Определение неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата по информации о направлении местной вертикали

Бирюков В.Г.; Челноков Ю.Н.

тактирующего с рулоном, k¡ - масштабный параметр, характеризующий размер контактного пятна.

Предположим, что захватный механизм повернут на угол а относительно направления действия силы тяжести. Тогда необходимые условия равновесия рулона запишутся в виде

м /- - \

ZNpI (ри + Su)=Pr sin(a + со), /=i

ш /- - \

INpI{P2J +S2J)=Pr cos(a + ев), (4)

/=i MI

/=i

где N = (2 2 1 1 l) - вектор, задающий количество контактных по-

верхностей типа / = \,М1, Рг = 7lЛr2LrYrg - вес рулона.

Система уравнений (4) является нелинейной относительно параметров м01, и02 и со . Решив её, находим перемещения точек контактных поверхностей по формулам (1), а далее по формулам (3) определяются контактные напряжения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

УДК 531.38

В, Г. Бирюков, Ю. Н. Челноков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА АБСОЛЮТНОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПО ИНФОРМАЦИИ О НАПРАВЛЕНИИ МЕСТНОЙ ВЕРТИКАЛИ*

1. Постановка задачи. Определение вектора угловой скорости космического аппарата (КА) возможно с помощью как минимум трёх датчиков угловой скорости, оси чувствительности которых не лежат в одной плоскости. В классическом случае измерительные оси датчиков угловой скорости ортогональны, но часто используют больше трёх датчиков угловой скорости с различным пространственным расположением осей, что

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 99-01-00192, и научной программы "Университеты России - фундаментальные исследования", проект № 015.04.01.50.

157

даёт возможность резервирования и диагностики неисправностей датчиков угловой скорости.

Рассмотрим задачу определения вектора абсолютной угловой скорости КА в случае, когда из-за отказа датчиков угловой скорости остаются исправными лишь два из них, и когда имеется информация о направлении местной (геоцентрической) вертикали.

Введём в рассмотрение следующие системы координат: £ - инерци-альную, Х- жёстко связанную с КА, 2 - орбитальную системы координат. Начало орбитальной системы координат 2 совпадает с центром масс КА (началом системы координат X), а оси вводятся следующим образом: 2Ъ -направляется вдоль радиуса-вектора центра масс КА, - вдоль вектора момента орбитальной скорости КА, а 2г дополняет первые две оси до правой тройки.

Взаимное угловое положение введенных систем координат будем задавать с помощью нормированных кватернионов ориентации X, А.рр, р в соответствии со следующей схемой поворотов

Здесь X, Х°р- кватернионы поворотов, характеризующие ориентации КА и орбитального трёхгранника в инерциальной системе координат, со - абсолютная угловая скорость КА, шор - абсолютная угловая скорость орбитальной системы координат, р - кватернион, характеризующий ориентацию связанной системы координат относительно орбитальной.

Для кватерниона ц справедливо соотношение

Р = ХороХ, (1)

где волна означает сопряженный кватернион, а символ о - кватернионное произведение.

Для кватерниона можно записать следующее соотношение:

+ (2)

V 2 2 У

* « *

где ф - истинная аномалия, <р0 - начальное значение ср в момент времени <0, кор (?0) - кватернион начальной ориентации орбитальной системы координат.

Угловое движение связанного трёхгранника описывается кватерни-онным кинематическим дифференциальным уравнением [1]

2Х = \°ах, (3)

где точка означает дифференцирование по времени, причём производная вычисляется в предположении неизменности ортов гиперкомплекс-

ного пространства, а запись вида ал означает, что вектор а задан своими компонентами в базисе г)(т| = с„Х,2).

Введём в рассмотрение единичный вектор к. направленный вдоль геоцентрической вертикали. Отображения вектора к на оси связанной и орбитальной систем координат определяются кватернионами кх = к^ц + к212 + куз и к2 = г3. Эти отображения связаны равенством

кх = ¿з о Ц. (4)

С математической точки зрения задача заключается в нахождении неизвестной компоненты вектора ах по двум другим известным компонентам этого вектора и известному вектору кх.

2. Метод решения задачи. Будем искать неизвестную компоненту вектора ах на основе соотношений (1), (2), (4) и приближённого решения дифференциального уравнения (3), записанного в следующем виде [2]:

Iе0!; ®х ■ 1®!, ^ cosJ—-И + -¡^ц-эт1—-И

2 со 2

(5)

где |а| = л/со|+а>2 +соз ~~ модуль вектора со угловой скорости КА, ~ значения кватерниона ориентации X в моменты времени гп и /„_! соответственно, И = /„ - /п_, - шаг интегрирования.

Раскладывая в соотношении (5) тригонометрические функции в ряды Тейлора и отбрасывая слагаемые выше второго порядка малости, получаем

(6)

где со = со0 + со, ¿1 + со2г'2 + Щ'з ~ кватернион с компонентами

I—12

со;=1-1^-л2, (7)

После подстановки (6) и (2) в (1) и (4) получаем кватернионное соотношение

у о со* о кх = г3 о у о со*, (8)

где у = 1ор(/я)о1(^_1), со* =соо+со*/1+со^2+соз^. *,=*,('„)•

Соотношение (8) можно записать в следующем виде:

со * о кх = п о со*, (9)

где П = у О /3 „ у = )о (,„ )о Гз О (,„)оХ(г„_1).

Перейдем в соотношении (9) к операциям векторной алгебры:

В скалярном виде имеем систему

а'хР^+^хРг+ПгхР!^®' аОхР\ + С02х?з ~ш3х92 = 0>

где р, и д1 - компоненты векторов р = кх -п, ц -кх + п.

Из этой системы уравнений, учитывая (7), получаем следующие формулы нахождения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА:

Щяят1±£3&.9и = 3,2, со3 = ^'+^%3 .(11)

РгЧг + />з9з + + Р2Я2

При определении неизвестной компоненты вектора со по формулам (11) возникают методические погрешности, обусловленные тем, что направление вектора со меняется на шаге интегрирования, в то время как соотношение (5) является точным решением дифференциального уравнения (3) в случае, когда вектор со постоянен по направлению в связанной системе координат. Из этого следует, что изложенный метод дает хорошие результаты в случаях медленного изменения по направлению вектора абсолютной угловой скорости КА на шаге интегрирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973.

2. Челноков Ю. Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 3. С. 11 - 20.

УДК 531.383: 532.516

Д. В. Кондратов

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ

В ПОПЛАВКОВОМ МАЯТНИКОВОМ АКСЕЛЕРОМЕТРЕ С УПРУГИМ КОРПУСОМ ПРИ ТОРЦЕВЫХ ИСТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ

В системах инерциальной навигации используются поплавковые маятниковые акселерометры (ПМА), обладающие высокой точностью и вибростойкостью. Они находится в условиях вибрации основания, на котором крепятся [1].

В отличие от прибора, описанного в [2], будем рассматривать случай, когда ширина торцевых щелей а значительно больше ширины

цилиндрической щели 8. Если считать, что ( — ] = С>(ц/-1), а = Я2 ■ Ь3 = ~Ь}, ¿»з =0(1) и потребовать согласование расходов жидкости, то можно уста-

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бирюков В. Г., Челноков Ю. Н.