CC BY
93PHYSICS AND MATHEMATICS
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭКЗОПЛАНЕТЫ ИЗ ТРАНЗИТНОЙ
КРИВОЙ БЛЕСКА
Емец Н.П.
Дальневосточный федеральный университет, к.пед.н., доцент
DETERMINATION OF PARAMETERS EXOPLANETS OF THE
TRANSIT LIGHT CURVE
Emets N.P.
Far Eastern Federal University, PhD, Associate Professor
АННОТАЦИЯ
Данные наблюдений экзопланет приводят к пересмотру понимания процесса эволюции планетных систем. Поэтому одной из главных задач является сбор статистических данных о планетах вне Солнечной системы, определение параметров, описывающих их физические и орбитальные свойства. В статье рассматривается транзитный метод поиска экзопланет, в основе которого лежит исследование кривой блеска звезды. Описаны основные транзитные параметры экзопланеты. Показано, что, используя систему уравнений и наблюдаемые транзитные параметры, полученные из кривой блеска, можно определить физические характеристики экзопланеты. Предложены аналитическое решение уравнений, упрощенные уравнения и их решения для оценивания кривой блеска и транзитных параметров экзопланеты.
ABSTRACT
These observations lead to the revision of exoplanets understanding of the evolution of planetary systems. Therefore, one of the main tasks is to collect statistical data on planets outside the solar system, the determination of the parameters describing their physical and orbital properties. The article deals with the transit method of finding extrasolar planets, based on the study of the light curve of the star. The basic parameters of an exoplanet transit. It is shown that by using a system of equations and the observed transit parameters obtained from the light curve, one can determine the physical characteristics of exoplanets. An analytical solution of the equations, simplified equations and their solutions for the evaluation of the light curve and the parameters of an exoplanet transit.
Ключевые слова: экзопланета, транзит экзопланеты, кривая блеска, транзитная фотометрия.
Keywords: exoplanet, extrasolar planets transit, light curve, transit photometry.
Введение
Благодаря космическому телескопу Kepler [5] получены уникальные по точности кривые изменения блеска звезд при транзите экзопланеты по её диску. По состоянию на 20 ноября 2017 г. открыто 3710 экзопланет, из них 2769 являются транзитными [7]. Транзитные экзопланеты - планеты, открытые методом прохождения планеты по диску звезды, или транзита. Транзитная кривая блеска является важным инструментом в астрофизике, даёт ценную информацию, на основе которой можно определить ряд параметров экзопланеты [2]. Знание таких параметров вместе с орбитальными характеристиками дает представление о процессах формирования и эволюции планет и обеспечивает более широкий контекст к пониманию свойств Солнечной системы. Именно поэтому транзитные параметры экзопланеты стали предметом исследования в данной работе.
К транзитным параметрам экзопланет относят: продолжительность транзита, параметр Ь, отношение большой полуоси экзопланеты к радиусу звезды a/R*, глубину транзита, момент середины первого минимума и др.
В данной работе предлагаются уравнения и их решения, позволяющие по наблюдательным данным определить параметры экзопланеты.
Уравнения транзита экзопланеты
На рисунке 1 представлена геометрия транзита экзопланеты. Как следует из рисунка, из кривой блеска определяются три наблюдаемых параметра транзита: глубина транзита AF (падение блеска), общая продолжительность транзита Ь (интервал от первого до четвертого контактов) и tF - продолжительность транзита от второго до третьего контактов.
Рис 1. Геометрия транзита экзопланеты [8]
Определение из кривой блеска звездной массы М*, радиуса звезды Я*, орбитальной полуоси а, наклонения орбиты / требует следующих допущений:
1. Орбита экзопланеты круговая.
2. МР <<М* (масса планеты намного меньше массы звезды).
3. Соотношение М* /Я* (масса звезды/радиус звезды) - известно.
4. Период получен из кривой блеска.
5. Затмение имеет плоское дно - потемнение к краю незначительно.
6. Свет исходит от одиночной звезды.
Рассмотрим уравнения (1) - (5), описывающие
транзит экзопланеты по диску звезды. Отметим, что решение уравнений возможно только при соблюдении обозначенных условий.
