Оптимальная передача сигнала по совокупности непрерывного и дискретного каналов с памятью и запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 519.2

ОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕДАЧА СИГНАЛА ПО СОВОКУПНОСТИ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО КАНАЛОВ С ПАМЯТЬЮ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

С.В. Рожкова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассматривается задача оптимальной передачи стохастических процессов по непрерывно-дискретным каналам с памятью изапаздыванием. Доказываются экстремальные свойства оптимальных кодирований в смысле максимизации количества информации.

Ключевые слова:

Сигнал, стохастические системы, канал передачи, память, запаздывание.

Key words:

Signal, stochastic systems, transmission channel, memory, lag.

1. Постановка задачи

Данная работа является развитием результатов [1, 2].

Сигнал х, сообщение на выходе канала передачи г, и сообщение на выходе дискретного канала передачи пЮ задаются на реализациях процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями

Сх, = ^(,)х,С, + ФД?)<М, р,(,) = >[{х;цу0}.

1 случай:

сЪ, = /(,, х,, хт, z)С^ + Ф 2 (,)ёу,,

П (,т ) = Я(,т , х, , 2) + Ф3 (,т Шт ),

т. е. наблюдаемый непрерывный процесс г, обладает фиксированной памятью единичной кратности (N=1, т1=т), а наблюдаемый дискретный канал п(0 - с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи по процессу г.

2 случай:

с^, = /(,, хт, z)С, + Ф2(,)СЦ ,

П (,т ) = ё(,т . х,т,хт . Ю + Ф3 (,т ^ (,т ).

т. е. наблюдаемый непрерывный процесс г, с запаздыванием, а наблюдаемый дискретный канал п(т) обладает фиксированной памятью единичной кратности (Ж=1,т1=т) при наличии мгновенной бесшумной обратной связи по процессу г.

Используемые обозначения: Р{-} - вероятность события; М{-} - математическое ожидание; N{6!;#} -плотность нормального распределения с параметрами а и Ь; Ф?(0=б(0, Ф22(0=Д0, Ф|(0=*Ш.

Задача: в классе кодирующих функционалов К={Ы;0}={А(-), #(-)}, удовлетворяющих энергетическим ограничениям

М{/2(,, х,, хт, z)} < /(,) < /,

М{ё2 (,т , х,т , хт , Z)} < ё(,т ) < ё

найти функционалы й0(-) и ^°(-), обеспечивающие относительно задачи фильтрации минимальную ошибку декодирования Л0(,)=тГЛ(,), где

Л(/)=М{[х-.£(/,г,п)]2} является ошибкой оценки фильтрации !(/,£, п) процесса х,, которая соответствует принятому сообщению (го'пЛ при заданных й(-), #(-). Так как при заданных Н(-) и #(-) оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой фильтрации является апостериорное среднее /л( ,)=M{xJz0';n0m}, то Л°(,)>М{т( ,)}, где у(,)>М{[х-ц( ,)]2|г°';п0т}. Таким образом Л°( ,)=ММ{т(/)}.

2. Основные результаты

Теорема 1. На классе К;0Д={И;;О;1} линейных функционалов

н =|/(-): ^ х,, ^ z) = ] .

‘ {= /(,, z) + Н о(,, z) х, + Н1 (,, z)xJ,

С) = {ё(-) : ё(,т , хт , Z) = ё(,т , Z) + С1(,т , Z)х, } :

1) оптимальные кодирующие функционалы А0(-), ^0(-) имеют представления

/0(,, z0) = - Н 0(,, z >0(,),

Н00(,, z0) = [/(, V А0(?)]^2,

НЖz 0) = 0, (2)

ё °(?и , Z0) = -С"(,„, Z >0(Т, - 0),

с°(,я, Z0) = [ ё(;„ V Л0,(т, - 0)]1/2;

2) оптимальное сообщение {г,0;п0(0} определяется формулами

Cz^0 = [/(,VЛ0(,)]1/2[х, - ц°(,)]С, + Ф2(,)Су, ,

) = [ ё (,т )/ Л01(Т, - 0)]*2 X

Х[ Xт-M0(т, - 0)]С + Ф 3(,т Ж*» );

3) оптимальное декодирование /!(,) и минимальная ошибка декодирования Л0( ,) на интервалах 4< < ,и+1 определяются уравнениями

С ц0 (,) = ^ (,) ц0 (, )С,+Д-1 (,)[й(,)/ Л0 (, )]1/2 сЪ,0,

С Л 0(, )/с, = [2 ^ (,) - Д-1 (?)/(? )]Л 0(,) + 0(,) с начальными условиями

м0(с) = м0(;т -0)+л>,4 -0)х х[Ё(С)Л° (т, С - 0)]1/2[V(Г„) + ^)]-УО,),

Л0(С) = Л°(*я - 0)

