Определение параметров многомерной линейной стационарной динамической системы при наличии помех во входных и выходных сигналах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.254

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ ВО ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ

© 2006 О.А. Кацюба, С.А. Спирин

Самарская государственная академия путей сообщения

В статье рассматривается проблема параметрической идентификации многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений с помехами по входу и выходу. Стандартный метод наименьших квадратов не применим. На основе модифицированного нелинейного метода наименьших квадратов доказывается состоятельность матриц параметров линейного разностного уравнения.

Рассмотрим многомерную линейную динамическую систему с дискретным временем, описываемую следующим уравнением:

Z = G(0) Z + G(() Z +

... + G\(r) zi_r + G20) xt + ... G2ri) X,

i(i)

(()

N -( Z

x ZT

Zi

Zi-

i - r

~xT

x(

Н zz Н zx

Н Ix ! Н xx , п.н

Yl = Zl +Е1(/), Щ = Хг +Е2(/), где Yi, Zi наблюдаемые и ненаблюдаемые векторы выходных сигналов (Zi, Yi е Rn), а Xi -соответственно наблюдаемые и ненаблюдаемые векторы входных сигналов (X ^ е Rm).

Требуется определить оценки неизвестных матриц коэффициентов динамического объекта, описываемого уравнением (1) по наблюдаемым последовательностям }, }.

В [1] рассмотрена задача параметрического оценивания многомерной линейной регрессии для

случая определения оценок матриц G1(0) и G^0).

Предположим, что выполняются следующие условия:

10. Вектор входных сигналов Х{ и истинные параметры удовлетворяют условию:

где н положительно определена.

20. Случайные последовательности {Е1 (/)} {22 (/)} независимы в совокупности и удовлетворяют условиям:

E(2l(i)/Fi_l) = 0 п.н.;

Е(Е1(/)Е[(/)/Fг_l) = Dl > 0 п.н.; Е (Е2(/)/F = 0 п.н.;

Е(22(1)2Т2(1)/Т^) = D2 > 0 п.н.; если k = k■ = 1, то j■; d = 1, п; k = k■ = 2, то j; d = 1, т, k = 1, k• = 2, то j = 1, п, d = 1, т

k = 2, k, = 1 j = 1, т, d = 1, п, тогда

Е(£; )№С )(1)) < л; Е[2k(0)НТ(0)]= Dk > 0, k = 1,2,...

где Т} и {Т'} - неубывающие последовательности а - алгебры,

Т = а{Е1(0),...Е1(/)};

и ^ = а{Ет(0),.Ет(/)},

где е - оператор математического ожидания.

30. Множество, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной многомерной системы, является компактом.

xt

X,

- H =

x

T

T

Z

Z

i-(

40. xi не зависит в совокупности от

{s * (')}.

Уравнение (1) можно записать в виде: ym -ЗД' +1) = g^y -S1(i)> + ...

... + gf )(Y-r - (i - r)) +

+g20) (w.-s 2(i))+... ... + G2r1)(W--,-s2 (i - O).

YM = G1(0)Yi + ... + G( r%r + g2(0)w + .

... + GfW^ +S1(i +1) - G1(0) S1(i) - ... ... - G1(r) S1 (i - r) - G20) s 2 (i) - ... - G2r1) s 2 (i - r{).

Представим уравнение (1) в виде скалярных уравнений: (j = 1, n)

Ум = b j0Y + ... + b + а +... ... + аjpw^ + j) (i +1) - Ь^^ (i) -... ... - b(Г?S1 (i - r) - а f S2(i) - а(^S2 (i - Г1);

где - j строка матрицы

строка матрицы G<2rl)

Уравнение (2) можно записать следующим образом:

(0) а (Г1)-

(2) j

bj.=

а;- =

Yr (i) = Wh(i) =

b(0) ! — ! b(r) j' \ 1 j*

(0)1 1 (r)

j ! • ! а V

Y!••• ¡r,

wt, ! ••• ! wt ,-r

тогда

^ 1- ifYr(i)^ Wr (i)

V r1 v V

Ум = lbj- !

j)(i+1) -bj.sr - а*

j' r j* r1 :

где s r =

ST 1(i) I ••• I sT 1(i - r)

!sT 2 (i - rj

2 (/) I I _ 2 ( I ь

Введём следующую обобщённую ошибку для j - уравнения:

е(})(Ъ].,а,.,г +1) = £у)(/ +1)-Ь],Ег -а],Еп ;

Из предпосылки 20 следует, что обобщённая ошибка имеет нулевое среднее, а из предпосылки 2 и леммы [1, 2]: 1 n

limN+1)s* (0 >0,

1 N T

lim N Е^О'^ (i) = А п.н.

