Определение вращательных производных от моментов крена и рыскания крыла большого удлинения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 4

УДК 629.735.33.015

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ МОМЕНТОВ КРЕНА И РЫСКАНИЯ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ

М. А. ГОЛОВКИН

С использованием векторных соотношений найдены аналитические выражения для определения вращательных производных от моментов крена и рыскания крыла по полной угловой скорости и ее компонентам. Полученные соотношения могут быть использованы для оценки указанных производных крыла достаточно большого удлинения в любом диапазоне углов атаки, если известно распределение коэффициентов нормальной и продольной силы, их производных по углу атаки в его сечениях и индуктивных скосов вдоль размаха в случае стационарного обтекания. Представлены выражения для частных случаев крыльев: стреловидных, с постоянной хордой, с линейным законом изменения нормальной и продольной сил по углу атаки, с эллиптическим законом распределения нагрузки вдоль размаха.

Ключевые слова: крыло, моменты крена и рыскания, вращательные производные, компоненты угловой скорости.

ВВЕДЕНИЕ

Для определения устойчивости движения самолета и применения некоторых критериев устойчивости [1] необходимо знание вращательных производных не только по полной угловой скорости, но и по ее компонентам в связанной с самолетом прямоугольной декартовой системе осей координат.

Некоторые результаты по исследованиям вращательных производных методом дискретных вихрей на сравнительно небольших углах атаки содержатся в книгах [2, 3]. В [4] приведен метод расчетной оценки вращательных производных крыла большого удлинения с использованием нелинейной теории несущей линии Прандля, основанный на непосредственном расчете производных при малых значениях угловых скоростей при каждом значении угла атаки крыла. В [5] приведены описание экспериментального оборудования и результаты исследования на нем по определению отдельных вращательных производных крыльев очень малого удлинения. В [1] дано описание установки ОВП-102Б, позволяющей определять комплексы вращательных и нестационарных производных от компонентов сил и моментов, действующих на модель при ее вынужденных колебаниях. В [1] представлены также описание оборудования и методика определения вращательных производных по полной угловой скорости на основе измерений сил и моментов, действующих на модель, при ее вращении на установке Ш-5 с постоянной угловой скоростью, коллинеарной скорости набегающего потока.

Операцию определения производных от коэффициентов аэродинамических сил и моментов по компонентам угловой скорости на основе имеющейся информации о производных только по полной угловой скорости часто условно называют «разделением» вращательных

ГОЛОВКИН Михаил Алексеевич

доктор технических наук, начальник отделения ЦАГИ

производных. В работе [6] был предложен экспериментально-расчетный метод разделения вращательных производных. Однако для его реализации требуется создание новой вращательной установки, которая позволяла бы проводить испытания не только на режимах с радиусом вращения Я (расстояние от центра масс до оси вращения), равным нулю, как на установке Ш-5, но и при относительном радиусе Я = Я/1«1.5—2, где I — размах крыла модели самолета. Непростая кинематика, конструктивные и технологические сложности не позволили реализовать такую установку. Отсутствие специального экспериментального оборудования для разделения вращательных производных делает необходимым использование точных и приближенных аналитических соотношений и результатов испытаний расчлененной модели на вращающейся установке типа Ш-5. Некоторые основы такой методики были заложены в изданной ограниченным тиражом работе [7]. Однако при выводе формул для производных от момента крена крыла в этой работе были упущены члены, зависящие от угловой скорости. Кроме того, в ней не учитывались индуктивные скосы потока, которые могут быть достаточно велики.

В данной статье, исходя из векторного представления, выведена система уравнений, определяющая вращательные производные в связанной системе осей координат через производные в поточной системе — по полной угловой скорости. Одна производная может находиться из расчетов или экспериментов на вращательной установке. Другая — производная по некоторой составляющей, перпендикулярной этой скорости, может определяться только расчетным путем. Получены аналитические выражения для вращательных производных от коэффициентов моментов крена и рыскания крыла по полной угловой скорости или ее компонентам. Преимуществом полученных точных соотношений является то, что для подсчета производных при каждом значении угла атаки требуется знание только стационарных распределенных нагрузок по размаху крыла и индуктивных скосов.

