующим оценкам доля России в мировых прогнозных запасах нефти оценивается в 13-15%, природного газа - в 42%, угля - в 43%, Значительная протяженность береговой линии обусловливает наличие важного экономического фактора, каковым является прибрежный шельф с его энергетическими и биоресурсами, Перспективные морские запасы углеводородов только Крайнего Севера по некоторым оценкам соизмеримы с аналогичными запасами в зоне Персидского залива и Каспийского бассейна.

Что касается разведанных запасов энергетического сырья, то Россия располагает примерно 13% (около 7 млрд, т) мировых запасов нефти, 35% - природного газа, 12% - угля. В настоящее время на страну приходится в среднем 11% мировой добычи нефти, 28% -природного газа и 14% - угля.

Если попытаться оценить участие России в мировом промышленном и сельскохозяйственном производстве, как это сделал А. Пороховский, то картина будет выглядеть следующим образом: естественный газ -первое место; бурый уголь, картофель, молоко - второе; нефть, серная кислота - третье; электроэнергия, чугун, сталь, железная руда, деловая древесина, хлопчатобумажные ткани, зерновые и зернобобовые культуры, сахарная свекла - четвертое; готовый прокат черных металлов, пиломатериалы, минеральные удобрения - пятое; каменный уголь, целлюлоза, мясо (в убойном весе), масло животное - шестое; чулочно-носочные изделия; улов рыбы - восьмое; легковые автомобили, цемент - одиннадцатое; шерстяные ткани, обувь - двенадцатое; бумага, картон, сахарный песок (из отечественного сырья), масло растительное - четырнадцатое место [9, с,69],