Оптимальная аподизация апертуры детектора излучения в радиометрических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1.JalnA.,FarrokfmiaF. Unsupervised texture segmentation using Gabor filters // Pattern Recognition. 1991. Vol. 24. № 12.P. 1167-1186.

2. Hofinann T., Puzicha J., Buhman J. Unsupervised texture segmentation in a deterministic annealing framework // IEEE Trans, on PAMI.

1998. Vol. 20. № 8. P. 803-818.

3. Daugman J. Uncertanity relation /or resolution in space, spatial frequency, and orientation optimized by two-dimiensional visual cortical

filters // Journal of the optical society Am. A. 1985. Vol. 2. № 7. P. 1160-1169.

4. Айвазян C.A., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

5. Ojala T., Pietikùinen M. Unsupervised texture segmentation using feature distributions // Pattern Recognition. 1999. Vol. 32. № 3.

6. Brodatz P. Textures: A Photographic album for artists and designers. New York: Dover Publications, 1966.

Статья представлена кафедрой высшей математики и математического моделирования факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 21 февраля 2000 г.

УДК 620.179.152

О. И. Недавний, В. И. Солодушкин, В. А. Удод

ОПТИМАЛЬНАЯ АПОДИЗАЦИЯ АПЕРТУРЫ ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ В РАДИОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

В одномерном варианте решена задача оптимального выбора аподизирующей функции апертуры детектора излучения, применяемого для регистрации излучения в радиометрических системах радиационного контроля. Представлена геометрическая интерпретация основного расчетного соотношения. Указана область использования полученных результатов.

Проводимые в настоящей работе исследования относятся к радиометрическим системам неразрушающего радиационного контроля. Принцип действия данных систем состоит в следующем [1]. Пучок квантов, испускаемых источником рентгеновского или у-излучения, сканирует по объекту контроля (ОК), последовательно просвечивая все его участки. Излучение, прошедшее через контролируемый участок, регистрируется детектором и далее преобразуется к виду, удобному для дальнейшей обработки у (иди), оконечной регистрации.,Пр результатам регистрации оцератором чьцюсигс* рещедир q состоянии внутренней структуры ОК, в частности, о наличии (либо отсутствии) в ОК инородных включений (ИВ).

При проектировании радиометрической системы одной из основных является задача оптимального выбора апертуры детектора излучения [2]. Ранее эта задача решалась путем оптимального выбора отдельных параметров апертур, имеющих заданную форму и обладающих в пределах рабочей зоны детектора однородной чувствительностью к падающему излучению [2—6]. Между тем, естественно предположить, что для обнаружения системой ИВ сложной конфигурации целесообразно использовать детекторы с неоднородной (аподизированной) чувствительностью апертуры. На практике простейшие детекторы такого типа используются в некоторых системах рентгеновской вычислительной томографии для повышения пространственного разрешения томограмм [7].

Целью настоящей работы является оптимальный (в смысле заданного критерия) выбор аподизирующей функции (АФ) апертуры детектора радиометрической системы, предназначенной для обнаружения в ОК плотных ИВ сложной конфигурации. Ввиду сложности рассматриваемой задачи ограничимся одномерным вариантом при еб решении.

Постановка оптимизационной задачи

Для формализованного описания исследуемой задачи сделаем следующие предположения:

1) поток квантов излучения - пуассоновский;

2) сканирование ОК осуществляется дискретно с малым шагом (малым по сравнению с поперечными размерами обнаруживаемого ИВ). При этом само сканирование происходит следующим образом. Пучок излучения фиксируется в некоторой позиции на ОК и просвечивает его в течение определенного промежутка времени. По истечении этого времени пучок перемещается в следующую позицию (совершает шаг) и процесс повторяется;

3) детектор регистрирует излучение в счетном режиме, т.е. измеряет число квантов за фиксированный промежуток времени и притом тогда, когда пучок излучения находится в какой-то фиксированной позиции;

4) аподизированная апертура технически реализована в виде однородного филирующего поглотителя (ФП) излучения, имеющего переменную толщину и установленного за ОК перед детектором.

