CC BY
118
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 197 8
№ 4
УДК 521.1:519.24
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОГО ПОЛОЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПО ДАННЫМ ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
М. Ю. Беляев
Рассматривается метод определения углового положения неориентированных космических аппаратов (КА), основанный на статистической обработке измерений вектора напряженности магнитного поля Земли. Отмечаются некоторые преимущества предлагаемого метода по сравнению с известными способами расчета ориентации КА. Приводятся результаты численных расчетов на ЭЦВМ.
При анализе различных экспериментов, проводимых на КА, возникает задача определения ориентации осей научных приборов в пространстве. Поскольку обычно ориентация осей приборов относительно строительных осей объекта известна, требуется найти положение осей КА в пространстве. Определение ориентации осуществляется обычно по данным измерений приборов,, установленных на КА. Для этих целей часто используются магнитометрические
датчики, измеряющие вектор напряженности магнитного поля Земли (МПЗ) Н в осях, связанных с КА. При определении ориентации КА обычно применяются статистические методы, использующие математическую модель движения спутника относительно центра масс [1—4].
В некоторых случаях, например, при работе малых управляющих двигателей КА или когда на движение объекта оказывает влияние сильный возмущающий момент, выбор математической модели может оказаться затруднительным. В этих случаях для определения углового положения КА применяется локальный алгоритм определения ориентации, использующий информацию минимум от двух датчиков, например, магнитометра и солнечного датчика [2). Однако в случае отказа одного из двух датчиков при двухвекторной системе контроля ориентации, а также при неудачном взаимном расположении Солнца, Земли и КА локальный алгоритм ориентации не может быть применен. Наиболее часто подобная ситуация возникает при входе КА в тень Земли, когда, очевидно, отсутствуют показания солнечного датчика. Поскольку нередко научные измерения (например, астрофизические) проводятся при полете КА в тени Земли, ориентация КА в этом случае должна рассчитываться по одновекторному алгоритму, использующему измерения магнитометра.
Точная привязка осей приборов КА к небесной сфере может осуществляться либо с помощью фотографий звездного неба, либо с помощью измерений звездных фотометров, регистрирующих попадание какой-либо звезды в поле зрения фотометра с измерением яркости наблюдаемой звезды. Однако использование данных способов привязки по звездам предполагает предварительное знание ориентации хотя бы с невысокой точностью, которую, вообще говоря, можно получить после обработки измерений от одного магнитометрического датчика по одновекторному алгоритму. На точность определения ориентации
КА в этом случае влияют ошибки в измерениях вектора напряженности МПЗ и ошибки математической модели движения КА относительно центра масс. Следует отметить, что указанные ошибки при обработке измерений по используемым одновекторным алгоритмам нередко приводят к такой ситуации, когда определение ориентации КА из-за сложности алгоритмов становится вообще невозможным, т. е. итерационный процесс не сходится к искомому решению.
Другая проблема, возникающая при расчете ориентации КА, связана с нахождением нулевого приближения, необходимого для работы статистического алгоритма [1]. Поэтому весьма важной задачей является разработка одновекторного алгоритма определения ориентации КА, обработка по которому слабо зависит от ошибок измерений, ошибок математической модели и который не требует знания нулевого приближения. При этом, как уже отмечалось выше, иногда полезно иметь в результате обработки хотя бы грубое значение параметров ориентации КА. Кроме того, при проведении расчетов часто оказывается важным, чтобы используемый алгоритм обеспечивал достаточное быстродействие и не требовал при реализации большого объема оперативной памяти ЭЦВМ. В данной работе рассматривается возможность построения алгоритмов определения углового положения КА, учитывающих отмеченные выше особенности и ограничения.
Введем следующие системы координат с началом в центре масс КА: OXYZ— система координат, ось OZ которой направлена параллельно оси вращения Земли, ось ОХ направлена в точку весеннего равноденствия, ось OY дополняет систему координат OXYZ до правой; OLyL^L— система координат,
связанная с вектором кинетического момента L спутника, ось OL направлена
по L, ось 0£] расположена в плоскости OLZ перпендикулярно оси OL и образует тупой угол с осью OZ, ось OLs дополняет систему до правой; О&г,С — система координат, связанная с главными центральными осями инерции спутника,
относительно которой измеряются компоненты вектора Н. Положение системы координат OLiLiL относительно системы OXYZ задается углами р, S (р — угол
между вектором L и плоскостью XOY, 8— угол между осью ОХ и проекцией
вектора L на плоскость XOY), а положение системы координат Oi^C относительно OL1L2L — углами Эйлера ft, <f, ф [!]•
Считаем, что на КА установлен трехкомпонентный магнитометр, измеряющий вектор напряженности МПЗ Н. Считаем также, что компоненты вектора напряженности МПЗ могут быть достаточно точно рассчитаны по аналитическим формулам в базовой системе координат OXYZ, относительно которой ищется ориентация осей КА.