N^w N i=1

1 N

li^—Es 2(i)s 2(i')s2(i)=d2 п.н. (3)

N^m N ,'=1

* = 1,2,.

Получаем, что средняя дисперсия обобщённой ошибки равна:

lim N Z4( j> j j1, i+1)]2 =

N^w N ,'=0

= oj + bj. Dbj* + äj. Dä2* = ffl(bj., äj.),

D =

где

А ! 0r, r ^

0;,

ö"! "0""

r, r | r, r

• I 0r,r

~ 1 0 I "r, r

""10""

I r, r

tä

D =

D2 0r1 +1,r1 +1 1 1 ■ ■ ■ 0r1 +1,r1 +1

0r1 +1,r1 +1 D2 1 ... 1 0r1 +1,r1 +1

• ! • 0r1 +1,r1 +1

0r1 +1,r1 +1 0r1 +1,r1 +1 1 D2

Г r +L

Определим оценки |Ьу-. ! ау. | неизвестных истинных значений из условия минимума суммы взвешенных квадратичных отклонений е(}) с весом ! ау.).

N

Е

i=1

УЙ

bj. ! а,.

V

Yr (i)

W~(i)

у

min 2 т - т

^ - 02 + b,.Db,. + а,.Ба,

. (4)

I - - I es

j j

• j»

j»

j«

Критерий (4) можно записать в виде: 1(ь,. ! аЛ

min т \Ь . а . |х

j I j

. : а . '= »

^ь.- ! es

Y(j)-! 4W||bj. j T,Y(j)-! AW||b.. j

in rn4 (b j. | а )un

lb/! -j-JeS

T

2

T

T

х

где (•, •) - скалярное произведение.

У^ 1 ■■■ 1 0 1 1 21-г

N • 1 • 1 • : 1:1: : 1 : 1 : —

: 1 : 1 : _ г ~г

VТ 1 1 N-1 1 1 ут N - г

у =

^Т: 1 1 1 1 1-г1

; П : г : т :

= : 1 ----1_ : 1 : 1 : 1 : 1 : : | : | : : 1 : 1 :

^Т \ г Т Т - ■ 1 ■••1 жТ 1 1 г' N-г1

у (у) = У1( /),- 1 Т

У0.- у«(" ) Т , ж = ^«(1),-,1

>)

Л | Л ь/. ! а/.

N ^ м ) существует и является сильно состоятельной оценкой, т.е

Л | Л ь/. ! а/.

п.н

-»

»,.! а.

N ^м

Доказательство утверждения. Рассмотрим функцию:

1 иN (», , а].Ц

с

у/

»./. ! а/.

N ^ у'> N

1 N I

-Ер/ + «(]+1) - \гТ («)+ 2Т («)

^ 1=1

Х*® + 2 Т(/)а;.

У («)

ж ~(о

V

ь,Т -

1 N

)2 = N Е («1° 'С+1)

-¿V 1=1

+1) +

+ гтг №. )т + Хт («)(а, )т -\2ТГ («) + 2т (/)|ь; --|Х,Г(«") + 2Т1(/)|аТ.)2 = -1 Е ] +1) - 2ГТ(г)(~,) -

N «=1

-Х^(«)(~,)Т -2Т(«)(»,)Т -2Г1(«)(а,.)Т)2 =У1 +У2 +У3,

где ~ = - »].; ~ = а,. - а,.;

"1= $ Е ] + «)' + »,2г 2 т (», )т +

^ * «=1

а. 2 (2 )т(а, )т + 2», 2 (2 )т(а, )т -

у. т v п / v /•/ ^ п / v /•/

2«1(]) (« +1)2т (», )т - 2«1(]) («+ 1)(2п )т (а,. )т;

1 1~ м 1Т1 м~ Т

"2 = ^Е »,' ! К(«)! хТ-(«) рТ(«) | ХП(«)»,. | 2, . N /=1

"з=2 NN Е (- у+1)рТ («)(~,)) -

* «=1

- «(]) («+1) ХТ (/)(~, )т + +Ь, 2 р («)(~, )т +

+ Ь,.2гХТ («)(~,)т + а,22т («)(~,)т + + а,2 п Х^ («■)(«,. )т.

