Определение рейтинговых оценок объектов на основе нечеткой исходной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГОВЫХ ОЦЕНОК ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О.М. ПОЛЕЩУК, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р техн. наук,

Е.Г. КОМАРОВ, зав. каф. ЭМТМГУЛ, канд. техн. наук

Основная проблема при построении рейтинговых оценок объектов, как известно, состоит в том, что для оценивания состояний объектов используются разнородные характеристики, одни из которых качественные (нечисловые), а другие количественные (числовые). Многие качественные характеристики описываются с помощью вербальных шкал, элементами которых являются слова естественного языка. Это приводит к тому, что исходная информация о состояниях объектов содержит много нечетких данных, которые могут возникать в результате процесса искусственного размывания четких данных. Этот процесс имеет место, например, при использовании вербальных шкал для описания физических значений количественных характеристик. Например, в [1] для описания параметра «давление пара на входе» (с областью изменения [1,1, 6,7]) изделие «подогреватель высокого давления», которое предназначается для повышения КПД турбоустановки, используется вербальная шкала с уровнями «малое давление пара», «давление близкое к 4», «большое давление пара». Другим примером является вербальная шкала для описания вероятностей наступления события. Как известно, вероятность события выражается обычной числовой величиной и изменяется от нуля до единицы. Однако когда речь идет, например, о вероятности банкротства предприятия, то руководителя этого предприятия интересует не конкретное число, которое для него, скорее всего, мало информативно, а определение одного из вербальных уровней вероятности банкротства: «очень малая», «малая», «средняя», «высокая», «очень высокая».

Если известна область определения (универсальное множество) количественной характеристики и уровни вербальной шкалы, то эксперт разбивает эту область на непересекающиеся множества, которые соответс-

[email protected]

твуют вербальным уровням. Однако при таком подходе есть существенный недостаток, состоящий в том, что при описании объектов с пограничными значениями показателя эксперт испытывает трудности в связи со скачкообразным переходом от одного значения к другому.

Устранить этот недостаток позволяет аппарат теории нечетких множеств. С позиции этого аппарата вербальным уровням количественной характеристики в соответствие ставятся не четкие интервалы значений, а нечеткие множества. Полученная при этом вербально-нечеткая шкала получила название лингвистической шкалы [2-3], применяемой для описания количественных характеристик. В результате таких построений количественная характеристика, с одной стороны, имеет физические значения, измеренные техническим прибором, и, с другой стороны, имеет лингвистические значения, измеренные экспертом. Каждое физическое значение принадлежит некоторому лингвистическому значению с определенной степенью уверенности в этом эксперта.

Будем предполагать, что оценивание качественной характеристики X осуществляется в рамках вербальной шкалы с уровнями Xl ,l=1,m , m > 2, упорядоченными по возрастанию интенсивности проявления. В качестве формализаций уровней Xl ,l=1,m , m > 2 будут использоваться нечеткие переменные, составляющие в совокупности полное ортогональное семантическое пространство [4].

Нечеткой переменной называется

тройка

{X, U, A },

где X - название переменной;

U - область ее определения (универсальное множество);

A - нечеткое множество универсального множества, описывающее возможные значения нечеткой переменной.

180

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Лингвистической переменной называется пятерка

{X, T(X), U, V, S}, где X- название переменной;

T (X)={X ,i=1,m} - терм-множество переменной X, то есть множество термов или названий лингвистических значений переменной X (каждое из этих значений - нечеткая переменная со значениями из универсального множества U);

V - синтаксическое правило, порождающее названия значений лингвистической переменной X;

S - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной с названием из T(X) нечеткое подмножество универсального множества U.

Семантическим пространством называется лингвистическая переменная с фиксированным терм-множеством {X, T(X), U, S}.

Полным ортогональным семантическим пространством (ПОСП) называется семантическое пространство, функции принадлежности термов которого м, (x),l=1,m удовлетворяют следующим требованиям:

1. Для каждого понятия Xl ,l=1,m существует U Ф Ш, где U ={xeU :pl (x)=1} есть точка или отрезок.

