CC BY
26
УДК 621.833
А. Т. Скойбеда, д-р техн. наук, проф., [email protected] (Беларусь, Минск, БНТУ),
С.Н. Хатетовский, канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой, [email protected], П.Н. Громыко, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, [email protected] (Беларусь, Могилев, БРУ)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ В ЗАЦЕПЛЕНИИ КОЛЕС ПРЕЦЕССИОННОЙ ПЕРЕДАЧИ
Рассмотрено решение проблемы определения силы в зацеплении колес прецессионной передачи типа К-И-У с центральным колесом, имеющим прямые зубья. Показано, что эта сила переменна, зависит от кинематики прецессионной передачи и инерционных свойств сателлита и выходного вала, что позволяет найти ресурсы для оптимизации ее значения.
Ключевые слова: прецессионная передача, эвольвентное зацепление, силовой
расчет.
При разработке механических передач и приводов приходится решать проблемы обеспечения прочности и долговечности проектируемых механизмов. Для увеличения экономического эффекта от внедрения разработки также стремятся снизить массу и размеры указанных механизмов. Эти, а также ряд других проблем, связаны с задачей определения сил в зацеплении колес, входящих в состав проектируемых механических передач и приводов. Определение сил в зацеплении позволяет выявить запасы по прочности и жесткости зубчатых колес и, тем самым, добиться указанного выше эффекта.
Для большинства зубчатых передач разработаны и широко используются методики расчета сил в зацеплении, однако встречаются особые случаи, требующие уточнения существующих методик. Одним из таких случаев является прецессионная передача. В данной работе рассматривается один из ее вариантов - тип К - И - У [1, 2].
Прецессионную передачу типа К - И - У можно рассматривать как систему тел, включающую центральное колесо 1, сателлит 2, входной вал 3 и выходной вал 4 (рис. 1).
Входной вал 3 установлен в двух подшипниковых опорах Е и К, которые представлены на рисунке в виде шарнирно-неподвижных опор. Входной вал 3 и сателлит 2 взаимодействуют друг с другом посредством подшипниковой опоры А, представляющей собой также шарнирно-неподвижную опору. Сателлит 2 соединен с выходным валом 4 при помощи шарнира Гука О и при этом находится в зацеплении с неподвижным центральным колесом 1 (точка В - точка контакта начальных окружностей колес). Выходной вал 4 установлен в двух подшипниковых опорах С и В, представленных в виде шарнирно-неподвижных опор. Опоры С, В, Е
и К, а также точка В являются внешними связями, в то время как опора А и шарнир Гука О - внутренними. Центральное колесо, рассматриваемое в данной работе, имеет прямые зубья с эвольвентным профилем.
B
3 ^ K E
Q
■Е
—L
Рис. 1. Структурная схема прецессионной передачи типа K-H-V
Рассмотрим кинематику прецессионной передачи. Входному валу сообщается постоянная угловая скорость Й3, в результате чего его центр масс получает нормальное ускорение
аз =Юз • ^
где И3 - расстояние от указанного центра масс до горизонтальной оси вращения.
Сателлит совершает сферическое движение, которое представлено как совокупность двух вращений: вокруг горизонтальной оси и вокруг на-
п
клонной оси ОА, составляющей с первой угол нутации 0 < 0 < 3. Угловая
скорость сателлита
Й2 = Й3 + Й2r,
где Й2r - угловая скорость сателлита вокруг наклонной оси OA.
Вектор Й2 направлен вдоль мгновенной оси вращения BQ сателлита, проходящей через точку O - центр прецессии. Сателлит вращается с угловым ускорением сферического движения:
s2 = Й3 -й2Г • sin 0,
направление которого соответствует направлению мгновенной оси ускорений ОЕ.
Центр масс сателлита имеет ускорение
а2=(о23-И2,
где /?2 - расстояние от указанного центра масс до горизонтальной оси вращения.
