CC BY
63
УДК 541.127
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЛИПСОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ЦЕНТРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В.М. Белов, С.А. Гончаров, Е.В. Рябова, В.В. Евстигнеев
Алтайский государственный технический университет им И.И. Ползунова, г. Барнаул E-mail: [email protected]
Рассмотрено определение параметров эмпирической зависимости при двух измерениях с использованием алгоритма эллипса неопределенности в обобщенном методе центра неопределенности. Предложен алгоритм оптимального определения параметров.
Для установления закономерностей каких-либо явлений проводят экспериментальные исследования, в ходе которых измеряют значение тех или иных физико-химических величин. При обработке физического эксперимента часто используют эмпирические модели или формулы, которые включают экспериментально неточно измеренные величины, как правило, неточность учитывают в выходных переменных. Случай, когда выходные и входные переменные модели измеряют интерваль-но, особенно в плане разработки конкретных методик анализа данных физического эксперимента, в литературе отражен недостаточно и является актуальным. Постановка и исследование разрешимости задачи погружения множества неопределенности параметров двумерной линейной параметрической модели при точном измерении входных переменных и неточном измерении выходных переменных подробно были рассмотрены в работах [1-4].
Алгоритм погружения множества неопределенности параметров двумерной линейной зависимости в эллипс неопределенности при интервальном задании входных и выходных переменных был рассмотрен в [5-8], где при определении параметров эллипса неопределенности обобщенным методом центра неопределенности были допущены неточности, которые повлияли на результат работы алгоритма.
Рассмотрим алгоритм [5-8] подробнее. При двух измерениях экспериментальные точки должны удовлетворять системе интервальных уравнений
[у]1=[а\+[Ь][х]ъ
[У\2=[а\+[Ь][х]2.
Область возможного измерения параметров линейной функции имеет вид неправильного четырехугольника, угловые точки которого можно определить, используя правила интервальной арифметики. В случае возрастающей функции [у]=[я]+[£][х], т. е. при х£<х^=>у±<у2, угловые точки четырехугольника неопределенности определяем как
А ={а1, Ьх) =
А2 (ci2, Ь2)
А3=(а3, Ь3) =
у[х - -у+2х+ _ Уг -yi
х2 - Xj+ х2 —х{
У 1*2 ~У2Х1 . У1 ~yi
Х+-Х+ х2 -xf
у!х2 -у+2х~ . у2 -у!
А4 = (а4, Ь4) =
У1 *2 ~У~2Х\ . У~2 -У 1
(1)
В случае, если функция видау=[я]+[£][х] является убывающей, т. е. при х^<х^=>у^>у2, то угловые точки четырехугольника неопределенности определяем из соотношений
А=(а 1, bi) =
А ' ^2)
А = (л, ь3) =
А4 = (а4, ЪА) =
у1х2-у2х1, y2-yi
х2 - Xj Х2 ~Xi ,
У[х2 -у2х~ . У2 ~у1
Ч х2+-х~ х2 -х~
у!х2+ ->>х _ у2 -у!
х2 - Xj+ х2 -х|
' у! х~2 -у2х; _ у1 ~у1
ч Х--Х+ х2 - Xj+
(2)
Для определения центра тяжести четырехугольника неопределенности используем метод наименьших квадратов. Тогда, для нахождения координат центра тяжести, получаем соотношение
- х2у1-х1у2, - У2-У1
а о =—=—=—, о о ==——,
Х2 - XI Х2— Х\
где хь хъ уь у2 - средние значения измеряемых входных и выходных переменных соответственно.
Центр тяжести исходного четырехугольника неопределенности можно определять и другими способами. Любая комбинация из трех угловых точек, определяемых соотношениями (1) и (2), образует треугольник неопределенности. Таких треугольников будет четыре: А1А2А3, А1А2А4, А1А3А4, ЛДЛ- Известно, что центр тяжести любого треугольника находится на пересечении его медиан. Таким образом, для координат центров тяжести треугольников, имеем соотношение
В2 =
В,=
В4 =
+ а2+а3 Ъх + Ь2 +Ь3
3 3
ах + а2 + аА Ь1 + Ь2 +Ь4
3 3
ах + аъ + а4 Ь1 + ЬЪ +Ь4
3 3
а2 + аъ+аА Ъ2 : +ЬЪ +ЬА
В итоге получаем четыре точки Въ Въ Вь В4, которые определяют новый четырехугольник неопределенности. Полагаем Л=Д> А=Въ А=^г> А4=В4. Далее процедуру определения центров тяжести новых четырехугольников неопределенности повторяем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность определения центра тяжести исходного четырехугольника неопределенности.
