Определение оптимальных размеров бруса и досок при раскрое пиловочника средних и больших размеров брусово-развальным способом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 674.093

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ БРУСА И ДОСОК ПРИ РАСКРОЕ ПИЛОВОЧНИКА СРЕДНИХ И БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ БРУСОВО-РАЗВАЛЬНЫМ СПОСОБОМ

DETERMINATION OF OPTIMAL SIZE BOARDS AND BOARDS WHEN CUTTING SAWLOGS MEDIUM AND LARGE LUMBER - WAY BREAKUP

Агапов А.И. (ВятГУ, г. Киров, РФ) Agapov A.I. (Vyatka state university)

Математическая модель оптимизационной задачи раскроя пиловочника составлена для раскроя пиловочника с получением одного бруса и трех пар боковых досок. Математическая модель включает в себя целевую функцию и четыре уравнения связи. Для решения математической модели использовался метод множителей Лагранжа. Алгоритм решения задачи представлен в относительных единицах. Расчет оптимальных размеров по полученному алгоритму решения задачи производился численным методом. Подтверждается ранее принятая гипотеза о том, что с увеличением толщины бруса и, следовательно, объема его, размеры и объем боковых досок уменьшаются, и наоборот. Очевидно, имеется такое соотношение размеров бруса и боковых досок, при котором целевая функция принимает максимальное значение. Для данной схемы раскроя пиловочника оптимальная толщина бруса составляет 0,359 от диаметра бревна в вершинном торце.

A mathematical model of optimization problem is formulated for cutting sawlogs cutting sawlogs to give one bar and three pairs of side boards. The mathematical model includes the objective function and the four constraint equations. To solve the mathematical model used the method of Lagrange multipliers. Solution algorithm is presented in relative units. Calculation of the optimal size for the resulting algorithm for solving the problem produced by the numerical method. Confirmed earlier accepted hypothesis that increasing beam thickness and hence its volume, the volume and dimensions of the side boards are reduced, and vice versa. For this scheme cutting sawlogs optimum thickness of the beam is 0,359 of the diameter of the log at the apex end.

Ключевые слова: пиловочник, брусовый способ, брус и доски, математическая модель, критерий оптимальности, целевая функция, уравнение связи, функция Ла-гранжа, алгоритм задачи, численный метод, оптимальные размеры.

Keywords: logs, lumber way beams and planks, mathematical model, optimality criterion, the objective function, the constraint equation, the Lagrangian algorithm for the problem, numerical method, the optimal size.

Постановка задачи

Брусово-развальный способ раскроя пиловочника широко используется в промышленности, так как позволяет за два прохода сформировать обрезные доски. При раскрое пиловочника средних и больших размеров (диаметр бревна в вершинном торце 24... 60 см) часто используется схема раскроя с выпиливанием одного бруса и трех пар боковых досок (рисунок 1) [4].

трех пар боковых досок

Для такой схемы раскроя пока не определены оптимальные размеры бруса и досок.

Составление математической модели

Для решения такой задачи составляем математическую модель [1]. В качестве критерия оптимальности выбираем выход обрезных пиломатериалов, получаемых после первого прохода раскроя пиловочника по данной схеме. Целевую функцию представляем в виде суммы поперечных сечений бруса и досок

2 = Н• А+2Т ■ Ъ+2Т2 ■ Ъ2+2Т3 • Ъ3 , (1)

где Н - толщина бруса; А - ширина пласти бруса;

Т1,Т2,Т3 - толщины соответственно первой, второй и третьей пары боковых досок;

Ъ1> Ъ2, Ь3 - ширины наружной пласти соответственно первой, второй и третьей пары боковых досок.

Такое представление целевой функции отвечает физической сущности теории максимальных поставов при раскрое пиловочника. В формуле (1) одновременно суммарно учитываются площади поперечных сечений бруса и боковых досок. Можно предположить, что с увеличением объема бруса, объем досок уменьшается и наоборот. Очевидно, имеется такое соотношение размеров бруса и досок, при котором объем этой пилопродукции получается максимальным. Такой системный подход отвечает так же требованиям постановки и решения оптимизационных задач.

