Оптимальная стратегия перестрахования эксцедента убытка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 10-01-004420а, и программы "Ведущие научные школы РФ", грант НШ-7322.2010.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Garding L. Eigenfunction expansions connected with elliptic defferential operators // Twelfth Congress Math. Scandinaves. Lunds Univ. Math. Inst. Lund, 1954. 44-55.

2. Садовничий В.А., Печенцов А.С., Козко А.И. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2009. 427, № 4. 461-465.

3. Козко А.И., Печенцов А.С. Спектральная функция сингулярного дифференциального оператора порядка 2m // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. 74, № 6. 107-126.

Поступила в редакцию 15.10.2010

УДК 519.21

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ ЭКСЦЕДЕНТА УБЫТКА

А. Н. Громов1

В работе описывается поиск оптимальной стратегии перестрахования эксцедента убытка методами динамического программирования. Страховая компания моделируется с помощью составного пуассоновского процесса, а договор эксцедента убытка определяется уровнем собственного удержания и шириной лейера. Оптимальная вероятность неразорения находится из соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и доказывается существование оптимальной стратегии перестрахования. Приводятся примеры для убытков, распределенных экспоненциально, логнормально и по Парето.

Ключевые слова: перестрахование, динамическое программирование, уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, теорема об измеримом выборе.

Dynamic programming technique is applied to find the optimal strategy for the dynamic XL reinsurance. We consider a risk process modelled by a compound Poisson process and the excess of loss reinsurance determined by the retention level and layer. We find the optimal survival probability as a solution to corresponding HJB equation and show the existence of the optimal reinsurance strategy. Numerical examples in the case of exponentially, log-normally, and Pareto distributed claims are presented.

Key words: reinsurance, dynamic programming, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, measurable selection theorem.

1. Введение. Рассматривается классическая модель Крамера-Лундберга страховой компании: моменты (Ti) поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности Л, размеры выплат Wi — независимые, неотрицательные, одинаково распределенные случайные величины с абсолютно непрерывной функцией распределения F(ж); Nt — число требований на отрезке [0,t]. Пусть скорость поступления страховых премий равна с, причем она содержит нагрузку безопасности, т.е. с > ЛЕ[Wi]. Тогда капитал Rt страховой компании в момент t при отсутствии перестрахования равен

Nt

Rt = s + ct Wi, i=1

где Ro = s — начальный капитал. Пусть перестраховочная премия рассчитывается по принципу среднего с положительной нагрузкой в > 0. При этом предполагается, что нагрузка в такова, что (1 + 9)ЛE[Wi] > с, так как в противном случае цедент мог бы перестраховать весь свой риск и при этом получить прибыль.

1 Громов Александр Николаевич — асп. каф. теории вероятности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Напомним теперь, что, согласно договору эксцедента убытка, перестраховщик покрывает убыток цедента, если его величина превосходит уровень собственного удержания Ъ, но при этом величина этого покрытия не превосходит М < те — ширины полосы перестрахования (случай неограниченного покрытия рассмотрен в [1]). Другими словами, любой убыток Ш можно разделить на две части — выплату цедента Шс = шт{Ъ, Ш} + шах{0, Ш — М — Ъ} и выплату перестраховщика Шг = шт{М, шах{0, Ш — Ъ}}. Рассматриваются стратегии перестрахования вида = (Ъг,Мг), предсказуемые относительно фильтрации 3 : = &{Яи,и ^ Ь}. Множество всех таких стратегий обозначим Я. Основным результатом статьи является доказательство того, что оптимальная стратегия существует и может быть задана следующим образом:

2 = (Ъг, Мг), Ъг = Ъ(К-), Мг = М(К-),

где К^ — капитал компании при использовании стратегии 2, а Ъ(в) и М(в) — измеримые функции. Обозначим р = (1 + 9)Х, тогда капитал страховой компании при использовании некоторой стратегии равен

Nt

RZ = s + ct - p E min{Mx, max(0, W - bx)]dx - ^(min(Wi, bTi} + max{0, Wi - bTi - MTi}).