V (с)

[7(С ) + Ё(С )]

1+

Ё (С )

7 (С)

1 --

(Л0і(т, ґя - 0))2 Л0^ -0)Л0і(т,г* -0)

где е(,)=Ф?(о, л(,)=ф22(,), г(о=Фз2(а 4) /(т,) = М{х |(^(п^Ь

Л01(т,,) = М{[ ^-/(т, ,)]2},

Л01(т,,) = М{[ х,-/(,)][ хт-/(т,,)]}

на интервалах ,и«и+1 определяются уравнениями

С,/(т,,) = Д-1(,)[ Й(,)/Л0(,)]1/2 Л01(т,,) С40, (3)

СЛ01(т, ,)М = - Д-1(,)[ й(,)/Л 0(,)](Л 01(т, ,))2, (4)

СЛ01(т, ,)/С, = [ ^ (,) - Д-1 (,)/(, )]Л 001(т,,), (5)

с начальными условиями

М0(Т, ,т ) = Ц(Т, ,т - 0) + [ё(,т К^Т, - 0)]^ X

Х[7 (,„ ) + ё (,т )ГУ0т ),

А?! Т, ) = V(,„ )[7(,т ) + ёОт )]-1Л°(Т, ^ - 0),

А01(Т, ,т ) = V(,т )[К(,„ ) + £(,„ )]-1Л 01(Т, ^ - 0).

Доказательство:

При заданных {h(-);g(-)}eK; на интервалах ,„<,<,„+1 (см. [3]) ц(т,,) и уп(т,0, 701(1,,) определяются уравнениями

С ц(г,,) =

= Д-1(,)[Н0(Т ,) + Н1(Т ,)Г11(Т„ ОЪ

Суп(т, О/ С, =

= -К-1 0)[Н0(т ОЫт 0 + Н1(т t)Yn(т,0]', С^01(т 0/С, = 2^(« )^01(т, 0 -

-К-1 О)[Н0(Д г)у(,) + ВД г)У01(Т 0] х х[ Н 0О, г )^01 (т,0 + ні^ г)Уll(т, ОЪ с начальными условиями

Мт С) = Мт «т - 0) +

30(С , г)У01(т - 0) +

_ + 31(С , 2)^11 (т,> С - 0) _

^11 (т , С ) = УпСГ «т - 0) -"30('« , 2)Y01(T, «т - 0) +_

+ 31(С , - 0)

^-1(,т )П(С ),

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

Yol(т, С ) = Г01(Т,> С - 0) -= [30 (С, гМС - 0) + 31 (С, г)^01 (Т С - 0)] Х

Yol(т, С ) = Г01(Т,> С - 0) -= [^ (С, г)^ - 0) + О, (С, г)/01 (т, Хк - 0)] х (11)

где

Мт 0 = м{х |г0 Yol(т,0 = м{[ х -М0][ х -Мт0] |г0 ,n0”}, Yll(т,0 = м{[Х - Мт 0]2 |г0, ПГК

Сг( = Сг( - [й(?, г) + Н0(«, г) ^(?) + Н1(«, г) ^(т, ?)]С?, п («т ) =П(С) --[Ё0,г) + Go(t,г)М(«„ -0) + г)M(т, «т -0)Ь

W(«, г) = 7(?„) + 32(?, г)у(гя - 0) +

+ 312(«, г)Yl1(т, «т - 0) + G1(t, г)У01(Т «т - 0) +

+2G0(t, г)G1(t, г)^01 (Т,> «т - 0)-

Уравнения (3)—(5) получаются как результат использования (2) в (6)-(8). Остальные утверждения Теоремы очевидным образом следуют из Теорем 1

в [1] и [2].

Теорема 2. На классе K/'0={H/;G;} линейных функционалов

И) = {£(•): Л(«,хт,г) = Л(«, г) + Н1(«,г)хт}, (12)

С, =

("Ё (^): Ё («т , Х<т ,Хт , г) = |

1 = Ё(«т , г) + С0(«т , г)Х(т + 31(«т , г)Хт I

1) оптимальные кодирующие функционалы А0(-), ^0(-) имеют представления

/0(,, z0) = - Н0(,, z 0)ц0(т,,),

Н“(,, z0) = [й(, V Л101(т, ,)]^2, ё0(,т, Z0) =-С?00(,т , Z0)М°(,т - 0),

ОС , Z0) = [ё(,т УЛ0(,т - 0)]1/2, (13)

С10(,т , Z0) = 0;

2) оптимальное сообщение {г/°;п°(,т)} определяется формулами

Сг,0 = [/(,)/Л101 (т, ,)]1/2[хт - ц°(т, ,)]С, + Ф2(,)С^ ,

П°(,т ) = [ ё (,т )/Л 0(,т - 0)]^2 X

Х[х,т - Ц (,т - 0)]С? + Ф 3 (,т (,т );