Одним из распространенных критериев качества функционирования радиометрических систем радиационного контроля является отношение сигнал / шум (ОСШ) [2], которое для счетного режима регистрации излучения представимо в виде

M.HL, m

а

где AN -максимальное изменение среднего числа кван-

тов излучения, регистрируемых детектором, обусловленное наличием ИВ в ОК (сигнал); а— среднее квадратиче-ское отклонение числа квантов, регистрируемых детектором при отсутствии ИВ в ОК (шум).

Используем в дальнейшем условие максимума ОСШ (1) как критерий оптимального выбора АФ апертуры детектора радиометрической системы. С учетом введенных предположений 1 - 4 запишем развернутое выражение для ОСШ (1) в одномерном варианте

]ф(;е)/(*)А А/ = с-._-(2)

fl/(X)dX

Здесь с = JbN0zx exp^- j; Ь - ширина апертуры

детектора (совпадает с шириной ИВ); А6 - плотность потока квантов излучения вблизи детектора при отсутствии ОК; £ - эффективность регистрации излучения детектором; г- время измерения числа квантов детектором (постоянное на каждом шаге сканирования ОК); щ - линейный коэффициент ослабления (JIKO) излучения для материала OK; Н - толщина ОК; ^з(х)=1-ехр(-/^<Д)) -функция ИВ, означающая для фиксированного х вероятность события {при движении кванта вдоль прямой, проходящей через точку * параллельно оси пучка излучения, он вступает во взаимодействие с материалом ИВ};

^Нг-Иг*0; Мг~ ЛКО ИВ; £0(;с) - лучевой размер ИВ (протяженность ИВ вдоль направления распространения пучка излучения); Дх)=ехр(-//3 р(х)) - АФ апертуры детектора, означающая для фиксированного х вероятность события {при движении кванта вдоль прямой, проходящей через точку х параллельно оси пучка излучения, он не вступает во взаимодействие с материалом ФП}; //3 - ЛКО ФП; р(х)~ лучевой размер ФП.

Задача заключается в отыскании АФ /х), доставляющей максимум выражению (2) дня заданной функции ИВ фс). Задачу будем решать в следующей математической постановке. Требуется найти максимум функционала

Jq>(;0/(x)&

F{f) =

J f{x)dx

(3)

f <pOc)/(*)A

]f(x)dx

(7)

Для V/еЛ будет выполняться неравенство

-ме а

J/(x)í£c>J/(x)í&, из которого вытекает справед-

ливость неравенства

1 <P(x)f(x)dx

J]/(x)dx

\о

(8)

для V /ре В. Из (8) следует очевидный вывод: максимум функционала (7) следует искать на множестве А0 = = |{/|/ н0вне(0,а)}, т.е. среди таких /еА, которые тождественно обращаются в нуль вне

интервала (0,а). В этЬм случае неравенство (8) перейдет в равенство.

Проведенное выше исследование позволяет свести исходную оптимизационную задачу (3)-(5) к задаче максимизации функционала

¡ф)Дх)сЬс

ÍJf(x)dx

(9)

по всевозможным функциям {/ е I, (-оо,+оо) | 0 < / < 1 почти всюду} (4) для заданной функции

Ф € В = {ф е с(-оо,+оо)|0 < / < 1;

ф в 0 вне (0, а), а > 0; ф" < 0 на (0, а)}, (5) где параметр а физически означает длину ИВ (его протяженность в направлении сканирования ОК). Связь между ОСШ (2) и функционалом (3) при этом следующая:

..........М-=>сР(/-)..........(6У

Сформулированная оптимизационная задача (3) - (5) является неклассической вариационной задачей, что предполагает использование специфических подходов для ее решения.