J i=i

Оптимальность стратегии состоит в том, что последняя минимизирует вероятность разорения страховой компании или, что эквивалентно, максимизирует вероятность неразорения. Пусть tz : = inf{t ^ 0 : Rf < 0} — момент разорения, тогда вероятность разорения запишется как фz(s) = P{tz < те}, а вероятность неразорения (которая нас и будет интересовать) — как Sz(s) = P{tz = те} = 1 - фz(s). Мы будем рассматривать величину

S(s) = sup {6z (s)}. (1)

zez

Наша основная задача — выяснить существование оптимальной стратегию Zf, т.е. такой, при которой S(s) = Sz * (s).

2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана. Используя формулу полной вероятности и подход, изложенный в [2], можно показать, что оптимальная вероятность неразорения S(s) удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана:

= ф) - E[5(s - unn{W, b} - max{0, W — Ъ — M})} {S) ¿at) с — pEmm{M, max{0, W — b}} ' U

Здесь и далее полагаем, что inf берется по всем (b, M) £ D, где

D := {b> 0, M > 0, c - pEmin{M, max{0, W - b}} > 0}. (3)

Последнее неравенство — это требование положительности притока страховых премий в компанию.

3. Теорема существования. Доказательству существования решения уравнения (2) посвящена следующая

Теорема 1. Существует неубывающее решение V(s) уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (2), непрерывное на [0, +те) и непрерывно дифференцируемое на (0, +те); более того, это решение таково, что V(s) = 0 при s < 0 и V(s) — 1 при s — те.

Доказательство. Определим последовательность функций V^(s) следующим образом: функция Vo(s) равна So(s) — вероятности неразорения в отсутствие перестрахования (т.е. при стратегии Zt = (те, 0)), а

у, (s)= inf ( xVn(s) - E[Vn{s - min{Ty, b} - max{0, W-b- M})\ \ ra+u ' (b,M)€v\ с — pE min{M, max(0, W — b)} J

для n = 0,1, 2,... . Рассмотрим функцию двух переменных

V«(s) - E[Vn(s - min{W, b} - max{0, W - b - M})]

Hn(b, M) = A-

c - pE min{M, max(0, W - b)}

Покажем, что для любого в > 0 ш! Нп(Ъ, М), где множество V определено в (3), положителен. Спра-

(ь,м

ведлива следующая лемма.

Лемма 1. Инфимум функции Hn(b, M) при ограничениях (3) достигается

(i) либо при b = ж (M = M* < ж) и равен

^{Vn{s)-E[Vn{s-W)])-

(ii) либо при b = 0,M = M*, где M* — решение уравнения

м

E[V,n(s + M - W)] - f УП(s + M - x)dF(x) я»(°- M> = л-„(1 -ВД1-•

и равен Hn(0, M*);

(iii) либо при b = b* ^ s,M = M*, где (b*, M*) — решение системы

Hn(b,M) = W,n(s - b)p-1,

b+M

Hn(b,M) = X(E[vn(s + M - W)] - f vn(s + M - x)dF(x))p-1 (1 - F(b + M))-1,

0

и равен Hn(b*,M*) = Xp-1 Vl(s - b*).

Используя лемму 1 и метод математической индукции, мы доказываем, что V^+1 (s) ^ V^(s). Далее, нетрудно показать, что Vn(s) = 0 при s < 0. Действительно, для Vo(s) = So(s) это очевидно, а для Vn(s) легко получается по индукции. Наконец, опять используя индукцию, мы можем доказать свойство

Vn(s) > 0.

Таким образом, Vn(s) — убывающая последовательность непрерывных функций, причем Vn(s) > 0.

