ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ СНЕЖНОЙ ЛАВИНЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Соловьёв А. С., Калач А. В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ СНЕЖНОЙ ЛАВИНЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В статье произведена математическая обработка статистических данных по самопроизвольному сходу лавин в Кабардино-Балкарской Республике на основе корреляционных коэффициентов Пирсона. Получены аналитические формулы, связывающие основные параметры снежных лавин. Построена карта прогноза лавинной опасности.

Ключевые слова: снег, лавина, корреляция, прогноз.

Soloviev A., Kalach A.

DETERMINATION OF DEPENDENCES BETWEEN AVALANCHE PARAMETERS ON THE BASIS OF THE STATISTICAL ANALYSIS

The article provides mathematical processing of a spontaneous avalanche in Kabardino-Balkaria on the basis of Pearson's correlation factors of statistical data. The analytical formulae including key parameters of avalanches are shown. The map of avalanche danger forecast is made.

Keywords: snow, avalanches, correlations, forecast.

В исследовании физики лавин, оценке их поражающей способности и прогнозировании схода большое значение имеет статистическая информация [1]. Цель данной работы - в систематизации и статистической обработке материала о самопроизвольных лавинах в Кабардино-Балкарской Республике за период с 1970 по 2012 год (см. табл. 1) и использовании этой информации для выявления физической природы лавин, прогноза лавинной опасности, а также подготовке исходных данных для последующего математического моделирования снежной лавины.

Как видно из таблицы, к рассмотрению приняты семь параметров снежных лавин. Следует отметить, что на одном

и том же склоне при различных метеорологических условиях возможен сход лавин различного объёма, поэтому используется такой параметр как максимально возможный объём лавин У"тах.

Статистическая обработка материала о сходе лавин проведена следующим образом. Для оценки взаимосвязи параметров лавин первоначально были рассчитаны коэффициенты корреляции Пирсона между указанными параметрами (табл. 2) [2].

Коэффициент корреляции Пирсона

рассчитывается по формуле:

-,

где гху - коэффициент корреляции (далее г); п - количество анализируемых лавин; х,, у. - значения показателей, между которыми ищется корреляция; х, у - средние значения показателей; ох, оу - средне-квадратические отклонения показателей. Преимуществом его среди других, например, коэффициента ранговой корреляции Спирмена, является стандартизация выборочного ряда, вследствие чего коэффициент корреляции не зависит от размаха выборки [3, 4]. В правой верхней половине таблицы 2 (выше главной диагонали) представлены рассчитанные коэффициенты корреляции гху. Ниже главной диагонали, во избежание дублирования информации (так как корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали), приведены результаты первичного анализа коэффициентов корреляции.

Таблица 1

Параметры лавин в Кабардино-Балкарской Республике с 1970 по 2012 годы

Номер лавины Объём V, тыс. м3 Длина пробега лавины 1, м Высота падения лавины И, м Экспозиция £, градусы от направления на север Угол склона а, градусы Повторяемость /, раз в год Максимально возможный объём V , шах' тыс. м3

