Оптические скаляры в теории Эйнштейна-Картана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.12:531.51

В. Н. Тимофеев

ОПТИЧЕСКИЕ СКАЛЯРЫ В ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА - КАРТАНА

Рассмотрено поведение изотропной конгруэнции автопараллелей в пространстве Эйнштейна - Картана, т. е. конгруэнции кривых, вдоль которых параллельно переносится касательный изотропный вектор. Получено условие на тензор конторсии, которое является свойством конгруэнции автопараллелей.

Ключевые слова: теория Эйнштейна - Картана, тензор кручения, автопараллель, изотропная тетрада, оптические скаляры.

V. N. Timofeev

Optical scalars in the theory of Einstein-Cartan

In the space of the Riemann - Cartan the behavior of an isotropic congruence autoparallel has been considered, i.e. congruence of curves along which the tangent isotropic vector is moved. A criterion on the contortion tensor, which is a property of autoparallel congruence, is obtained.

Key words: Einstein - Cartan theory, autoparallel, isotropic tetrad, optical scalars.

В общей теории относительности (ОТО) широко применяется формализм изотропных тетрад Ньюмена - Пенроуза, который совместно с классификацией Петрова гармонично сочетается со структурой световых конусов пространства-времени. В этом формализме характер поведения световой конгруэнции определяется спиновыми коэффициентами рис. Величины 0=-Яер, ю=-1шр, а, характеризующие, соответственно, расширение, вращение и спшощива-ние конгруэнции, были введены Р. Саксом [1] и называются оптическими скалярами. В данной работе найдены величины, обобщающие оптические скаляры ОТО на случай пространства Эйнштейна - Картана.

В отличие от ОТО, в теории Эйнштейна - Карта-на (ТЭК) вместо римановой геометрии для пространства - времени используется геометрия Римана -Картана. Независимыми характеристиками пространства Римана - Картана являются риманова метрика 9у и кручение Qj|(, равное анти-симметрич-ной части объекта связности:

1

У* = 2 (Г* - )■

(1)

и тензора конторсии

"jk *

*=Ш

+

)ijk

Qijk + Qkji + Qjki ■

(3)

(4)

Тензор конторсии антисимметричен по первым двум индексам:

"ijk - -"jik •

(5)

Уржнение геодезической в пространстве Римана-Картана имеет тат же ввд, что и в римановом пространстве

d2xi /СП ri \ dxJ' dxk

dr2

+

(Ш

lik) dr dr

= 0, (6)

В рассматриваемом пространстве выполняется условие метричности, выражающее свойство ковариантного постоянства метрического тензора

91] = 0, (2) а связность равна сумме символов Кристоффеля

но вследствие наличия кручения геодезические кривые, которые в ТЭК называются автопаршалелями, не совпадают с наикратч"шими [2].

Тетрадным базисом (тетрадий) назывкктся четверка векторных полей

. д

Зх

- = е+3;(а = 1,2, 3,4), (7)

ТИМОФЕЕВ Владимир Николаевич - к. ф.-м. н., доцент кафедры общей математики МПТИ (ф) СВФУ Е-шаН: [email protected]

где индекс с «крышкой» а нумерует векторы тетрады и называется тетрадным индексом, в отличие от тензорных индексов, которые пишутся без крышки. Тетрадные индексы подаимаются и опускаются с помощью симметричной матрицы

ЛдБ яд яБ (■ (8)

В этой работе мы будем пользоваться тетрадой

специального вида, а именно изотропнои тетрадой (I, П, Ш, Ш), матрица (8) которой имеет вид

/ 0 10 0

# ^ = *■ ■ еіе] =\1 0 0

Чаї, У і] еа & I 0 0 0 — 1

\0 0 —1 0/

(9)

Этот оператор проектирует любой вектор на плоскость (т, т) . Очевидно, что проекция производной Ли о т вектора #1± = вдоль

равна нулю, т. е.

