Опросы взаимоотношений структуры кольца со структурой его абелевой аддитивной группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№91(9)

УДК 621.396

ВОПРОСЫ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ СТРУКТУРЫ КОЛЬЦА СО СТРУКТУРОЙ ЕГО АБЕЛЕВОЙ АДДИТИВНОЙ ГРУППЫ

Е.И. КОМПАНЦЕВА

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

Формулируются необходимые и достаточные условия на абелеву группу, при которых существует такое кольцо из данного класса, что его аддитивная группа изоморфна данной группе.

В последнее время в работах по теории абелевых групп все чаще встречаются исследования взаимоотношений структуры кольца со структурой его аддитивной группы. Основная проблема этих исследований сформулирована в [1] следующим образом: для данного класса колец найти необходимые и достаточные условия на абелеву группу О, при которых существует такое кольцо из этого класса, что его аддитивная группа изоморфна группе О.

Настоящая работа посвящена изучению абелевых групп, на которых может быть определена структура ассоциативного полупростого кольца. Такие абелевы группы называются полупростыми. Проблема изучения полупростых абелевых групп поставлена в [2].

Кольцом на абелевой группе О называется кольцо, аддитивная группа которого изоморфна О. В [1, проблема 94] определен абсолютный радикал (Джекобсона) Я (О) абелевой группы О как пересечение радикалов (Джекобшна) всех ассоциативных колец на О, и сформулирована проблема его описания. В [3] и [4] независимо показано, что если О нередуцированная абелева группа без кручения, то Я (О)={0}. В [4] ставится вопрос о том, реализуется ли абсолютный радикал такой труппы в качестве радикала некоторого ассоциативного кольца на ней, т. е. является ли данная группа полупростой.

В данной статье решается указанная проблема. Найдены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы нередуцированная абелева группа без кручения была полупростой.

В работе рассматриваются только абелевы группы без кручения и ассоциативные кольца, и слова группа и кольцо всюду в дальнейшем означают соответственно абелева группа без кручения и ассоциативное кольцо.

Для описания полупростых групп введем понятие да-полупростой группы. Группу А назовем т -полупростой, если на ней можно определить кольцо, в котором существует полупростой идеал А такой, что факторкольцо А/А разложимо в подпрямое произведение т колец без кручения, ранг каждого из которых не превосходит т (может быть нулевой). Из этого определения следует, что т — полупростыми являются, в частности, все группы, ранг которых не более 2да.

Пусть нередуцированная группа О представлена в виде G=AФD, где А — редуцированная, Б — ненулевая делимая группы, и ранг группы Б равен т.

В статье используются следующие определения и обозначения. Умножением на группе О называется гомоморфизм /: О®О^О. Это умножение часто будем обозначать знаком х, т.е. Л(g1®g2)=g1хg2. Ассоциативное умножение /л на группе О определяет некоторое кольцо на этой группе, которое обозначается (О, /), радикал этого кольца обозначается Я(О, /) (или соответственно, (О, х), Я(О, х)). Если А и В подмножества кольца (О, х), то

если ge О, то

прямого произведения || О! записывается в виде

\<е!

Элемент

nA (G ) и nA (g) обозначают соответственно проекции группы G и элемента g е G на подгруппу А.

За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к

[1,5].

Пусть G=A®В, (G, х) — кольцо. Определим умножение ХА на А следующим образом: (Vû^i, aj е a)xaj = nA(ixaj ). Будем называть ХА умножением, индуцированным на А умножением х.

В работе [6] приведены две леммы - лемма 1 и лемма 2, на основе которых можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 1. Пусть G=AФВ — прямая редуцированной группы А и делимой группы D конечного ранга. Пусть (G, х) — кольцо и для идеала (D, х) имеет место разложение (D, x)=S©N. Пусть е - единица подалгебры S, и пусть В = {а — axe|a е R (A, xA )}. Тогда R(G, x)=B+N.

Доказательство. Т.к. N=R(D, х), то N=R(G, х)ПD и, следовательно, N — нильпотентный идеал кольца (G, х). Значит, по лемме 1 R(G, X )= R(A © S, Xa® s )© N . Нетрудно видеть, что (S, Xa©s )=(S, X) — полупростой идеал кольца ( A © S, xA © S ) с единицей е.

