Определение потока минимальной стоимости в графе с нечеткими пропускными способностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

8. Негойцэ К. Применение теории систем к проблемам управления. - М.: Мир, 1981.

9. Попа К. Теория определения. - М.: Прогресс, 1977.

10. Гуляев Ю.В.,Олейников А.Я. Открытые системы: от принципов к технологии // Информационные технологии и вычислительные системы. - №3, 2003.

И.Н. Розенберг, Т.А. Старостина

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ В ГРАФЕ С НЕЧЕТКИМИ ПРОПУСКНЫМИ СПОСОБНОСТЯМИ

. -

, . -ся задача нахождения потоков минимальной стоимости [1]. Транспортную сеть можно представить в виде графа О = (X, А), в котором X - множество вершин, представляющее собой множество перекрестков транспортной сети, А - множество участков дорог, соединяющих вершины xi,х] е X, (/', у = 1,...,п). В графе О

источником является вершина 5 е X , а стоком - вершина £ е X . Кроме того, каждой дуге (х, ху) е А графа О приписана некоторая пропускная способность qij определяющая наибольшее значение потока, который может протекать по данной дуге, а также стоимость проезда или перевозки груза Су по дуге. Требуется найти

поток минимальной стоимости между источником и стоком в графе, описывающем транспортную сеть.

В большинстве случаев на пропускные способности того или иного участка транспортной сети влияет множество факторов. Поэтому пропускные способности целесообразнее представить в виде нечетких чисел, интервалов [2] и т.п.

Постановка задачи определения потока минимальной стоимости в графе с нечеткими пропускными способностями. По аналогии с [1], -

ния потока минимальной стоимости в графе может быть смоделирована следующими выражениями:

£ су 4у ^ тт (1)

( х-,х, У-А

£ 4 - £ 4 = ХуеГ( Х) х» еГ-1( х,)

V, х- = 5,

- V, х = £, (2)

0, х1 Ф 5, £,

о <4 < , V(х,х) е А, (3)

где 4 - величина потока, протекающего по дуге (х, ху) е А,

V - заданная величина потока, вытекающего из источника и втекающего в , .

, (3)

и обозначены знаком тильды над соответствующими им переменными.

, , , , -ределенности, возникающей в связи с воздействием каких-либо факторов в транс, -

делах интервала ^ ] (рис.1).

Рис.1. Функция принадлежности нечеткой пропускной способности

Другими словами, в ограничениях (3) для значений пропускных способностей необходимо задать интервалы ^ ^ ], в пределах которых допустимы изменения

пропускных способностей.

Решение задачи о потоке минимальной стоимости с учетом нечетких пропускных способностей. Для того чтобы решить задачу (1)-(3) можно воспользоваться следующими рассуждениями.

Т.к. в выражении (3) значение пропускной способности изменяется в преде-, :

0 <4 < Ч у + Ру, V(х,., х.) е А:

(4)

причем функция принадлежности нечеткой пропускной способности Чу является линейной в интервале [4 , ч + в. ] (см. рис.1).

— у'5 _у 'У

В математической форме функция принадлежности ц(чу) нечеткой пропускной способности ~ имеет вид:

Чу

IX д. < д.,

ч,, - ч у

М(Ч у ) =

1-

0,

Чу < Чу < Чу,

Ч у > Ч у.

(5)

Целевая функция (1) и ограничения (2) являются четкими, т.е. значения стоимостей перевозок Су, потоков ^у и величина V являются четкими числами для

любой дуги (х,, Ху) графа О .

, (1)-

(3) ,

причем некоторые из ограничений являются четкими.

Как известно из литературы [3, 4], оптимальное решение данной задачи может быть нечетким (представлять собой нечеткое множество на базовом множест-

), .

решения определяется также степень, с которой это решение можно назвать оптимальным [4, 5]. Будет ли полученное оптимальное решение четким или нечетким зависит от специфики метода решения задачи.

