Определение вероятностно-временных характеристик движения судов в районе промысла при расхождении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Определение вероятностно-временных характеристик движения судов в районе промысла при расхождении

Л.Ф. Борисова

Судомеханический факультет МГТУ, кафедра электрооборудования судов

Аннотация. Получены расчетные формулы для определения значений скоростей и интервалов движения судов в районе промысла с использованием виртуальной сети полос движения, оптимальные по критерию минимального среднего времени движения на ограниченной акватории, при соблюдении ограничения на дистанцию кратчайшего сближения.

Abstract. The calculation formulae for determination velocity and intervals of the ship traffic in the fishery region have been worked out. The virtual traffic lanes' network of ship traffic has been used. The formulae are optimal by criterion of the minimum average time of the movement at the limited area of water.

1. Введение

Разработка мероприятий по избежанию опасности столкновения судов при пересечении районов интенсивного судоходства, особенно в условиях ограниченной видимости или (и) при наличии в районе промысла плохо наблюдаемых объектов, например, малых рыболовных судов, представляет значительную трудность. Особенно актуальна эта задача для районов рыбного промысла, где суда, выполняющие разнородные задачи (производственная деятельность, транспортировка грузов, специализированное обслуживание района промысла и другие), могут вступать в конфликт интересов. Учет факторов взаимодействия, имеющих по большей части вероятностный и зачастую противоречивый характер, возможен только на основе системного подхода. В целях повышения безопасности мореплавания и предотвращения опасных последствий столкновений судов предлагается использовать специальные схемы движения при пересечении ограниченной акватории района промысла, которые названы виртуальными сетями полос движения судов. Движение судов в соответствии с предложенной схемой принципиально гарантирует от опасного сближения в районе промысла морских биоресурсов.

Виртуальной сетью полос движения (Virtual Traffic Lanes Network - VTLN) (ВСПД) будем называть сеть, включающую совокупность полос движения и соединяющих их узлов развязки, которая назначается программным путем, когда в ней возникает необходимость, и аннулируется, когда она больше не требуется. В качестве топологической основы ВСПД будем использовать графы кодовых пересечений (Васильев, 1975).

Основной целью использования ВСПД является обеспечение эффективного разведения судов, которое исключает с заданной степенью безопасности сближение судов при движении на ограниченной акватории с интенсивным судоходством и позволяет получить дополнительные преимущества во времени прохождения района промысла по сравнению с использованием окружного пути.

Для географической "привязки" ВСПД к акватории не требуется полной количественной информации о расположении объектов на акватории. Достаточно информации о расположении рыбных скоплений и вероятностных оценок их плотности.

При проектировании сети приходится решать ряд задач. В топологическом аспекте как центральные можно выделить три:

1) Выбор пропускных способностей каналов.

2) Выбор потоков в каналах.

3) Выбор топологии.

Все входящие в эти задачи параметры можно варьировать с целью улучшения характеристик сети. В общем смысле задача оптимизации является многокритериальной. Однако часто в качестве одномерного критерия качества выбирают среднее время пребывания в сети и оптимизируют топологию с учетом заданного стоимостного ограничения. В качестве стоимостного ограничения для сети связи часто используют затраты в денежном эквиваленте на прокладку физических каналов сети. Впервые подобная задача была решена Клейнроком (Клейнрок, 1979).

С учетом специфики физической реализации ВСПД (ее каналы являются виртуальными, а среда - водной) и ее предназначения цель топологической оптимизации определим в следующем виде. Решим задачу выбора оптимального распределения скоростей движения судов в полосах движения из конечного набора их возможных значений, минимизирующего среднее время пребывания судов в сети при

заданном ограничении дистанции кратчайшего сближения судов (далее ДКС), определяющей требование по безопасности мореплавания.

В предлагаемой постановке задача формулируется и решается впервые.