Введем в рассмотрение некоторый переменный вектор п, изменяющий свое направление по известному закону в системе кооординат OXYZ. Тогда компоненты вектора п: п^, п^, пв системе координат ОЬ]С также будут меняться во
времени по неизвестному, однако, пока закону. Компоненты векторов //ига в системе координат OXYZ будем обозначать верхним индексам „а*; чтобы
—> ►
указать, что скалярные и вектррные произведения векторов //ига выражаются через эти компоненты, припишем такой же индекс и самим векторам. Запишем очевидное тождество:
(7/, «) = #, па), (1)
которое преобразуем к виду
Щ п% -f- пп + //с nL = я, (2)
где а = (Ца, «")•
Предположим, что на некоторых интервалах функции n^(t),n^(t) мо-
гут быть представлены в виде аналитических зависимостей, например, в виде отрезков рядов Фурье с конечным числом членов, т. е.
у т
nt= + Z ^'sin ^-t+blcos-^ ti (3)
2 £[ ij h
где у последовательно принимает значения 1, 2, 3, соответствующие компонентам я5, пТ), яНа возможность такого представления компонент вектора п указывает анализ различных случаев возмущенного движения КА. Характерное изменение функций я£, пп, я?, соответствующее постоянному вектору па — | 0,73,
— 0,63, —0,27 [, для КА, вращающегося со скоростями <р=0,1 град/с, ф=0,5 град/с, показано на фиг. 1.
Считаем, что проводимые измерения независимые, равноточныё и ошибка измерений распределена по нормальному закону с известной дисперсией и нулевым математическим ожиданием. Полагая, что проведено т измерений компог
нентов вектора Я, из соотношения (2) с учетом (3) найдем, используя метод наименьших квадратов [5]:
* = (<?тО)-1С. (4)
Элементы матрицы От <? и вектора С (которые здесь для простоты не выписываются) являются суммами значений некоторых функций от измеряемых и вычисляемых в процессе обработки величин. Это обстоятельство позволяет последовательно суммировать и хранить всю используемую при обработке информа-1(1 + 1)
цию в -----2~~— элементах симметрической матрицы СТС и в г компонентах
вектора С, где г — размерность матрицы Ог О- Элементы вектора X в (4) — искомые коэффициенты в отрезках рядов Фурье (3),
Отметим, что в дополнение к зависимости (1) при построении алгоритма обработки можно использовать также соотношение, выражающее постоянство
величины модуля вектора п в любой системе координат для рассматриваемого момента времени.
После определения по измерениям коэффициентов отрезков Фурье из уравнения (4) и вычисления по найденным коффициентам величин яу по формуле (3) ориентация КА рассчитывается следующим образом. Находится матрица перехода М от базовой системы координат ОХУЪ к системе координат, связан-
Яс |ЯХ«1
п^ — Н^(Н, п)
Щ пТ> - Ят,
Я||ЯХяа|
я“ — Я“(Я°, па)
иа „о ііи „а* Нхпу—ПуПх
ной с объектом, которая имеет вид М = М] Лї2, где
Мх,
1
І я X я I
\На X па ]
Я £ | я X п I
яЕ — Я? (Я, п) Нп и, - Я, пт>
Нх \НаХпа\
пх — их (Я“, па)
Я а ггй а,
у П2—Н2 Пу
Я, | Я X п I пп-Нп(Н, п)
Иг Пс — Яр Пг
Н$\НаХпа\
Пу — Ну (На, па)
Н>ах-
г»а „л
' ™хпг
После этого по элементам матрицы Ж легко могут быть вычислены углы,, определяющие ориентацию КА в пространстве.
Для оценки точности разработанного одновекторного статистического алгоритма определения ориентации и выяснения области его применимости было проведено численное моделирование с помощью ЭЦВМ. В результате моделирования на ЭЦВМ было установлено, что алгоритм достаточно универсален, слабо чувствителен к ошибкам измерений и, главное, позволяет определять ориентацию КА даже в тех случаях, когда другие известные алгоритмы оказываются неработоспособными, т. е. при неизвестной модели движения относительно центра масс, чрезмерно больших ошибках в измерениях и даже при малых скоростях вращения КА. Этот результат обусловлен следующими обстоятельствами^ учтенными при разработке алгоритма.