Тогда из условия 20 и (3) получим, что

Утверждение 1. Пусть стационарная динамическая система с нулевыми начальными условиями описывается уравнением (1) и выполняются условия 10 - 40. Тогда оценка

+ Ь].ЩЬ].)' + а]^(а]. )Т , у

Из условия 10 следует:

»/. ! а/.

е В

, определяемая выражением (4) (при

"2

V

п.н

-»

н

»,. ! а

N ^м

», . ! а/.

е В

Первые два слагаемых в "3 в силу условий 10, 20, 40 удовлетворяют условиям леммы [1, 2]и следовательно:

1 N ~

nЕ/+1)рТ(«)(»,)Т пн >

0

N ^м

-Е«10)(«+1)ХТ-(«-ХЗ;/.)Т пн >0 V

" «=1 N'

Заметим,

-1Е р (« /= «=1

= N1 Е»,

»/. ! а/.

е В

«=1

(«)Р«Т ¡- 21(« )Р«^г

• 1 • : 1 :

21 («- г )Р«Т !■ 21 (« - Г )Р«Т-г

(~.)Т.

(6)

Таким образом, (6) можно представить в виде г2 слагаемых, каждое из которых в силу предположений 10-40 по лемме [1,2] сходится к нулю.

Аналогично доказывается сходимость к нулю остальных слагаемых.

Т

Т

Т

Т

и п.н О I , I ~ U-> 0, V| bj. ay.|e ß

N

ческое число регулярного пучка форм, определяемых положительными матрицами

Н22 + D ; Нхх + D , то > 0 . Функция

1 иы (Ь}.,, ) пн > сг^ + . / + К (©( 1>) на интервале (- да; Ят;п +1) гепрерм-

ная и

N

+ d [ar)t + = u (b,,

N

H

Покажем, что решение задачи min © _1 (bj,, aj, )u (bj., a,)

(7)

существует и достигается в единственной точке. Для этого вместе с задачей (7) рассмотрим функцию

V (¿1., а., ©) = и (¿1,, а..)- 0( 1 )0 (¿1,, а..),

е.

0(j) е Л,

F (0( j') = min F (b., a,., 0( j');

bj. ! aj.

Тогда

е ß

F(bj.,aj.,0(j))= -0(jЦ2 + Ibj. \ ä,Hb. .T +

+ bj. ! a}.

+ D -0(j)D

H

HT

H „ + D -@(j)D

I nXX

ь,. ! aj. -

- 2|bj. ! a.|HT|bj. | a„

Дифференцируя F(bj., aj., 0(j') по

|b,. ! a

j. , ^^ и приравнивая производную к

нулю, получим

bj.(0(j))j aj.(0(j))

+ D - 0(j'D !

H ,

H

x H \bj. I aj.

HXX + D - 0 (j' D

(8)

и тогда

dF (0( j))

d0(j) '

+ bj.

DJ _0

О j D

b,. ! a,.

< 0.

на (-да'Я ■ +1)

V ' min )

Из чего следует, что на этом интервале F (0( 1 ') = 0 имеет не более одного корня. Нетрудно убедится, что 0( j' = 1 является корнем этого уравнения. Тогда из (8) непосредственно следует справедливость (7). В дальнейшем ход доказательства практически полностью аналогичен доказательству при условии, что

n = m = 1[1,2].

Для получения численного метода вычисления оценок параметров из критерия (5) рассмотрим функцию:

Fn (bj., a]., 0( j)) = Un (bj., a].)- 0( j © (bj., aj.)

(9)

Fn (0

= min

b ., a . |eß

Fn (bj., a ., 0(j))

тогда

Fn (bj., a j., 0<j ')=((y <j >)T - |bj. ; aj..||AY ! Awf )x x( Y'- \Ar \Aw\b.. \a.. T )-

-0(j'(ct2 + b..DbT,. + a..DaT.) = (y(j>)Ty(j' - 2(y(j')T x |Ay \AW\bj \a^T -0(j 'ct.2 + |bj jaj| x

AYA. - 0-i'D i____AT Aw

AW AY

AWAw -0(j'D

bj \ aj\

Дифференцируя FN (b., a ., 0(j')

по

F (0( j')

= CT j2 -0(j 'CT j - bj. ¡fljl

H

HZ + D -0(j'D !

H

HT

\HXX + D -0(j'D

x H bj. ! aj.