Решение оптимизационной задачи

Функция (ре В всюду непрерывна и ограничена, а функция / е I, (-оо,+оо), поэтому, согласно [8], произведение Уф е I, (~оо,+оо). Так как (ре В тождественно обращается в нуль вне интервала (0, а), то для функционала (3) будем иметь

при тех же ограничениях (4), (5). Легко видеть, что при этом будет выполняться равенство

шах F(/) = шах F(f) = max F0(f). (10)

/еА /еА„ /¿А

Обозначим: Dx ={*б[0,а]| ф(х) £ X }; S(X) = jdx -мера Лебега множества Dk ;Л0 =max <р(х); х0 е [0;а] та-

I о.а]

ково, что (¡о(х0)=Л0 (такое х0 существует и единственно, т.к. ср" (*)<0 на (0;а)); Хох (х)_ характеристическая функция множества х\{Х) и х£Л) - два корня уравнения q>(х)=Л, где 0<ti(A)<C2(Луса, Яе(0;А0). Если Яе(0; Лп), тс x¡(Á) - возрастающая функция, а х/Л) - убывающая, х, (0 + 0) = 0, х2(0-0) = а, Х](Я,0 -0)=хА X0 +0)= х0. Заметим, что S(X) - непрерывная убывающая функция при Ле(0; Л0) и 5(ОЮ)=а, S( Л0 -0)=0.

Пусть feA и | f(x)cix=cu 0<С\<а. Так как 5(Я) о

непрерывна и 0<S(A)<a, то найдется такое Л, что 5(Я)=с|. Для этого Л оценим разность: 1 ("

ПЛ = -7= /ф(*)<&Х А (x)dx-VCI Vo

- ]ф(х)/(х)л1 = -L )(Xd¡ (х) - f(x)Mx)dx = 0 / VCI 0

г- J(Xz>AM-/(*)M*)<&-

Vе! U-

Z3o\Dx 1

1

(

fX(l-/(*)) A- ¡Xf(x)dx) Vci VA Д,\о>.

X ¡dx-X ¡f(x)dx-X ¡f(x)dx

V I>, ¡b. D0\D>.

\

Ai

XS(X)-X ¡f(x)dx =-L Xcx-X\f{x)dx

Vcl

= —== (Xcj -Xc|) = 0. Vе.

Следовательно, ) ^ ^(/)• Это неравенство

превращается в равенство тогда и только тогда, когда выполняется система равенств:

Данная система равенств будет справедлива лишь в том случае, когда /= почти всюду (с точностью

до множества нулевой меры).

Из проведенного анализа вытекает следующий вывод: максимум функционала /"о достигается только на функциях вида

/ = 3^- (П)

При подстановке (11) в (9) получаем одномерную функцию

|<р(х)Л

и

«(X)=F0(Xfl,) =

¡h

IF

(12)

Задача поиска экстремали функционала Ец теперь сводится к отысканию точки максимума функции и(Я). Покажем, чге такое-Я существует м единстве»^ те. покажем, что экстремам ^ единственна, и выведем уравнение, ю которого находится оптимальное значение Я.

Для удобства дальнейшего анализа представим (12) в следующей эквивалентной форме:

и(Я) =

|0(Ф(х)-Х.)(р(лг)Л

|б(Ф(;с)-Х)Л

где 0(0 - единичная функция Хевисайда: д/Л= П. если /¿О, К) \0, если КО.'

Поэтому (с учетом того, что в' (0=<5(0 - дельта-функция Дирака) получаем:

(7б(ф(х) - Х)сЬс)( |ф(х)Л - 2Х \сЬс)

и\Х) = -------------- 01--------

VF

Но при Я € (0; Я0 ) выполняются соотношения [9]:

1 1 >0;

/5(ср(х)-Х)Л = гт

|ф'(х,(А.))| \<?ХхЛЩ

т(Х) <, JS(X)dt - XS(X) = S(X)(X0 -2Х).

Следовательно, при Я е ; Я0 ) с учетом того, что

5(Я>0, получим: т(Л)^3(Л)(Ла -2Л)<0. А так как т(Я) не-

Я

прерывна и т(0)= \S(t)dt > 0, то на интервале (0;—) о 2

существует корень уравнения от(Я)=0. Покажем, что этот корень единственный на (0; Яо). Найдем производные функции /я(Я):

т'(Х) = -S(X) - S(X) - XS'(X) = -2S(X) - XS'(X),

m\X) = -3S'(.X)-XS"(X). Как следует из [9],

—(

или S "(к) =

1

1

Ф'(*,(Х)) ф'(*2(Ь))

(p"(x,(X))x;(V (р'(х2(Х))х'2(Х)

>0.

