Определение показателей качества многоканальных систем массового обслуживания с использованием методов математического моделирования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ства государства и частого бизнеса в сфере здравоохранения на базе лабораторного отделения. Данная тема актуальна, так как сфера здравоохранения является одним из важных направлений сохранения здоровья населения. Недостаточное финансирование со стороны государства вынуждает лечебные учреждения адаптироваться к условиям сегодняшнего рынка

медицинских услуг. На данный момент правительство РФ разрабатывает закон о ГЧП, который узаконит сотрудничество государства и частных инвесторов в рамках федерального закона, что позволит реализацию различных проектов со ссылкой на юридические нормы.

Статья поступила 12.11.2014 г.

Библиографический список

1. Губин Е.П. Рецензия на монографию А.В. Белицкой «Правовое регулирование государственно-частного партнерства» // Предпринимательское право. 2012. № 1.

2. Колесников С. Государственно-частное партнерство в здравоохранении // Государство и бизнес. 2009. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://bujet.ru/artic-le/59857.php

3. Орлов А. Кровь на анализ. Сдаем правильно! // Med-Pulse.ru [Электронный ресурс]. URL: www.medpulse.ru/health/prophylaxis/diagnostics/13839.html

4. Таппасханова Е.О., Мустафаева З.А. Государственно-частное партнерство в здравоохранении // Российское предпринимательство. 2012. № 13 (211). С. 112-118.

УДК 330.46

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

© А.Н. Шулешко1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предложен подход к определению показателей качества систем массового обслуживания с использованием математического моделирования. Составлено уравнение вероятностных состояний системы, предложено ее решение. Приведен практический пример расчета эффективности системы массового обслуживания. Ил. 1. Табл. 1. Билиогр. 4 назв.

Ключевые слова: управление качеством; математическое моделирование.

IDENTIFICATION OF MULTICHANNEL QUEUING SYSTEM QUALITY INDICATORS USING MATHEMATICAL

MODELING

A.N. Shuleshko

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

An approach to the identification of quality indicators of queuing systems using mathematical modeling is introduced. An equation of system probability states is built and its solution is proposed. A practical example of calculating queuing system efficiency is given. 1 figure. 1 table. 4 sources.

Keywords: quality management; mathematical modeling.

Э. Деминг, известный своей концепцией непрерывного цикла совершенствования (PDCA), в числе своих 14 принципов предлагал следующие:

- придерживайся постоянной цели: сделай постоянной целью непрерывное совершенствование продукции или услуги;

- совершенствуйся непрерывно и всегда: постоянно старайся усовершенствовать любой процесс.

Под «совершенствованием» можно понимать как минимизацию затрат на производство, так и определение обоснованности решения о дальнейшем расширении бизнеса (например, в случае систем массового обслуживания, строительство новых мест обслуживания автомобилей на станции технического об-

служивания). Таким образом, в качестве «совершенствования» можно рассматривать оптимизацию.

В подавляющем большинстве практических случаев системы массового обслуживания являются многоканальными, следовательно, модели с л-обслуживающими каналами (где п > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока А, при этом параллельно независимо друг от друга может обслуживаться не более л клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/и. Входной и выходной потоки в рамках рассматриваемой модели предпола-

1Шулешко Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры управления качеством и механики, тел.: (3952) 424365, e-mail: [email protected]

Shuleshko Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Quality Management and Mechanics, tel.: (3952) 424365, e-mail: [email protected]

гаются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования п параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканаль-ной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно п клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами изображен на рисунке. Состояния СМО имеют следующую интерпретацию: Э0 - все каналы свободны; Э? - один канал занят, остальные свободны; Э2 - все каналы заняты, один свободен;

q = 1-Pn = 1-^P0.

(4)

Очевидно, что данный параметр можно рассматривать как интегральный показатель качества анализируемой системы, поскольку именно он характеризует удовлетворенность клиентов: если заявка обслужена, то клиент удовлетворен, если отклонена, то нет.

Абсолютная пропускная способность определяется следующим образом:

А = ХЧ=Х(1- Ротк). Среднее число занятых каналов

(5)

к

=!>

к=1

кРк = р(1 - Р0ТК).

Эй - все каналы заняты, заявка на обслуживание отклоняется.

Величина к характеризует степень загрузки системы массового обслуживания.

Пусть п-канальная система массового обслуживания представляет собой автомойку с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми постами для мойки автомобилей. Поток автомобилей, прибывающих на мойку, имеет

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р0,...,Рп будут иметь следующий вид [1]:

~ = ÄPk-1

(X + kß)pk + +ß(k + 1)Pk+1,1 <k <n-1.

(1)

dt n

■imPn

Начальные условия для решения системы (1) имеют вид

р0(0) = 1,^(0) = Р2(0) = ■■■ = Рп(0) = 0. Стационарное решение системы имеет вид [1]

h =■

V" Sk Lk=o k!

■ = —P0,k = 0,1,2,...,n

, . U' ' ' ' '

(2)

P0 = rc k = 0,1,2,.

\£k=alkn

,n

где р = -.