2. Характеристика ВСПД как системы массового обслуживания

Сформулируем некоторые понятия и определения, которые будем использовать в работе. В качестве математических моделей будем использовать аппарат и методы теории графов и теории массового обслуживания.

Рассмотрим сеть полос движения судов СПД G (A, B) c множеством узлов А мощностью N и множеством полос движения (каналов) В мощностью М, в которой случайное время запаздывания связано с ветвями некоторого графа кодовых пересечений ГКП(п, k, r) с параметрами n - длиной кодовых комбинаций номеров узлов, k - основанием кода, r - параметром зацепления кодовых комбинаций номеров узлов, (n - r) - числом символов в пересечении двух соседних кодовых комбинаций. Потоки судов в сети предполагаются случайными. Конечные скорости движения судов в каналах связаны с формированием очередей в вершинах графа. В более общей постановке граф может быть произвольным.

Суда находятся в очереди в вершинах графа до тех пор, пока они не будут обслужены (проведены). Обслуживание выполняется в соответствии со стратегией "первым пришел, первым обслуживается". Каналы будем полагать абсолютно надежными. При этом вопросы безопасности движения в полосах, связанные с мешающими факторами движений судов, занятых производственной деятельностью, в данной работе не рассматриваются.

В качестве критерия оптимизации выберем среднее время, необходимое для достижения судном пункта назначения. Для графа с установившимися стохастическими процессами определим ожидаемое время пребывания судов в сети при управлении входным потоком и размером ДКС судов.

Введем следующие допущения. Пусть каждое судно имеет единственный пункт назначения. Судно считается обслуженным в данной вершине в момент поступления крайней точки его ДКС.

Каждое судно будем характеризовать двумя случайными переменными: ДКС и временем поступления в систему. Размеры ДКС судов будем считать независимыми и распределенными по экспоненциальному закону. Эти предположения базируются на том, что суда поступают в систему независимо, и размер ДКС для каждого судна выбирается субъективно (с учетом размеров судна) и независимо. Входной поток судов в вершине-источнике образует пуассоновский процесс. Размеры ДКС судов и моменты поступления судов в систему будем считать независимыми друг от друга. Это допущение основано на том, что каждой вершине графа инцидентны несколько дуг (ветвей), и суда могут двигаться по разным путям. В работе (Клейнрок, 1979) доказано, что наличие множества путей приводит к уменьшению зависимости между длиной сообщения и временем его пребывания в информационной сети. Логично распространить это утверждение на наш случай. При выполнении условия независимости обеспечивается возможность проведения полного математического анализа проблемы.

Будем использовать следующие обозначения и понятия. v°i - средняя собственная скорость движения судов при их поступлении в Ь, канал системы (узлов); 2DcKp. - дистанция кратчайшего сближения этого судна (миль), при рассмотрении вопроса обеспечения

безопасности движения будем ее называть длиной судна; 2DcKp. - средняя длина (среднее значение ДКС) судов, поступающих в bi канал сети (миль); Ii - интенсивность поступления требований в bt канал, час-1 (среднее число судов в час, входящих в bi канал); ti = 1Hi = 2 DcKp. / v С - средний минимальный промежуток времени (час) между двумя соседними требованиями,

равный среднему времени, затрачиваемому судном на прохождение своей ДКС в bi канале; 2DsKp - средняя по ВСПД предельная системная длина судна (миль);

vsi - сумма длин судов, которые bi канал способен пропустить за час (она измеряется в милях в час, т.е.

узлах) - будем называть ее предельной системной скоростью в bi канале; 1/^kj = 2DcKpjk- средняя длина судов, входящих в вершину aj графа и направляющихся в вершину ak (миль); 7i,k - среднее число судов в час, входящих в граф в вершине aj и имеющих направление в вершину ak (час-1);

' N N

у =Х X 7jk - суммарная интенсивность вхождения судов в граф (час-1);

j=1 k=1 M

у =Х h - суммарная интенсивность потока судов в ветвях графа (час-1), по смыслу ясно, что она равна 1=1 суммарной интенсивности вхождения судов в граф;

M

Vs=Yy!i - суммарная пропускная способность графа, равная суммарной системной скорости в сети -

'=1 будем называть ее суммарной системной скоростью (узлов); Ti - среднее время движения судов, проходящих ветвь bi (задержка в ветви b) (час);

Т - среднее время движения судов, поступающих в вершины графа (среднее время пребывания в системе) (час).