Обозначим центр тяжести четырехугольника через я0, ¿>0. При погружении множества неопределенности параметров линейной параметрической функции в эллипс неопределенности считаем, что центр тяжести исходного четырехугольника неопределенности совпадает с центром описанного вокруг него эллипса неопределенности. Далее угловые точки четырехугольника неопределенности располагаем в порядке возрастания параметра Ь, т. е. ¿,1<^2<^з<^4-
Отрезок А}А является хордой эллипса неопределенности. Тогда параметры прямой А}А4
а4 - а.
34
з _ а3Ъ4-а4Ъ3 34 Ь.-Ь,
4 ^3 4 ^3
Проводим прямую АХАЬ параллельную Ау^. Для этого определяем координаты середины отрезка АЪА{.
«з +а4 Ь3+ Ъ4
«34=—s—; *34=—s—
а0 а34 '
К-ь34’
а34^0 «0^34 ^
Ь0~К
Далее определяем расстояние от середины хорды А}А4 до центра эллипса неопределенности
/ yja01 + Ьт.
где я01=я0-%; Ьп=Ь0-Ьг4.
Хорда эллипса АхАг параллельна хорде А3Д, и симметрична ей относительно центра эллипса [5-8]. Середина хорды АхАг лежит на прямой с параметрами (3), ее координаты определяем соотношениями:
а\г~*12“
Так как хорды АхАг и Ау4, симметричны относительно центра эллипса, то для определения координат точек Д* и А2 вычисляем вспомогательные величины
л л а,- а,
А а34 = А ап =а4-а34 =
2
Ъл -Ъ,
Эллипс неопределенности, описанный около параллелограмма АхАгА^А4, находим в виде
F(a-aü)2 +2 D(a-aü)(b-bü) + Q(b-bü)2 = 1,
где я0, ¿>0 - координаты центра эллипса неопределенности параметров.
Для определения параметров эллипса неопределенности составляем систему уравнений
F Aal + ЮАа^ + QAb? = 1,
F Aal + 2DAa2Ab2 + QAb\ = 1, (4)
где приняты следующие обозначения:
2 ’ ““2 2 ' Переписываем систему (4) в виде
F Aal + ôA*i2 = 1- 2DAalAbl, F Aal + ÔA* 2 = l~ 2DAa2Ab2.
(5)
В работах [5-8] были неточно определены параметры 0 и Р. Решим систему (5) относительно 0 и Е
е = е0+ад ^=^о+^д (О
Параметры прямой а=кЬ+а, проходящей через середину отрезка А3Д, и центр эллипса, находим как
где
Aal ~ Аа1 гл -2Аа1Аа2
— “7 2 a l2 I Г77Г? И —
Aal Abi -Aal Abi ’ ' Aa2Aöi + Aa^
-2 Ab, Ab,
r ¿bl-Ab?
* n
\Ъ=-
AalAbl -AalAbi ’ ' Aa1Aô2 + Aa2Aöt '
Площадь эллипса неопределенности с параме трами F, Q, D вычисляем как
л
V =
PQ-D2 '
(6)
А Ь34 А Ь12 Ь4 Ь34 ^
Тогда, координаты точки А{ рассчитываем как а\ = «12 - А«^; Ъх = Ьп - АЬп, а координаты точки Аг
«2 = «12 + А«^; Ь2 = Ьп + АЬп.
Таким образом, параллелограмм описы-
вает четырехугольник неопределенности параметров а, Ь. Центр тяжести параллелограмма А^А}А4 совпадает с центром содержащего его эллипса.
Для определения эллипса минимальной площади находим максимум функции /5
(7)
С учетом (6), выражение (7) можно представить в виде
/в е, б)=^е0+(^а+^е0 )я+&1 да -1).
Вычисляем производную/¿(Д 0,1)):
/д (^, е, я)=+ ^е0+года -1).
Затем
/В(^0,Я) = 0.
Решив это уравнение относительно параметра I), получаем выражение
2(^й-1) '
В этом случае, при использовании полученных соотношений для параметров Д 0,1), площадь эллипса неопределенности, будет минимальной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. - Новосибирск: Наука, 1995. - 144 с.
2. Белов В.М., Унгер Ф.Г., Карбаинов Ю.А., Пролубников В.И., Тубалов Н.П. Оценивание параметров эмпирических зависимостей методом центра неопределенности. - Новосибирск: Наука, 2001. - 175 с.
3. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Аппроксимация эллипсом множества неопределенности параметров зависимостей, сводящихся клинейным. - Томск, 1990. - 28 с. ПрепринтТНЦ СО АН СССР; №45.
4. Белов В.М. Оценивание параметров линейных химико-аналитиче-ских и физико-химических зависимостей методом центра неопределенности: Дис.... канд. физ.-мат. наук. - Томск, 1992. -166 с.
5. Белов В.М., Гончаров С.А., Гончарова H.JI. Рекуррентный алгоритм оценивания параметров линейной двухпараметриче-
ской функции // Физико-химические процессы в неорганических материалах: 8-я Междунар. конф. - Т. 2. - Кемерово, 2001.-С. 134-135.
6. Гончаров С.А. Обобщенный метод центра неопределенности для оценивания параметров линейных экспериментальных физических зависимостей. Дис. ... канд. тех. наук. - Барнаул, 2003.- 160 с.
7. Гончаров С.А., Белов В.М., Гончарова H.JI. Оценка области неопределенности параметров линейных функций эллипсом неопределенности // Валихановские чтения - 7: Междунар. науч.-практ. конф. - Т. 7. - Кокшетау, 2002. - С. 3-5.
8. Гончаров С.А., Дудник Е.А, Шарапов С.В. Оценка параметров линейной функции эллипсом неопределенности // IV Науч,-техн. конф. студентов и аспирантов. - Рубцовск, 2002. - С. 5-9.
Поступила 14.11.2006 г.
УДК 621.0
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА С ЖИДКОСТНЫМ АВТОБАЛАНСИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ НА ГИБКОМ ВАЛУ
В.А. Дубовик, Е.Н. Пашков
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Получено условие устойчивости вращения ротора с жидкостным автобалансирующим устройством, состоящим из камеры, поплавка и несжимаемой однородной жидкости, заполняющей пространство между ними. На ротор действуют восстанавливающая сила, силы внутреннего и внешнего трения. Последние линейно зависят соответственно от скорости деформации и абсолютной скорости точки крепления ротора к валу.
Для устранения дисбаланса вращающихся тел применяют различные жидкостные балансировочные устройства (АБУ) [1]. В процессе эксплуатации таких систем необходимо знать критические угловые скорости, при которых нарушается устойчивость стационарных вращений. В ряде работ, например в [2, 3], получены приближённые условия устойчивости установившегося вращения уравновешенного цилиндра, частично заполненного жидкостью, которые трудно применить к системам с АБУ. Непосредственное исследование устойчивости вращения роторов с жидкостными АБУ в литературе не описано.
В предлагаемой работе, по аналогии с [4] для неуравновешенных дисков на гибком валу, изучается устойчивость вращения ротора с жидкостным АБУ без свободной поверхности при действии сил внешнего и внутреннего трения. Природа этих сил подробно изложена в [4]. Так, силы внешнего трения вызываются вязким сопротивлением внешней среды, опор, специальных демпферов и зависят от скоростей абсолютных перемещений точек ротора и вала; силы внутреннего трения порождаются сопротивлением частиц материала и в первом приближении принимаются пропорциональными скорости деформации вала. Представляет интерес исследовать влия-
ние соотношения рассмотренных сил на устойчивость вращения ротора с АБУ. Решение такой задачи для неуравновешенного диска без АБУ приведено в [4]. Пусть ротор с АБУ закреплён симметрично относительно опор вертикального гибкого вала, проходящего через его геометрический центр (рисунок).
АБУ состоит из балансировочной камеры - 1 высотой /г, поплавка - 2 и однородной несжимаемой жидкости - 3, заполняющей пространство между их стенками. Центр масс ротора (точка Р) смещён от Ох на расстояние ОхР=е. Точка 02 проекция оси опор вала на плоскость движения. При вращении системы вал прогибается в месте крепления ротора на величину 020ь поплавок, для которого геометрическая и материальная оси симметрии совпадают, так же как в поплавковых гироскопах [5] центрируется на оси вращения 02 за счёт сил давления, а жидкость перетекает в сторону прогиба. Предполагаем, что при возмущённом движении ротора отрыв жидкости от стенок не происходит и центрирование поплавка сохраняется. В этом случае центр масс слоя жидкости расположен на линии центров 0201 в точке О. Сформулированные предположения позволяют исключить из рассмотрения гидродинамическую задачу.