оо

Значит, существует lim Vn(s) = u(s), причем v(s) ^ 0. Положим V(s) = 1 - f v(u)du, тогда непрерывная

s

функция V(s) удовлетворяет уравнению

vis) - inf xv(s) ~ Eiv(s ~ min{^, b} - max{0, W — b — M})] (.ь,м)ет> с — pEmm{M, max{0, W — b}}

Функция v(s) — искомое решение уравнения (2). Действительно, свойство v(s) > 0 легко проверяется, а из цепочки неравенств

\v(si) - v(s2)\ ^ sup (b,M )ev

V(si) - E[V(si - min{W, b} - max{0, W - b - M})] Л-

-Л

c - pE min{M, max(0, W - b)} V(s2) - E[V(s2 - min{W, b} - max{0, W - b - M})]

c - pE min{M, max(0, W - b)}

<

^ 2\\V(si) - V(s2)\ sup ---—-————- ^\V(si) -V(s2)\ -const,

1 v ' v J\b}M)eVc-pEmm{M,m&x(0,W-b)} 1 v ' v л

справедливой при si > S2, следует непрерывность. Теорема доказана.

4. Существование оптимальной стратегии. Теперь перейдем к выводу основного результата статьи.

Теорема 2. Существует измеримая функция Z*(s) = (b*(s),M*(s)), такая, что точная нижняя грань в уравнении (2) достигается в точках (b,M) = Z*(s) при s ^ 0. Эта функция определяет оптимальную стратегию перестрахования Z£, т.е. §z* (s) ^ 5z(s) для любой предсказуемой стратегии Zt.

Доказательство. Доказательство теоремы разобьем на две части: в первой мы докажем существование измеримой функции Z*(s), а во второй — оптимальность определяемой ею стратегии.

1. Существование измеримой функции Z*(s) мы докажем, основываясь на общей теореме об измеримом выборе. Приведем ее формулировку.

Теорема об измеримом выборе. Пусть X — метрическое пространство, Y — компактное метрическое пространство, G — замкнутое подможество в X х Y, R* = R U {—сю, +с} — расширенная вещественная прямая, и пусть функция f : G ^ R* полунепрерывна снизу. Рассмотрим функцию

f *(x) = min f (x,y), Gx := projxG. Тогда существует измеримая функция ф : Gx — Y, такая, что v^gx

f (x,<p(x)) = f *(x).

Доказательство этой теоремы и вспомогательных утверждений можно найти, например, в [3]. В нашем случае в качестве пространства X мы рассмотрим вещественную прямую R, в качестве Y — расширенную вещественную плоскость R* х R* с конечной метрикой p(x,y) = d(x,y)(1 + d(x,y))-1, где d(x,y) — метрика на плоскости R2 (например, можно взять евклидово расстояние), продолженная на те. Нетрудно понять, что в таком случае Y — компактное метрическое пространство. Далее, рассмотрим функцию

V(s) - E[V(s - min{W, b} - max{0, W — Ъ — M})} ' ^ с - pE min{M, max{0, W - b}} '

где V(s) — решение уравнения (2), построенное в доказательстве предыдущей теоремы, а функция f определена на множестве R xD. Нетрудно показать, что функция f непрерывна на R xD как композиция непрерывных функций.

Заметим, что при таком определении пространств X и Y

f *(s) := V(s)= min f (s; b,M).

(b,M )ev

Непосредственно к множеству R xD применить указанную выше теорему мы не можем, так как оно не является замкнутым. Поэтому рассмотрим для любого натурального n множество

Dn := {(b,m)\b ^ 0,M ^ 0,c - pE min{M, max(^ - b, 0)} ^ 1/n}

и применим теорему об измеримом выборе к [0,n] х Dn. В результате мы получим, что для любого n Е N существует измеримая функция ^>n(s), определенная на отрезке [0,n] со значениями в Dn и такая, что f [s; ^n(s)] = f *(s). Тогда предел таких функций есть измеримая функция фп : = ф : [0, +те) — D,

такая, что f [s; ф^)] = f *(s). Окончательно, обозначив Z*(s) : = ф(s), мы получаем утверждение первой части теоремы 2.