Полученные соотношения могут быть напрямую использованы как для оценки указанных производных крыла в любом диапазоне углов атаки на основе расчетных методов аэродинамики крыла, так и для построения экспериментально-расчетных методик разделения вращательных производных по компонентам угловой скорости вращения, поскольку известно [7], что для обычных аэродинамических компоновок самолета производные от момента крена определяются, главным образом, самим крылом.

Работы, в которых были бы отражены полученные в статье результаты, автору не известны.

Пусть крыло достаточно большого удлинения движется в несжимаемом потоке с постоянной скоростью V, и сначала будем считать, что одновременно оно вращается с постоянным вектором угловой скорости ш. Будем также считать, что векторы V и ю параллельны. Крыло находится под углом атаки а, угол скольжения в = 0, т. е. указанные векторы лежат в плоскости оху, связанной с крылом системы осей координат оху2 с единичными ортами 1, ], к (рис. 1).

1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

(Од- =ШС08РС08СС

Рис. 1. Проекции вектора угловой скорости ш на прямоугольную декартову систему осей координат охух, связанную с крылом

Коэффициенты моментов крена Mx и рыскания My, действующих на крыло, могут быть записаны в виде:

mx (а, ю) = Mj( qSl), my (а, ю) = My/( qSl), (1.1)

где S — площадь крыла; l — его размах; q = pV2 /2 — скоростной напор; р — плотность воздуха; w = wl/ (2V) — «приведенный» вектор угловой скорости вращения, ю = |w|. Проекции вектора ю на систему осей координат oxyz выразятся как

ах =ю cos а, ю y = -ssin а, az = 0. (1.2)

Безразмерные значения проекций угловых скоростей (1.2) введем следующим образом:

Юх = sxl/(2V), ю y =ю yl/( 2V), Sz = 0. (1.3)

Производные от функций (1.1) по полной безразмерной угловой скорости запишем в соответствии с правилами дифференцирования в виде

dm¡ dm¡ drnx dmi да y

да drnx да даy да '

i = x, y. (1.4)

С учетом (1.1) — (13) из (1.4) получим

®x ау • а ■ /i

mi x cosa —m¿ sina = mi , i = x, y, (1.5)

где приняты следующие обозначения для производных:

а j 6mi а ^ . .

m1J=—, m =—, (i,j = xy).

да j да

Соотношение (1.5) может быть записано через скалярное произведение двух векторов, а именно:

A • iа = mf, i = x, y, (1.6)

где

A = mаi + miy j, i = x, y, (1.7)

а вектор

. а rax. аy . ... 0.

i a = ~ = ~zr~ i j = cos a i - sin a j (1.8)

а а а

направлен вдоль вектора © и является ортом вдоль оси oxa в поточной системе осей координат

(рис. 2). Таким образом, mf = miXa в (1.6) представляет собой проекцию вектора (1.7) или его компонент на вектор (1.8), или на ось oxa.

Совершенно очевидно, что можно спроектировать вектор A (1.7) на ось oya поточной системы осей координат с ортом ja, ортогональным (1.8), который можно записать в виде

• аy ■ ©x ■ ■ ■ • nm

ja =—=r i j = sin ai + cos aj. (1.9)

со со

Скалярное произведение выражений (1.7) и (1.9) имеет вид

А • \а = т

Уа

— ») 7 а

, = х, У,

(1.10)

или в проекциях этих векторов

т

sin а

ШУ уа

■ т^ cos а = mi а .

г = х, у. (1.11)

Правая часть тг Уа в (1.10), (1.11) представляет собой проекцию вектора (1.7) или его компонент на вектор (1.9), или на ось оуа, по аналогии с правой частью в (1.5), (1.6) (см. рис. 2).