м

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной системы массового обслуживания с отказами в стационарном режиме. Вероятность отказа определяется следующим образом:

рп

Ротк = Рп = (3)

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все п каналов заняты. Величина Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока.

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же относительная пропускная способность системы 9) дополняет Ротк до единицы:

интенсивность X = 1 авт./час. Средняя продолжительность мойки !обл = 1,8 часа. Поток заявок на мойку и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения вероятности состояний мойки, вероятности отказа в обслуживании заявки, относительной пропускной способности мойки, абсолютной пропускной способности мойки, среднего числа занятых постов.

Рассмотрим, сколько дополнительно необходимо приобрести постов, чтобы увеличить пропускную способность мойки в два раза.

1. Определим параметр у потока обслуживания:

11

» = ГТ8 = 0,55.

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей А и у, то есть

_ X _ 1 _

Р = ^ = 055 = 1,8

3. Предельные вероятности состояний:

р

Р1=^Р0 = 1,8Ро,

Р2=^Р0 = 1,62Ро,

Рп=■

1

уз L. Lk=u ы

Рз=$Ри = 0,97Ри. ' 1

1 + 1,8 + 1,62 + 0,97

к!

Р1 = 1,8 X 0,186 = 0,334; Р2 = 1,62 X 0,186 = 0,301; Р3 = 0,97 X 0,186 = 0,18.

= 0,186;

188

ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (96) 2015

ISSN 1814-3520

п

V.

k

V.

4. Вероятность в отказе

Ротк = Р3 = 0,18

5. Относительная пропускная способность автомойки

Ч = 1-Ртк = 0,82.

6. Абсолютная пропускная способность автомойки, авт./ч.,

А = цХ = 1х 0,82 = 0,82.

7. Среднее количество занятых постов на мойке к = р(1- РотК) = 1,8 х(1- 0,18) = 1,476.

Таким образом, при установившемся режиме работы мойки в среднем будет занято 1,5 поста из трех, остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренной мойки вряд ли можно считать удовлетворительной, так как мойка отклоняет заявки в среднем в 18% случаев (Ротк = 0,18). Очевидно, что пропускную способность мойки при данных А и у можно увеличить только за счет увеличения числа моечных постов. Определим, сколько нужно использовать постов, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на мойку, в 10 раз, то есть чтобы вероятность отказа в решении задачи не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (3).

Составим таблицу зависимости показателя вероятности отказа в обслуживании от числа постов. Анализируя расчеты, приведенные в таблице, отметим, что расширение числа постов при данных значениях X и у до 6 позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при л = 6 вероятность отказа в обслуживании Ротк составляет 0,078.

Зависимость показателя вероятности

вания одного клиента равна 1/у. В установившемся режиме функционирование многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений [1]

0 = ХРп-1 -(Х + пц)Рп + +(п + 1)цРп+1,1<п<С . (6) ,0 = ХРп-1 -а + Сц)Рп + СцРп+1,п > С Решение (6) имеет вид [1]

р - —Р

p — n! ^

р -

С!Сп-с 0

Р0,п > С

0 <п< С,

где

Р — ( yc-i£n + . Ро — I Ln=o „| +

(7)

(8)

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: (А/уС) < 1.

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

- вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслуживании, определяется по формулам (7);

- среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

Ср

(С-рУ

(9)

отказа в обслуживании от числа постов

Показатель Значение

n 1 2 3 4 5 6

Po 0,357 0,226 0,186 0,172 0,167 0,166

P отк 0,643 0,367 0,18 0,075 0,026 0,078

На основании вышесказанного можно сделать вывод о том, что подобные модели могут играть важную роль при оценке качества работы той или иной системы массового обслуживания, а также дать ответ на вопрос о целесообразности расширения бизнеса, если снижение показателя Ротк обеспечит желаемый экономический эффект.

Проанализируем систему массового обслуживания, аналогичную рассмотренной выше, но в которой при отсутствии свободных каналов заявка не отклоняется, а ставится в очередь на обслуживание.

Процесс массового обслуживания с ожиданием характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями А и у соответственно; параллельно могут обслуживаться не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслужи-

- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди):

15 = 1 ч+р; (10)

- средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди:

(11)

- средняя продолжительность пребывания клиента в системе

— Wq +

(12)

Используя приведенные зависимости, можно по аналогии с системой без ожидания провести оценку качества работы системы с ожиданием, выявить узкие места и выработать мероприятия по их устранению.

Статья поступила 14.01.2015 г.

Библиографический список

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2006. 432 с.

2. Богатин Ю.В., Швандер В.А. Оценка эффективности бизнеса инвестиций. М.: Финансы, 1999. 254 с.

3. Брун М., Георги Д. Управление качеством: затраты и вы-

годы // Проблемы теории и практики управления. 2000. № 1. С. 95-100.

4. Вумек Дж., Джонс Д. Бережливое производство: как избавиться от потерь и добиться процветания вашей компании / пер. с англ. 2-е изд. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005. 473 с.

п

Р

-1

с

Р

р

с