2. Пусть V* (s) — это решение уравнения (2), существование которого доказано в теореме 1; напомним, что, согласно теореме 1, это решение обладает следующими свойствами: 0 ^ V* (s) ^ 1, V* (s) = 0 при s < 0 и lim V*(s) = 1. Обозначим 5*(s) = V*(s); мы покажем, что эта функция является оптимальной

вероятностью неразорения по всем предсказуемым стратегиям (т.е. она и есть искомый супремум в (1)).

Более строго, мы докажем, что стратегия Z* = (b*,M*) = Z*(R—) = (b*(Rt-),M*(Rt-)), которая определяется измеримой функцией Z*(s) = (b*(s),M*(s)), такова, что 5*(s) = 5z* (s) (т.е. вероятность неразорения компании при использовании стратегии Z** равна 5*(s)); более того, для любой предсказуемой стратегии Zt имеем 5z*(s) ^ 5z(s).

Пусть R*(t) и R(t) — это капитал страховой компании в момент t при использовании соответственно стратегий Z* и Zt; также пусть т* и т — соответствующие моменты разорения. Введем обозначения X*(t) и X(t) соответственно для остановленных (в момент разорения) процессов R*(t) и R(t), а W*(t) и W(t) — для преобразованных процессов, а именно

W*(t) := ö*(X*(t)) = 5*(RtAT*), W(t) := 5*(X(t)) = 5*(RtAT).

Далее, для математического ожидания E[Wt] справедлива следующая формула (соответствующее выражение справедливо и для E[W*(t)]):

E [Wt] = V (s) + E

t

J V'(XZ)(c - pE min{M, max(0, W - bz)})dz

+

t

+AE У [V(Xz - min{W, bz} - max{0, W - bz - Mz}) - V(Xz)]dz. (4)

0

Доказательство этой формулы основано на следующем утверждении.

Лемма 2. Пусть Н — абсолютно непрерывная функция, заданная на интервале I, т.е.

t

H (t) - H (to) = y h(s)ds

ь0

для некоторой локально интегрируемой функции Н на I. Пусть функция С : [жо, те) ^ I также абсолютно непрерывна, т.е.

G(x) - G(xo) = J g(y)dy

для некоторой локально интегрируемой функции д на [жо, те). Тогда если функция д строго положительна, то V о С абсолютно непрерывна и имеет место равенство

x

H(G(x)) - H(G(xo)) = У h(G(y))g(y)dy, x > xo.

xo

Доказательство леммы 2 можно найти, например, в [4].

Заметим теперь, что для любой стратегии Zt = (bt, Mt) справедливо следующее неравенство, которое вытекает из уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (2) для оптимальной вероятности неразорения:

ô'*(Xz(s))(c - pEmin{M„ max{0, W - b,}}) - Xô*(Xz(s)) +

+\E[Ô* (Xz(s) - min{W, bs} - max{0, W - bs - Ms})] < 0,

причем для стратегии Z* достигается равенство. Используя это неравенство и выражение (4), мы заключаем, что E[ôz(Xz(t))] ^ ô*(s), причем для стратегии Z* достигается равенство. Наконец, устремляя t к нулю, мы получаем, что ô*(s) = ôz * (s) и ôz*(s) ^ ôz (s) для любой другой стратегии Zt. Теорема доказана.