Если Я ■ - минимальное характеристи-

bj., aj. и приравнивая производную к нулю

имеем:

ATY(j'

TY( j)

AWTY

A,TA7 -0(j'D

AWT AY

AYT AW

; ATAw -©I7) D

b.. j a..

j

(10)

T

T

a

T

x

T

T

X

T

x

T

T

X

X

X

T

V,(®«)=(г^г«-©«о2-(г! лш|х

ЛТ Л

ЛТЛГ -©30 I

--©о

АТ А

г

ТГ О')

ЛТГ

АТГ

det<

ЛТ ЛГ ЛГ Лж

АТ А ! АТ А

-©х

О

! о„

х(1 +1)

0 ^ о

тх(г +1),пхг I

= 0

V, (0) = -(т; +

.2

Ь . | а .

о 0 ь. Т1

х Г-- х а..

0 о 1 ! } )

< -а 2

(матрица

I,-(г^))ТЛг

ЛГТЛГ -в1'ЛГТЛу

ЛУТЛГ 1 ЛУТЛШ ©(')0

(11)

Имеет место следующая лемма: Лемма. Для функции V, (©(3)), связанной с задачей (5) существует следующее утверждение:

1. Все корни уравнения V, (©(3))= 0 неотрицательны.

2. Уравнение (11) на полусегменте

[0, Хт-п (,)) имеет не более одного корня

©(3)(,) , где Аш1п - минимальное собственное

число регулярного пучка форм, то есть наименьший корень уравнения:

Л1Г(3) ~Т~Г(3)

ЛТГ

идемпотентная)

Отсюда вытекает справедливость утверждения 1, 2 и достаточность 3. Необходимость 3 вытекает из экстремальных свойств характеристик регулярного пучка форм. [3] Утверждение 2. Пусть выполняются все условия 10-40, тогда с вероятностью 1 при , да существует корень

©(3)(, )е[0Дш;п (,)) и единственное решение (10) которое является одновременно решением задачи (10) и

- / \П н Ь . (,) ^ Ь .

' 4 3

а

П .н

а .

N ^да 3

3 N^да 3 3

Доказательство утверждения 2 следует из утверждения 1 и леммы.

На основании утверждения 2 может быть получен численный метод, который позволяет:

ответить на вопрос, существует ли

3. Существование корня ©(3)(,) на полусегменте [0, Яш;п ) является необходимым и достаточным условием существования, единственности решения (5).

Доказательство. Функция V,(©) на

[0, Яш1п(,)) непрерывна, к тому же

Лшп (,) - 0 как собственное число неотрицательно определённой матрицы. Далее,

единственная оценка

ь. I а.

з | з

определить начальное приближение, гарантирующее сходимость итерационного

процесса к единственной оценке

Ь,.(,),

а з.(,);

Тогда на интервале [-да, Яш;п(,)) V, (©) имеется не более одного корня, если он существует, V, (0)> 0 и, следовательно,

V,(©(3))> 0

вычислить с любой наперёд заданной точностью оценку Ь. (,), а .(Ы).

Утверждение 3. Пусть последовательность |©( 3)(/ )| определяется следующем алгоритмом:

Шаг 0. ©(3 )(0)= 0

Шаг 1. 3+©(3)('-1))

2

Шаг 2. Вычислить Ь

>, ®13)(')),

а

,(,, ©( 3)(/

из системы линейных уравне-

х

х

х

х

ний (10)

Шаг 3. Вычислить

VN(ö|j>(/))=(y(j Jy(j)-©(jЦ2 -(y(j) ) x

x\AT ! 0(1)(i)) j c(n,0(1)(i))

Шаг 4. Проверить условие VN (0(j))< 0 . Тогда если уравнение VN (0(j ))= 0 име-корень 0(1)(n)g [0,Amin (N)) то последова-

0(j)(o), 0(j )(1),^0(j)(o)

ет

тельность

0( 1 )(0)е[0( 1 )(N A (N)),

конечна и

в противном слу-

чае последовательность бесконечна. Доказательство утверждения немедленно следует из леммы.

Этот алгоритм позволяет определить начальное приближение 0(j)(о), необходимое для дальнейшего применения метода Ньютона, или определить, что корень

0(j )(n) не существует.

Утверждение 4. Пусть существует

0( 1 )(о)е[0( 1 )(N )Am (N )J, тогда lim 0( 1 ](i ) = 0( 1 \N)

lim b,(i, 0( 1\i))= b ,.(N)

lim а.. (i, 0(i)) = а .. (n)

i^w j j 5

где 0(j)(i), bf (N, 0(1\i)), bf (N, 0(j)(i)) определяется совместно следующим алгоритмом: Шаг 1. Вычислить

Ъ ,.(n, 0(1}(i)), а ,.(n, 0(j\i))

уравнений (10).