Уравнение (1) - глубина транзита АР (изменение потока излучения от родительской звезды), определяется как отношение разности потоков излучения от звезды вне транзита экзопланеты и во время транзита к потоку излучения вне транзита (в случае равномерного распределения яркости по диску звезды):
AF =■
F
- F
F
чл 2
п
V R* У
(1)
связаны с глубиной транзита. Таким образом, транзитный метод очень важен для расчета радиуса экзопланеты [3].
Уравнение (2) - форма транзита, его «плоская часть» или «дно» описывается отношением параметров - продолжительность транзита между контактами 2-3 и /г - общая продолжительность транзита между контактами 1-4 определяется из геометрии транзита (рис. 1) [4, 8]:
1/2 Л
arcsin
,(2)
arcsin
r
a
1 +
r
R
■* J
a
V r
008/
1 - cos2 i
1/2
J J
где а - большая полуось орбиты экзопланеты, 1 - наклонение орбиты экзопланеты.
Уравнение (3) - общая продолжительность транзита 1р определяется уравнением:
где Яр , Я* - радиусы планеты и звезды соответственно. Из уравнения (1) определяется радиус планеты, считая, что размеры звезды известны, р -определяется наблюдаемым световым потоком при транзите. Очевидно, что размеры звезды и планеты
(
P ж
tT =— arcsin
R
a
(
1 + RPR
Y (
у
R
008 /
J
1 - cos2 i
1/2 Л
t
F
t
2
2
T
a
где P - период обращения экзопланеты по орбите вокруг звезды.
Уравнение (4) - третий закон Кеплера:
Р2= 4л2 a3
^ = vâf. r
(6)
(4)
в(М Мр)
где О - гравитационная постоянная, МР - масса планеты, М* - масса звезды.
Уравнение (5) - закон взаимосвязи массы и радиуса звезды:
к=км:. (5)
В уравнении (5) к - величина постоянная, х определяется типом звезд (звезды главной последовательности, гиганты и т.д.). Например, для звезд класса Б-К главной последовательности к = 1, х = 0.8 [1, рр. 355-357].
Таким образом, уравнения (1) - (3) описывают геометрию транзита через глубину, форму и продолжительность транзита (рис. 1). Как следует из формул, кривая блеска зависит от четырех наблюдаемых параметров: периода Р, глубины транзита ЛР, продолжительности контактов tF и Ь. Три «геометрических» уравнения (1) - (3) дополняют «физические» уравнения (4) - (5): третий закон Кеплера и отношение для звезды масса/радиус. Вместе эти уравнения позволяют найти решение.
Транзитный параметр b (impact parameter) определяется как расстояние между центром звезды и центром проекции планеты при транзите (рис. 1). Эта величина определяется соотношением величин a (большой полуоси орбиты экзопланеты), i (наклонением орбиты экзопланеты) и R* (радиусом звезды). Из уравнений (2) и (6) непосредственно можно получить параметр b из наблюдаемых величин:
b =— cos/' = R
sin
, tл
(1 -VAf )2--^ (1 + VAF )
sin
2 tT л ~P
■ ■> tл
sin
1 -
P
. , tT л sin2 T
. (7)
P
Транзитный параметр a/R* - отношение большой полуоси экзопланеты к радиусу звезды можно получить из уравнения (3) продолжительности транзита:
Аналитическое решение уравнений
Таким образом, мы имеем пять уравнений и пять неизвестных величин: M*, R*, a, i, Rp. Как уже отмечалось, четыре параметра в уравнениях определяются из наблюдений: P, AF, tF, tT.
Определим транзитные параметры экзопла-неты из наблюдаемых величин.
Из уравнения (1) определяется отношение радиусов планеты и звезды, где AF - глубина транзита (из наблюдений):
Л
M / M
Sun
PSun (ft. / RSun )
4л2
P 2g
a R
(1 + VÂF)2 - b2(i - sin2 tT
tT л
TP
sin
tT л
IP
(8)
Плотность звезды можно получить при условии, что Мр <<М* из уравнений (8) и (4):
(1+ PÂF)2 - b2(1 - sin2
sin
2 ^л
P
3/2
(9)
Таким образом, геометрические и физические параметры взаимосвязаны. Транзитный параметр Ь зависит от формы транзита (параметров tFи Т и соотношения радиусов планеты и звезды (ЛР), в меньшей степени - от периода Р. Транзитный параметр (а/К*) определяется длительностью транзита и периодом. Кроме того, параметр (а/К*) зависит от параметра Ь и соотношения размеров планета/звезда (КР / К* ), так как именно эти параметры влияют на продолжительность транзита. Как видно из уравнения (9) плотность звезды также зависит от них.