Уравнения связи представляем в виде зависимостей диаметра пиловочника в вершинном торце с размерами получаемого бруса и боковых досок [2]. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Уравнение связи для бруса а2 - н2 - А2=о, (2)

где ё - диаметр пиловочника в вершинном торце.

Уравнение связи для первой пары боковых досок

а2 - ь2 - (ы+2т1)2=о, а2 - ь2 - ы2 - 4т2 - 4ыт =о. (3)

Уравнение связи для второй пары боковых досок

а2 - ь2 - (ы+2т + 2Т)2= о, а2 - ь2 - н2 - 4т2 - 4Т2 - 4нт - 4нт - 8ТТ=о. (4)

Уравнение связи для третьей пары боковых досок

а2 - ь32 - (ы + 2т + 2т + 2т )2= о,

а2 -ь2 - Н2 - 4Т2 - 4т2 - 4Т32 - 4НТ - 4НТ2 - 4НТ3 - 8ТТ - = 0. (5)

Полагаем, что математическая модель составлена. Решение математической модели

Для решения задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа будет иметь вид

Ь = НА+2Т1Ь1+2Т2Ь2+2Т3Ь3+Ь(d2 - Н2 - А2) +\ (d3 - Ъ2 - Н2 - 4НТ - 4Т2) +

(d3 - Ъ2 - Н2 - 4Т2 - 4Т2 - 4НТ - 4НТ - 8ТТ ) + (6)

+Х3 (d2 - Ъ2 - Н2 - 4Т2 - 4Т2 - 4Т2 - 4НТ - 4НТ2 - 4НТ3 - 8ТТ - 8ТТ - 8Т2Т3), где X, ^з —

множители Лагранжа. Находим частные производные от функции Лагранжа и приравниванием

их к нулю

— =Н - 2ХА=0, аА

— =А - 2Ш - 2^Н - - 2^Н - - 4Ь2Т2 - 2Х3Н - 4Х3Т - - 4^3Т3=0,

аы

— =2Т - 2^Ъ=0,

аь 1

— =2Ь - 4^Н - - 4^Н - - 8Ь2Т2 - 8Х3Т - 4^Н - 8Х3Т2 - 8^3Т3=0, (7) аТ1

-аЬ=2Т2 - 2^ =0, аЬ2

аЬ =2Ь - - 4^Н - 8^Т - - 4^Н - 8ХД - 8ХД =0,

аТ2

— =2Т3 - 2Х3Ъ3=0,

аь 3 33

— =2Ь3 - 8Х3Т3 - 4^Н - 8Х3Т - 8Х3Т2=0.

ат3

Решаем полученную систему уравнений (7) совместно с уравнением связи. Из предпоследнего уравнения системы (7) находим

Т

Тз= ^зЪз, ^3 = Т . (8)

Ьз

Рассматриваем последнее уравнение системы (7), которое представляем в следующем виде

Ь = 4Х3Т3 + 2Х3Н + + . (9)

В последнее равенство (9) подставим выражение (8), получим Ъ2 = 2(Н + 2Т + 2Т +2Т )Т • (10)

Полученное равенство (10) подставляем в уравнение связи (5), получим

8т;2+ 6(Н + 2Т + 2Т)Т + (н + 2Т + 2Т)2 - а2 = о. (11)

Решая полученное квадратное равнение (11), получим

Т3 = 1^8ё2 + (Н+2Т1+2Т2)2 -3(Н+2Т1+2Т2)). (12)

Рассматриваем пятое уравнение системы (7), из которого находим

Т

Т2 =Л2Ь2, = . (13)

Рассматриваем шестое уравнение системы (7),которое с учетом последнего уравнения этой системы можно представить в следующем виде

Ъ2= 4^ + + 4Щ + Ьз. (14)

В последнее равенство (14) подставим выражение (13), получим Ь2=4Т2+2НТ2+4Т1Т2+Ь2Ъз. (15)

Из последнего равенства (15) можно выразить ширину второй пары боковых досок

2Т

Ъз= Ъ2- —ЧН+2Т1+2Т2). (16)

Ъ2

Используя уравнение связи (5) и зная ширину третьей пары боковых досок, можно определить толщину третьей пары боковых досок

тз=1 (V а2 - ъ2 - (н+2т1+2т2)). (17)