Следовательно, по лемме 2 R (A © S, xA © S)= {a — a xA © Se|a е R(A, xA )}. Легко видеть, что B+N= {a — a xA © Se|a е R(A, xA)}+ N, откуда следует, что R(G, х)=В+К

Теорема 2. Пусть G=©D — прямая сумма редуцированной группы А и делимой группы D конечного ранга. Группа G является полупростой тогда и только тогда, когда полупростой является группа А.

Доказательство. Если А полупростая группа, то существует полупростое кольцо (А, х). Определим кольцо (D, х) как прямую сумму полей, изоморфных полю рациональных чисел. Определяя кольцо (G, х), как прямую сумму полупростых идеалов (А, х)©^, х), получим полупростое кольцо на группе G.

Обратно, если на G существует полупростое кольцо (G, х), то в нем идеал (D, х) является полупростым. Следовательно, в разложении (D, x)=S ©N, идеал N является нулевым. Значит, в силу теоремы 1 R(G, х) = {a — a xA © Se|a е R(A, xA)}= {0}, где е — единица идеала D=S.

Т.к. для любого a е R(A,xA) элемент axe принадлежит D, то из равенства а-йхе=0 следует, что а=0. Таким образом получаем, что R(A, xA)= {0} и, следовательно, (А^) — полупростое кольцо на А. Значит, группа А является полупростой.

Следствие 1. Пусть G=A©D, где А — редуцированная группа, D — делимая группа конечного ранга. Пусть R (А)ф{0}. Тогда G не является полупростой.

Следствие 2. Пусть G=A©D, где A — редуцированная алгебраически компактная группа, D — делимая группа конечного ранга. Тогда G не является полупростой.

Доказательство. Это утверждение вытекает из того, что для редуцированной алгебраически компактной группы А имеет место равенство R*(A) П pA Ф 0 [3].

На основе леммы 3 и леммы 6, сформулированных в [6], можно сформулировать теорему 3 следующим образом:

Теорема 3. Пусть G=A©D, где D — делимая группа бесконечного ранга т. Группа G полупроста тогда и только тогда, когда группа А является т-полупростой.

Следствие 3. Пусть G=A©D, где D - делимая группа бесконечного ранга т, и ранг

группы А не превосходит 2т . Тогда группа G является полупростой.

Доказательство. Если ранг группы А не превосходит 2т , то А является т-полупростой группой. Действительно, на А можно определить кольцо с нулевым умножением, которое

продолжается до нулевого умножения на делимой оболочке группы А. Кольцо на делимой оболочке группы А можно рассматривать как прямое произведение т делимых колец с нулевым умножением, ранг каждого из которых не превосходит т.

Таким образом в работе получены необходимые и достаточные условия того, чтобы нередуцированные абелевы группы без кручения были полупростыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Том 1. - М.: Мир, 1974. Том 2. - М.: Мир, 1977.

2. Beaumont RA., Lowver DA. Strongly semisimple abelian groups. // Publ. J. Math. 53, N2

(1974).

3. Компанцева Е.И. Об абсолютных радикалах абелевых групп // Вестник МГУ, серия математика, механика 1984. N 1.

4. Eclof P.C., Mez H.C. Abelian groups and modules // Proc. of the Udine cont., Udine (Italy), 1984 — CISM Courses and lectures, Springer Verlag, N 287.

5. Джекобсон Н. Строение колец. - М.: ИЛ, 1961.

6. Компанцева Е.И. Об аддитивной группе полупростого кольца //Научные труды МИГУ,

1997.

ON INTERRELATION BETWEEN THE STRUCTURE OF A RING AND ITS ABELIAN ADDITIVE GROUP

STRUCTURE

Kompantseva E.I.

The necessary and sufficient conditions for an abelian group to isomorphic to the additive group of a ring of a certain class are formulated.

Сведения об авторе

Компанцева Екатерина Игоревна, окончила МИГУ (1988), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры алгебры МИГУ, автор 25 научных работ, область научных интересов - алгебра, теория абелевых групп.