2. Пусть Ut = {xеU: m, (x)=1}, тогда M, (x),l=1,m не убывает слева от Ul и не возрастает справа от _UL.

3. m, (x),l=1,m имеют не более двух точек разрыва первого рода. m

4. Для каждого x е U 2m, (x)=1. Рассмотрим данные, полученные в результате оценивания качественной характеристики X у некоторой совокупности объектов. Уровни используемой вербальной шкалы однозначно задают терм-множество ПОСП - T(X) = {Xj, X2, ..., Xm}. В качестве универсального множества ПОСП с названием X выбирается U = [0, 1]. Точка x = 0 соответствует полному отсутствию проявления качественной характеристики X , и поэтому считается типичной точкой терма X точка x = 1 соответствует полному присутствию проявления качественной характеристики X , и поэтому считается типичной точкой терма X .

В качестве нечетких чисел, формализующих термы ПОСП, предлагается использовать треугольные числа и числа T-типа (T-числа) [4]. Их функции принадлежности будут построены таким образом, чтобы ограниченные ими и осью абсцисс площади треугольников или трапеций равнялись al ,l=1,m (аналог геометрических вероятностей).

Обозначим min(at, a2) через Ъ1, min(a{ v a,, al+1), l=2,m-2 через b ,l=2,m-2, а min(am_

1, am) через bm-1. Тогда

1,0 < x < al-(b/2)

ц( x) =

1-x - (a- (b/2)), Ъ < x < <,+

0, al+ (b/2) < x <1

l-1 Ъ

0,0<x<2a, -—

i=1 2

l-1 Ъ

x-(Ha, + -f) l-1 Ъ l-1 b

----—,2a, -—< x < 2]ai + bd-

1+

°7-1

l-1 b-

i=1

2

2

Ъ ,ъ

Ml (x)=■■ 1,2a, +^ < x <2 a, —

i=1 2 i=1 2

1-

l Ъ

x - (2a - 2) l Ъ l Ъ

,=1 2 2a —-<x<2a+—

l

2

S' 2

l Ъ

0,2a. +—< x <1 =1 2

l=2,m-2

m-2 Ъ

0,0 < x <2 a -—

i=1 2

1+-

-2 Ъ

x- (2 a- + f) m-2 Ъ

Mm-1(x) ■ 1,m2 a+A»-2 < x <1-am - bm-i

''I'm-2 Ъ . m-2 Ъ .

—, 2 a, -— < x < 2 a +-m2

i=1 2 ,=1 2

Ъ

,=1

2

2

Ъ

x-(1-am -2fo ъ ъ

1------7---~,1-am-Jmr < x <1-am +-mr1

bm-1 2 2

,0,1-0* + (bm-1/2) < x <1

Mm ( x) =

0,0<x<1-°m -(bm_1 /2)

x - (1-a +-mr)

1+-

b

^,1-a -—< x <1-a + ^4-

m-1

U-am + (bm-1 /2) < x <1

,=1

Ъ

m-2

2

2

Подобное представление элементов шкал, используемых для оценивания качественных характеристик объектов, позволяет привести все данные к единому виду незави-

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 6/2008

181

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

симо от того, какие шкалы были использованы для их оценивания.

Рассмотрим совокупность N объектов, у которых оцениваются количественные характеристики X, j = 1,/ и интенсивности проявления качественных характеристик X, v=/+1,к . В совокупности оцениваемые характеристики оказывают существенное влияние на характеристику Y - успешность функционирования объектов, которая оценивается в рамках вышеприведенной шкалы. Областями значений количественных характеристик X, j=1,/ могут являться несчетные множества точек действительной прямой - R j=1,/ .

