Определение вектора равнодействующей давления упругого основания на жесткий каток при его качении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

621.83.05

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА РАВНОДЕЙСТВ УЮТ ПЕЙ ДАВЛЕНИЯ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ НА ЖЕСТКИЙ КАТОК ПРИ ЕГО КА ЧЕНИИ

В.П. БОРОДЯНСКИИ

Кубанский государственный технологический университет

В технологических и транспортных машинах широко используются детали цилиндрической формы -катки, ролики, колеса, валки и др., которые контактируют с обрабатываемым материалом либо с основанием при перекатывании. Физико-механические свойства материалов пары, которая находится во взаимодействии, существенно влияют на энергосиловые параметры движения катка, это отражено в табличных данных величин коэффициента трения качения к [1]. Для пары (каток-основание) из стали значение к минимальное; для других материалов, имеющих значительную пластическую составляющую, величина к значительно больше.

Для инженерных расчетов целесообразно пользоваться не только табличными значениями коэффициента трения качения, но и использовать аналитические зависимости, в которых учитывались бы полнее основные факторы, влияющие на величину к (плечо вектора равнодействующей относительно вертикальной оси катка).

Многие исследователи отмечают зависимость момента сопротивления Мс катка от несовершенства упругости контактирующих пар при качении, считая этот фактор одним из основных [2]. Потери, связанные с трением на поверхности контакта упругих тел, также требуют затрат энергии на холостое движение катка, нагруженного только вертикальной силой Е0. Однако расчеты показывают, что доля потерь на трение достигает не более 20% (для жесткого катка, катящегося по упругому основанию). Известно также, что на потери

при качении катка влияют и другие факторы - скорость качения, качество поверхности контактирующих тел, смазка и т. п. Очевидно, что в каждом конкретном случае необходимо оценивать весомость каждого фактора и вносить соответствующие поправки в расчет.

Для выявления основных закономерностей процесса качения катка ограничимся учетом главных факторов:

материал контактирующих тел - модуль упругости Е, максимальные напряжения ошах;

нагрузка - вертикальная сила ^0;

геометрия контактирующих тел - радиус г и длина катка;

степень несовершенства упругости тел - коэффициент релаксации напряжений, учитывающий потери на внутреннее трение упругого материала при его деформации.

В энергосиловых расчетах взаимодействия тел (каток-основание, рабочий орган-материал, ведущее зве-но-ведомое звено в передачах и др.) основным параметром является вектор равнодействующей сил Р21 = Р12, действующих со стороны одного тела на другое. Поэтому главной задачей расчета является определение точки А на линии контакта (плоская задача) пары, через которую проходит вектор равнодействующей, а также величины и направления этого вектора. Для катка точка А определяет величину плеча момента сопротивления Мс, т. е. величину коэффициента трения качения к.

Для жесткого катка и упругого основания при действии катка 1 на основание 2 силой _Р0 оно деформируется на глубину к (рис. 1). В статическом положении катка вектор Р21 проходит через точку Е и равен по мо-

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

дулю Е0. Реакцию Р21 можно представить состоящей из двух составляющих Р21 и Р21, которые будут проходить через точки А1 и А2, расположенные симметрично относительно вертикальной оси катка. Определяя положение точки А1 (расстояние от вертикальной оси - а), полагаем, что каток взаимодействует только по дуге БЕ при действии вертикальной силы -Р0 /2 В этом случае получается, что каток при качении деформирует упругое основание, которое после прохождения точки Е не восстанавливается. Такой прием позволит определить положение вектора Р21 (угол а1), а так как вектор Р2!1! располагается симметрично вектору Р2!1, то определится положение точки А2. Затем, допуская, что положения точек А1 и А2 останутся неизменными при увеличении реакции Р21 во время качения и уменьшения Р21, определим плечо к (рис. 2) равнодействующей Р21 (коэффициент трения качения - к). Известно, что перераспределение давления основания на каток возникает из-за внутреннего трения упругого материала. Степень несовершенства упругости можно оценить величиной коэффициента релаксации напряжений е:

e =

P ''

121

P ' '

21

(1)

p! =— = Sbm,

21 2

(2)

где 5" - площадь 5" сегмента БМЕ, м ; Ь - ширина катка, м; т - мас-штаб напряжения, Н/м3.

m=-

h ^"1—cos P)

(3)

Площадь S сегмента является разностью площадей сектора OiDE и треугольника OiDB

0 r2B' r2 sin В cos В r2 S -----i-= — (В' - Sin В cos В). (4)

2 2 2

Тогда (2) будет иметь вид

P2i = у=(Р'—sin p cosp)¿m.

