CC BY
3
УДК 69.04
doi: 10.55287/22275398_2023_3_112
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
В. Р. Карсанова Е. М. Тупикова М. И. Рынковская
Российский университет дружбы народов (РУДН), г. Москва
Аннотация
Расчетам напряженно-деформированного состояния стержней с учетом геометрических и физических нелинейностей посвящено большое количество статей, однако, в большинстве исследований рассматриваются либо приближенные формулы, либо теории, не доведенные до числа, либо численные эксперименты проводятся в программных комплексах, не позволяющих изменить алгоритм решения и провести углубленный анализ конструкции. В данной статье представлен подход к расчету консольно-закрепленного сжато-изгибаемого стержня двутаврового сечения с учетом физической и геометрической нелинейностей с созданием формы и формированием данных о геометрии модели в Gasshopper и последующим импортированием полученных данных в разработанный на языке Python3 код, обрабатывающий входные геометрические характеристики и производящий расчет. В работе показано, что при расчетах стержней необходимо учитывать геометрическую и физическую нелинейность. Предлагаемый подход особенно интересен тем, что основан на методе конечных разностей, не требующем больших вычислительных мощностей, реализован на распространенном языке, позволяющем использовать код в открытом доступе без применения дорогостоящего программного обеспечения, и может быть применен для углубленного анализа работы стержня. Представленная работа может быть интересна аспирантам технических специальностей и начинающим исследователям, владеющим базовыми навыками написания кодов на языке Python3.
В практике строительных расчетов часто возникает необходимость учета физической нелинейности материала, при больших нагрузках, заставляющих элемент работать за пределами упругости. Также зачастую требуется проводить расчет по деформированной схеме, с учетом возникающих в процессе нагружения перемещений. Эти вопросы являются актуальными в современной строительной механике.
Ключевые слова
физическая нелинейность, геометрическая нелинейность, расчет по деформированной схеме, напряженно-деформированное состояние
Дата поступления в редакцию
12.06.2023
Дата принятия к печати
17.06.2023
Написано много работ по теме учета физической и геометрической нелинейностей при расчете строительных конструкций. О методах решения одномерных задач с учетом геометрических и физических нелинейностей писали С. П. Иванов, М. Н. Ахметшин, А. В. Мищенко, J. S. Davidson, Ю. В. Не-мировский, А. И. Болтаев и др. [1] - [4].
Расчет тонкостенных сечений в геометрически и физически нелинейной постановке рассматривался в [5]. Общие сведения о математическом моделировании при расчетах и исследованиях строительных конструкций представлены в [6 - 9]. В работе [10] показано, что классическая приближенная формула для расчета перемещений в балке не пригодна для анализа в случае геометрической нелинейности. Особенности, возникающие при конечно-разностной аппроксимации граничных условий сопряжения элементов составных конструкций при численном решении нелинейных начально-краевых задач, рассмотрены в [11]. О моделировании и нелинейном анализе писали также многие зарубежные авторы, например [12] - [16].
Таким образом, в литературе описаны многие методы расчета, однако, из-за большой трудоемкости расчета примеры зачастую не приводятся. Например, расчет по деформированной схеме может потребовать более 20 циклов расчета, что требует задействования определенных вычислительных мощностей. Кроме того, результаты будут тем точнее, чем больше будет конечно-разностных элементов, то есть чем мельче будет сетка разбиения на конечные элементы. Обработка большого количества данных вручную не представляется целесообразной.
Существует много программных расчетных комплексов, выполняющих нелинейные расчеты, например, LIRA, SCAD, ANSYS и др. Но в указанных программных комплексах обычно нельзя изменить алгоритм решения, что затрудняет их применение в изучении и усовершенствовании методов расчета.
В данной статье рассмотрен расчет консольно-закрепленного сжато-изгибаемого стержня двутаврового сечения с учетом физической и геометрической нелинейностей, реализованный в авторской программе на языке Python3, позволяющей прослеживать заложенный в расчет алгоритм и проводить углубленный анализ конструкции.
В качестве программы, формирующие входные геометрические характеристики, была принята Rhinoceros с надстройкой Grasshopper, так она позволяет создавать параметрические сечения, что актуально в современном архитектурном проектировании. Пример концептуальной модели, использующей принципы параметрического дизайна показан на рис. 1.