Рассматриваем третье уравнение системы (7), из которого находим

Т

Т =Я1Ь1, Х = Т . (18)

Ъ

Рассматриваем четвертое уравнение системы (7), которое с учетом шестого уравнения этой системы можно представить в следующем виде Ъ= 2^ы + 4\Т + Ь2. (19)

В последнее равенство (19) подставляем выражение (18) , получим

Ь2=2НТ+4Т12+Ъ^. (20)

Из последнего равенства (20) определяем ширину наружной пласти второй пары боковых досок

Ъ2=Ъ1 - 2Т1 (Н+2Т1 )• (21)

Зная ширину второй пары боковых досок, толщину этих досок можно определить из уравнения связи(4)

Т2=1 (V а2 - Ъ22 -(Н+2Т1)). (22)

Рассматриваем первое уравнение системы(7), которое представляем в

виде

н

Н=2ХА, —. (23)

2А 4 7

Рассматриваем второе уравнение системы(7), которое с учетом четвертого уравнения этой системы можно записать в следующем виде А = 2ХЫ + Ь. (24)

В последнее равенство(24) подставляем выражение (23), получим

А2= Н2+ АЪГ (25)

Из уравнения связи (2) можно написать

а2= а2 - н2. (26)

Используя равенство (26), выражение (25) можно представить в следующем виде

а2 - 2Н2 = АЪГ (27)

Из последнего равенства (27) можно определить ширину первой пары боковых досок

ь=—--н-(28)

1 а а 4 7

Зная ширину первой пары боковых досок, из уравнения связи (3) можно определить толщину этих досок

^(та^-н). (29)

Если формулу (29) подставить в уравнение связи (3), а затем решить его, то получим

Н

^ 1 ~ /1Ти2

Т1= 1 2

за2 -4Н2 _

а2 - н2

(30)

Таким образом, рассмотрены все уравнения системы (7), и учтены все уравнения связи. Получены формулы для определения оптимальных размеров бруса и досок, но по которым непосредственно невозможно рассчитать оптимальные размеры бруса.

Алгоритм решения задачи

Для решения задачи воспользуемся численным методом. Задаемся толщиной бруса, а остальные размеры и величину целевой функции определяем по формулам. По результатам расчетов находим максимальное значение целевой функции. С целью упрощения расчетов и анализа результатов все полученные ранее формулы представляем в относительных единицах, полагая mH=H/d. Тогда алгоритм решения задачи будет иметь следующий вид [3]. Относительная ширина пласти бруса

тА^л/ГтН. (31)

Относительная ширина первой пары боковых досок

т=Ъ1 = т,А - тН = 1 - 2тН. (32)

1 а - тН тА Относительная толщина первой пары боковых досок

тт1 = Т1 = 1^71-тГ - тн). (33)

Относительная ширина наружной пласти второй пары боковых досок

Ь, 2т. — = тЬ--

а Ь1 т

ть2 = = ть1 --^ (тн +2тТ, ). (34)

сок

сок

сок

Относительная толщина второй пары боковых досок

тт2=т2 = 1^1 -тЬ2 -(тн+2тт1)). (35)

Относительная ширина наружной пласти третьей пары боковых досок Ь 2тт

ть3 = "7 = ть2--L (тн +2тт +2тт ). (36)

3 а 2 12

Относительная толщина третьей пары боковых досок

тт3=Тз = 1^1 -т23 -(тн+2тт1+2тт2)). (37)

Относительная площадь поперечного сечения первой пары боковых до-

2дх = 2тых тТ1. (38)

Относительная площадь поперечного сечения второй пары боковых до-

2д2 = 2тЬ2Х тТ2. (39)

Относительная площадь поперечного сечения третьей пары боковых до-

2дз = 2тьзх ттз. (40)

Суммарная относительная площадь поперечного сечения боковых досок

гд = ^ +гд2+гдз. (41)

Относительная площадь поперечного сечения бруса

2бр = тнхтА. (42)

Суммарная относительная площадь поперечных сечений бруса и досок

¿бр+гд. (43)

