Оптимальное граничное управление в третьей краевой задаче для уравнения Лапласа в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.977

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ШАРЕ

© О. Э. ЯРЕМКО, Ю. А. ПАРФЁНОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Яремко О. Э., Парфёнова Ю. А. - Оптимальное граничное управление в третьей краевой задаче для уравнения Лапласа в шаре // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 46-50. - Рассматривается вариационная постановка проблемы граничного управления в третьей краевой задаче для уравнения Лапласа в N-мерном шаре. Методом операторов преобразования найдено аналитическое выражение для граничного управления. Ключевые слова: граничное управление, оператор преобразования, третья краевая задача.

Yaremko O. E., Parfenova J. A. - The optimal control third boundary value problem for the Laplase equation in the ball // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 46-50. - Variation statement of the third boundary value problem for Laplase equation in N-measured sphere is considered. The method of transform operators are used of finds analytical expression for boundary optimal control.

Keywords: optimal control, transform operator, third boundary value problem.

Пусть в единичном шаре QeRn определено уравнение Лапласа:

10=°' (1)

На границе Г = dQ задано третье краевое условие:

,ду ду

hy + — = hy + г— = g,

dvA dr

где n - орт внешней нормали к Г, g e L2 (Г), h > °.

Определим для каждого управления и e L2 (Г) состояние у = у (и) как обобщенное решение краевой задачи, заданной уравнением (1) и краевым условием

hy+-ду = g+и , (2)

dVA

Поскольку обобщенное решение у(и) е V = {у|^ е W21 (О):/ = 1,2} краевой задачи (1)-(2) существует, то оно

на границе Г области О имеет смысл и ||у (и)||^Г) < ж.

Наблюдение зададим в виде

Z (и ) = у (и ) , х еГ.

Поставим в соответствие каждому управлению и е L2 (Г) значение функции стоимости:

J (и ) = |( У (и )- 2Ш ) ^Г + а0 (и, и ), (3)

Г

где - известный элемент из L2 (Г), 0 < а0,

(р,^) = | p^^d Г.

Следуя [1], можно показать, что каждому управлению и е L2 (Г) соответствует единственное состояние у (и) е V . Функция у определена на области О, минимизирует на V функционал энергии

Ф( V )=[У -дИ-^—йх - 2[ gvdГ - 2[ иийГ (4)

О,,j=l дх, г Г

и является единственным в V решением задачи в слабой постановке: найти элемент у е V , удовлетворяющий Ум е V уравнению

| £ -дм • -^^х = | Г +1 иий Г. (5)

ОI, j=1 дxj дх, Г Г

Легко увидеть, что у(и1 )^ у(и2) при и1 = и2.

Из (3) получаем

'7 (и ) = ||( у (и )- у (0) + ( у (0)- zg ))|| + ао (и, и ) = п(и, и )- 2L (и ) + | ^ - у ( 0)||2, где билинейная форма п(-,-) и линейный функционал L (•) имеют следующий вид:

п(и, V ) = (у (и ) - у (0 ), у (V ) - у ( 0)) + ( аи, и ),

L (и )=( ^ - у(0), у (и)- у( 0)), (6)

(ср,цт) = ^ф\уй Г.

Г

Линейность функционала L (V) легко видеть, поскольку разность у (V)- у (0) есть единственное решение у (V) одной из эквивалентных задач (4), (5), у которых необходимо положить / = 0, g = 0, а в задаче (5) дополнительно заменить произвольную функцию V произвольным элементом z е V . Тогда имеет место равенство вида

у (а1и1 +а2и2) = а1 у (и1) + а2у (и2) У ах,а2 е Я1, Уи1, и2 е L2.

На основании последнего устанавливаем линейность функционала L (V) и билинейность формы п(и, V). Форма п(-,-) коэрцитивна на L2 (Г), т.е.

п(и,и) > а0 (и,и) .

Пусть у' = у (и'), у" = у (и") - решения множества V задачи (5) при / = 0, g = 0 и функции и = и (х), равной соответственно и!, и". Тогда

||у'- у"| V: ^ ^а (у - у",у'- у,) ^ и - и"11 х, Л у - -^"11 х, (г) , (7)

Г 2 2 1 12

где \\v\V = ш и: | , а билинейная форма а(•,•) определена выражением

а (^н£ ^ ^х.

ОI,j=1UXj °х1

Поскольку Ум е V справедливы равенства [1]

С учетом (8) из (7) следует

Их (Г)^ сз|\И\1 , Сз = тах С1. (8)

2У ! 1=1,2

11у' - ^ 11х2(Г)* С4 I|и' - и" 112(Г) , (9)

т.е. функция у (и) непрерывно зависит от и .

то

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

Неравенство (9) обеспечивает непрерывность линейного функционала L (•) и билинейной формы п(-, •) на 3. Таким образом справедлива

Теорема 1. Если состояние системы определяется как решение эквивалентных задач (4), (5), то существует единственный элемент u e L2 (г) , для которого имеет место соотношение вида J (и ) = inf J (v).

