CC BY
56
УДК 681.5.015
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ ЭЙЛЕРА, НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
М. А. Заусаева, В. Е. Зотеев
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача определения параметров динамических систем, которые описываются дифференциальным уравнением Эйлера. Задача решается на основе стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений отклика системы.
Ключевые слова: параметрическая идентификация, импульсная характеристика, линейно параметрическая дискретная модель, стохастическое разностное уравнение.
Рассмотрим динамическую систему, которая описывается дифференциальным уравнением Эйлера n-ного порядка:
m
(x - xo)ny(n)(x) + b1(x - xo)n-1y(n-1)(x) +-----+ bny(x) = ^ Cj f (j)(x), (і)
j=0
где x0, bi, Cj Є R, f (x) — входное воздействие, y(x) — выходная характеристика.
Используя линейное преобразование аргумента, уравнение (1) всегда можно привести к виду
m
xny(n)(x) + b1xn-yn-1)(x) + ■■■ + bny(x) = ^ Cjf(j)(x). (2)
j=0
Одним из основных типов тестового воздействия на систему является импульсное воздействие, которое описывается ^-функцией Дирака. В этом случае реакция системы (импульсная характеристика) при наличии кратных корней соответствующего характеристического уравнения может быть представлена в виде функции
n mi
V(x) = ^ ^aij (ln x)j-1xai, i=1j=1
где ai = Re ai + i Im ai и aij = Re aij + i Im aij — в общем случае комплексные числа, mi — кратность i-того корня (i = 1, 2,..., n), 5^n=1 mi = P — общее число корней.
Мария Анатольевна Заусаева, аспирант, каф. прикладной математики и информатики. Владимир Евгеньевич Зотеев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и информатики.
Временная последовательность мгновенных значений отклика системы описывается дискретной функцией вида
Ук = ^2^2 (1п ж;)
к '
(3)
І=1 3=1
С помощью подстановки ж& = ехр(тк), где т — некоторая константа (период дискретизации), функция (3) сводится к виду
Ук
(тк)3
)і — 1 мк
(4)
І=1 і=1
где Мг = ЄХр(агТ), і = 1, 2,..., п, к = 0,1, 2,... .
Очевидно, что теоретические мгновенные значения отклика динамической системы Ук = у(жк) = у(ехр(тк)) соответствуют не равномерной, а экспоненциальной дискретизации аргумента ж;.
Путем применения к дискретной функции (4) ^-преобразования, можно построить линейно параметрическую дискретную модель, связывающую в виде рекуррентной формулы р + 1 её мгновенных значений [1]:
Ук
Ар+1+к,
к = 0,1,... ,р — 1,
Л1Ук—1 + Л2Ук—2 +-+ АрУк—р, к = р,р + 1,... ,Ж — 1,
(5)
где N — объём выборки мгновенных значений функциональной зависимости, а коэффициенты (_?’ = 1, 2,..., 2р) известным образом связаны с парамет-
рами импульсного воздействия и определяются следующими соотношениями:
А1 = ^ щ, г=1
р
Л2 = —
г,і
г<і
г,і,к
г<і<к
Ар—1 = (—1)р £
І1,І2, іі<І2< р
Ар = (—1)р+1 П
^гі ^І2 . . . ^гр-і,
гі,і2,...,гР-і
гі<І2<...<ір-і
г=1
(6)
п ті
р
ГІ-1,
п
Ар+1 = у0 = ^ аі1, і=1 п ті
Ар+2 = у1 =
і=1 3 = 1
п ті
Ар+з = у2 = а3(2т )3-1^
І=1 3 = 1
(7)
і-1, ,1-1
Ар+і = уі-1 = ^^ а3 ((1 - 1)т)3 V'
І=13=1
3-1, ,р-1
А2р = ур-1 = 2_, Е °ї ((Р - 1)т)3 V
і=1 3 = 1
_ ^ті — ^тх + 1 — ^тх+2 — • • • — ^ті+т2 — V2; ^ті+т,2+1 —
= ^ті+Ш2+тз = ^ті+т2+----+т„_і + 1=^ті+т2Н---+т„_і+2 =
где VI = ^2 = ■ ■ ■
— ^,т.1+т.2+2 — "
■ ■ ■ — ^т,1+т,2-|-+тр — ^га-
При обработке экспериментальных данных формируется выборка результатов измерений у^ — у^ + , которые содержат случайную помеху ,
к = 0,1,... , N — 1, N — объём выборки. В этом случае линейно-параметрическая дискретная модель (5) принимает вид стохастического разностного уравнения
Ук =
Ар+1+к + , к = 0,1,...,р — 1
р р
Агук:-г — ^^ Агек-г + , к = 'Р^Р + 1 . . . , ^ — 1
(8)
і=1
І=1
и может быть представлена в форме обобщенной регрессионной модели:
Ь = ^А + п, П = Рле.