Построим на R j=1,/ / ПОСП с названиями X, j=1,/, термами «очень малое значение характеристики X», «малое значение характеристики X», «среднее значение характеристики X», «большое значение характеристики X», «очень большое значение характеристики X» и Функциями принадлежности

jX i=1,5,j = 1,/ . ___ _

Обозначим через х” ,n=1, N, j=1,/ значения характеристик X, j=1,/ у_п-го объекта, n=1,N, а через MjXj”), i=1,5,j=1,/,n=1,N степени принадлежности этих значений к термам ПОСП с названием X, j=1,/ .

Пусть Xlv,/=1,mv - уровни вербальных шкал, применяемых для оценивания соответственно характеристик Xv, v=/+1,к . Уровни расположены в порядке возрастания интенсивности проявления этих характеристик. Построим к - / ПОСП с названиями Xv, v=/+1,k, терм-множествами соответственно Xv

/=1,mv ,v=/+1,к и функциями принадлежности мДх), /=1,mv, v=/+1,к . В качестве универсальных множеств ПОСП выбирается U = [0, 1]. Будем называть оценками объектов нечеткие числа Xlv, /=1,mv ,v=/+1,k или их функции принадлежности мДх), /=1,mv, v=/+1,k . Обозначим через X"v и m”(х) = (avl,av2,avLXr)

, n=1,N, v=/+1,k, оценку n-го объекта в рамках характеристики X v=/+1,к . Нечеткое число X” с функцией принадлежности м”(х) равно одному из нечетких чисел Xlv, /=1,mv, v=/+1,к . ___ _______

Дефаззифицируем X”, ”=1,N, v=/+1,к по методу центра тяжести и обозначим полученные числа через xv”, n=1,N, v=/+1,k, а степени их принадлежности к термам ПОСП

с названием Y (к нечетким числам ~,i = 1,5 с функциями принадлежности рДх)) через Д(хД ”=1,N, v=/+1,k,i=1,5 . __ к

Обозначим через ш,,j=1,к, 2® =1 весовые коэффициенты оцениваемых7 Характеристик, а через 5}, j=1,k функцию, которая принимает значение 1, если рост характеристики X,, j = 1,к сопровождается ростом Y, и -1, если рост характеристики X,, j=1,k сопровождается уменьшением Y.

Вычислим следующие коэффициенты

2®5jMij (X ) + 2 ®v5vM (X” ) _ ___

X” = ^---------------------,i=1,5,”=1, N.

2®,5 ;

j=1

Нечеткая рейтинговая оценка n-го объекта, ”=1,N в рамках характеристик X, , j = 1,k определяется в виде нечеткого числа

A =x” ®y0...0X ®y.

с функцией принадлежности

m (x) - (2 X4,2 Ха 2,2 Х4 ,2 \naR), n=1N,

i=1 i=1 i=1 i=1

где Y - (a-1,a 2,Xl x),i=1,5

Определим доверительный интервал для четкой рейтинговой оценки у При уровне доверия м(У”) ^ а, 0 < а < 1 рейтинговая оценка yn n-го объекта, n=1, N лежит в интервале

1X4

i=1

(1-а)2Ка,ь<yn<2Ха,2+(1-а)2KaR .

i =1 i =1 i =1

Дефаззифицируем нечеткое число An ,n=1,N, по методу центра тяжести, полученное четкое число обозначим через An ,n=1, N.

Для распознавания успешности функционирования объектов необходимо идентифицировать нечеткое число с функцией принадлежности m,” (х), n=1, N с одним из термов ПОСП с названием Y (с одним из нечетких чисел Y 1,5 с функциями принадлежности M (х), i=1,5). Для этого вычислим идентификационные показатели

1

J min(Mi( х),М” (х))^х _ ___

en = 1---------------, i = 1,5, n=1,N .

J max(M ( х),М” (х))Ох

0

Если вр = maxPn , то состояние n-го объекта определяется р-м уровнем шкалы Yx = «предельно неуспешно», Y2 = «неуспешно», Y3 = «средне успешно», Y4 = «относительно успешно», Y5 = «предельно успешно», р=1,5 .

182

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008