Рассмотрим модель (1-3) с нечеткими пропускными способностями (см. рис.1). В данной модели только в ограничения (3) входят нечеткие числа.

Для нечетких ограничений (3) можно задать функцию принадлежности /и(У у < ~у ). Эта функция показывает, с какой степенью будет выполняться ограничение на пропускную способность и имеет следующий вид:

1,

1 --

в.

(6)

Рассмотрим теперь Л -уровень функции принадлежности /и(Уу < ). Из оп-

ределения Л -уровня [6] следует, что

у е^" :У > 0ё Ц(уу < ~у) >Л} V (х,, Ху) е А . (7)

(6) -

вию, когда поток Сн лежит в пределах нижних Ч и верхних границ Чу нечеткой

У _у У

пропускной способности Чу. В этом случае применим определение (7). Тогда по-

'У

лучим следующее выражение:

і>я.

в,

После преобразования (8) получим:

(8)

(9)

что справедливо для любой дуги (х,, Ху) е А графа О .

Используя вышеприведенные рассуждения, модель (1-3) с нечеткими пропускными способностями может быть переформулирована в следующую четкую мо:

£ Су Уу ^ Ш1П (10)

( хі,х, У-А

- V, х і = І,

0, х ^ 5, і,

Ъ - Ч, + (1 -Л)-в, , V (х,х,)є А,

Ъ > о, V(хі,х,)є А,

Яє [0; 1].

(11)

(12)

(13)

(14)

Модель (10-14) представляет стандартную линейную параметрическую оптимизационную задачу, которая может быть решена параметрическим симплекс-методом. В результате ее решения получим оптимальное решение Ъ (Я), зависящее от параметра Я.

0

С практической точки зрения целесообразно, чтобы поток являлся целым числом. Поэтому на потоки, в том числе и на поток минимальной стоимости, наложим ограничение целочисленности.

Процесс получения оптимального решения, а также обоснование полученного решения рассмотрим на примере.

Пример определения потока минимальной стоимости и интерпретация результатов. Рассмотрим граф, представленный на рис.2.

Рис.2.Граф с нечеткими пропускными способностями Пропускные способности дуг представлены двумя числами [4 , д у]. Кроме

—V у

того, заданы стоимости перевозки груза по каждой из дуг: сл = 5 ; сх2 = 7 ; с21 = 4;

с13 = 9; с21 = 6; с31 = 3. Требуется найти поток минимальной стоимости в графе с

учетом нечетких пропускных способностей дуг.

Согласно описанному выше методу решения, сформируем сразу четкую модель типа (10-14), которая является эквивалентной модели (1-3).

2 = 5 • у + 7 • 4 2 + 4 • У21 + 9 у13 + 6 ' У + 3 ' 4 ^ Ш1П У1 +У 2 = V ; < 6 + (1 - Л) ' 3 ;

У13 -УЛ У21 = 0; У2 < 12 + (1 -Л)'3;

У21 + - У2 = 0; У13 < 12 + (1 — Л)'3;

У -У13 = 0; У21 < 10 + (1 -Л)'2;

-У - 4 =^ ; У < 6 + (1 -Л)'2;

У < 15 + (1 -Л)'3;

У > 0; У > 0; у13 > 0; у > 0; у > 0; у > 0, Ле[0;1].

Сначала оценим величину V. Для этого решим четкую задачу нахождения максимального потока от источника к стоку со значениями пропускных способно, Ч , , , -

—V

Фалкерсона [7]. Значение максимального потока для данного примера будет равно 18, т.е. V = 18.

Как известно [1], при поиске потока минимальной стоимости необходимо, чтобы величина потока, проходящего в графе, была не больше максимально воз, . . 18. в графе не существует потока минимальной стоимости.

Пусть V =10 и пропускные способности - нечеткие числа. Так как решение должно быть целочисленным, то при некоторых значениях Л, будем округлять . ,

. 1, 2.