(9)
Здесь А = (А1, А2,..., А2р)т — вектор неизвестных коэффициентов линейнопараметрической дискретной модели; є = (є0, е1,..., ем-1)т — N -мерный вектор случайной помехи в результатах наблюдений; п = (П1, П2,..., Пм)т — N-мерный вектор эквивалентного случайного возмущения в стохастическом разностном уравнении; Ь = (у0,уъ... , Ум-1)Т — N -мерный вектор правой части; ^ = [/1:/2:.:/р:/р+1:.:/2р] — матрица регрессоров размера Nх2р, столбцы которой описываются следующими формулами:
/1 = (0, 0, ..., 0, Ур-1, Ур, . . . , Ум-2)Т, /2 = (0, 0, ..., 0,Ур-2,Ур-1,...,Ум-з)
т
/р = (0,0,..., 0, уо, У1,..., Ум-р-1)Т, /р+1 = (1,0,..., 0)1 ,
т
пт
пт
/р+2 — (0,1, 0,..., 0)т, ..., /2Р — (0, 0,..., 1, 0,..., 0)т.
Квадратная матрица Рд размера N в стохастическом разностном уравнении эквивалентного возмущения является нижней треугольной. Первые р строк матрицы выглядят так:
Р1 — (1, 0,..., 0), р2 — (0,1, 0,..., 0), ..., рр — (0, 0,..., 1, 0,..., 0),
а их коэффициенты описываются формулой
/1, 3 — 2,
р- — и ; — г,
где г = 1, 2,... ,р, 3 = 1, 2,..., N. Остальные строки матрицы Рд имеют следующий вид:
рр+1 — ( —^ — ^-Ъ — ^^ ..., — ^ — АЪ 1, 0,..., 0),
рр+2 — (0, —Ар, —^-ъ —Ap-2,..., —A2, — Аь 1,0,..., 0), ...,
рМ — (0, . . . , 0, — ^ —Ap-1, —Ap-2, ..., — ^ —А1).
Рассмотрим численный метод определения параметров динамической системы (1), в основе которого лежит стохастическое разностное уравнение, описывающее последовательность результатов измерений мгновенных значений отклика системы. В основе метода лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели в форме стохастических разностных уравнений.
При среднеквадратичном оценивании коэффициентов обобщенной регрессионной модели (9) могут быть использованы различные схемы вычислений. Наиболее простым является алгоритм, в основе которого лежит минимизация функционала
110Ц2 — ||Ь — РАУ2 ^ шт.
В этом случае среднеквадратичные оценки коэффициентов вычисляются по формуле
Л — (Рт Р)-1Р тЬ.
Однако известно, что эти оценки будут иметь большое смещение.
Для вычисления коэффициентов обобщенной регрессионной модели (9) можно применить более эффективный и помехозащищенный алгоритм итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения [2]. Из формул (9) получаем
РЛ-1Ь — Р-1РА + е.
Элементы р-1 обратной матрицы Р-1 зависят от коэффициентов А^ и описываются формулами
р-1 — / 1 3 — г, р^' \ 0, 3 — г,
если г = 1, 2,... ,р, 3 = 1, 2,..., N, и
Р _1
1 + Е , 3 = ^
Р_1 ) к=1
р*з = 1 р _1
Е Рг-к,^, 3 = г к=1
если г = р + 1,р + 2,..., N, 3 = 1, 2,... , N.
В основе итерационной процедуры лежит минимизация функционала
PH2 ~ Н^1)Ь - ^(цГА1|2 ^ т™,
где Р^1) — обратная матрица, при вычислении элементов которой используются оценки коэффициентов разностного уравнения, найденные на к-той итерации. Очевидно, что данный функционал представляет собой квадратичную форму относительно искомых коэффициентов А^. Следовательно, он достигает своего неотрицательного минимума. При этом нетрудно показать, что минимум данного функционала достигается в точке
А<‘+1> = (ГтПг/,,Г)_‘Гт07(к)(>, ПХВ, = ртц. (10)
На первом шаге итерационной процедуры находится начальное приближение:
д(°> = (ГтГ) 1ГтЬ. Затем по формуле (10) при А(к> = А(0> вычисляется следующее приближение: А(1> = (ГтП 7.0, Г) 1ГтП 7.0, 6. Оно вновь подставляется в правую часть формулы (10) и находится новое приближение А(2> и т. д.
Исследована сходимость итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения, а именно: сформулированы достаточные условия сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения; получена формула апостериорной оценки погрешности, использующая два последовательных приближения; сформулированы ограничения на величину случайной помехи, обеспечивающие достаточное условие сходимости итерационной процедуры; построена формула априорной оценки погрешности, позволяющая оценить число итераций, необходимое для достижения заданной точности [3].