(5)

Работа (мощность N1), совершаемая катком при перемещении его на расстояние, равное по величине скорости Уо (перемещение за 1 с), будет равна работе (мощность N2) деформации площадки основания длиной У0, шириной Ь на глубину к при среднем давлении

^шах /2 .

Так как N = N2, то

о -р

m „ =~y Vo bh,

(6)

гдеМ- момент движущий на катке, н ■ м; ю - угловая скорость катка, 1/с; аср - среднее напряжение при деформации основания, Н/м2; V0 -скорость точки 01 катка при его качении, м/с; h - глубина погруже -ния жесткого катка в упругое основание, м.

Учитывая, что магистральный центр скоростей находится в точке С:

V0 = ю01С = юг cos a 1. (7)

Момент движущий равен моменту сопротивления: M = P21 r sin a t. (8)

После подстановки в (6) значений (3), (5), (7), (8) и преобразований получим

1—cos P)2

P' — sinP cosP

(9)

Зависимость (9) позволяет при известном значении угла Р находить по углу а1 положение точки А1. При этом вычисления показывают, что отношение углов а1 и Р - величина постоянная для упругого основания

a1

В расчетах полагаем, что для данной пары контактирующих тел величина е не зависит от Е0.

Определяем положение точки А1 (угол а1), через которую проходит вектор Р21. Его величина пропорциональна произведению площади фигуры БВЕ (рис. 3) на ширину катка Ь (пропорциональна объему вытесненного материала основания)

(10)

Максимальные напряжения следует находить, используя зависимость (3) для контакта цилиндра с плоскостью (для коэффициента Пуассона т = 0,3).

F0 E

= 0,4181—0—,

br

(11)

где Е 0 - вертикальная нагрузка на каток, Н; Е - модуль упругости, Н/м2; г - радиус катка, м.

Величина о шах не должна быть более допускаемых контактных напряжений

Smax Smax

о

max

Рис. 4

(12)

F0 r l = 3,05' 0

bE.„

(13)

2 ЕЕ

где E. =------1—^; l - длина поло ски ко нтакта, м.

При жестком катке E1 ® ¥, тогда

l = 2,15 |F°r.

‘ bE2

но — = sin В или, после подстановки (14): 2R

(14)

Fo

sin В = L075'í TÉr'

По (10) определяем угол a:

a = 0,375 В

(15)

(16)

P2'/( a + k# = P2[( a — k#

или с учетом (1)

k=a

1— e 1+ e

(17)

(18)

Если с известным допущением (а и Ь - малые у глы) зависимость (16) преобразуем:

sin a = 0,375sin В и (15) подставим в (18), то

k= r

1— e

1+ e

F

0,375-1,075J—^ = 0,403 bEr

1— e

1+ e

(19)

(20)

Угол Ь можно определить [4], используя известную формулу Герца:

Сравнивая (20) и (14), следует отметить, что величина к примерно на два порядка меньше длины площадки контакта I и зависит от отношения г/Ь, силы прижатия Е0 и свойств материала (е, Е).

Характер изменения силы сопротивления Рс и момента сопротивления качению Мс катка разных диаметров (при неизменных других параметрах) показан на рис. 4 (Е0 = 11400 Н; Е = 2 • 1011 Па; 1 = 0,375; Ь = 0,01 м).

При увеличении диаметра катка снижаются силы сопротивления (сила движущая приложена к оси катка) и мощность, необходимая для движения катка

Таким образом, предложенная методика позволяет определить для каждого конкретного случая величину плеча к, на которое смещается реакция основания при действии на каток только вертикальной нагрузки Е0. Величина к не изменяется, если дополнительно к катку будут приложены другие силы и моменты, но вертикальная составляющая этих сил остается неизменной. Точка А, через которую проходит вектор равнодействующей Р2і, в этом случае не смещается, а Р21 будет занимать не вертикальное положение (рис. 5), как это наблюдается при холостом ходе катка, а проходить под углом к вертикали [5]. Например, при действии силы сопротивления Ес, приложенной к оси О1 катка (рис. 5), вектор Р21 будет параллелен Е, а момент движущий Мдв = Р12^.