Перепишем уравнения (1.5), (1.11) в виде системы

тг т х

а-т, у 8т а = т

8т а + т,

У уа

у Ш8 а = т, а

> г = х, у. (1.12)

Знание правых частей в системе уравнений

т

(1.12) позволяет легко найти функции mi ( = х, у), т. е. определить соответствующие производные от коэффициентов момента крена и момента

Рис. 2. Представление производных от коэффициентов моментов крена (при г = х) и рыскания (при г = у) при значении угла скольжения в = 0 как проекций вектора А на связанную оху и поточную охауа прямоугольные декартовы системы осей координат

рыскания крыла. Таким образом, задача заключается в том, чтобы найти величины т,

т

Уа

и

тогда величины т,

т

могут быть легко определены.

В экспериментальной практике правая часть в верхнем уравнении системы (1.12) может быть найдена из результатов испытаний на вращающейся установке, осуществляющей вращение модели с вектором угловой скорости, коллинеарным вектору скорости набегающего потока [1].

Однако определить величину а экспериментально невозможно.

Получим соотношения для оценки входящих в систему уравнений (1.12) производных на основе анализа работы сечений крыла как крыла достаточно большого удлинения.

2. ПРОИЗВОДНЫЕ тШх, шху

Будем полагать, как и ранее, что крыло находится под углом атаки а, а угол скольжения в = 0, т. е. векторы V и ю лежат в плоскости оху, и сначала считать, что они не совпадают по направлению и составляют между собой некоторый малый положительный угол Лф (рис. 3).

Направление вектора ю таково, что при вращении правая консоль крыла опускается вниз, а левая поднимается вверх. В представленных на рис. 3, многоугольниках скоростей в сечениях на правой (г > 0) и левой (г < 0) консолях рассматривается обращенное движение среды, в которую помещено крыло. Линейная составляющая скорости юг от вращения крыла ортогональна вектору ю и образует с вектором V угол ф. Причем, в сечениях на правой и левой консолях крыла, отстоящих на равное расстояние от оси вращения, эти углы равны ф=п/2 + |Лф|sign г. Если преобразовать эти рисунки так, чтобы вектор ю также проходил через точку о, но над вектором V,

Рис. 3. Многоугольники скоростей в обращенном движении: а — на правой консоли крыла, идущей вниз; б — на левой консоли крыла, идущей вверх

то очевидно, что в этом случае приращение Лф поменяет знак, и ф = п/ 2 — Дф| sign z. Таким образом, окончательно имеем

ф=п/ 2 + |Лф| sign z при Дф> 0, ф = п/ 2-|Лф| sign z при Лф< 0. (2.1)

На рис. 3 введена индуктивная скорость у в сечении z крыла, которая может быть представлена в следующем виде:

у. = у + v2, (2.2)

где у =— у | sign Cya — составляющая индуктивной скорости, обусловленная подъемной силой

из-за наличия скорости V и угла атаки а крыла, она не зависит от знака z и направлена всегда в сторону, противоположную подъемной силе сечения; Cya — коэффициент подъемной силы

в сечении z крыла в отсутствии вращения; у = — V21 sign (sz) — составляющая индуктивной скорости, обусловленная антисимметричным распределением подъемной силы вследствие вращения крыла, ее направление в обращенном движении противоположно линейной компоненте скорости от вращения крыла, и при выбранном положительном направлении вектора ю она отрицательна на правой консоли крыла (z > 0) и положительна на левой (z < 0). Перепишем (2.2) в безразмерном виде:

V = -\ v11signcya -|v21sign(raz),

(2.3)

где у = y/V, у = y/V, V2 = y/V, z = z/l.

Величину суммарной скорости W в сечении z крыла представим, в соответствии с рис. 3 и (2.2), в виде:

W = y¡(AC)2 + (DC)2 =<J(AO + OB cos ф)2 + (BC + у )2 = = ^V2 + 2zraVcosф + z2ra2 + 2zravi sinф+ V2.