С учетом введенных обозначений задачу оптимизации в общем виде можно представить схемой:

Задача оптимального распределения скоростей движения в ВСПД

Дано: потоки {!,} и топология сети в виде ГКП(и, k, r)

Минимизировать: среднее время пребывания судов в сети Т

Ограничения: суммарная скорость движения судов в сети M Vs = I/,, Vs, = 2D% IIs, i=1

При условиях: устойчивости и реализуемости Vs, > безопасности движения DcKP < Ds№ = const

3. Оптимальное распределение скоростей движения в ВСПД

Среднее время пребывания всех судов в системе можно выразить, используя введенные термины, с помощью выражения:

м

т = ЪШП

1=1

где в числителе находится сумма всех задержек в ветвях графа, а в знаменателе - среднее число всех судов, входящих в граф.

Тогда математическая формулировка задачи может быть дана следующим образом.

Задача. Для фиксированного количества ресурса У", определить уД...,^, минимизирующие целевую функцию:

м

т = Ш?)Т, (1)

1=1

м

У" = IV*, = 2БУ4 (2)

1=1

где В"кр - постоянный коэффициент.

Эта задача в приведенной постановке противоречива, т.к. в общем случае при движении по сети интервал времени между двумя последовательно движущимися судами зависит от физической длины судна, идущего впереди. Судно не может войти в узел сети до тех пор, пока его не покинет предыдущее судно. Математическое решение задачи возможно при допущении о независимости между длиной и временем поступления судна. Такое допущение обоснованно при принятии следующих условий.

1) Наличие множества путей для движения судна. Это допущение на практике реализуется использованием ячеистой разветвленной топологии, допускающей наличие альтернативных путей. ГКП, выбранные в качестве топологических моделей ВСПД, отвечают этому условию.

2) Введение в модель параметров, допускающих варьирование длин судов и интервалов их следования. С этой целью в модель вводятся системные параметры - дистанция кратчайшего сближения судов в системе В"кр, которая определяет предельную максимальную расчетную ширину полосы движения судов и предельный интервал следования судов в системе = В!1кр/У". Реальные значения Б"кр и для каждого судна выбираются независимо и могут колебаться в пределах, ограниченных системными параметрами.

Исследуем значение пропускной способности ветви при этих условиях. Выделим в ГКП вершину аиз которой исходят т ветвей (рис. 1). Входной поток является пуассоновским со средней интенсивностью поступления X судов в час. Пусть длины судов независимы и распределены в соответствии с экспоненциальным законом с параметром 1/ы миль.

Суда следуют по сети в порядке "первым пришел, первым вышел". При наличии альтернативных путей, исходящих из вершины авыбор ветви осуществляется произвольно. При выполнении требования реализуемости и устойчивости системы пропускные способности каналов сг должны подчиняться условию:

°г > V^г . (3)

Условие (3) определяет смысл сг как системной скорости движения судов в ветви Ьг. Тогда среднее время пребывания в системе и число ветвей т, которое минимизирует это время, могут быть определены в соответствии с теоремой Клейнрока, согласно которой для минимизации времени Т в системе с очередями необходимо минимизировать число путей, исходящих из вершины аг, и сконцентрировать все движение по единственному пути (Клейнрок, 1979).

Рис. 1

Определим среднее время пребывания в системе в следующем виде:

Т = ш/уУ- [1 + 1/(ш (1 - р))/(Бт (1 - р) + 1)], (4)

где

ш-1 М

= Шшр)г-ш/П) ш! > 0 и р = Х/р.У* = (X 1/и;)/Г.