Во-первых, простотой нахождения неизвестных величин, которая возникла
в результате выбора в качестве искомых параметров компонент вектора и, а не углов Эйлера, либо каких-нибудь их аналогий. При этом исключается возможность расходимости процесса вычисления, присущая методам, использующим какое-либо нулевое приближение и итерационный процесс. Во-вторых, использованием в качестве модели зависимости, не зависящей, вообще говоря, от характера возмущающих сил. Единственным требованием, не являющимся обязательным, но отражающимся на точности решения, является требование гладкости изменения компонентов вектора п в системе ОЗД, что, как следует и& опыта обработки, может быть, как правило, достигнуто надлежащим выбором
закона изменения вектора па в базовой системе координат OXYZ.
Пример 1. Для спутника с начальными значениями углов во = 50 град,. <Ро>=230 град, фо = 230 град, 80 = 4ОгРаД> р0 = 70град и угловыми скоростями
<р = 0,1 град/с, ф = 0,1 град/с, движущегося по орбите, задаваемой начальными
условиями = 4317,1 км, К = —5138,8 км, ^=190,6 км, ^=3,55 км/с, К=3,22км/с,
о
Z = 6,04 км/с, определялось движение относительно центра масс по моделируемым измерениям вектора напряженности МПЗ. Компоненты вектора Н в системе координат OXYZ при этом рассчитывались по аналитическим формулам [6].
Среднее квадратическое отклонение в измерениях вектора Н было принята равным 3% по каждому измерительному каналу. Получаемые в результате обработки по предложенному алгоритму ошибки определения ориентации показаны на фиг. 2 (кривая /). В качестве ошибки определения углового положения КА принималось рассогласование Д истинного положения осей 0£, Оц, ОС с их положением, получаемым из обработки. На фиг. 2 показано рассогласование между указанными положениями оси 0£. Величины рассогласований между положениями осей От] и ОС оказываются такого же порядка. Оказывается, что-точность определения ориентации КА зависит и от интервала обработки. В рассматриваемом примере интервал обработки составлял 900 с. Функции л5, и , пс представлялись отрезками рядов Фурье, в которых учитывалось по одной гармонике.
л
14°
О 120 240 360 480 600 720 840 с
Фиг. 2
Собственные частоты в разложении функций в ряд Фурье последовательно оценивались в процессе обработки и оказались равными
= я/900 с-1, л//2 = тс/1020 с-1, п//3 = я/1560 с-1.
Вообще говоря, собственные частоты могут быть включены в число оцениваемых параметров и определяться в процессе обработки. Однако во многих практически важных случаях, например, когда на КА в дополнение к магнитометру имеется солнечный датчик и требуется определить ориентацию КА на
неосвещенном участке траектории, в качестве вектора па можно выбрать единичный вектор направления на Солнце. Тогда подбор функций пп, лс, очевидно, существенно упростится при .настройке* одновекторного алгоритма на освещенном участке траектории с постоянным контролем его работы сопоставлением с результатами расчета по двухвекторному локальному алгоритму. Вместе с тем следует отметить, что предложенный одновекторный алгоритм обладает и иными возможностями оценки точности и надежности получаемых результатов. Проверка конечных результатов может осуществляться, например,
повторением расчетов с измененным вектором па. При практическом совпадении
двух или более результатов расчета при разных векторах па полученные данные об угловом положении можно считать достоверными. Как следует из опыта обработки, точность определения ориентации может оцениваться также и по
разности углов между векторами п и Н в базовой и связанной с КА системами координат.
Интересно отметить, что погрешность определения углового положения КА по локальному алгоритму при больших ошибках в измерениях и малых углах между измеряемыми направлениями может быть чрезмерно большой и значительно превысить ошибки, показанные, например, на фиг. 2. Разработанный же одновекторный алгоритм лишен указанного недостатка вследствие произвола
в выборе закона изменения вектора па. Изменением вектора па можно, вообще говоря, устранить и локальные увеличения погрешности расчета ориентации, которые, как следует из фиг. 2, могут иметь место при обработке по одновекторному алгоритму.
Пример 2. Данный пример отличался от предыдущего увеличением ошибок в измерениях до 10%. Погрешность определения ориентации для этого случая показана на фиг. 2 (пунктирная кривая 2).
Пример 3. Данный пример отличался от примера 1 увеличением скорости
о
вращения ф до 0,5 град/с. Ошибки в расчете углового положения КА, определяемые так же, как рассогласование между истинным положением оси 0£ и получаемым в результате обработки, показаны на фиг. 3 (кривая 1).
На основе результатов численного моделирования можно сделать некоторые выводы. Из проведенных расчетов следует, что ошибка определения углового положения по предложенному методу зависит от угловой скорости враще-
ния КА, величины погрешности измерений компонентов вектора напряженности МПЗ, а также варианта выбора закона вращения вектора па (особенно взаим-
г*
ного положения векторов па и На).