Вводя безразмерные величины W = W/V, V = vJV, с учетом того, что безразмерная угловая скорость ю определяется в соответствии с обозначением в соотношении (1.3), получим:

W2 = 1 + 4zracosф + 4z2ю2 + sinФ + V'2. (2.4)

Местный угол атаки а* (см. рис. 3) сечения крыла складывается из угла атаки крыла а, угла геометрической крутки а^, угла аю, обусловленного вращением, и угла аг- индуктивного скоса потока:

а* =а + а^ +аю +аг-. (2.5)

Угол аю может быть представлен в виде:

2zrasin ф 2zra sin ф .. „

аю = arctg-—-«-—-, (2.6)

1 + 2 z ю cos ф 1 + 2 z ю cos ф

правое выражение в (2.6) записано в предположении малости аю. Угол аг- в соответствии с рис. 3 и (2.2) определяется как

аг- =а1 +а2, (2.7)

где

а1 = vj V = V =-V | sign , (2.8)

V2 -1 v9| sign (ю z)

а2 = arctg-- ~ __ --, (2.9)

1 + 2 z ю cos ф 1 + 2 z ю cos ф

а правое выражение в (2.9) также записано в предположении его малости.

Далее при выводе формул, аналогично [7], будем полагать, что приращения безразмерных

угловых скоростей юх, юу независимы, если рассматриваются производные mxx и mxy, и зависимы, если рассматривается производная по полной угловой скорости mx . В последнем случае юх и ю в соответствии с (1.2), (1.3) изменяются только за счет изменения длины вектора безразмерной угловой скорости ю. На рис. 4, а представлены вектор угловой скорости ю0, параллельный вектору скорости V, и вектор ю, составляющий с ©о положительный угол Лф, что

Рис. 4. Вектор угловой скорости ю0, совпадающий или противоположный вектору скорости набегающего потока V, и вектор угловой скорости ю, неколлинеарный с V; показаны приращения

вектора ю0

соответствует случаю, изображенному на рис. 3. Если ю и ю составляют между собой отрицательный угол -Лф, то это показано на рис. 4, б. Так как в соответствии с (1.2) и рис. 4

ю +<4 =

то производные от (2.10) имеют вид:

дю ю

дюх ю

х дю ю у .

= 008 а, = ^- = - 81п а.

дю ю

(2.10)

(2.11)

Из треугольников 123, 134 и 014, учитывая, что в соответствии с рис. 4 Люх = юх1 -й12, Лю у = ю - ю у3 и при Лф > 0 для этих приращений имеют место неравенства Люх > 0, Лю у > 0, а при Лф< 0 они приобретают вид Люх < 0, Лю < 0, получим:

ю0Лф . , ч ю0Лф , ч

—^— = 81п(а + Лф), —^— = 008(а + Лф) при Лф>0,

Люх Лю у

ю0Лф . , ч ю0Лф , ч 0 = 81П(а-Лф), _ = 008(а-Лф) при Лф<0.

Люх

Лю у

(2.12)

При стремлении вектора ю к ю0 по величине (ю^ю) и направлению (Лф^ 0), вводя для предельных значений подстрочный индекс «ноль», из (2.1) — (2.12) получим:

ф0 =—, ю = ю0, юх0 =ю0оо8 а, ю у0 =-ю081п а,

юг

дф

= 81п а, ю

дф

дю,

= 008 а,

дф

дю

= 0,

Щ2 = 1 + 422®2 + 4г«0V0 + Ч20, V0 =-|ч|0в1епСуа -1^2|0 81вп(«0г),

а*0 = а + ау+аю0 +аг 0, аю0 = 2г а10 =а10 +а 20,

(2.13)

а10 =- Ы081ёп Суа, а20 =- Ы081§п (ю0 2 ).

Предполагая сначала, что ю не совпадает с ю0 по величине и направлению, представим коэффициент поперечного момента относительно оси ох, демпфирующего вращение крыла с угловой скоростью ю(юх, юу ), в виде:

12 _ _ шх = - | су (г)ж2 (г)ь (г,

-1/2

(2.14)

где Х = !2/Б — удлинение крыла, Су (г) — коэффициент нормальной аэродинамической силы в безразмерном сечении 2; Ь (г ) = Ь (г)//, Ь (2) — размерная хорда крыла в сечении 2. Запишем

производные тх , тхх, тХ-у от (2.14), выполняя дифференцирование подынтегрального выражения по частям:

л

_ 1/2 ( тю=-Я Г I су— . _

1 ^ дю 5а* дю

дЖ2 , 5су 5а* Щ2 ^

Ьгёг

й , ¥ f дW2 dcy да. -2

_f/2V дй да* дй

12 f

mXy = _ f I cy _ . _

_1/21 дйУ да* дйУ V

, г I dW2 . dcy да*_W2 ^

bzdz, У

bzdz. У

(2.15)

Вычисляя производные от (2.4), (2.5), содержащиеся под интегралами в (2.15), получим

громоздкие выражения, которые, имея в виду, что

Щ Щ дй Щ Щ дй

дйх дй дйх дйy дй дйy

, в пределе

при ю^ю 0, Лф ^ 0 с учетом (2.1) — (2.13) дают следующие результаты:

dW 2

дй

г- — д|'

= 8z йо _ 4z | Vi |0 signcya _ 4z |^2|0 sign (йо z )_ 4zЙ0-—°sign (йо z ) +

дй о

2 V

-I д|'

2lo •

Ho"

дй0

sign cya sign (й0 z ) + 21V2

-I д|'

2lo

дй0

дW 2

дй,

дW 2

дW 2

дй

да.

cos а- 4 z sin a, —3

дй y

дW 2

дй

sin a- 4 z cos a;

дй

2 z

1 д|

да.

дйх

да.

да.

=- cos а +

0 дй 0

, „Z^rr ~ _2 0 sign(й0z),

1 + 4z2й02 1 + V22 дй0 v 7 2z|V2|0 sign (й z )

4 z 2й0

дй y

да.

дй

sin а

1 + 4 z 2 й02

4 z 2й0 1 + 4 z 2 й02

1 + V20

2z |V2|0 sign (й0 z )

1 + V20

sin а,

cos а.

(2.16)

Здесь и далее подстрочный индекс «ноль» снизу вертикальной черты означает предельное

д |

значение функции при Лф ^ 0 и принято, что —^

5ю

= д| ^0 д| V21

0 дй0 дй

д|1

210

0 дй0

Подставляя (2.16) в (2.15) и сравнивая полученные выражения, сохраняя обозначения для предельных значений тх , т!хх, тху такими же, как были ранее, найдем следующую систему уравнений:

mxx = mx cos a +mxy sin a,

CO y й • CO y a 1

mxy =_mx sina + mxya cosa,l

(2.17)

ю шуа

где тх , тх определяются следующими интегральными выражениями:

_ 12

mf | _12

( ^дw2

cy (a.0 ^

д^.

да.

f 0 V

2z--=-н-sign (й0 z )

дй0

bzdz,

(2.18)

_ 12 m_ya =_4Я | -12

,(а,0 )_

1 дc,

2 да.

(2zй0 _| V210 sign (й0 z ))

bz 2 dz,

(2.19)

0

0

0

0

в которых в силу того, что Ы < 1/2, ^ 1 и обычно < 0.15, пренебрегается членами более

Л-2— 2 л .___ , -2 Л дЖ2

высокого порядка малости (4z а0 ^ 1, 4zа0vi0 ^ 1, vi0 ^ 1), а ——

^ 'да

определяется в соответ-

ствии с (2.16).

Система уравнений (2.17) эквивалентна системе уравнений (1.12) при i _ x. В этом нетрудно убедиться следующим образом. Умножим первое уравнение в (2.17) на cos a, второе на sin a и вычтем из первого полученного выражения второе, в результате получим верхнее выражение в (1.12) при i _ x. Умножая затем первое уравнение в (2.17) на sin a, а второе на cos a и складывая эти выражения, придем к нижнему выражению в (1.12) при i _ x. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим сначала выражение (2.19). Его можно переписать с учетом (2.6) — (2.9), (2.13) еще в следующем виде:

12

mx

_—4Я

-12

>(a*0 ) —

1

2 дa*

(( +a20 )

bz2dz.