1=0 1=1

Значение Т минимизируется для всех 0 < р < 1 при ш = 1. Для ш = 1 имеем:

Т = 1/[«Г(1 - р)].

При выполнении условия о фиксированной маршрутизации в сети суммарная системная скорость во всех ветвях графа определяется суммой:

М

^ = ' 1

1=1

V* = IV,. (5)

Каждый подграф ГКП, состоящий из вершин а* и а и соединяющей их ветви Ь,, функционирует аналогично обслуживающему прибору с экспоненциальным распределением времени обслуживания. Для такой системы среднее суммарное время прохождения вершины а, и время движения в инцидентной ей ветви Ь,, может быть выражено в виде (Фрэнк, Фриш, 1978):

Т = 1/[м,^ (1 - р)], , = 1,2, ..., ш, (6)

где

Рг = !,/(м, V*,). (7)

При условии = р. для всех , с учетом (6) выражение (1) можно записать в виде:

М

Т = !(!,/у){1 / (1 - А)]}. (8)

, =1

Наша задача сводится к определению оптимального набора {г*^}, минимизирующего функцию (8). Рассматриваемая задача относится к классу задач нелинейной оптимизации при наличии ограничений в виде равенств и является частным случаем общего типа задач нелинейной условной оптимизации. Эта задача может быть решена с использованием метода множителей Лагранжа (Батищев, 1984). Учитывая (7), выражение (8) перепишем в виде:

М

Т = X Х1/у1/(^у*1 -!,). (9)

, =1

Составим функцию Лагранжа в виде:

М

Цу» = Т + ЧК- - V*), (10)

,=1

где <г - множитель Лагранжа, который может иметь произвольный знак. Если теперь варьировать Vтак, чтобы получить минимальное значение функции Лагранжа Ц/,, <г), то мы найдем решение задачи распределения скоростей^*,^}, т.к. выражение в скобках тождественно равно нулю.

По каждой из компонент Vвычисляются частные производные, которые затем приравниваются к нулю. В результате получим систему М уравнений вида

(И(у*ьа) /йуг= 0, , = 1, ..., М; - (1,/у) • р/(ру*, -1,)2 - а = 0.

Выбираем а <0, чтобы получить решение задачи в замкнутом виде. Получим

У5,= Хг/р + [1/(ау)°-5]-(Х1/р)°5. (11)

Просуммируем полученное выражение по ,, получим

мм м

Ж = У" = £ Х,/р + ^ГЖ/")0-5. (12)

г=1 г=1 г=1

Из (12) выразим множитель 1/(сту)0'5 в виде

м м

1/(°у)0'5 = (У" - ЕЯ,-/") / ж-/")°-5. (13)

г=1 г=1

Проанализируем (12). С точки зрения минимального времени пребывания в системе с учетом стохастического характера потоков не столь существенно, каким образом распределяется избыточная по отношению к потоку судов пропускная способность. Важно, чтобы выполнялось основное условие устойчивости и реализуемости системы:

Vх, > 1/ы.

Очевидно, для этого необходимо выполнение условия в виде

м

У" > I

м

У" - X Х/р > 0. (14)

Величину добавочной скорости Уе определим из (13) с учетом (12) и (14), как

Л м

л" _ тт®

У/ = У" -1А/^. (15)

г=1

После подстановки (13) в (11) получим

м

= Х/р + УД,а5/11/5. (16)

/=1

А м

Подставив (16) в (9), после преобразований, с учетом у = £ 1,, получим

м

Т = (11,а5)/(У/Ма5). (17)

/=1

В работе (Клейнрок, 1979) показано, что средняя длина пути в сети выражается в виде:

7= 1 / р. (18)

Подставим (18) в (17), после преобразований получим

_ м

т = (1 / У:ц) Е(1/1)а5]2 (19)

