Определение связности в путевом пространстве состояний телекоммуникационной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВЯЗНОСТИ В ПУТЕВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ

© П.Г. Горев, А.С. Назаров, И.И. Пасечников

Ключевые слова: тензорный анализ телекоммуникационной сети; метрика пространства состояний ортогональной тензорной модели телекоммуникационной сети; символы Кристоффеля для пространства состояний нагруженной телекоммуникационной сети.

Рассмотрены криволинейные путевые подпространства пространства состояний телекоммуникационной сети. Приведено описание и алгоритм получения коэффициентов Кристоффеля применительно к информационным пространствам состояний телекоммуникационной сети.

Пространство состояний нагруженной сети [1-2] может быть представлено путевыми подпространствами, которые, по сути, являются криволинейными [3].

Связь состояний т КС и п путей (где т > п ) в телекоммуникационной сети (ТКС) геометрически может быть представлена вложением криволинейного Риманова п -мерного пространства Яп линейно независимых путей в т -мерное евклидово пространство Ет состояний каналов связи (КС) [1]. Радиус-вектор г в Ет , длина которого определяет кибернетическую (информационную) мощность телекоммуникационной сети [1], является вектор-функцией состояний путей д1 :

г = гСд1,..., дп) .

(1)

Приращение кибернетической мощности ТКС относительно ' -го пути в окрестности точки состояния М0 сети соответствует приращению г и может быть представлено касательным вектором к координатной линии д' в этой точке - гг . Так как пути в криволинейном пространстве линейно независимы, то п векторов г формируют репер в касательной плоскости к М0 . Векторы локального репера путевого пространства в точке М0 можно расписать в виде:

дг ^ дхУ г = —- = > —-дд' V"! дд

' = 1,..., п ,

(2)

где хУ = х'’еу (суммирование по мнимым индексам не производится) - контравариантный вектор, характеризующий передачу количества информации в V -м КС;

д' - значение в точке М0 ' -й координатной линии, которое соответствует количеству передаваемой информации в ' -м пути.

Переход к другой, достаточно близкой к точке М0 - точке состояния сети М1 в общем случае должен сопровождаться изменением этой плоскости относительно переменных путевых потоков [1-2]. Из-за коммуникационных свойств ТКС, предполагая линейную независимость выбранных путей (очевидное условие построения путевого подпространства), в качестве дополнительной переменной криволинейного пространства необходимо использовать вторые частные производные г [1, 3]:

дгг

дд1

--г д г .

------- =---------:------ = гг1 ', 1 = 1,

дд' дд1

(3)

которые характеризуют степень изменения количества передаваемой информации в КС из-за одновременного воздействия двух и более путей.

Постановка задачи: определить коэффициенты связности для путевого пространства состояний телекоммуникационной сети и алгоритм их нахождения.

Величины Гу в любом рассматриваемом локальном

пространстве могут быть разложены по компонентам, в частности, определяющим влияние такого одновременного воздействия путей на каждый путь в отдельности через изменение количества передаваемой информации в его составляющих КС. Это означает разложение векторов Гу в п -мерном локальном пространстве маршрутизации Тп по векторам локального

репера гк:

гу = Г у гк ,

(4)

где Гу - коэффициенты разложения, называемые в

тензорном анализе коэффициентами связности. Они поясняются следующим образом. Криволинейное п -мерное пространство путевых потоков представляется в каждой его точке локальным пространством маршру-

п

тизации Тп [1]. Из-за пересеченности в узлах коммутации различного количества путевой информации, приращения путевого трафика оптимальное распределение последнего по КС в соседних точках состояния различно. Эти изменения в геометрической интерпретации соответствуют движению п -мерной плоскости Тп в криволинейном пространстве - пространстве путевых потоков, кривизна которого и описывается коэффициентами связности. В связи с этим коррекция задач сетевого уровня в промежутках между соседними состояниями ТКС должна непосредственно определяться коэффициентами связности.

Взаимное влияние путей друг на друга по отдельности можно описывать проекциями одних векторов на направления других, которые зависят от компонентов

метрического тензора: (д1,дп) = гг- Yj . Поэтому

в связной сети, где в каждой точке путевого пространства имеет место метрика в касающейся ее п -мерной плоскости, коэффициенты разложения можно получить через компоненты метрического тензора [1]. В этом случае их называют символами Кристоффеля. Исходя из вариантности векторов разложения, с учетом используемых обозначений в модели ТКС, символы Кристоффеля первого рода имеют вид [3]:

к,у

д8,

кі + ку

¿8,

дд

Л

дq3 дqi

символы Кристоффеля второго рода [3]:

(5)

Гк =1 яы і3 2 *

д8и +д8у_ дq3 дqi

д8 у дq1

(6)

Так как метрический тензор является симметричным, применив правило взятия производных сложных функций, первый член суммы в (5), можно раскрыть в виде:

д8 кі

дq 3

У=1

дху дху

дq дq3 дqi дq дqiдq3

(7)

Подставив (7) в (5), используя условие симметрии, получим выражение для символов Кристоффеля первого рода [1, 3]:

Гк ,і3 = X

дху

^ дq дqi дq3

(8)

Выражение (8) раскрывает (5). Как видно, полученные коэффициенты связности первого рода для модели ТКС представляются в виде суммы компонент, каждая из которых вычисляется для отдельного КС. Они характеризуют взаимное влияние, например, множественного доступа, определяемого с позиции сетевого уровня для каждой пары путевых потоков, и маршрутизации, которое вычисляется на основе скалярного произведения в (8) соответствующих векторов.