След овательно, знак производной и'(Л) совпадает со

знаком функции т(Х) = гфи Хе

ох ¡К

е (0;Х0). Покажем, что уравнение /и(Я)=0 имеет единственное решение Л=р на интервале (0; ЯоХ и этот корень р доставляет функции а(Я) глобальный максимум. Заметом,

«по от(Я) = \ 5(г)£Й - Я5(Я). Так как 5(Я) убывает, то

(Ф'(^М))2 (ф'(*2(Щ2 Но так как *|(Я) возрастает при Яе(0,Яо), х2(Л) -убывает, а ф'<0, то 5"(Х)<0 при Яе(Ь, Яо). г!о-

этому т" = -3£'(Х)-Х£"(Х)>0, таккак 5'(Л)<0. Следовательно, функция т(л) выпукла вниз и поэтому у нее есть единственная точка минимума Л= =Я[. Найдем значение функции т(Л) при Я=Яо: V)

т(Х0)= |$(г)й-Х05(Х0) = 0-Х00 = 0.

Таким образом, т(Я) убывает на (0; Л{) от значения т(0)Х) до своего минимального значения т(Л\\ а затем на (Я(_ Хо) возрастает от /я(Я0<О до /и(Яо)=0, поэтому на (0; Я,) существует единственный корень р уравнения т(Лу=0, а на интервале (д Яо) т(Я) отрицательна, т.е. уравнение /я(Я)=0' имеет единственный корень р на (0; Яо). Причем т(Я)>0 на (0; р) и т(Я)<0 при Ле(/г, Яо). Следовательно, функция и(Я) возрастает при Яе(0^>) и убывает при Яе(дЯо), поэтому р - единственная точка глобального максимума функции «(Я). Это значит, что = Хг>„ ~ единственная функция,

доставляющая максимум функционалам и Щ). Экстремальное значение р находится из уравнения *:<р)

|Ф(х)Л = 2р(х2(р)-х|(р)). (13) *|(р>

У=ф(х)

х,(р) хо Хг(р; а

Рис. 1. К расчету значения р

Геометрически это означает, что площади фигур Фу и Фг (рис. 1) равны, где Фг={(х, у)\р£у<,д^хУ, хе[0, а]} -часть подграфика функции у=<((х), лежащая выше прямой^/?, а Фх={{х, у)\0<у<р, х{(р)<х<хЖр)} - грямоуголь-ник, заключенный между прямыми у=р, у=0,

При этом значении р, учитывая (6), (9), (10), получим максимальную величину ОСШ (2):

Мт=2ср^хг{р)-хх{р). (14)

Заключение

В рамках принятых предположений в результате решения оптимизационной задачи (3) - (5) нами получено, что оптимальная АФ апертуры детектора радиометриче-ской системы единственна и имеет следующий вид:

/ор,(*) = ЗСДрМ. (15)

т.е. является характеристической функцией множества £>р = {* е [О, о]|ф(х) > р}, где [0, а]=5ирр <р - носитель

функции ИВ <р{х\ а параметр р находится ш уравнения (13). При этом максимальное значение ООН равно (14).

Примечательной особенностью полученной АФ (15) является то, что соответствующая ей апертура детектора обладает однородной чувствительностью к излучению, однако не по всему носителю функции ИВ (как это рекомендовано в [10]), а лишь в той его части, где лучевой размер ИВ больше некоторого критического значения, определяемого через параметр р из уравнения (13).

Полученные результаты могут быть использованы для оценки предельных возможностей радиометрических систем контроля, разрабатываемых для обнаружения в изделиях плотных ИВ сложной конфигурации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Приборы для неразрушакмцего контроля материалов и изделий. В 2-х книгах. Кн. 1 / Под ред. В.В. Клюева. 2-е изд., перераб. и доп.