(2.20)

В подынтегральном выражении (2.19) содержится член

дсу

дa*

bz 3а0, который в [6] был

упущен при вычислении производных. Под интегралом в (2.19) также присутствует произведе-

1 дс,

ние

2 дa*

V2 ^ sign (az )bz , которое обусловлено индуктивным скосом потока в результате

вращения крыла, что в [7] не учитывалось. Не учитывать же выражение

дс..

дa*

bz 3а0 в (2.19), со-

вершенно очевидно, возможно, когда во всем диапазоне z функция

дсу

дa*

является константой,

поскольку в этом случае интеграл от нечетных степеней 2 равен нулю. Это соответствует, в частности, крылу с одним типом профилей в сечениях на докритических углах атаки. Тогда, записывая функцию су (а*0 ) через ее производную по а*0 в окрестности су = 0 с учетом преобразования сдвига по оси а*0, (2.19) сводится к виду:

mx

= I-

дсу

дa*

дс

(a —aс _0 ) — 4 Я—у

Cy ' дa*

(a —a с, _0 )

12

J

0 —12

a

+ zа0 — IV110 sign сya — 1V210 sign (аz )

bz 2 dz, (2.21)

где a_0 — угол атаки профиля, при котором су _ 0,

1/2 _

I _—4 A, J bz2dz.

—1/2

(2.22)

При Ю0 ^ 0 в (2.21) необходимо положить еще и |v210 = 0. В случае а^ = 0, эллиптического закона распределения циркуляции |vi|0 = const вдоль размаха крыла и ю0 ^ 0 (2.21) приводится к выражению:

aya 1 дсУ mxya _I—-

дa*

(a — % _0 — Iv10 sign Cya

)_ 1

Ia-% _0 +a

10

(2.23)

где I, a10 определяются в соответствии с (2.22), (2.13), а a*0 _a —a

су _0

a

10-

0

0

0

0

0

Все выражение под интегралом в круглых скобках в (2.19) стремится к нулю для предельных значений m—ya при ю0 ^ 0, и тогда (2.19) сводится к виду:

- 12 _ m—ya = -4Х J Cy (а*0)bz2dz, (2.24)

-V2

где а*0 = а + а^+а10, а значение cy (ai0) определяется по результатам расчетных или экспериментальных исследований, например, по измерениям распределения давления по размаху крыла. Как показывают опыты с различными крыльями, начиная с а»65° и вплоть до 90° интеграл в (2.24) практически постоянен по углу атаки. Поэтому в указанном диапазоне а он может быть представлен с точностью ^ 5—7% в виде:

m-ya »Icy, (2.25)

где I определяется в соответствии с (2.22), а Cy — средний по размаху коэффициент нормальной

силы сечений крыла. Таким образом, в диапазоне а» 65 90° не требуется знать распределения нормальной силы по сечениям крыла.

Для стреловидных крыльев с постоянным углом стреловидности величина I (2.22) может быть выражена через сужение крыла n = b0/bk, где b0 = b|z=0 jl, bk = Ь\щ=у2/l, b|z=0 — корневая хорда, b||z|=V2 — концевая хорда крыла. Действительно, так как текущая относительная хорда

крыла может быть записана как b (z ) = b0 - Щ (tg Xi - tg X2 ), tg Xi - tg X2 = 2 (b0 - \ ), где Xi, X2 — углы стреловидности по передней и задней кромкам крыла соответственно, то получаем, что

b (z) = ¿0 - 21z|(b0 - bk ). (2.26)

Учитывая, что площадь крыла может быть представлена в виде

(b + h) 12

S = V 0 2 4 , (2.27)

подставляя (2.26), (2.27) в (2.22), получим

I = —--т~—\. (2.28)

6 3(n +1)

Для крыла с постоянной хордой по размаху п = 1, таким образом, (2.28) сводится к виду

I = - 3, (2.29)

и в этом случае в (2.23), (2.25) следует полагать, что I равно (2.29).