В качестве примера рассчитаем коэффициент трения качения к жесткого катка при контакте с упругим основанием при данных: диаметр катка ё = 2 г = 200 мм, ширина катка Ь = 40 мм, модуль упругости материала основания Е = 2 1011 Н/м2, коэффициент релакса-

Таким образом, положение точек А1 и А2, через которые проходят равнодействующие Р2 1 и Р2 1 , определены. Так как А1С = СА2 = а = гап а, то реакция основания Р21 = Р21+ Р21 должна иметь плечо к значительно меньше величины а, что зависит от коэффициента восстановления е. При е = 0 (тело абсолютно упругое) Р2 1 = Р2 1 и плечо к = 0, т. е. для перемещения катка не нужно затрачивать энергию. Практически е>0 и тогда возникает момент сопротивления Мс = = Р21к, где к является коэффициентом трения качения.

Если Р21 = Р21 + Р21 проходит через точку А, то

Рис. 5

Рис. 6

ции напряжений e = 0,5, вертикальная нагрузка

F0 = 2104 H.

Максимальные напряжения, возникающие при деформации основания (точка Е, рис. 3) находим по зависимости (11)

о = 0,41^/— = 0,418 I 10 %210 = 2,5■ 108 п€.

br V 0,02% 0,1

Для стали допускаемое напряжение [о]кон = = 1000 МПа, или Ошах < [о]кон.

Коэффициент трения качения для жесткого катка и упругого основания согласно (20) при е = 0,5:

ЩГг

к = 0,403 е — =

V ЬЕ

= 0,403 ■ 0,5'

2 104 ■ 0,1

0,04 ■ 21011

= 0,0001= 0,01-м.

Момент сопротивления Mc = F0k = 2 • 104 • 10 4 = = 2 Н • м.

Работа трения катка о поверхность основания зависит не только от F0 и коэффициента тренияf, но и от скорости скольжения V2 [6], величина которой максимальна в точках D и М (рис. 6)

V12 max = V12 Sin ^

V12max = WDC = 2 WSin b ™ VLax = 2 О^П2 b

Угол ВІ2 при упругой деформации стального основания не более 1-2°, поэтому VjT2 максимальная имеет незначительную величину.

Минимальная скорость скольжения

К min = wCE = or(l- cos a).

При r = 0,i м к = 0,0001 м (см. расчет). Тогда sin a = k/r = 0,5 • l0-4/0,i = 5 • i0-4; a = 0,0286°; cos a = = 0,999999904; i - cos a = 0,00000000 = 1,24 i0-8.

Средняя скорость скольжения таким образом очень мала и при малых упругих деформациях потери на трение незначительны (особенно при тонком слое смазки). По этой причине обильная смазка часто увеличивает потери энергии при качении.

На величину коэффициента трения качения силы трения практически не оказывают влияния.

ВЫВОДЫ

1. Основная часть потерь при качении катка по упругому основанию обусловлена внутренним трением, которое является причиной возникновения большей реакции на набегающей части катка и меньшей на сбегающей; поэтому целесообразно в расчетах использовать физический параметр контактирующих тел - коэффициент релаксации напряжений е, который может быть получен опытным путем (аналогия коэффициента восстановления при ударе).

2. Для определения точки А1 (угол а1), через которую проходит вектор реакции основания набегающей части катка Р21, по формуле Г ерца рассчитываются параметры деформации; затем, на основе равенства работ (мощностей) деформации основания и движущего момента катка, рассчитывается величина плеча а реакции Р21 (угол а).

3. Плечо равнодействующей реакции Р21 (коэффициент трения качения к) определяется с учетом расстояния а от вертикальной оси катка двух составляющих реакции основания Р21 — Р21 и Р"х.

4. При малой величине упругой деформации пар скорости скольжения на поверхности контакта незначительны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крагельский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения. Справ. пособие. - М.: Машгиз, 1962. - 220 с.

2. Пинегин С.В. Трение качения в машинах и приборах. -М.: Машиностроение, 1976. - 264 с.

3. Курс сопротивления материалов / Г.С. Писаренко, В.А. Агарев, А.Л. Квитка и др.; Под ред. Г.С. Писаренко. - Киев: Изд. АН УкрССР, 1964. - 468 с.

4. Колчин Н.И. Механика машин. - М.; Л.: Машгиз, 1963. - 586 с.

5. Бородянский В.П. Энергосиловые параметры прокат -ки материала валками // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2006. -№ 1. - С. 97-101.

6. Бородянский В.П. Скольжение колеса при качении // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2007. - № 1. - С. 78-81.

Кафедра машин и аппаратов пищевых производств

Поступила 02.02.07 г.