М.: Машиностроение, 1986.488 с.

2. Горбунов В.И., Покровский A.B. Радиометрические системы радиационного контроля. М.: Атомиздат, 1979.224 с.

3. Горбунов В.И., Завъяпкин Ф.М., Соподушкин В.И., Удод В.А. Выбор параметров радиометрических систем с дискретным сканирова-

нием радиационного поля // Автометрия. 1987. № 4. С. 21-27.

4. Горбунов В.И., Горбунов В.М., Завьялкин Ф.М., Квасница М.С. Влияние усреднения измеряемой характеристики изделия в поле

зрения детектора на выбор радиометрического устройства// Дефектоскопия. 1976. № 2. С. 117-127.

5. Завьялкин Ф.М., Удод В.А. Двухапертурное кодирование проекций II Автометрия. 1990. № 2. С. 91-93.

6. Недавний О.И., Максименко Б.В., Осипов СЛ., Удод В.А. Многоканальные радиометрические системы контроля с полутоновой визуализа-

цией теневых радиационных изображений. 4.2. Расчет оптимальных параметров систем // Дефектоскопия. 1993. № 7. С. 79-85.

7. R.M. Henkelman, B.R. Preiss. A nonuniform detector aperture for CT-IN // J. comput. assist tomogr. 1981. Vol. 5. № 3. P. 401-408.

8. Рудин У. Основы математического анализа. Пер. с англ. В.П. Хавина. М.: Мир, 1966. 320 с. ' 9.' Троицкий"ИИ. "Статистическая теория томографии. М: РаДиб и связ1, Г989.240 Ú.

ХО.СпхфцеваЛ.В. Разработка и исследование алгоритмов обнаружения дефектов в радиационной дефектоскопии: Аягореф. канн дис. Томск, 1981.

Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 февраля 2000г.

УДК 519.24

Б.Е. Тривоженко

ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА ВРЕМЕННОГО РЯДА СПЛАЙНАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЕФЕКТА ДВА

Рассматривается задача выделения тренда временного ряда, когд а моменты измерений его значений образуют случайный поток событий и неизвестны. Для рассматриваемого случая получены рекуррентные алгоритмы оценки коэффициентов сплайна и исследованы их статистические свойства. Получено выражение для средней интегральной погрешности выделения тренда.

Одна из задач анализа функционирования сложных ошибками измерений, внешними помехами и т.д. Для технических систем - выделение тренда телеметрируемых выделения тренда временного ряда производятся параметров, характеризующих состояние системы в неко- в некоторые моменты времени t,, /2,..., кото-торые дискретные моменты времени. Определяющими факторами при решении этой задачи являются:

1) выбор математической модели, описывающей тренд наблюдаемых значений случайного процесса;

2) задание схемы наблюдений, на основе анализа которых этот тренд выделяется.

В работах по анализу временных рядов (например, [1,2]) рассматривается случай, когда измерения значений случайного процесса производятся в мометы времени, отстоящие на одинаковую величину друг от друга. В предлагаемой работе измерение значений наблюдаемого процесса производится в некоторые случайные моменты времени, которые предполагаются неизвестными.

Пусть имеется временной рад у(0 = /(/) + п((), являющийся суммой некоторой детерминированной функции /(0, называемой трендом процесса у((), и п(() -случайной функцией, наличие которой обусловлено

рые являются случайными величинами и образуют простейший поток событий с параметром X. Предполагается, что помехи измерений и, = ), /' = 1, 2,... - независимые одинаково распределённые величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2. Относительно тренда предполагается, что он представляет собой сплайн второго порядка. В этом случае время наблюдения разбивается на интервалы одинаковой длины Т и на к-м интервале тренд представляется в виде полинома второго

порядка fk (0 = ак + Ь„ - + с„

Считается, что

на каждом временном интервале отсчет времени ведётся от начала этого интервала. Эш полиномы должны быть «сшиты» на концах, т.е. конец (к -1) - го отрезка