Результаты решения задачи

По полученному алгоритму выполняются расчеты, которые производятся следующим образом. Вначале задаемся относительной толщиной бруса в предполагаемом диапазоне 0,2...0,5 с градацией 0,05 и определяем все размеры бруса и досок, а также величину целевой функции. По результатам расчетов находим диапазон тн, в котором целевая функция принимает максимальное значение. Далее для этого диапазона производим расчеты с градацией тн = 0,01 и определяем все размеры бруса и досок, а также величину целевой функции. Затем по результатам расчетов находим диапазон тн, в котором целевая функция принимает максимальное значение. Далее для этого диапазона окончательно производим расчеты при изменении тн с градацией 0,001 и определяем максимальное значение целевой функции. Этот результат принимаем за искомый вариант решения задачи, так как такая точность расчета вполне достаточна. Результаты расчетов представлены в таблице 1.

Таблица 1- Относительные размеры бруса и досок, а также площади их поперечных сечений при изменении толщины бруса

тн тА ты тт1 тЬ2 тт2 тьз тТЗ д2 г д3 ^ д гбр г

0,2 0,979 0,938 0,072 0,886 0,059 0,823 0,051 0,135 0,105 0,085 0,326 0,195 0,52215

0,25 0,968 0,903 0,089 0,819 0,072 0,717 0,061 0,161 0,118 0,088 0,368 0,242 0,61033

0,3 0,953 0,859 0,105 0,734 0,083 0,578 0,068 0,181 0,123 0,079 0,383 0,286 0,66986

0,35 0,936 0,805 0,121 0,628 0,093 0,397 0,069 0,195 0,116 0,055 0,367 0,327 0,69523

0,4 0,916 0,741 0,135 0,497 0,098 0,154 0,060 0,200 0,098 0,018 0,317 0,366 0,68386

0,45 0,893 0,666 0,147 0,335 0,098 -0,216 0,017 0,197 0,065 -0,007 0,255 0,401 0,65734

0,32 0,947 0,839 0,111 0,694 0,087 0,512 0,069 0,187 0,122 0,071 0,381 0,303 0,68437

0,33 0,943 0,828 0,115 0,673 0,089 0,476 0,069 0,190 0,120 0,066 0,377 0,311 0,68948

0,34 0,940 0,817 0,117 0,651 0,091 0,438 0,070 0,192 0,119 0,061 0,373 0,319 0,69310

0,35 0,936 0,805 0,121 0,628 0,093 0,397 0,069 0,195 0,116 0,055 0,367 0,327 0,69523

0,36 0,933 0,794 0,124 0,604 0,094 0,355 0,069 0,197 0,114 0,049 0,359 0,336 0,69585

0,37 0,929 0,781 0,127 0,579 0,095 0,309 0,067 0,198 0,110 0,042 0,351 0,343 0,69497

0,38 0,924 0,769 0,130 0,553 0,096 0,261 0,066 0,199 0,107 0,034 0,341 0,351 0,69262

0,39 0,920 0,756 0,132 0,525 0,097 0,209 0,063 0,200 0,102 0,026 0,32 0,359 0,68887

0,355 0,934 0,800 0,122 0,616 0,093 0,376 0,069 0,196 0,115 0,052 0,363 0,332 0,69573

0,356 0,93 0,799 0,122 0,614 0,093 0,372 0,069 0,196 0,115 0,051 0,363 0,333 0,69578

0,357 0,934 0,797 0,123 0,611 0,094 0,368 0,069 0,196 0,115 0,051 0,362 0,333 0,69582

0,358 0,933 0,796 0,123 0,609 0,094 0,363 0,069 0,197 0,114 0,050 0,361 0,334 0,69585

0,359 0,933 0,795 0,123 0,606 0,094 0,359 0,069 0,197 0,114 0,049 0,360 0,335 0,69586

0,36 0,932 0,794 0,124 0,604 0,094 0,355 0,069 0,197 0,114 0,049 0,359 0,336 0,69585

0,361 0,932 0,792 0,124 0,602 0,094 0,350 0,068 0,197 0,113 0,048 0,359 0,336 0,69583

0,362 0,932 0,791 0,124 0,599 0,094 0,346 0,068 0,197 0,113 0,047 0,358 0,337 0,69579

0,363 0,931 0,790 0,124 0,596 0,094 0,341 0,068 0,197 0,113 0,047 0,357 0,338 0,69574