Для того чтобы найти предельное значение производной m- в (2.18) при —0 ^ 0, оценим

dW 2

слагаемые, входящие в производную ——

5—

(2.16). Первое и третье слагаемые, очевидно, стре-

0

мятся к нулю. Четвертое и последнее слагаемые также стремятся к нулю. В этом можно убедиться, умножив и разделив их на 1, поскольку справедливо следующее очевидное соотношение:

д1 Ч 1 А1Ч 1

дю0 z Аю0 z

■k, (k < i),

(2.30)

и Юг

0, у 0 ^ 0. В (2.30) через А обозначены конечные приращения соответствующих ве-

личин.

Таким образом, предельное значение производной т™ при Юо ^ 0 принимает вид:

< =Х

12

J

-12

> (а*0 )

-4z vi 0 sign c -2 V1

-I д]1

2l0

Л

до,.

да,

' д IV2 2 z - 1

дю

'210 • /--\

Sign (Ю0z )

sign cya Sign (<<0z )

bzdz.

(2.31)

Слагаемые в круглых скобках (2.31), в которые входят производные

д|1

'210

дю0

как можно ви-

деть с использованием оценки (2.30), являются величинами того же порядка, что и слагаемые, в которые эти производные не входят. В частности, при A< > 0 второе слагаемое в первых

круглых скобках может быть оценено как ^ 2z | k sign cya, а второе слагаемое во вторых круглых скобках как ~ zk.

Полученное выражение (2.31) позволяет находить предельное значение при <0 ^ 0 производной от момента крена по полной безразмерной угловой скорости расчетным путем.

Итак, если для определения m<

по (2.17) используются экспериментальные значе-

ния производной m<, то она находится приближенно по формуле

тю = дтх ^ mx (а ю0 )- mx (а 0)

дю

ю

0

при конечном значении безразмерной угловой скорости Юо, когда ее максимальная величина со-

ставляет <0 ~ 0.15. В этом случае для нахождения m<

mv

корректнее использовать формулы

(2.19), (2.20), поскольку член, стоящий под интегралом в круглых скобках в этих формулах, может быть немалым. Если же производная тЮ определена как ее предельное значение при

Юг

0, например, расчетным путем по формуле (2.31), то для нахождения m<

m

по (2.17)

корректнее использовать формулу (2.24). При этом на различных участках изменения функции т!^ она может быть также определена по формулам (2.21), (2.23), (2.25) с учетом точного значения интеграла I, определяемого соотношениями (2.22), (2.28), (2.29).

Входящие в найденные соотношения распределения вдоль размаха крыла коэффициента

дс

нормальной силы су (а*о ) и его производной У

да,

, индуктивных скосов аш, а20, или моду-

0

лей индуктивных скоростей | у ^ , | |о и их производных, находятся из расчета тем или иным

способом обтекания крыла на рассматриваемых режимах. Это могут быть, например, методы несущей линии, несущей поверхности или более сложные — на основе решений полных уравнений Навье — Стокса. По аналогичной методике оцениваются вклады во вращательные производные от горизонтального и вертикального оперения, когда последнее на докритических углах атаки не затенено отрывными явлениями.

0

х

х

х

3. ПРОИЗВОДНЫЕ m, m.

Формально для этих производных крыла могут быть записаны соотношения (1.12) при г = у (см. рис. 2), которые, как и (2.17), сводятся к виду

_ _ y

myx = my cos a + myya sin a,

CO y _ .

m,/ = -my sin a + m

ya

y

y

y

cos a.

(3.1)

Если производная ту находится из экспериментов на вращающейся установке, то здесь также стоит задача нахождения т°Ууа, после чего в соответствии с (3.1) могут быть найдены

искомые производные my

m

у , ..у .

В разделе 2 для крыла найдены аналитические выражения (2.19) для mxya и (2.18) для mx, которые могут определяться предельными (при ю0 ^ 0) соотношениями (2.21) — (2.29) и (2.31) соответственно. Совершенно аналогично можно показать, что использование этого подхода позволяет получить выражения m™ya, my для изолированного крыла. Если записать коэффициент демпфирующего момента рыскания крыла относительно оси oy в виде

12 _ _ my =— J cx (_) W2 (_ )b (_ )_d_, -1/2

(3.2)

где сх (1) — коэффициент продольной аэродинамической силы в безразмерном сечении 1, и взять производную от (3.2) по ю, юх, юу по частям, то аналогично (2.17) получим систему уравнений (3.1), в которой

12

СО л

my = -

J

-12

dW 2

Cx ^

dcx

da.