1 - 450 180 31 0,15 23

2 1 030 1 030 180 27 0,15 140

3 3 200 1 330 180 28 0,15 330

4 2 870 1 250 180 29 0,15 300

5 2 300 920 225 28 0,15 85

6 670 380 180 29 1 13

7 1 090 400 - 23 1,5 7

8 1 310 540 180 26 1,5 23

9 74,2 1 100 620 30 40 6,5 3 300

10 260 1 100 600 40

11 54,3 1 100 600 40 -

12 74,2 3 300 - 30 -

13 900 - 1 490 32 0,1

14 60,2 3 300 1 490 32 -

15 54,3 3 300 1 490 32 -

16 700 3 300 1 490 32

17 1 200 3 300 1 490 30 32 0,1

18 500 3 300 1 490 - 32 0,1

19 500 - 1 050 30 31 3,5 980

20 175 2 890 1 250 30 29 3,5 480

21 1 640 750 30 33 1 80

22 - - 30 28 1,5 300

23 2 080 810 30 28 1,5 300

24 4 340 1 490 30 23 1 5 000

25 - - 0 - - 160

26 1 560 1 050 0 24 1 3 000

Проанализируем наиболее существенные парные корреляции показателей. Общее количество сильных корреляций -шесть, три из них имеют положительный знак (с увеличением одного из показателей коррелирующий показатель увеличивается), три - отрицательный (с увеличением одного показателя коррелирующий показатель уменьшается). Наиболее су-

щественная корреляция (г = 0,91) наблюдается между высотой падения лавины и длиной её пробега. С точки зрения физики лавин, действительно, между этими показателями должна быть линейная связь. Экспериментальные точки зависимости Ь(И) довольно близки к прямой линии (см. рис. 1). Аппроксимирующая прямая имеет уравнение

Таблица 2

Коэффициенты корреляции между параметрами снежных лавин

Параметры лавины V, тыс. м3 L, м h, м е, градусы а, градусы /, год-1

V, тыс. м3 0,13 0,30 ? -0,58 -0,39 ?

L, м 1,00 0,91 -0,31 0,05 -0,32 0,62

h, м 0,30 0,91 -0,30 0,11 -0,50 0,75

е, градусы -0,31 -0,30 -0,09 -0,49 -0,56

а, градусы -0,58 1,00 -0,18 0,04

/, год-1 -0,39 -0,32 -0,50 -0,49 1,00 0,28

V , тыс. м3 max' ? 0,62 0,75 -0,56 0,28 1,00

Примечание

| - главная диагональ; ■ - сильная корреляция с коэффициентом |г| > 0,5 [2]; [о] - слабая, но всё же существующая корреляция (0,2 < |г| < 0,5); □ - практически полное отсутствие взаимосвязи показателей (абсолютное значение коэффициента корреляции менее 0,2); Ш - невозможность рассчитать коэффициент корреляции по имеющимся данным (недостаточно статистической информации)

ЦЛ) = 2,4102Л - 218,16.

Необходимо отметить наличие ещё двух сильных прямых корреляций между максимально возможным объёмом лавины и длиной её пробега (г = 0,62), а также высотой падения (г = 0,75). Объяснением этому может служить то,

что объём снежной массы, собираемой лавиной, тем больше, чем большее расстояние проходит лавина и чем с большей высоты она спускается.

Проанализируем теперь наиболее сильные обратные корреляции. Объём сходящей снежной массы V уменьшается с увеличением угла склона а, о чём свидетельствует отрицательный коэффициент

5 000

4 000

<0 3 000 ф

ю о

Го 2 000

< С

1 000

•

•_____

• _______ в —

1 • >---- • ф

400 800 1 200

Высота падения h, м

1 600

Рисунок 1. Влияние высоты падения лавины на длину её пробега

0

Угол склона а, градусы

Рисунок 2. Влияние угла склона на объём сходящей снежной массы

корреляции (г = -0,58), а также график на рисунке 2. С увеличением угла склона лавины сходят чаще, из-за чего снежная масса меньше накапливается, поэтому объём каждой сходящей лавины меньше, чем при меньшем угле склона. В качестве аналитической функции, пригодной для описания данной зависимости, может быть использована функция типа «размытая ступенька» (или «сигмоидальная функция»), которая описывает переход с одного уровня на другой. Наиболее употребительной является сигмоидаль-ная функция Больцмана, которая часто применяется в химии, биологии, экономике и других отраслях знаний:

\+е "

где - начальное и конечное значе-

ния функции; С - коэффициент быстроты возрастания функции; х0 - точка перегиба сигмоидальной функции Больцмана.