Если и e L2 (Г) - оптимальное управление, то 2( )

п(и, v - и )> L (v - и ) Vv e L2 (Г). (10)

На основании (6) легко увидеть справедливость равенства

п( и, v - и )- L (v - и )==( у (и )- zg, y (v - и )- y (0)) + a0 (u, v - и ). (11)

С учетом линейности задачи (5) из (11) следует

п(и, v - и ) - L (v - и ) = ( у (и ) - zg, у (v) - у (и )) + а0 (и, v - и ).

Тогда неравенство (10) преобразуется к виду

(у (и )-Zg, у (v)-у (и )) + ао (и, v - и )> 0 Vv e38. (12)

Соглашение (12) является необходимым и достаточным условием того, чтобы и e L2 (Г) было оптимальным решением рассматриваемой задачи.

В силу существования и единственности решения у eV эквивалентных задач (4), (5) (при произвольных фиксированных f e L2 (Q), g e L2 (Q) ) существует оператор A : V ^ L2 (Г), который на решениях у ( у|Q e Cl (Q,) n C2 (Q,), I = 1,2 ) определяется соотношением (1), (2). Следовательно, для решений у можно единственным образом определить ду/dvA на dQ, и ду/dvA e W~12 (dQ,) .

Для управления v e L2 (Г) сопряженное состояние p (v )eV * определим следующими соотношениями:

A* p (v) = 0, x e Q, dp

hp +---= у (v) - zg, x e Г,

dv. ' g

A

где V* - сопряженное пространство к V, V* = V,

.* ^ d v

ap = -^тгг , /, j=i dx

dp dp - = r-

dv , dr

A

Аналогично [1] используем далее формулу Грина. Имеем

0 = (A p (u) ,у (v) - у (и)) = - j dp- (у (v) - у (и ± fd(у (vd; у (и ])dx =

dQ, Wa* Q j=1 j ‘

= a (P, у (v)- у (и))- j (у (и)- zg, у (v)- у (и)) dr = -j (у (и)- zg, у (v)- у (и)) dГ + j p (у( d у( ))dГ -

Г ГГ dvA

-(p, A( у (v)- у (и ))) = -j( у (и)- zg, у (v)- у (и)) dr + j p (v - и )dг.

Следовательно,

(у(и)- zg, у(v)- у(и ))^ (Г) =( p,v - и )l2(f) . (13)

Учитывая (11), (13), из (10) получаем

(p(и) + аи, v - и)^> 0. (14)

Таким образом, из (14) следует

p (и ) + аи = 0, x e Г.

Для нахождения оптимального управления и (х) имеем третью краевую задачу для системы уравнений Лапласа:

п, 52 у

У^ = 0, х еП,

£ ах2

у ^ = 0, хеП,

^ дг2

і, j=\UXi

*У + ^ = * - Р, х ег,

ду. а

, , др

ЬУ + — = У-г*, хеГ,

дуА *

Ее решение определяет оптимальное управление

и = - р/а, х е Г. Перепишем в векторном виде указанную краевую задачу:

*

V-г* У

V Р

1 >

— (у

а0 I

Ь У V р.

х е Г.

Введем обозначения Г =

, ¿г = Г + г , тогда г dr

Lг\ и ] = [ У |, хеП

(15)

при этом вектор-функция I 1 | - гармоническая в П.

В работе [2] найдено явное выражение для оператора, обратного к Lг:

, = 1є‘ ру 0

1 Л,

V (єх)

VУ2 (Єх)У

Непосредственная проверка показывает, что

С єA-1cos(віпє) вє^^їп(віпє)^

єГ Е =

— ЄЬ 1sin (віпє) ЄЬ 1COS (віпє)

Обозначим — = в, в результате приходим к решению:

1

|єЬ-1 cos (віпє) у (єх) dє +1 в^*-1 sin (віпє) у2 (єх) dє

0 0 1 1 1

I—єЬ-1 sin (віпє) у (єх) dє +1 єЬ-1 cos (віпє) у2 (єх) dє

0 в 0

Следовательно:

1 1 1

р = — |єЬ-1 sin(віпє)у (єх)dє+jєh-1 cos(віпє)у (єх)dє , в 0 0

п

+

а

а

0

V

2

а

0

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

где приняты обозначения:

1 - Ы2

V1 (Ы ) = í--------u-------ng (^)d rf

г (і - 2ыcos^ + ы2)2

V2 ( X) = {------------~^Zg 1 dTI C0S^=(f,I)'

r (l - 2xcos^+ x2)2

Из формулы (15) находим итоговую формулу для неизвестного управления:

i i u = P^sh l sin(2lne)v1 (ex)ds + в2 j"eh-1cos(2lne)v2 (ex)de.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергиенко И.В., Дейнека В.С.. Вычислительные схемы МКЭ для задач оптимального управления эллиптической системой с условиями сопряжения // Кибернетика и системный анализ. 2002. №1. С. 72-88.

2. Парфёнова Ю.А. Векторные операторы для функций, гармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2009. № 13 (17). С. 28-34.