2 _--sign (_0 _ )

5_a

b_d_,

(3.3)

_ 12

m_ya = -4X J -12

cx (a )-2 ё

(2_co0 - v2|sign (_0 _ ))

b_ 2 d_.

(3.4)

Очевидно, что на основании (3.3), (3.4) могут быть записаны аналоги соотношений (2.20) —

(2.25), (2.31), в которых вместо cy (a.0), при _ 0 ^ 0 по аналогии с (2.24) получим:

dcy

da.

стоят c.

■ (a*0 ),

dcx

5a.

. В частности, в пределе

myya = -4Х

12 _ J cx (a*0 )b "12

_ 2d_.

(3.5)

В (3.5), как и в (2.24), а*0 = а+а^+аш. Если при очень малых углах атаки во всем диапазоне z можно принять, что cx (а*0)» const, то в соответствии с (2.29), (3.1) для стреловидного крыла с постоянной хордой для очень малых а*0 из (3.5) получим

m,

; m

"ya

; (a*0 )

(3.6)

0

0

Индуктивные скорости, или индуктивные скосы, входящие в (3.3), (3.4), могут быть найдены теми же расчетными методами, какие указывались выше в разделе 2 при рассмотрении производных от момента крена. Относительно предпочтения тех или иных формул при чисто расчетном или экспериментально-расчетном методе определения производных от момента рыскания крыла могут быть высказаны те же соображения, что и в разделе 2. Таким образом, на основе полученных соотношений могут быть определены производные от момента рыскания во всем диапазоне углов атаки крыла. По такой же методике оценивается вклад горизонтального оперения в производные от момента рыскания, если оно не затенено отрывными явлениями от крыла или фюзеляжа, или практически отсутствует индуктивное взаимодействие с крылом. Но такой подход к модели самолета в целом для широкого диапазона углов атаки неправомочен, поскольку составляющие, обусловленные крылом или горизонтальным оперением, могут быть малыми, по сравнению с компонентами рассматриваемых производных, обусловленных, например, фюзеляжем или вертикальным оперением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные аналитические соотношения можно использовать для оценки производных от моментов крена и рыскания крыла по полной угловой скорости и ее компонентам в широком диапазоне углов атаки. Входящие в найденные соотношения распределения вдоль размаха крыла коэффициентов нормальной су (а,0) и продольной сх (а,0) сил и их производных

дсу

да,

х '

дсх

да,

, индуктивных скосов аю, а2о, или модулей индуктивных скоростей Ц/^, |У|о,

о

находятся из расчета тем или иным способом обтекания крыла на рассматриваемых режимах. Это могут быть, например, методы: несущей линии, несущей поверхности или более сложные — на основе решения полных уравнений Навье — Стокса.

Приведенные соотношения могут использоваться также при построении экспериментально-расчетных методик определения указанных вращательных производных летательного аппарата в целом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авиация общего назначения. Рекомендации для конструкторов / Под ред. В. Г. Ми-келадзе. — М.: Изд. ЦАГИ, 1996, с. 213—293.

2. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. — М.: Наука, 1965, с. 65—69.

3. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. — М.: Наука, 1975, с. 26—38.

4. Храбров А. Н. Оценка вращательных производных крыла большого удлинения при начале отрыва потока для натурных чисел Рейнольдса // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII, № 3—4, с. 128 — 134.

5. Федяевский К. К., Блюмина Л. Х. Гидроаэродинамика отрывного обтекания тел. — М.: Машиностроение, 1977, с. 35—43.

6. Долженко Н. Н. Метод определения вращательных производных для установившихся движений // Технические отчеты ЦАГИ. 1968.

7. Долженко Н. Н. Оценка вращательных производных моделей самолетов на за-критических углах атаки // Труды ЦАГИ. 1968.

Рукопись поступила 25/У 2012 г.