Рассчитанный стержень может выступать в роли колонны или структурной единицы в пространственной решетчатой конструкции.
Для создания формы и формирования данных о геометрии объекта использовался модуль Grasshopper (рис. 2). Весь алгоритм разбит на блоки: входные данные, построение 3d модели, выходные данные, запись в файл, импортированные данные расчета, настройка цветовой шкалы, отображение результатов. Для запаковки (запечь) данных был использован пакет human.
Экспорт данных производился с помощью встроенной функции stream contents (правая кнопка мыши по ноду panel). Импорт данных так же производился с помощью нода panel, в котором прописывался путь к текстовому файлу.
Для расчета была смоделирована балка двутаврового сечения 20К1 длиной 2 м (сечение показано на рис. 3).
Рис. 1 - 3 см. на следующей странице
и
Z м
О
-I
м
D CD
к <
*
и со
о * ; X о
.0 а
0
1 i
S га
■ й 2 £
< i
О о
S и
= F
0
1 I
(U *
к а с га i
> н
ш <
СО
о
(U S I
(U
ц
и
. ф
а а
. с
Ш о
<
и
а <
Рис. 1. Концептуальная модель. Параметрическое моделирование
Рис. 2. Схема алгоритма Grasshopper
[ 1
1-Л рч ° 6,5
.. 1-' ^-1
г |
Рис. 3. Сечение двутавра 20К1
По длине балка была разбита на 10 участков. Таким образом было получено 11 сечений (рис. 4), каждое из которых разбивалось алгоритмом на конечные элементы (рис. 5).
03
г
м О
-I
м
Э СО
Рис. 4. Расчетная схема
Рис. 5. Разбиение на конечные элементы
Для расчета потребовались следующие значения геометрических характеристик: координаты точек конечных элементов и значения их площадей. Исходные данные были выгружены в виде Ш-файлов:
К <
*
и со
о
* I X о
л а
0
1 I
5 га
■ й * &
* I
О о = ?
0
1 I
ф *
к а с
га
I
> н
ш
<
со О
X Ф
I
ф ц
и
. ф
а а
. с
ей о
<
и
а <
Файл 1
{х 0 , y 0 , z q} { x n , yn ,z n}
Файл 2 Area j
Area n
В среде jupyter notebook импортированные данные были отформатированы во вложенные списки. Например, список с координатами Х принял вид [[x00, x01... x0r],[ x10, x11... x1r]...[ xq0, xq1... xqr]], где q—номер сечения, r—номер конечного элемента в сечении. Аналогично были созданы списки с координатами y, z и список с площадями конечных элементов.
Для расчета были определены следующие характеристики материала: E: 70000, s1: 390, s_02: 255, deff: 0.1, где s1 — предел прочности; s_02—предел текучести; deff— удлинение при разрыве; E—модуль Юнга. Единицы определены в системе СИ.
График зависимости относительных деформаций от напряжений показан на рис. 6.
Расчет был выполнен по деформационной схеме. В качестве нагрузок были приложены следующие силы: продольная сила N = 250000 Н, поперечная сила Q = 10200 Н.
График работы материала
ООО Ü02 004 Ü06 008 010
Относительная деформация, с
Рис. 6. График зависимости напряжений от деформаций
Реализация алгоритма решения была принята следующая:
• Формирование матрицы жесткости
• Решение системы уравнений (9)
• Запись результатов в список
• Перерасчет внешних усилий, учитывая возникший эксцентриситет (10)
• Определение внутренних напряжений согласно зависимости напряжений от деформаций
• Определение разницы внешних и внутренних напряжений, проверка сходимости. При положительном ответе решение найдено, при отрицательном расчет повторяется
В основу расчета лег метод конечных разностей.
Формула приращения напряжений согласно курсу сопротивления материалов:
(1)
где I—номер сечения по длине,]—номер площадки сечения.