,=1

Введем отношение р средней скорости, с которой суда входят в сеть извне, у/р, к суммарной системной скорости У":

Л

р = У'у/р = У"Х/р. (20)

Тогда (15) можно записать в виде:

У/ = У"(1 - 1р). (21)

С учетом (21) выражения (16) и (19) принимают вид:

м

V? = Х/р + У"(1 - 1р) I,05/ (XI/5), г-=1, 2, ..., м, (22)

/=1

м

Т = { 1 / [У> (1 - Тр)] } Е(1/1)0-5]2, (23)

1=1

где

д м

р = (I Х/р) /У' (24)

,= 1

имеет смысл загрузки всей сети.

При соблюдении требований безопасного мореплавания и фиксированном значении В"кр средние минимальные интервалы следования судов в полосах движения (системные) определяются с учетом (22) с помощью выражения

1=1

,=1

М

Ъ = 2Б*кр(1 - 1р) X / (V*, - Л/О! I,0 5. (25)

Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы.

1) С уменьшением I уменьшается Т, а это означает, что процедура выбора маршрута и структура графа должны быть упорядочены таким образом, чтобы длина среднего пути была наименьшей. Поэтому предпочтительно, чтобы суда двигались по кратчайшим маршрутам в сети.

2) Среднее время пребывания в системе и оптимальные скорости движения в ветвях являются функциями загрузки системы р (выражение (24)), которая определяется отношением интенсивности входного потока (миль/час) к суммарной пропускной способности ветвей - суммарной системной скорости. Следовательно, граф, рассчитанный на оптимальную структуру сети с низкой загрузкой, может не быть оптимальным для сети с высокой загрузкой, и наоборот.

3) Оптимальные скорости являются функциями от интенсивности входных потоков для данной ветви X, и, следовательно, являются случайными величинами. Эти интенсивности представляют собой функции потоков и зависят от выбранного маршрута движения судов.

4) Среднее время пребывания в системе Т прямо пропорционально суммарной интенсивности входного потока X = £ X,. Следовательно, добиться уменьшения Т можно, снизив эту величину. В работе (Фрэнк, Фриш, 1978) показано, что, если заданы ограничения X,> к,> 0, , = 1, 2, ..., М, то оптимальные X, зависят от числа ветвей в сети так, что при оптимальном маршруте поток должен концентрироваться вдоль возможно меньшего числа ветвей.

5) Интервалы следования судов в полосах являются функциями загрузки р и зависят от средних скоростей, с которыми суда поступают в систему Х^/р = VеС ростом интенсивности потока заявок на обслуживание интервал движения судов должен быть уменьшен. При увеличении скоростей движения входящих судов интервал следования должен быть увеличен.

4. Учет топологических параметров ГКП в задаче оптимизации

Выражения (22), (23), (25) являются универсальными, инвариантными к топологии сети и процедуре выбора маршрута, т.к. параметр I, входящий в эти выражения, зависит от первого и второго. Чтобы получить аналогичные выражения применительно к топологии ГКП с учетом принятой стратегии маршрутизации, введем понятие диаметра сети.

Диаметр, определяющий максимальный из минимальных путей между вершинами в графе, часто используется в оптимизационных задачах для характеристики топологии сети. Диаметр является важнейшей топологической характеристикой сети, т.к. его величина, в отличие от среднего пути, зависит от топологии сети и процедуры выбора маршрута. В сетях с произвольными топологиями задача определения диаметра достаточно сложна. Преимуществом использования ГКП в качестве топологической модели сети является простота, с которой может быть вычислен диаметр. В работе (Кузнецова, 1984) доказано, что диаметр ё любого ГКП(п, к, г) определяется его параметрами п и г:

ё =[п / г], (26)

где [х] - наименьшее целое, не меньшее х. При этом требование ё = [х] означает, что ё > 2, т.к. ё = 1 справедливо для полносвязной структуры, которая не является ГКП, ё = 0 справедливо для несвязного графа.