Iі

Найдем условие, при котором вектор I тетрады образует изотропную конгруэнцию автопараллелей. Для этого рассмотрим приращение вектора 1$ при беско нечно малом смещении вдоль вект ора 2

3-аі = 4 -аі,] — -аіб-4 = —

— 0УаЬс К °аВс')-1 = - (10)

где УаВс = ере£і;,ет - спиновые коэффициенты, «точка с запятой» обозначает копариантную производную через символы Кристоффеля. Из (10) слезет, что приращенее линейоой части базисного вектора Є$ при бесконечно малом перемещении вдоль вектора Єя равно

3ік0(9) = (УаЦс + . (11)

Воіда для параллельного переноса вжтора 1 вдоо самого себб находим

^Р- = =£ + £ * - К72=)1 + -- (к* - 7і==)тп+ - (к - 7тз=)г?, (12)

адчї = 4 (Ч пі “-п'А,) = 0, (15)

Прибавим в обе части равенства

(16)

величину равную ^.

Тогда получим

(17)

где

Откуда при бесконечно малом смещении вдоль вектора I1 имеем

^ (18) где ^ - приращение аффинного параметра.

Так же как и Р. Сакс [1], по аналогии с гидродинамикой разложим матрицу Л| на бесконечно малые вращения, растяжения и сдвиг:

Ач = ЛЩ ]

Величины

+ кЪЦ +

— — Л к Ъ ■

о Л к п1.

0 = ± а\, " =

2 1’

где 7="8 — е = е& е@ К+,@ - проекция тензора

конторси и К&@ н а тетраду, К = е@300 ,

(8=ГТ + Ж*)

; ^ (здесь и далее обозначения

взяты из книги С. Чандрасекара [Я]).

Из (12) заключаем:

утверждение 1. Векторы I образуют изотропную конгруэн——ю автопараллелей тогда и только тогда, когда

к - = 0, (13)

а также параметр вдоль автопараллелей является аффинным тогда и толь ко тогда, когда

£ + £* - Кг2т; = 0. (14)

Для того чтобы выяснить поведение изотропной конгруэнции, рассмотрим семейство изо-опных автопараллелей, дджащих в малой окрестности некоторого выделекного луча +. Тетраду выберем так, чтобы векторное поле I было касательным к данной конгруэнции. Построим вектор #$ , соединяющий луч Ь с лучом 1 ’, произвольно взятым из данного семейства. Введем таюке оператор проектирования = -{т$т& П т&т& * .

1%1 = #2 (Ат*1 - 2*2 )•

(19)

(20)

называются оптическими скалярами и, соответственно, являются мерами вращения, растяжения и сплющивания конгруэнции.

Чтобы найти явные выражения для оптических

скаляров, выпишем Ац через тетрадные вектора

ч

Ау = — [(" + #з$$)т;Пу + {к* + +

+ (т + КККг)гпі -+ (т* + К=2—)т— — о—— — -*т-— —

--Р+ - С/Э * + #2рзт)% І % ], (21)

где р = Уз!?, " = Узтт, # = 7зі2 •

Поскольку векторное поле I образует изотропную конгруэнцию автопараллелей, справедливо

к + К-31Ї = 1 С учетом этого равенства имеем

АЩ] = -2 [(" + #$2$){щ* - *;&/') +

+ (т* + - *іЩ)

+ (р + Кш)%тіЩ -Щщ) +

+ (р* + (Щщ - тііпі)], (22)

А(і}) = - 2 + *!&"/) +

-І- (т* -I- #?$&)(&і+ + ІіЩ+ - 2атіЩ — 2-*ш^т& — -. + р*)(тітпі — тп^щ) ].

Подставляя (22) в (20), находим, что в ТЭК оптические скаляры имеют вид:

0 = “(р + р*); # = ^(р-р* + 2%з4г); "■ (23)

Таким образом, справевливв:

утверждение 2. Если в щюстранстве Эйнштейна - Картана вектор I изотропной тетрады образует изотропную конгруэнцию автопараллелей, то расширение, вращение и спающивание конгруэнции измеряется величинами (20).