Определение параметров х0, С функции Больцмана выполнено методом наименьших квадратов [2]. В результа-

те аппроксимации получена следующая аналитическая формула:

\+е 2-ш

Согласно полученной формуле, при неограниченном увеличении угла склона объём снежной массы стремится к постоянной величине около 138,7 тыс. м3.

Отрицательная корреляция наблюдается также между высотой падения и частотой схода лавин (r = -0,50). Это свидетельствует о том, что масштабные лавины со значительной высотой падения и большой длиной пробега случаются реже, чем лавины меньшего масштаба. Отрицательная корреляция примерно такого же уровня (r = -0,50) обнаружена между максимальным объёмом снежной массы V и углом экспозиции в гори-

max j ^ г

зонтальной плоскости в. Причина такой зависимости в том, что на северных склонах солнечный нагрев снежной массы минимален, соответственно, минимально таяние и сползание снега, поэтому там она накапливается в большем объёме, чем на других склонах.

Угол экспозиции 8, градусы

Рисунок3. Влияние угла экспозиции склона (измеряется в градусах от направления на север) на частоту схода лавин

От угла экспозиции s также зависит частота схода лавин / (см. рис. 3). Линейная аппроксимация табличных данных позволила получить следующую формулу:

/(s) = -0,01026s + 2,4184.

Как видно из графика данной зависимости, наибольшая частота схода лавин наблюдается на северных склонах. Причина этого, как и в предыдущем случае, в том, что на северном склоне значительно интенсивнее происходит накопление снежной массы по отношению к другим направлениям.

Анализируемая совокупность данных позволяет построить карту прогноза поражающего действия снежной лавины. По известным углам экспозиции и склона могут быть предсказаны такие показатели поражающего действия, как длина пробега, частота схода и максимальный объём снежной лавины. Для получения зависимостей L(s, a), /(s, а), V(s, а) используется таблица 3, полученная из таблицы 1 удалением строк, в которых отсутствовало хотя бы одно значение s или a, а также пересчётом для некоторых лавин показателя V в показатель V .

max

Для анализа зависимостей 1(8, а), /(8, а), У(8, а) изобразим их графически. На рисунке 4 представлены поверхности отклика, на рисунке 5 - линии уровня функций, а также заштрихованы области факторного пространства, в которых показатели поражающего действия принимают неблагоприятные значения. Сглаженные поверхности по отдельным экспериментальным точкам получены с использованием метода сплайн-интерполяции.

Выбор границы между благоприятной и неблагоприятной областью производится экспертным путём. При этом руководствуются следующими правилами: благоприятная область должна содержать искомые максимальные или минимальные значения функции, занимать значительную долю факторного пространства (10-30 %) и по возможности не включать области резкого изменения функции [2]. С учётом данных соображений в качестве границ между областями благоприятного и неблагоприятного прогноза выбраны следующие изолинии: Ь = 2 000 м; / = 1 год-1; Утзх = 1 млн м3. Таким образом, сделан вывод, что опасной считается лавина, пробег которой превышает 2 км, которая

Таблица 3

Сокращенная таблица с параметрами снежных лавин для построения карт прогноза лавинной опасности

Номер лавины Экспозиция е, градусы от направления на север Угол склона а, градусы Длина пробега лавины Ь, м Повторяемость /, раз в год Максимально возможный объем V , тыс. м3 шах'

1 180 31 - 0,15 23

2 180 27 1 030 0,15 140

3 180 28 3 200 0,15 330

4 180 29 2 870 0,15 300

5 225 28 2 300 0,15 85

6 180 29 670 1 13

8 180 26 1 310 1,5 23

9 30 40 1 100 6,5 3 300

17 30 32 3 300 0,1 1 200

19 30 31 - 3,5 980

20 30 29 2 890 3,5 480

21 30 33 1 640 1 80

22 30 28 - 1,5 300

23 30 28 2 080 1,5 300

24 30 23 4 340 1 5 000

26 0 24 1 560 1 3 000

сходит как минимум раз в год, и максимальный объём снежной массы её составляет более 1 000 м3.