Пять параметров М*, К*, а, ¡, КР могут быть получены из указанных выше уравнений (6) - (9), используя дополнительно уравнение (5).
Из выражения
Л _ m ,
Ps,
Mr
А
V ^^Sun J
Ml
V MSu n J
1 k
определяется масса звезды M* по формуле:
г —11/(1—3 x)
M.
M.
k3
Л
PSun
(10)
Радиус звезды R* определяется из отношений (5) и (10):
А
А.
= k
M
VSun J
Л
PSun
x/(1-3x)
(11)
1/2
2
1/2
3
1-3 x
x
1/x
Орбитальный радиус определяется из закона Кеплера (4), допустив, что Мр <<М*:
a =
P 2GM„ 47
1/3
b— V a j
R
4ÄF =
k У x
PSun
x /(1-3x)
VÄF .(14)
Rn
R
'Sun
V PSun J
VÄf.
(
ft v
F
V tT J
1 - RP R.
X f
, J
a
v R
cos i
(
1+RP R
, J
a
VR
cos i
J
PR
7 a
1 + RP
R
J
a V R
л
cos i
J
Транзитный параметр b (7) при tr n / P << 1 ра-
(12)
вен:
Наклонение орбиты планеты i вычисляется из формулы (7):
. -1 (, ял
I = cos
(1 -vÄF
fc / tr )2 (1
1+ VÄF
1 -(tF / tT )2
.(17)
(13)
Транзитный параметр a/R* (8) примет вид:
a 2P ÄF1/4
Необходимо отметить, что это важный параметр (13), позволяющий узнать истинную массу эк-зопланеты.
И, наконец, самое главное - радиус планеты:
R. * (t2 - tF Г
(18)
Плотность звезды р* можно определить из [8]:
32 P
„ 321 А 7^3/4/v2 v2 \-3/2
P
G*
äf j/4(t; -1;>
(19)
В формуле (14) величины к и х для звезд главной последовательности принимают значения к = 1 и х ~ 0,8 [1, рр. 355-357], тогда формула (14) примет вид:
, ч-0,57
Таким образом, плотность звезды в уравнениях (9) и (19) можно определить из наблюдательных транзитных параметров.
Уравнение (6) для Яр/Я* остается в таком же виде, без изменений. Масса звезды М*, радиус звезды Я*, орбитальный параметр а и угол наклона I могут быть получены из уравнений (10) - (14).
Если известны величиныМ* и Я*, то из уравнения (19) можно определить орбитальный период:
P =
Упрощенные уравнения и их решения
Запишем уравнения (1) - (5) в более простой форме, предположив, что
Rp << R* << a, tr п /P << 1, cosi << 1, arcsinx ~ x, sinx ~ x. Тогда:
sin tp 71 / P
~ t p / tj,,
sin tT 7/ P 1 - sin2(tr 7/ P) « 1.
С учетом выше перечисленных допущений, уравнения (2) и (3) примут вид:
ÄF3
G7 M (ti - t2py12
32 R
(20)
Помимо представленных уравнений, для более детального анализа вводится параметр р - оценка вероятности наблюдения транзита экзопланеты [4, рр. 41-42]:
Р =
R + RP R
a
a
(15)
.(16)
Отметим, что обнаружение небольших вариаций /т может указать на присутствие дополнительных планет.
Остальные три уравнения - глубина транзита (1), третий закон Кеплера (4) и соотношение масса/радиус звезды (5) остаются такими же.
Решение упрощенных уравнений полезно рассмотреть.
Таким образом, уравнения (1) - (19 ) характеризуют взаимосвязь между основными параметрами транзитных экзопланет и величинами, которые можно измерить из кривой блеска.
