Определение оптимальных размеров досок в сбеговой зоне пиловочника Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ДОСОК В СБЕГОВОЙ ЗОНЕ ПИЛОВОЧНИКА

Агапов А.И. (ВятГУ, г. Киров, РФ)

The technique of obtaining the formula for calculation of the three boards, sizes cut out of the beveling part of a log has been given.

При брусово-развальном способе раскроя бревен в теории максимальных поставов принято поперечное сечение бревна подразделять на две зоны: пифагорическую и сбеговую /2, 3/. В пифагорической зоне выпиливаются доски длиной, равной длине бревна, то есть в этой зоне доски только обрезаются по ширине вершинного торца. В сбеговой зоне все получаемые доски и укорачиваются на оптимальную длину, и обрезаются на оптимальную ширину. В сбеговой зоне одна внутренняя пласть доски формируется пифагорической зоной и представляет собой, как правило, усеченную параболу. Другая наружная пласть доски в сбеговой зоне может представлять собой усеченную или полную параболу (рисунки 1, 2). Причем усеченная парабола наружной пласти доски получается меньших размеров, чем усеченная парабола внутренней пласти этой доски. Возникает задача определения в сбеговой зоне бревна при первом проходе брусово-развального способа раскроя оптимальных размеров досок, как по толщине, так и по ширине и длине.

Тс Е Тс

<5

Рисунок 1 - Схема образования обрезных досок в сбеговой зоне в поперечном сечении бревна

Целевую функцию можно представить в виде объема получаемых обрезных досок из сбеговой зоны:

Ус = 2 • Тс • Ъс • 1С , (1)

где Тс - толщина доски; Ъс - ширина доски; 1С - длина доски. Уравнение связи можно записать в следующем виде:

¿С = ЪС +(в + 2 • Тс )2,

где ёс - диаметр бревна в сбеговой зоне, при котором начинают образовываться доски оптимальных размеров; Е - размер пифагорической зоны.

а

У

х

_1с_

I

1п

Рисунок 2 - Виды получаемых досок в сбеговой зоне в продольном сечении бревна:

а - с получением усеченной параболы,

б - с получением полной параболы

Диаметр бревна, при котором начинают образовываться доски оптимальных размеров можно определить по формуле /1/:

йс = й + Кс • й•{ь- 1С), (3)

где ё -диаметр бревна в вершинном торце; Ь - длина бревна; Кс -относительный сбег бревна, отношение абсолютного сбега бревна Св к его диаметру:

Кс = С*.. с й

Тогда функцию Лагранжа можно записать в следующем виде:

Ф = 2 Т-Ъс-\с +Л-(й2 + К2-й2 -Ь + К2С-й2 -Гс + 2-Кс-й2 -Ь - (4)

-2-Кс-й2-1С -2-К2-й2-Ь-1С -Ъ2 -Е2 -4-Е-Тс -4-Г2),

где X - множитель Лагранжа.

Частные производные от функции Лагранжа:

дФ

-= 2 -Тс -1С -2 - X -Ъс = 0,

дЪс

дФ

-= 2-Ъп-Е -4-X-Е-8-X-Т = 0

дТс

с 1с 4 х Е 8 х тс o, (5)

— = 2-Тс-Ъс + 2- X- К2С-й2-1С - 2- X- Кс-й2 - 2- X - К2С -й2- Ь = 0.

&с

Для решения данной системы уравнений (5) и получения возможности определения оптимальной толщины доски воспользуемся дополнительным уравнением связи, так как в этой системе уравнений четыре неизвестных, а уравнений всего три. Выразим диаметр бревна в нижнем торце в следующем виде /1/:

Б = й + Кс-й-Ь = й-(1 + Кс-Ь) . (6)

Толщина доски, получаемая из сбеговой зоны бревна определится по формуле:

Тс = ~ (] 16-Б2 + 9-Е2 - 5-е). (7)

На практике обычно пиловочник оценивают по диаметру в верхнем торце бревна. Используя равенство (6) можно написать:

Т = 1 -(V16-й2-(1 + Кс-Ь)2 + 9-Е2 -5-Е\. (8)

Оптимальную ширину доски можно определить по формуле:

Ъс = й^Кс-1с -(1 + Кс -(Ь - 1с )) . (9)

Для определения оптимальной длины доски, выпиливаемой из сбеговой зоны, воспользуемся уравнением связи (2) и равенством, полученным путем решения первых двух уравнений системы (5)

Ъ2 = 2ЕТС + 4Т2. (10)

Приравняв эти два уравнения (9) и (10), получим:

1с = Т2 + 6-Е-Тс + Е2 . (11)

Кс Кс-й

Оптимальные размеры досок, получаемых из сбеговой зоны пиловочника, зависят от размера пифагорической зоны, диаметра, сбега и длины бревна.

Таким образом, впервые получены формулы для определения оптимальных всех трех размеров досок, выпиливаемых из сбеговой зоны пиловочника.

Литература

1. Агапов А.И. Влияние и учет сбега бревна при раскрое пиловочника. Актуальные проблемы лесного комплекса. Сборник научных трудов, выпуск 7. - Брянск, 2002. - с. 9496.

2. Аксенов П.П. Теоретические основы раскроя пиловочного сырья. М. - 1960. - 216с.

3. Ветшева В.Ф. Раскрой крупномерных бревен на пиломатериалы. М. - Лесн. пром-ть, 1976.- 168с.