Шаг 2. Вычислить

из системы

0

(j)

(i +1) = (ст.2 + \bf (N,0(j](i)) j a. (N,0(j](i)) x

ъ ,.(n , 0( 1 )(i)) j а ,.(n , 0( 1 )(i))1 x

x |y(1 ^y(1 ) + 0( 1\i)x

b.. (n, 0( 1\i)) | а ..(N, 0( 1 )(i))■

D г-0

0 rD

D ! 0

0 ! D

b.. (n,0(1)(/)) I а (n,0(1 \i))1

(y (j)J\AY ! Aw\b ..(n, 0(j)(i)) j ..(n, 0(j \i

Шаг 3. Переход к шагу 1. Вычисления заканчиваются если выполняется условие:

Vn (0( 1 )(i +1)-VN (0( 1 )(i))) v (0( j )(i +1))|

< 5

где § - априорно заданная точность нахождения оценок.

Это утверждение непосредственно следует из метода Ньютона:

j *+')=0( 1 *)-ш

Обоснованность использования метода Ньютона вытекает из того что VN (0(j)) - непрерывна на V 0( 1) е [0, Amin (n)) и Vn (0( 1)) < -о. для V 0( 1) е [0, Amin (N)),

V01 ])=-2t

ATrAY -0( 1)D

b . а . D ! 0

— Т-- x

i ! i 0 \D

A1 A ArAw

AT A

AlAn/ -0(j)D

D ' _0

0 I D

b . \ а .

i i i

< 0,

V0e[0, Amin (N))

На основании описанных выше алгоритмов создано программное обеспечение, позволяющее получать оценки параметров с наперёд заданной точностью.

В качестве примера рассмотрена стационарная динамическая система, которая описывается следующим линейным разностным

уравнением: (г = 2, г1 = 1, т = 2, п = 2)

g!0) =

- 0.38 !

0.24

- 0.35 ! - 0.55

х

T

-1

х

х

1

X

G« =

G<0) =

- 0.15 ! 0.63

- 0.34] - 0.25

- 0.433 ! 0.644

- 0.53 ! 0.344

g« =

- 0.474 I 0.556

- 0.374] - 0.656

:(i)

1+1 ;(2j

= G0)

z (1)

i

;C2)

+

G?)

7(1)

i-1

+g20)

x,

И

+ g21)

x

X,

(1) i-1

Ф i-1

полученные на основании оценок матриц параметров.

i=1

СГ1 = —

^ f=(0 = (^2 Z ¿^ - Z i

V_J_

N -1

Z (zp>- ¿if

l<7{ = 0.015

722 = i=L

N -1

1(72 = 0.02

где Z( ) - значения выходного сигнала полученные по рассчитанным коэффициентам

bj.(N, 0(i)), ay.(N, 0(i)).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(. Кацюба О.А. , Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов // Изв. Ан. СССР. Техническая кибернетика. (98(. № 5.

2. Кацюба О.А., Жданов А.И. Идентификация методом наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений // Автоматика и телемеханика. (982. №2.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, (966.

Векторы входных сигналов Х1 = {х(1), х(т)}, а также векторы помех

Н^ЙШ4«}, 2т ( )={#>(/ ),#(/)}

реализованы на основе программы Mathcad 11 с помощью генератора случайных чисел.

;(1) = гпогт^,0,0.5) ;Т(1) = гпогт^ ,0,0.5) ;[2) = гпогт^,0,0.5) ;22) = гпогт^,0,0.5) х(1) = тогт(Ы ,0,0.7)

х(т) = тогт(Ы ,0,0.7)

В результате тестирования получены следующие значения среднеквадратичных отклонений истинного выходного сигнала,

i-1

DEFINITION OF PARAMETERS OF MULTIVARIATE LINEAR STATIONARY DYNAMIC SYSTEM AT PRESENCE OF HANDICAPES IN ENTRANCE AND TARGET SIGNALS

© 2006 O.A. Katcuba, S.A. Spirin

Samara State Academy of Ways of Communication

In clause the problem of parametrical identification multivariate on an input and an output linear difference equations with handicapes on an input and an output is considered. A standard method of the least squares we shall not apply. On the basis of the modified nonlinear method of the least squares the solvency of matrixes of parameters linear difference equations is proved.