Подставим (26) в (22), (23), (25). Получим выражения для расчета минимального среднего значения времени движения судов по путям минимальной длины в ГКП, а также распределение скоростей и интервалов движения в сети по минимальным маршрутам:

М

V*г = Х/р + ^(1 - 0.5 [п / г]р)!,05/X А/'5,, = 1, 2, ...,М, (27)

М

Т = 1/ [^(1 - 0.5 [п / г] р)] [£(!,■/1)0 5]2, (28)

,= 1

М

Л- = 2В*КР(1 - 0.5 [п / г] р) 10-5,/[(у- X,/А/-5], (29)

где п - длина кодовых комбинаций номеров узлов, г - параметр зацепления кодовых комбинаций номеров узлов такой, что (п-г) - есть число символов в пересечении двух соседних кодовых комбинаций (Амосов, Шарипова, 1977).

Выражения (27), (28), (29) можно использовать для определения оптимальных параметров ГКП по критерию минимального среднего значения времени движения судов по путям минимальной длины.

Анализ выражений (27), (28), (29) показывает, что с ростом длины кодовых комбинаций номеров узлов n (что означает увеличение числа вершин в графе A = к") минимальное среднее время движения судов в сети растет. Одновременно это приводит к снижению скоростей движения в сети и интервалов следования судов. В то же время с увеличением параметра r зацепления кодовых комбинаций номеров узлов (что равносильно увеличению числа линий В) минимальное среднее время движения судов в сети уменьшается, т.к. уменьшается длина минимальных маршрутов. Одновременно скорости движения и интервалы следования судов в сети возрастают.

5. Заключение

Проведенный анализ показал, что качество управления движением судов с помощью ВСПД определяется в большой степени интенсивностью судоходства в районе промысла, характеристиками и ходовыми качествами судов. В работе получены следующие результаты.

1) Сформулирована и решена задача оптимального распределения скоростей движения в ВСПД, минимизирующего среднее время движения судов на ограниченной акватории с учетом требований безопасного мореплавания.

2) Получены выражения (22), (23), (25) для определения скоростей, интервалов и минимального среднего времени движения судов в ВСПД в зависимости от средней длины путей в сети, инвариантных к топологии сети и принятой стратегии маршрутизации. Они могут быть использованы для решения широкого класса задач оптимизации структур сетей движения судов.

3) Получены выражения (27), (28), (29) для определения скоростей, интервалов и минимального среднего времени движения судов в ВСПД с топологией ГКП в зависимости от диаметра сети, учитывающие особенности топологии сети и принятую стратегию маршрутизации. Они могут быть использованы для определения оптимальных значений параметров ГКП по критерию минимального среднего времени движения судов в ВСПД.

4) Проведенный анализ полученных расчетных формул определяет границы и условия применимости модели, а также направления дальнейшей разработки.

5) Сформулированные условия применимости модели позволяют задать необходимые ограничения на характеристики движения судов.

Литература

Васильев В.И., Коновалов В.М., Заманский Л.Я., Фабрикант О.М. О некоторых свойствах сетей передачи данных, построенных на основе графов кодовых пересечений. В кн.: Передача и преобразование информации. Сборник. Киев, изд. ИКАН УССР, 95 е., 1975. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М., Мир, 600 е., 1979.

Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связь и потоки. Перевод с англ. Под ред. Д.А. Поспелова. М., Связь, 448 е., 1978.

Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. М., Радио и связь, с.250, 1984. Кузнецова Л.Ф. Об одном классе топологий локальных сетей связи. Рук. den. в ЦНТИ Информсвязъ, № 502, с.1-10, 1984.

Амосов A.A., Шарипова М.М. Метод определения путей в сетях связи. Техника средств связи, сер. ТПС, вып. 8(18), с.15-22, 1977.