Из сопоставления примеров расчета 1 и 3 видно, что предложенный алгоритм дает меньшую погрешность для малых угловых скоростей вращения КА. Этот факт обусловлен, видимо, тем обстоятельством, что функции я^, Л(., соответствующие медленному вращению КА, точнее аппроксимируются используемым отрезком ряда Фурье. Полученный результат интересен с практической точки зрения, так как известные статистические алгоритмы расчета [1, 2, 4] оказываются применимыми для угловых скоростей, больших 0,5 град/с. Из фиг. 2 видно также, что при увеличении погрешности измерений точность расчета ориентации КА уменьшается. Обычно столь значительное увеличение погрешности (до 10% по каждому измерительному каналу) приводит к расходимости процесса численного расчета и истинная ориентация КА не может быть определена. Использование предложенного метода позволяет найти решение и в данном случае. При этом точность определения углового положения, как следует из фиг. 2 (кривая 2), получается достаточной для многих практически важных случаев.
При необходимости точность привязки осей КА к небесной сфере может быть уточнена после расчета по предложенному методу с привлечением дополнительных измерений, например, от звездных фотометров. Звездный фотометр представляет собой обычный телескоп-рефрактор с диаметром поля зрения ~ 1°. Фотометр регистрирует сигнал светового потока, который после преобразования в напряжение, пропорциональное измеренной звездной величине, выводится на телеметрию. Полученная информация о звездной величине источника, попавшего в поле зрения фотометра, вместе с рассчитанными по изложенной методике данными об ориентации КА используется для отождествления звезды и последующей привязки соответствующей оси КА к небесной сфере с ошибкой, меньшей поля зрения фотометра. Другой способ повышения точности расчета
углового положения КА связан с возможностью переопределения вектора па. Точность расчета ориентации зависит от угла у между векторами Я и л, показанного на фиг. 3 (кривая 2).
Видно, что при уменьшении угла у ошибка расчета Д резко возрастает в момент времени Ь 480 с, соответствующий минимальному значению угла у. При увеличении угла у более 60° ошибка Д начинает уменьшаться (£ г 1000 с). Понятно, что при малых у точность алгоритма должна резко падать, а при 7 = 0 алгоритм оказывается вообще неработоспособным. Поэтому вариант выбора
вектора па (постоянного или вращающегося в системе координат ОХ УХ) оказывает влияние на точность расчета. Строгую методику выбора оптимального
закона вращения вектора па построить весьма сложно, поэтому вектор па может быть выбран, вообще говоря, произвольно, как это сделано в рассмотренных примерах. Однако для проведения практических расчетов могут быть даны некоторые полезные рекомендации.
Как уже отмечалось выше, наличие на КА солнечного датчика позволяет заметно упростить задачу определения ориентации по предложенному алгоритму в теневой части орбиты. Для общего случая расчета углового положения
вектор па можно выбирать, например, таким образом, чтобы избежать значительного уменьшения угла у. При выбранном па угол у является функцией координат положения центра масс КА. Так как вектор напряженности МПЗ меняет свое направление в пространство, то для выполнения указанного условия вектор па также следует выбирать переменным. Вращение вектора па полезно использовать и в тех случаях, когда возникают трудности при представлении какого-либо компонента из яе, я^, отрезком ряда Фурье. Для некоторых режимов вращения КА (например, при совпадении векторов па и V) один из компонентов может оставаться постоянным по времени, что затруднит применение отрезка ряда Фурье для ее представления. Выбрав же соответствующее вращение вектора па, можно найти такую функцию я,., для представления которой потребуется гораздо меньшее число гармоник, что представляет определенные преимущества при проведении статистической обработки по предложенному алгоритму.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белецкий В. В., Голубков В. В., Лавровский Э. К., Трушин С. И., X а ц к е в и ч И. Г. Определение ориентации и вращения искусственных спутников по данным измерений. .Космические исследования", т. 5, № 5, 1967.
2. Б а р ы ш е в В. А., Крылов Г. Н. Контроль ориентации метеорологических спутников. Л., Гидрометеоиздат, 1968.
3. Сидоров И. М., Прохоренко В. И. Определение углового положения искусственного спутника Земли с помощью датчиков магнитного поля. .Космические исследования”, т. 6, № 2, 1968.
4. Титов А. М. Применение метода нелинейной динамической фильтрации для определения ориентации ИСЗ. „Космические исследования", т. 12, № 2, 1974.
5. Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. М., Физматгиз, 1960.
6. Коваленко А. П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. М., Машиностроение, 1975.
Рукопись поступила 151VI 1977