Символы Кристоффеля второго рода можно получить из соотношения:

Гк = ярк Г у * p, у ■

(9)

Их запись для модели ТКС в развернутом виде будет иметь вид [3]:

Гк = Х

( дд р ддк) ( дxv дУ ^

дxv у 1 дд р дд1 дд 3 у

ддк дУ

^ дху дд1 дд3

(10)

Они выявляют процессы взаимного влияния путевых потоков с позиции сетевого уровня и протоколов передачи в ТКС. Коэффициенты связности в (8) и (10) показывают, что состояние ТКС помимо непосредственно алгоритмов маршрутизации, протоколов множественного доступа, передачи по каналам зависит от привносимой ими взаимной энтропии, т. е. дополнительно характеризуется процессами взаимного их влияния. Это означает, что состояние нагруженной сети зависит от системных характеристик, характеризующих совместное функционирование протоколов различных уровней модели ТКС.

Если обычно множественный доступ представлялся с позиции канального уровня, то тензорный анализ позволяет эту проблему рассматривать относительно путевого пространства с использованием пространства КС, т. е. с позиций сетевого уровня, с учетом нижестоящих уровней. Структурно-логическая схема алгоритма получения коэффициентов Кристоффеля второго рода приведена на рис. 1.

Особенными в схеме являются блоки вычисления частных производных и определения скалярного произведения. Например, первая частная производная

дд1

---- характеризует влияние V -го КС на приращение

дхУ

количества информации в -м пути. Она соответствует количеству приращенной информации в пути на один пакет информации в канале. Вторая частная производная может быть определена путем вычисления дополнительного количества информации в канале, обусловленного приращением на один пакет количества информации в двух и более путях одновременно.

Частные производные, характеризующие информационные процессы ортогональной модели ТКС, приведены в табл. 1 [1]. Они соответствуют различным цепям модели и характеризуют подпространства разомкнутых (имеющих обозначения у') и замкнутых путевых потоков (имеющих обозначения X').

Чтобы определить кривизну подпространств путевых потоков, необходимо учитывать всю совокупность частных производных, с одной стороны, с другой -основываться на определении базисов, которые определяются на начальном шаге структурно-логической схемы алгоритма определения коэффициентов Кри-стоффеля.

Во всех случаях количественная оценка взаимного информационного влияния определяется компонента-

V = 1

V=

V=

Рис. 1. Структурно-логическая схема алгоритма вычисления коэффициентов связности путевого пространства

Таблица 1

хт - количество передаваемой информации (КПИ) в рассматриваемом КС

1. дх т ду1 Изменение КПИ в КС, вызванное приращением на единицу количества информации входного (внешнего) потока г -го УК

2. дхт дХ1 Изменение КПИ в КС, вызванное приращением на единицу количества информации внутриуз-лового потока (в том числе транзитного) г -го УК

3. \ т дх ду т Изменение КПИ в КС, вызванное приращением на единицу количества информации внешнего потока г -го КС (например, характеризующего внешние помехи)

4. 'О ^ Изменение КПИ в КС, вызванное приращением на единицу КПИ в г -м КС

х1 - количество уходящей (приходящей) информации рассматриваемого УН, т. е. количество информации, характеризующее динамику состояния УН

5. ' ”1 • ^ £ *у дд Изменение динамики состояния УН, вызванное приращением на единицу количества информации во входном в г -й УК потоке

6. дд Х1 х 1 • 1- . Изменение динамики состояния УН, вызванное приращением на единицу количества информации внутриузлового потока г -го УК (в т. ч. транзитного)

7. дх1 ду т Изменение динамики состояния УН, вызванное приращением на единицу количества информации внешнего потока г -го КС (например, характеризующего внешние помехи)

8. дх1 дХт‘ Изменение динамики состояния УН, вызванное приращением на единицу КПИ в г -м КС

ми - значениями косинусов углов - характеристик метрических пространств в окрестности точки состояния сети. Используя табл. 1 и учитывая одновременное влияние потоков на состояние элементов ортогональной модели сети - накопительных устройств и каналов связи, можно определить вторые частные производные, которые позволяют найти коэффициенты связности подпространств путей. В этом случае в расчет берется количество информации, порождаемое в результате одновременного путевого воздействия.

Сетевой уровень предполагает рассмотрение криволинейного пространства меньшей размерности для всей системы. Использование линейно независимых путей (замкнутого и разомкнутого типов) в частных производных позволяет указать степень влияния изменения количества информации в путях на количество передаваемой информации во всех КС и динамику состояния всех накопительных устройств. В последнем случае проявляется проблема пересекающихся путей с позиции сетевого уровня.

Вывод. Коэффициенты связности в путевом пространстве характеризуют его кривизну, определяют взаимное информационное влияние протоколов сетевого и канального уровней. Нахождение значений коэффициентов Кристоффеля основывается на выборе ортогональной модели телекоммуникационной сети и

рассмотрения полной совокупности частных производных, характеризующих процессы передачи информации (табл. 1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей: монография. М.: Машиностроение-1, 2004. 216 с.

2. Пасечников И.И. Методология анализа нагруженных пакетных радиосетей // Перспективные методы обработки информации. Тамбов; Москва; Санкт-Петербург; Баку; Вена: Изд-во МИНЦ, 2004. С. 345-427.

3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1956. 420 с.

Поступила в редакцию 11 октября 2012 г.

Gorev P.G., Nazarov A.S., Pasechnikov I.I. DETERMINATION OF CONNECTION IN WAY SPACE CONDITION OF TELECOMMUNICATION NETWORK

Curvilinear way subspace states of telecommunication network are considered. The description of the algorithm to obtain Christoffel coefficients applied to information space states of telecommunications network is given.

Key words: tensor analysis of telecommunication network; metric space state of orthogonal tensor model of telecommunications network; Christoffel symbols for space state of loaded telecommunication network.