0,364 0,931 0,789 0,125 0,594 0,094 0,337 0,068 0,197 0,113 0,046 0,357 0,339 0,69568

В таблице 1 раскрыта последовательность выполнения расчетов. Вначале расчетами установлено, что целевая функция принимает максимальное значение при тн = 0,35. Далее было выявлено, что максимальный объем пило-продукции получается при тн = 0,36. Затем при изменении толщины бруса с градацией 0,001 было установлено, что экстремальное значение целевая функция принимает при тн = 0,359. Таким образом, данные таблицы 1 показывают, что максимальнвый выход пилопродукции получается при относительной толщине бруса равной 0,359. Следовательно, аналитическим путем определены оптимальные размеры бруса и досок, при которых обеспечивается максимальный выход пилопродукции.

Анализ результатов

Следует отметить, что с увеличением относительной толщины бруса относительная площадь поперечного сечения этого бруса возрастает, а суммарная площадь поперечных сечений боковых досок уменьшается. Следовательно, подтверждается ранее принятая гипотеза о том, что ,очевидно, имеется такое сочетание размеров бруса и досок, при котором целевая функция принимает максимальное значение (рисунок 2).

Рисунок 2 - Влияние относительной толщины бруса на площади поперечных сечений бруса и досок

Расчеты показывают, что целевая функция при изменении толщины mH бруса изменяется плавно. Особенно это изменение целевой функции не столь значительно в диапазоне изменения mH = 0,32...0,4. Следовательно, при расчете и составлении поставов толщину бруса можно выбирать в этом диапазоне, а затем размеры досок следует определять по предлагаемым формулам.

Следует обратить внимание на характер изменения размеров боковых досок. С увеличением относительной толщины бруса толщины первых двух пар боковых досок возрастают, тогда как толщина третьей пары боковых досок вначале незначительно возрастает, а затем уменьшается. Ширины боковых досок с увеличением относительной толщины бруса уменьшаются, причем ширины периферийных боковых досок уменьшаются в большей мере. В связи с этим относительный объем первой пары боковых досок с увеличением mH возрастает, а объемы второй и треьей пар боковых досок при этом уменьшаются. Это создает трудности по окончательному выбору размеров боковых досок, так как изменение размеров боковых досок происходит при изменении толщины бруса mH не равнозначно. При чем объем третьей пары боковых досок Zд3 с увеличением толщины бруса уменьшается в большей мере, чем объем второй пары боковых досок Zд2. Суммарный объем боковых досок Zд с увеличением относительной толщины бруса уменьшается (рис.3).

Рисунок 3 - Влияние относительной толщины бруса на площади поперечных сечений боковых досок

Важно знать соотношения оптимальных размеров бруса и боковых до-

сок, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Соотношение оптимальных размеров бруса и боковых досок

шн А А: А 2 Аз шт шн шт т2 шт Т1 ш т3 ш т2 шл шь2 шь: шь шь шь шн

0,359 0,192 0,155 0,155 0,192 0,344 0,763 0,734 0,852 0,763 0,593 1,0

Результаты таблицы 2 показывают, что для данной схемы раскроя пиловочника некоторые соотношения размеров бруса и боковых досок совпадают между собой. В первую очередь следует отметить, что множители Лагранжа первой и второй пар боковых досок совпадают между собой, т.е А — А2. Это значит, что отношение толщины к ширине этих досок равны между собой, а ширина досок примерно в 6,4 раз больше ее толщины. Следует обратить внимание на тот факт, что А — А3, а ширина третьей пары боковых досок шЬз равна

толщине бруса шн. Это дает нам основание написать следующее равенство

шн шт ш

2шл шЬ шн

(44)

Откуда толщину третьей пары боковой доски можно определить по формуле

шт — — шН . (45)

Тз 2шл 2у/Т- шН

Это выражение позволяет заранее прогнозировать толщину третьей пары боковых досок в зависимости от толщины бруса. Таким образом, оптимальные относительные размеры бруса и боковых досок связаны между собой определенными соотношениями. Эти соотношения можно использовать при расчете и составлении поставов. Так зная толщину третьей пары боковых до-

сок тт3 можно, используя соотношение в таблице 2, определить ширину этой доски ть3, а затем толщины и ширины других боковых досок.