Выходной вал вращается с переменной угловой скоростью ш4, причем угловое ускорение г4 также переменно и зависит от шарнира Гука. Оси 2Ю, ОЕ, жестко связаны с наклонной осью ОА. Рассмотрим силовые зависимости.
Прецессионную передачу, представляющую собой механическую систему, удобно расчленить в точках А 9 В и О, в результате чего получается три твердых тела: сателлит, входной вал и выходной вал. Ниже рассмотрен в отдельности сателлит (рис. 2).
/2)
Центральное колесо воздействует на сателлит силой Р, которая раскладывается на две составляющие, т. е. Рп и Рх, расположенные соответственно по направлению оси центрального колеса и перпендикулярно плоскости, в которой лежит входной вал, в сторону вращения сателлита. Найдем силу Р.
Составляющие связаны между собой выражением:
Р„ = Рт ■ а Г1 ,
где а,. - угол профиля центрального колеса на начальном радиусе гх.
Угол профиля центрального колеса на радиусе гх находится по формуле
r
a r = arceos —,
ri Г '
где rb - основной радиус центрального колеса:
m ■ z1 ■ cos a rb =-2-,
где m - модуль; a - угол профиля нормального исходного контура, Z1 - количество зубьев центрального колеса.
Даламберовы силы инерции приводятся к главному вектору:
Ф2 = m2 ■ a2,
где m2 - масса сателлита, и к паре сил с главным моментом, который найдем следующим образом:
MM ф=_ dL20 2 dt '
где L20- кинетический момент сателлита относительно центра прецессии. По формуле Бура
dL20 _ dL20
dt dt
+ ®2 x L20 ,
dL9П (2) (2) (2)
где--частная производная в системе координат Ох 'у 'х , которая
dt
жестко связана с сателлитом и которая, очевидно, равна 0.
Система Ох(2)у(2)х(2) выбрана таким образом, чтобы ось Ох(2) являлась главной центральной осью инерции сателлита, а плоскость Оу(2) х (2) - плоскостью материальной симметрии, поэтому
12 ху = 12 хх = 12 ух = 0 .
При этом, учитывая симметрию сателлита относительно оси Ох(2) и его равномерное вращение вокруг осей системы Ох(2) у(2) х (2), получаем
4о = 12х ■ Ю2х ■ Г(2) + 12у ■ Ю2у ' 1^ + 12х ' Ю2Х ' к^ , где 12х, 12 , 12х - моменты инерции сателлита относительно осей Ох(2), Оу(2) и Ох(2) соответственно; ю2х, Ю2у, ю2х - проекции угловой скорости сателлита.
Проецируем на оси системы координат Ох(2) у(2) х(2):
ю2х = ю3х + ю2гх ; ю2у = ю3у + ю2гу ; ю2 х = ю3х + ю2гх , 165
где Ю3х, Ю3y, Ю3z - проекции угловой скорости входного вала; ®2гх, ®2ry, ®2rz - проекции угловой скорости сателлита вокруг оси OA. Проекции угловой скорости входного вала:
®з х = Юз y - -Ю3 • sin 0;
®3z = ®3 • cos 0. Проекции угловой скорости сателлита вокруг оси OA :
Ю2гх = 0 ; Ю2гу = 0;
m2rz = Ю2г .
Со стороны выходного вала на сателлит действуют силы, передаваемые при помощи муфты Гука. Это неизвестные заранее составляющие
реакции RO, т. е. XOO\ YOp и Z02), а также две пары сил с моментами первого и второго порядков, соответственно M21 и M22 .
Так называемый момент первого порядка M 21 найдем из уравнения Лагранжа II рода:
d_ dt
r dT л
аф 2
dT Q
Г У
дФ2г
где Т - кинетическая энергия системы, складывающаяся из кинетических энергий Т2, Т3 и Т4 сателлита, входного вала и выходного вала соответственно; Q - обобщенная сила; ф2г - угол поворота сателлита относительно
кривошипа.
Кинетическая энергия
T = 12•ф2 T2 -
* -_2
r
2
где 12 - приведенный момент инерции сателлита относительно мгновенной
оси вращения.