Путём наложения друг на друга опасных областей для каждой из функций Ь(е, а), /(е, а), V(е, а) получена карта прогноза лавинной опасности (см. рис. 5, внизу). Затемнённые области соответствуют опасным лавинам. Нижняя затемнённая область соответствует склонам, ориентированным в направлениях от северного до восточного (е от 0 до 100°) и с малыми углами склона (менее 28°). На таких склонах накапливаются значительные массы снега, и по достижении критической массы снега приблизительно один раз

в год происходит сход масштабной снежной лавины с большой длиной пробега. Верхняя затемнённая область соответствует склонам, ориентированным в направлениях от северо-восточного практически до юго-западного (е от 40 до 230°) и со значительными углами склона (более 34°). На таких склонах снежная масса не накапливается до образования толстого снежного покрова: благодаря значительному солнечному нагреву и крутизне склона снежная масса сходит часто (несколько раз в год), но лавинами малого масштаба, с довольно малой длиной пробега. Однако при этом лавина увлекает не только

4 000

34

38

Р

42 ^

L(8, а)

22

/(8, а)

12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 -20

180 180 220 22

V (8, а)

тях х ' '

Рисунок 4. Влияние угла экспозиции склона и угла склона на показатели поражающего действия снежной лавины L, /, V

верхние слои снега, а всю толщину снежной массы, поэтому максимальный объём составляет существенную величину.

Таким образом, в зависимости от параметров 8 и а образуется два разных типа снежных лавин.

с у

д

о л к У

42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22

00000000000000 CM M^IDOOOM'ilflOOOM'i I HHHHHWOICN

Экспозиция склона, градусы

L(b, а)

с у

д

о л к У

42 40 38 36

34

32 30 28 26 24 22

if t..i ГТНЦЯ М/>1год IЩщя■ ЩI

I A 5 ) 1 I I 1 1 1 I 1

00000000000 24680246802

HHHHHCNOJOI

Экспозиция склона, градусы

/(в, а)

42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22

штт

4:l- f rm=x > 1 млн м3 Т

00000000000000 CM CM^fCOOOOCM^fCOOOOCM^f I HHHHHWOICN

Экспозиция склона, градусы

V (в, а)

maxv ' '

у д

а

42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22

0000000000000 СМ CN^IiCOOOI'iOCOOOl^ I HHHHHWOICN

Экспозиция склона, градусы

L(b, а) П /(в, а) П V(b, а)

42 40 38

с у

д

о л к У

36 34 32 30 28 26 24 22

00000000000000 CM CM^fCDOOOCM^fCDOOOCM^f I HHHHHWOICN

Экспозиция склона, градусы Результирующая карта прогноза

Рисунок 5. Карты прогноза лавинной опасности

Обобщая изложенный в статье материал, можно сформулировать следующие выводы. Выявлены корреляции между рядом параметров снежных лавин и получены выводы относительно физической сути взаимосвязи параметров. Получены аналитические формулы, связывающие основ-

ные параметры снежных лавин. Построена карта прогноза лавинной опасности. Полученные в результате статистической обработки сведения могут быть использованы для повышения степени приближённости к реальности математической модели зарождения и схода снежной лавины [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Соловьёв А. С. и др. Исследование взаимодействия снежной лавины с элементами защитных сооружений // Технологии гражданской безопасности. - 2012. - № 2. - С. 74-77.

2. Орлов А. И. Прикладная статистика. -М.: Экзамен, 2006.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. -М.: Высшая школа, 2003.

4. Справочник по прикладной статистике. В 2 т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. - М.: Финансы и статистика, 1989, 1990.

5. Соловьёв А. С, Лебедев О. М., Калач А. В. Мониторинг рисков возникновения и способы предотвращения чрезвычайных ситуаций, связанных со сходом снежных лавин // Проблемы управления рисками в техносфере. - 2012. -№ 2. - С. 44-50.