Найденные среднеквадратические оценки А^ коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели (8) лежат в основе вычисления помехозащищённых оценок параметров импульсной характеристики и а^, г =
1, 2,..., п, 3 = 1, 2,... , ш^. Для этого сначала находятся корни / (г=1, 2,... ,р) следующего алгебраического уравнения:
/Р — \1/Р _1 — А2/Р _2 — ■ ■ ■ — АР _ 1^ — АР = 0. (11)
Затем по формулам а^ = т_11пвычисляются оценки параметров а^, г = 1, 2,... , п. На заключительном этапе по найденным оценкам А^ (г = р + 1, р + 2,..., 2р) и корням /А уравнения (11) находятся оценки коэффициентов а^ (г = 1, 2,... , п, 3 = 1, 2,... , ш^) в функции (3). Для этого решается следующая система линейных алгебраических уравнений:
' п
^ ^ = Лр+Ъ
і= 1
п ті
ЕЕ а'іі т3 1/2і = Лр+2,
і=і 3=1
п ті
^^а3 (2т )3_1/2і2 = Лр+з, і=1 3=1
п mi
5^£а3 ((Р - 1)Т)3-1/2*(Р-1) = А2р.
, г=13=1
Проведены численно-аналитические исследования эффективности разработанного метода определения параметров динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением Эйлера. В качестве примера была рассмотрена динамическая система, на которую оказывали импульсное воздействие, описываемая дифференциальным уравнением Эйлера следующего вида:
жУУ (ж) + Ь1жУ"(ж) + Ь2ж2у"(ж) + Ьзжу'(ж) + Ь4у(х) = 0.
Рассмотрим случай, когда отклик системы на такой тип воздействия описывается функцией
у (ж) = (а1 + а21п ж)жа1 + а3жа2 ео8(ш 1п ж + ф),
где а1 = а2 = а3 = 1, а1 = -0,5, а2 = -0,1, и = ф = п.
Для оценки погрешности в относительных к истинным значениям единицах вычислялось смещение оценок параметров импульсной характеристики при величине случайной помехи е = 10, периоде дискретизации т = 0,9 и объёме выборки N = 50. В таблице представлены истинные значения, результаты и погрешности вычисления параметров отклика системы различными методами: без устранения смещения в оценках и итерационным методом среднеквадратичного оценивания, представленным в данной статье.
Видно, что по сравнению с известным методом устранения смещения применение итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения позволяет существенно повысить точность вычисления параметров динамической системы.
Параметры модели а 1 а2 а3 о.\ 0,2 ш Ф
Истинные значения 1,000 1,000 1,000 -0,500 -0,100 3,142 3,142
Оценки, вычисленные известным методом / Смещение оценок 0,926/ 7,40 0,970/ 3,02 1,258/ 25,82 -0,563/ 12,68 -0,135/ 35,40 3,104/ 1,19 3,409/ 8,51
Оценки, вычисленные итерационным методом / Смещение оценок 0,989/ 1,11 0,992/ 0,84 1,061/ 6,15 -0,513/ 2,53 -0,100/ 0,03 3,141/ 0,01 3,158/ 0,51
На рисунке представлены истинная кривая отклика системы (кривая 1), смоделированные результаты наблюдений у к = у к + £к, к = 1, 2,..., 50 (точки 2) и восстановленная с помощью разработанного метода параметрической идентификации импульсная характеристика системы (кривая 3).
Результаты наблюдений и восстановленная по ним импульсная характеристика системы
Полученные результаты свидетельствую о высокой помехоустойчивости разработанного метода определения параметров системы, описываемой уравнением Эйлера. Применение итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения позволяет практически устранить смещение в оценках и тем самым повысить точность результатов вычислений.
Работа выполнена в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)» (проект РНП 2.1.1/745).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 2-преобразования. — М.: Наука, 1971. — 288 с.
2. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений/ ред. В. П. Радченко. — М.: Машиностроение-1, 2009. — 344 с.
3. Зотеев В. Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения / В сб.: Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 4: Информационные технологии в математическом моделировании / Мат. моделирование и краевые задачи. — Самара: СамГТУ, 2009. — С. 47-54.
Поступила в редакцию 13/УШ/2009; в окончательном варианте — 15/Х/2009.
MSC: 65P40, 34C15, 37M05
DEFINING THE PARAMETERS OF THE SYSTEMS DESCRIBED BY EULER’S EQUATION, BASED ON STOCHASTIC DIFFERENCE EQUATIONS
M. A. Zausaeva, V.E. Zoteev
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
E-mail: [email protected]
The problem of parametrical identification of the systems which are described by Euler’s differential equation is studied. This problem is solved on the base of stochastic difference equations describing the results of measurements of the instantaneous values of output impact of system.
Key words: parametrical identification, impulse characteristic, linear parametric discrete model, stochastic difference equations.
Original article submitted 13/VIII/2009; revision submitted 15/X/2009.
Maria A. Zausaeva, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics and Computer Science. Vladimir E. Zoteev (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics and Computer Science.