5. Численные примеры. Экспоненциальное распределение. Пусть поступающие требования Wi ~ exp(7). Даже в этом, на первый взгляд простом, случае невозможно найти решение уравнения (2) аналитически. Для построения функции V(s) — решения уравнения (2) — был использован метод последовательных приближений искомого решения функциями V^(s), описанный в доказательстве теоремы 2. Случай экспоненциально распределенных убытков замечателен тем, что для первого шага приближений (т.е. функции ôo (s) — вероятности неразорения при отсутствии перестрахования) существует явное выражение, а именно

ôo{s) = 1 - — ехр { - ( 7 - -

Рис. 1. Оптимальная стратегия в случае экспоненциальных убытков

Рис. 2. Оптимальная стратегия в случае логнормальных убытков

На рис. 1 показана оптимальная стратегия перестрахования 2*(в) = (Ь*(в),М*(в)) для в Е [0,10] и значений параметров с = 1, 5; р = 1, 6; А = 1; 7 = 1. Для малых в оптимальной стратегией будет пара (те, 0), т.е. отсутствие перестрахования вообще. Начиная с в ~ 0, 3 и до в ~ 2, 2 величина Ъ*(в) ~ в ив то же время ширина полосы перестрахования М*(в) убывает. Далее, для в > 2, 2 компоненты оптимальной стратегии стремятся к постоянным величинам Ь ~ 0, 9 и М ~ 0,1.

Логнормальное 'распределение. Рассмотрим случай, когда убытки имеют логнормальное распределение с параметрами / и а, т.е. функция плотности вероятности распределения убытков представляется в виде

f (x) =

1

V2

па2 x

exp

(ln x — ß)2

2а2

Тогда 5о(0) = 1 — с-1 ехр{/ + а2/2}. Возьмем Л =1, с = 4, р = 4, 5 и параметры распределения / = 1, а = 0, 5. На рис. 2 показана зависимость оптимального уровня удержания Ь* (я) и оптимальной ширины полосы перестрахования М*(я) от € [0, 5].

Распределение Парето. Наконец, пусть убытки распределены по Парето с параметрами а и в, другими словами, пусть убытки Шг имеют плотность распределения

ава

/(ж) = --—777"ТТ, х > 0.

Ь*,М*

—b\s) —M*(s)

Рис. 3. Оптимальная стратегия в случае распределения Парето профессору Е. В. Булинской за постановку задачи и помощь в реализации идей. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 10-01-00266.

(х + в)а+1'

В данном примере используем следующие значения параметров: в = 1 и а = 2, как и в случае экспоненциального распределения, выбираем Л = 1, с = 1, 5 и р = 1, 7. В точке з = 0 при отсутствии перестрахования имеем ¿0(5) = 1 — с-1(а — 1)-1. На рис. 3 показана оптимальная стратегия (Ь*(з),М*(5)) в описанной ситуации.

В заключение автор хотел бы выразить благодарность

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hipp C, Vogt M. Optimal dynamic XL reinsurance // ASTIN Bull. 2003. 33. 193-207.

2. Schmidli H. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting // Research Report 403. Dept. Theor. Statis. Arhus University, 2000.

3. Bertsekas D., Shreve S.E. Stochastic optimal control: the discrete-time case. N.Y.: Academic Press, 1978.

4. Schäl M. On piecewise deterministic Markov control processes: control of jumps and of risk processes in insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 1998. 22. 75-91.

Поступила в редакцию 22.12.2010

УДК 519.216

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ОСТАНОВКЕ, СВЯЗАННОЙ С АБСОЛЮТНЫМ МАКСИМУМОМ ПРОЦЕССА ЛЕВИ

С. С. Синельников1

Для процесса Леви X = (Xt)o<t<TO рассматривается момент в = inf{t^0: sups<t Xs = sups>0 Xs}. Исследуется оптимальное приближение момента в на основе информации, доступной на текущий момент. В качестве примера приводится процесс Леви, являющийся комбинацией броуновского движения со сносом и пуассоновского процесса.

Ключевые слова: момент абсолютного максимума, задача об оптимальной остановке, процесс Леви, задача Стефана.

For a Levy process X = (Xt)0<t<TO we consider the moment в = inf{t ^ 0: sups<t Xs = sups>o Xs}. We study an optimal approximation of the moment в using the information available

1 Синельников Сергей Сергеевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].