Кинетическая энергия
Т = 13* • Ф2г 3 2 ,
где 13 - приведенный момент инерции входного вала относительно его оси
вращения.
Кинетическая энергия
T4 =
14 •Ф 4 2 166
где I4- момент инерции выходного вала относительно его оси вращения; ф 4 - угол поворота выходного вала.
Выразим угловую скорость ф 4:
Ф 4 = Ф 3 + Ф 2 r ■ U42 r ,
где ф3 - угол поворота входного вала; u 42r - передаточное отношение при неподвижном кривошипе, которое определяется по известной формуле
dф4r cos 0
u42r =-=-2-2-,
dф2r i _ sin 0 ■ cos Ф2г
где ф4г - угол поворота выходного вала при остановленном кривошипе. Между ф 3 и ф 2r существует следующая связь:
ф3 = _ф2r ■ U12r ,
Z 2
где u12r = - передаточное отношение при остановленном кривошипе,
Zi
где Z 2 - количество зубьев сателлита. При этом
T _ /4 ' (u42r - U12r )2 'ф2 T _ 2 ■
После упрощения получим
1 2 * ** \ ■ 2 T4 _ ^ ' (/4 ' u42r - /4 " u42r + /4 ) ' ф2 >
т * ^ т *-» *-» т** т 2
где /4 _ 2' /4 ' u12r - первый приведенным момент инерции; /4 _ /4 ' u12r -второй приведенный момент инерции.
Определяем производные уравнения Лагранжа II рода
--dL--_I ' (2 ' / ' U3 - Г ' u 2 ) ' Sln2 9' Sln2 '(2r 'ф2
,ДЛ. ) л _ 42r L4 U42r) л Ф2r •
dt дф2r d(2r 2 cos9
Определяем обобщенную силу б
M3 ■ 8ф3 + M4 ■ 8ф4 M3 ■ 8ф3 + M4 ■ (8ф3 + 8ф2г ■ u42r)
§Ф2г §Ф2г
= -(М3 + М4) • Щ2г + М4 • и42г .
Величина М 3 + М 4 = М1, где М1- момент, прикладываемый к сателлиту со стороны центрального колеса, поэтому
Q = -М1 • и12г + М4 • и42г . 167
С учетом того, что M21 = -M1 • u12r, получаем
Q = M21 + M4 • u42r.
Уравнение кинетостатики сателлита
- Px- r2 + M 21 = 0, где r2 - начальный радиус сателлита.
Из данного уравнения определяем силу PT и другую составляющую Pn искомой силы P, действующей в зацеплении рассматриваемой прецессионной передачи.
Сила, действующая в зацеплении колес прецессионной передачи, зависит от кинематики передачи, в частности от кинематики шарнира Гу-ка. В отличие от силы в эвольвентном зацеплении данная сила переменна, что, несомненно, налагает определенные особенности на проектирование прецессионной передачи. В частности, следует учитывать ее изменение при расчете передачи на долговечность. При этом данная сила зависит также от инерционных свойств сателлита и выходного вала. Последний факт позволяет оптимизировать значение силы и добиться требуемых значений характеристик прецессионной передачи.
Список литературы
1. Скойбеда А. Т. Коническо-цилиндрические прецессионные редукторы (КЦПР). Минск.: БГПА, 2001. 189 с.
2. Компьютерное моделирование планетарных прецессионных передач: монография / под общ. ред. д-ра техн. наук, проф. П. Н. Громыко. Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2007. 271 с.
A. T. Skoibeda, S. N. Khatetovsky, P. N. Gromyko
DEFINITION OF FORCE IN GEAR MESH OF PRECESSION TRANSMISSION
The solving of problem of definition of force in gear mesh of K-H-V precession transmission with straight-toothed central gear is considered. It is revealed, that force is variable and depends on kinematics of precession transmission and inertia properties of satellite and output shaft. It allows resources for optimization offorce to be found.
Key words: precession transmission, involute gearing, force calculation.
Получено 18.10.11