С целью анализа рационального использования такой схемы раскроя пиловочника средних и больших размеров приводим в таблице 3 результаты расчетов оптимальных размеров бруса и досок для различных диаметров бревен этих групп.

Таблица 3 - Оптимальные расчетные размеры брусьев и досок для раз-

личных диаметров бревен

Обозначение параметров брусьев и досок Размеры брусьев и досок для различных диаметров бревен, см

20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

н 7,18 8,62 10,05 11,49 12,92 14,36 15,79 17,23 18,67 20,10 21,54

а 18,66 22,40 26,13 29,87 33,60 37,33 41,07 44,80 48,53 52,27 56,00

Ь 15,90 19,09 22,26 25,45 28,63 31,81 34,99 38,17 41,35 44,53 47,71

т 2,47 2,97 3,46 3,96 4,45 4,94 5,44 5,93 6,429 6,92 7,42

Ь2 12,13 14,56 16,99 19,41 21,84 24,27 26,69 29,12 31,55 33,98 36,40

т2 1,87 2,26 2,64 3,02 3,39 3,77 4,14 4,53 4,90 5,28 5,66

Ьз 7,19 8,63 10,07 11,51 12,94 14,38 15,82 17,26 18,69 20,14 21,58

Тз 1,38 1,66 1,93 2,21 2,49 2,76 3,04 3,32 3,59 3,87 4,14

Расчеты показывают, что брусья толщиной 100...150 мм получаются при раскрое пиловочника диаметром 28.44 см. При этом толщины досок изменяются в пределах 19.50 мм. Такой вариант раскроя пиловочника может удовлетворять потребности широко распространенной и востребованной группы размеров пиломатериалов. При распиловке пиловочника диаметром 48.60 см брус получается толщиной 175.200 мм, а толщины боковых досок при этом изменяются в пределах 32.75 мм. Такой вариант раскроя пиловочника может быть так же приемлем для получения толстых пиломатериалов. Использовать данную схему раскроя с выпиливанием бруса и трех боковых досок для распиловки пиловочника диаметром 20.24 см не рекомендуется, так как получаются тонкие пиломатериалы.

Выводы и рекомендации

Таким образом решена задача оптимизации раскроя пиловочника средних и больших размеров с получением бруса и трех пар боковых досок, для которой определены оптимальные размеры бруса и боковых досок. Для такой схемы раскроя пиловочника оптимальная относительная толщина бруса составляет 0,359 от диаметра бревна в вершинном торце. Ширина крайней боковой доски равна толщине бруса. При расчете поставов толщину бруса можно выбирать в пределах 0,32.0,40 от диаметра бревна в вершинном торце. Приведены оптимальные расчетные размеры бруса и досок при раскрое пиловочника различных диаметров, которые необходимо учитывать при выборе размеров брусьев и досок. Данная схема раскроя наиболее приемлема для

распиловки пиловочника диаметром 28...44 см. Алгоритм решения задачи рекомендуется использовать при расчете и составлении поставов.

Список использованных источников

1. Агапов, А. И. Оптимизация раскроя пиловочника с выпиливанием трех брусьев разной толщины и двух пар боковых досок [Текст] / А. И. Агапов // Актуальные проблемы развития лесного комплекса: междунар. научно-технич. конф., Вологда, 3-4 декабря 2013 г. - Вологда: ВОГУ, 2014. - С. 62-66.

2. Агапов, А. И. Алгоритм определения оптимальных размеров брусьев и досок при раскрое пиловочника брусово-развальным способом [Текст] / А.И.Агапов// Механика технологических процессов в лесном комплексе: междунар. научно-практическая конференция, Воронеж, 25-27 марта 2014 г. - Воронеж: ВГЛТА, 2014. - С. 287 - 291.

3. Агапов, А.И. Оптимизация раскроя пиловочника средних размеров при брусово-развальном способе распиловки [Текст] / А. И. Агапов // Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения: 7-я междунар. дистанционная науч. конф., Липецк, 20-21 февраля 2014 г. - Липецк: МАКСИМАЛ, 2014. - С. 16 - 24.

4. Аксенов П.П. Теоретические основы раскроя пиловочного сырья. -М: Лесная промышленность, 1960. - 216с.