Таблица 1

Полученные решения

Решение 1 Решение 2 Решение 3

Xe [0; 0,25) Xe (0,25; 0,75) Xe (0,75; 1]

#*1 2 3 4

#,2 8 7 6

#1*3 2 3 4

#2*1 0 0 0

#*/ 8 7 6

#3* 2 3 4

7 * 138 142 146

Таблица 2

Решения, полученные для отдельных X -уровней (X = 0,25 и X = 0,75)

Решение 4 Решение 5

X = 0,25 X = 0,75

Полученные Округленные Полученные Округленные

значения значения значения значения

#*1 2,5 3 3,5 4

#,2 7,5 8 6,5 7

#1*3 2,5 3 3,5 4

#2*1 0 0 0 0

#*, 7,5 8 6,5 7

#3*( 2,5 3 3,5 4

7 * 140 155 144 159

В таблице (см. табл. 1) представлены три решения. При этом значения X -уровней изменяются в пределах интервала [0; 1], причем X Ф 0,25 и X Ф 0,75.

Так как на потоки было наложено ограничение целочисленности, то предпо-, , функции рассчитывается уже по округленным значениям.

1 2,

значениях для X = 0,25 и X = 0,75 лежат между значениями целевой функции, а для остальных значений интервала [0; 1], т.е. 138<140<142<144<146. Но округленные значения для X = 0,25 и X = 0,75 не вкладываются в интервал между значениями 138 и 146, т.е. 155>146 и 159>146. Поэтому считается, что решения 4 и 5 .

Вернемся к полученным решениям, представленным в таблице 1, и проведем . , все полученные допустимые решения (в данном случае решения 1-3) можно считать оптимальными, но с определенными степенями оптимальности. Степени оптимальности могут зависеть от критерия оптимальности, задаваемого экспертом. , , ,

оптимальным для большего числа значений Я -уровней, либо для значений, близких к максимальному Я -уровню, т.е. равному единице.

, ,

Я -уровню, равному 1, являются наиболее возможными. Соответственно, оптимальным решением будем считать решение, полученное для значений Я, близких к единице. Поэтому значение целевой функции Z3* = 146 и соответствующие ему

потоки из таблицы 1 являются оптимальными для данного примера. Это означает, что найден поток минимальной стоимости, равной 146, в графе (см. рис.1) между источником s и стоком t, величина которого не превышает заданного значения,

равного 10 (£ + £2 = 4 +4 =10).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кристофидес Н. Теория графов. - М.: Мир, 1978. - 432 с.

2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. / Пер. с франц. В.Б. Кузьмина. Под

ред. С.И. Травкина. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

3. J.L. Verdegay. Fuzzy Mathematical Programming. In M.M. Gupta and E. Sanchez (eds.),

Fuzzy Information and Decision Processes, North Holland, Amsterdam, 1982.

4. H.-J. Zimmermann. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions. Fuzzy Sets and Systems. 1978, Vol.1, pp. 45-55.

5. B. Werners. Interactive multiple objective programming subject to flexible constraints. European Journal of Operations Research. 1987, Vol. 31, pp. 342-349.

6. H.-J. Zimmermann. Fuzzy set theory and its applications. 2nd ed. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.

7. L.R. Ford, D.R. Fulkerson. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1962, Vol. 8, pp. 399-404.

П.В. Сороколетов ИЗВЛЕЧЕНИЕ ЭКСПЕРТНЫХ ЗНАНИЙ В ИСАПР*

В настоящее время в области экспертных систем (ЭС) можно выделить два принципиальных направления, связанные с извлечением экспертных знаний (ЭЗ) [1-5]. Оба направления в конечном итоге сводятся к вопросу выбора (построения) адекватного языка описания предметной области в САПР, для которой разрабаты-. -.1.

Проблема извлечения ЭЗ носит психолингвистический и эпистемологический . -кусственного интеллекта (ИИ) [6,7]. Тем не менее, возможно решать задачи, порождаемые диалогом между экспертами и инженерами знаний, что позволяет быстро и эффективно строить язык описания предметной области. Кратко сформулируем .

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №06-01-00272) 36