Рассмотрим вращения тетрады, сохраняющие направление вектора I . Такие вращения тетрады можно разбить на два класса [3]:

1 Вращения, оставляющие неизменным вектор I :

1-я I, п — п + а*т + ат1 + аа*1,

т + а1, т ^ т + а*1; (24)

где а - комплексн— функция.

2. Пращекия, —тквляющие пеизменными направления I и п, поворачивающие вектор т {и # ) на угол в вп лоскости (т , т )

I ^ А-11, п ^ Ап,

т ^ еі9т, т ^ е-1#т,

где А и 2 - две вещественные функции.

При таких вращениях тетрады имеем:

— вршценші класса І

0 с 0 + ~2 + а"4їі)'<

І

$ -> $ + ^ (а*":т — а"#ш:); аеа - аКш.

для вращения класса II

0 -> А-10;

ш — А 1 ш;

а — .I-1 е2ів а.

Поэтов делаем вьіаод: утверждение 3. Если в изотропной тетраде вектор I направлен вдоль изотропной конгруэнции автопараллелей и

(25)

(26)

(27)

Кш = 0, (28)

то не существует вращения тетрады, сохраняющего направление вектора I , с помощью которого можно сделать равным нулю какой-либо оптический скаляр.

Условие (28) означает, что в пространстве Эйнштейна - Картана не существует двумерной плоскости ( т , т) ортогональной изотропной конгруэнции автопарадлелей, в которой окружность при параллельном перенесении этой плоскости вдоль конгруэнции либо не расширяется, либо не вращается, либо не сплющивается.

Из равенства (13) следует, что если Кдц = 0, то спиновый коэффициент к также равен нулю:

К = 0. (29)

В пространстве Эйнштейна - Картана для произвольной тетрады имеет место

В-аЪсй = УВасД — УВаЗ,с — УтпасУщЦ — ц и и$ + и и$ + и и$ иБ ат Ус! + Ута! У Вс + УВатУЦс’ , (30)

где КаВсИ = Кцкі ({ })44ЄМ - проекция

на -тетраду тензора кривизны через символы

Кристоффеля; ГБасД = еадіУБас - производная по направлению Є^ от .

Действительно, проецируя тождество Риччи

е&] — е&] = Щк.1 (Оеаі — 2 %кІ^іеа/ (31) на тетрадный базис, можно убедиться в справедливости (30).

Здесь используется равенство

4л(Г) = » + К1' *-

^ -К^ + К^ц-К"^, (32)

где Щы (Г) - тензор кривизны через объект связности (3).

Поворотом тетрады на плоскости (т , т) можсс сделать равным нулю мнимую часть спинового коэффициента є:

Ітє = Ітє + Бв = 0, Б = 11д#.

Тогда выписывая (30) для компонент ^^3^4 и , с учетом (28) и (29), получим уравнения для оптичесміх скакфов

ов = —б2 + (<у — іКз$і)2—вк^ц — фоо;

ОПпо — "кш) = —В2в "Ь кТП)(! —

Па = —огС2И К К ЧЪ, (33)

где Фоо = - 2= -С^зи = ст 11т] 1кт1

- скаляр Вейля.

Если систему координат выбрать так, чтобы

X1 = г, где г- аффинный параметр, то производная по напржлееию ! в уравнениях (33) будет равна

частной производной по г, е. г ! = — .

"г

Л и т е р а т у р а

1. Иваненко Д. Д. Гравитация и топология. Актуальные

проблемы. - М.: Мир, 1966. - 311 с.

2. Степанов В. Е. Двухкомпонентные спиноры и пространство - время аффинной связности. - М.: Наука, 1996.

- 108 с.

3. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. Ч.1.

- М.: Мир, 1986. - 277 с.

41ММ*