При умножении левой и правой частей уравнения (1) на АЛ и их суммирования по площади сечения формула (1) примет вид:
(2)
При умножении левой и правой частей уравнения (1) на АЛу и их суммирования по площади сечения формула (8) примет вид:
Система уравнений напряженного состояния выглядит следующим образом:
Р ~ ^¿.внутр £ А-и ~ З^д
Мх,1 ~ МхД,внутр =Д - Дщ'Чц
(3)
(4)
где:
Функции , ц" согласно конечно-разностной схеме определяются следующим образом:
(5)
АТ)" =
Агц+1-2Агц+Агц_л
2(йг) ' "' (йг)2-
Система уравнений (4) можно преобразовать к виду:
(6)
(7)
Примем:
(8)
г
м О
-I
м
Э СО
к <
и со О
* I X о
^ X
■ I
5 га
■ й
* а
* I
й *
О о
■ I
2 я
Ш к
<1 £
т га
0 1 х и
< I
1
< щ
* £ . ш
а а
. с
ей о
Тогда (7) примет вид:
( ~ Cin^Cw-i + C1NA<;N+1 + C3NA<;N_1 — 2 C3NAc;N + C3NAc;N+1 = PN — PNi внутр
-C2nAVN-I + + CAN^VN-i — 2C4NArjN + — M:
x,N внутр
(9)
Коэффициенты Сгу—матрица жесткости, , Пг—искомые решения, правая часть СЛУ—разница внешних и внутренних напряжений.
Внешний изгибающий момент определяется по формуле:
Mx,i = (Мх1 - Mx0)(i - 1 )/(N - 1) + Мхо - РУ],
(10)
где Рц—дополнительный изгибающий момент, возникающий при деформации. Искомые перемещения вычисляются в последовательных приближениях:
(11)
Алгоритм выходит из цикла при N - PN, внутр < S, Mx, N - Mx, N, внутр < S, где S—принятая точность. В данном примере S = 0,01.
При выходе алгоритма из цикла напряжения были сформированы в текстовый файл, который импортировался в Grasshopper. На основе этих данных было выведено изображение распределения усилия в стержне (рис. 7).
Рис. 7. Цветовая схема распределения напряжений
Красным обозначены растягивающие усилия, зеленым — сжимающие.
Максимальное сжимающее усилие—210.32 Н/мм 2, максимальное растягивающее усилие—246.38 Н/мм 2.
При расчете прошло 12 циклов. Значения максимальных напряжений и деформаций при каждом прохождении цикла обозначено на графике (рис. 8).
03
г
м О
-I
м
Э СО
Рис. 8. Напряженно-деформированные состояния
Изгиб наглядно виден на графике изменения конфигурации стержня (рис. 9).
Рис. 9. График перемещений вдоль оси У
Для сравнения при расчете без учета физической и геометрической нелинейностей с использованием формулы из курса сопротивления материалов <7 — Р/ А + Мху / 1Х, максимальное сжимающее усилие будет равно по модулю максимальному растягивающему усилию и будет равно 196.43 Н/мм 2.
К <
*
и со
о
* I X о
л а
0
1 I
5 га
■ й * &
* I
О о = ?
0
1 I
<и *
к а с
га
I
> н
ш <
СО
о
<и
I
<и и
. ш
а а
. с
ей о
<
и
а <
Заключение
На рис. 9 видно, как изменилась конфигурация стержня при первом, условно линейном, расчете и какие перемещения получил незакрепленный конец при завершении нелинейного расчета. Перемещения отличаются почти в два раза.
В работе реализован алгоритм численного расчета элементов с учетом физической и геометрической нелинейностей. Макрос написан на актуальном и простом языке программирования и интегрирован с системой Rhino-Grasshoper, что позволяет включать в расчет модели элементов со сложными сечениями.
Алгоритм расчета основан на методе конечных разностей, в отличие от сложных итерационных алгоритмов, применяемых в современных программных комплексах, и может быть применен для предварительных расчетов, не требующих значительного вычислительного ресурса.
Библиографический список
1. С. П. Иванов, М. Н. Ахметшин. Решение физически нелинейной задачи теории упругости и ее приложение к расчету балок, контактирующих со средой. Москва «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений», 2012 г., № 2.
2. А. В. Мищенко. Нелинейное термоупругое деформирование многофазных стержней. Москва «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений», 2014 г., № 4.