Заключение
Мы представили уравнения, описывающие кривую блеска при транзите экзопланеты, и простое аналитическое решение, которое может быть использовано для оценивания транзитных параметров. Решение указанных уравнений представляет мощный инструмент для анализа транзитных кривых блеска звезды [6]. Конечно, есть ограничения, связанные, прежде всего, с точностью фотометрических наблюдений, временем выборки, введением допущений, и др. Тем не менее, математическая обработка кривой блеска дает возможность получить ряд уникальных физических сведений, как о планете, так и о родительской звезде.
Литература
1. Cox A.N. Allen's Astrophysical Quantities / A.N. Cox. - New York: AIP Press: Springer, 2000. -719 p.
2. Deeg H.J. Photometric Detection of Extrasolar
1/2
2
2
b
2
2
2
2
2
Planets by the Transit Method // ASP Conf. Ser. - 1998.
- Vol. 134. - pp. 216-223.
3. Emets N.P. Exoplanetary passage across the stellar disk // Science and world. - 2014. - Vol. 8 (12).
- pp. 23-26.
4. Haswell C.A. Transiting Exoplanets / C. A. Haswell. - Cambridge: University Press, 2010. - 336p.
5. Official web site Kepler. - Electronic text data.
- Mode of access: http://kepler.nasa.gov/ .
6. Raetz St., Maciejewski G. et al. WASP-14 b:
Transit Timing analysis of 19 light curves// Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2015. -Vol. 451 (4). - pp. 4139-4149.
7. The Extrasolar Planets Encyclopedia. - Electronic text data. — Mode of access: http://ex-oplanet.eu/catalo g.php .
8. Winn J.N. Exoplanet transits and occultations // Exoplanets: University of Arizona Press. - 2011. -pp. 55-77.
ПАРАДОКСЫ ФОРМИРОВАНИЯ МАГНИТНОГО СПИНА И АНОМАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ
Рысин А.В. Рысин О.В.
АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, радиоинженеры
Бойкачев В.Н. АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, директор кандидат технических наук Никифоров И.К.
Чувашский государственный университет, г. Чебоксары, кандидат технических наук, доцент
PARADOXES OF FORMATION OF MAGNETIC SPIN AND ANOMALOUS MAGNETIC MOMENTS
Rysin A. V.
Rysin O.V.
ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, radio engineers
Boykachev V.N.
ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, director, candidate of technical sciences Nikiforov I.K.
Chuvash State University, Cheboksary, candidate of technical sciences, associate professor
АННОТАЦИЯ
В очередной статье мы продолжаем рассматривать принципы формирования объектов мироздания на основе выведенной нами логики отсутствия чудес и замкнутости мироздания. Здесь предлагается принцип формирования аномальных магнитных моментов протона и нейтрона, а также магнитного спина электрона.
ABSTRACT
In the next article, we continue studying the principles of formation of objects of the universe based on logic derived by us for the lack of wonders and isolation of the universe. Here the principle of formation of the abnormal magnetic moments of proton and neutron and the magnetic spin of the electron.
Ключевые слова: шаровые функции, магнетон Бора, спин, гиромагнитное отношение.
Keywords: ball functions, Bohr magneton, spin, and the gyromagnetic ratio.
В статье [1], мы показали как из уравнения окружности, которая отражает систему из замкнутых друг на друга двух глобальных противоположностей, получаются преобразования Лоренца-Мин-ковского и уравнение энергии Эйнштейна. Кроме того, мы показали связь преобразований Лоренца-Минковского с усовершенствованными уравнениями Максвелла и уравнениями Дирака. Отсюда следует выводы:
1) в силу замкнутости по уравнению окружности между противоположностями всегда сохраняются количественные равенства;
2) любое пространственно-временное движение отражается через электромагнитные составляющие.
Иными словами, благодаря нашей теории, мы понимаем, что все составляющие мироздания связаны с движением в противоположностях, то есть взаимным равным обменом между противоположностями, что отражается через однозначную связь пространственно-временных и электромагнитных составляющих, которые и характеризуют противоположности. Следовательно, мы имеем совместный пространственно-временной и электромагнитный континуум. Это явно противоречит концепции о