3) оптимальное декодирование ц°(,) и минимальная ошибка декодирования Л0(,) на интервалах ,и<,<,и+1 определяются уравнениями

Сц0(,) = ^ (, )ц0(, )С, +

+Д-1(,)[ /5(, V Л01(Т, ,)]12 А01(Т,,) Сz°,

Гг

с Л0(« V =

2^(«) - К-1(«)/|(?) х

(Л0і (т, «))2

Л0(«)Л01(т,«) с начальными условиями

Л0(«) + <2(«) (14)

х

M°(t„ ) = M°(t„ - 0) + [ g (tm )A0(t„ - 0)]1/2 X

X[V(tm ) + g(tm )]-1n°(tm ),

A0(tm ) = V (tm )[V (tm ) + g (tm )Ґ A^ - 0),

2 2 2

где е(0=Ф?(0, Я(0=Ф?(0, П,т)=Ф1Ш

ц°(/т-0)=Кшц(/), Л0(/т-0)=КшЛ(/) при {[ т 4) ц°(т,/) и Л01(т,,), Л01(т,,) на интервалах /т«/т+1 определяются уравнениями

С ц0(т,,) = Д-1(, )[/ (, )Л01(т, , )]1/2 Сz°,

С Л01(т, ,)/ С, = - Д-1(,Ж, )Л01(т, ,),

С Л 01 (т, , V С, = [ ^ (,) - Д-1(, )/г(, )]Л 01 (т, ,)

с начальными условиями

/(С ) = /0т - 0) + Л 01(Т, ,т - 0) X Х[ £(,„ УЛ0(,т - 0)]V2[V (,т ) + £0т ГУО, ),

V (,т ) „

(15)

Д0і(Т, tm ) = AOl (Т, tm - 0)

[V(tm ) + g(tm )]

1 +

g (tm )

V (tm )

1 —

(A0і(Т, tm - 0))2

A0(tm - 0)Л0і(Т, tm - 0)

(1б)

It0[ Xt;(z o)0,(no)m] =

= (1/2) Х ln[1 + (g (ti )/ V (t,))] +

(19)

где ^(t)=M{[xt-a(t)]2}, a(t)=M{xt}.

2) На классе K;1°={H;1;G;} вида (12) имеет место свойство (18) и

1t0[Xt;(zo)0,(no)m] = 1 Х ln[1 + (g(t)/V(t))] +

2 r<t. <t

hi (a) (А01(Т,а))2

R(a) А0(а)А01(Т,а)

-Q(a)

1

1

A 0(a) D(a)

da.

(20)

А01(і tm ) = V (tm )[V (tm ) + g(tm )ГlA01(т, tm - 0). (17) Доказательство:

Начальные условия (15)—(17) получаются как результат использования (1З) в (9)—(11). Остальные утверждения Теоремы очевидным образом следуют из Теорем 1 в [1] и [2].

Теорема 3.

1) На классе K;1°={H;1;G;} вида (1) имеет место свойство

It0 [Xt; (z°)'o,(n0)m ] = sup I [^; z0, rQ ], (18)

где sup берется по всем {h(-); gO^K^H^} и

/0[ Xt;(z o)0,(n°)m ] =

= (1/2) Х ln[1 + (g (ti )/ V (ti))] +

Доказательство:

Для ,и«и+1 использование (10) из [1] и (48) из [2] в (47) из [2] дает, что

<[ х,;(z 0)0,(п0)т^ С, =

= (1/2)( Д-1(,) /*(,) - 0(,)[( Л0(,))-1 - £-1(,)]). (21)

Тогда (19) следует из (51) из [2], (21). Использование (14) в (50) из [2] дает

1,0, [-] = Ц-0[-] + (1/2) 1п[1 + (ё( ,т )№))]. (22)

Тогда (20) следует из (49) в [2] и (22).

Заключение

Решена задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи диффузионного гауссовского марковского сигнала по непрерывному каналу с памятью и дискретному каналу с запаздыванием, а также по непрерывному каналу с запаздыванием и дискретному каналу с памятью при наличии бесшумной обратной связи. Полученные результаты могут быть использованы для анализа пропускной способности каналов в задаче оптимальной передачи сигналов.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013, проект № 14.B37.21.0861.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рожкова С.В. Оптимальная непрерывно-дискретная передача сигнала по каналам с памятью при наличии бесшумной обратной связи // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 5. - С. 6-9.

2. Рожкова С.В. Оптимальная непрерывно-дискретная передача сигнала по каналам с запаздыванием // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 5. -С. 10-13.

3. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. -С. 39-51.

Поступила 25.01.2013 г.