3. J. S. Davidson. Study of the stability of the structure of curved steel bridges. «Analysis and Design of Galvanic Structures (Second Edition)». 2022 г.
4. Ю. В. Немировский, А. И. Болтаев. Некоторые особенности деформирования нелинейного раз-носопротивляющегося материала однопролётных балок. Томск «Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета», 2016 г.
5. Г. В. Воронцов. Расчет геометрически и физически нелинейно деформируемых тонкостенных стержней на прочность, устойчивость и колебания. Москва. «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки». 2017 г.
6. В. В. Горев, В. В. Филипов, Н. Ю. Тезиков. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций. Москва «Высшая школа», 2002 г.
7. И. А. Федотова. Математическая модель работы нелинейного стержневого элемента конструкции. «Известия Петербургского университета путей сообщения». Санкт-Петербург. 2004 г.
8. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — Москва. «Изд-во МГУ». 1990 г.
9. А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. Сопротивление материалов. Москва «Высшая школа», 1989 г.
10. Rynkovskaya M. Analysis of displacements in beam structures and shells with middle developable surfaces, Matec Web of Conferences, 2017, p. 16001.
11. В. Г. Дмитриев, О. В. Егорова, Л. Н. Рабинский, А. И. Роффе. Особенности конечно-разностной аппроксимации граничных условий сопряжения элементов составных конструкций при численном решении нелинейных начально-краевых задач. «Труды МАИ». Выпуск № 82, 2002 г.
12. M. Bruneau, C.-M. Uang and W. Hassan. Nonlinear modeling and analysis of steel frames subjected to earthquake loading, Journal of Structural Engineering, 2003.
13. R. Narayanan and D. P. V. Jayaraman, Nonlinear finite element analysis of steel-concrete composite beams and slabs, Journal of Structural Engineering, 2005.
14. M. A. Bradford and D. E. W. Van der Pluijm. Nonlinear analysis and design of steel structures, 2003.
15. S. Gopalakrishnan and T. A. Shenton III. Nonlinear material modeling and finite element analysis of steel structures, Journal of Constructional Steel Research, 2010.
16. A. M. G. Barbosa and R. P. LaFave. Nonlinear analysis and behavior of steel frames under fire conditions, Journal of Structural Engineering, 2015.
DETERMINATION OF THE STRESS-STRAIN STATE OF THE ROD, TAKING INTO ACCOUNT GEOMETRIC AND PHYSICAL NONLINEARITIES
V. R. Karsanova E. M. Tupikova M. I. Rynkovskaya
Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow
О
z
H Û
Abstract
A large number of articles are devoted to calculations of the stress-strain state of rods, taking into account geometric and physical nonlinearities, however, in most studies, either approximate formulas or theories that have not been reduced to a number are considered, or numerical experiments are carried out in software systems that do not allow changing the solution algorithm and carrying out in-depth design analysis. This article presents an approach to the calculation of a cantilevered compressed-flexible I-section bar, taking into account physical and geometric nonlinearities, with the creation of a shape and the formation of data on the geometry of the model in Gasshopper and the subsequent import of the obtained data into a code developed in the Python3
language that processes the input geometric characteristics and making a calculation. The paper shows that when calculating the rods, it is necessary to take into account the geometric and physical nonlinearity. The proposed approach is especially interesting because it is based on the finite difference method, which does not require large computing power, is implemented in a common language that allows the use of open source code without the use of expensive software, and can be used for in-depth analysis of the operation of the rod. The presented work may be of interest to graduate students of technical specialties and novice researchers who have basic skills in writing codes in the Python3 language.
The Keywords
physical nonlinearity, geometric nonlinearity, calculation by deformed scheme, stress-strain state
Date of receipt in edition
12.06.2023
Date of acceptance for printing
17.06.2023
Ссылка для цитирования:
В. Р. Карсанова, Е. М. Тупикова, М. И. Рынковская. Определение напряженно-деформированного состояния стержня с учетом геометрической и физической нелинейностей. — Системные технологии. — 2023. — № 3 (48). — С. 112 - 121.
К <
*
и со
о * ; X о
CL I
■ I
S re
■ S 2 â
< !
О о
s и
= F
0
1 I
(U
S к a с га i
<U S I
(U
<u
. <u cl a . с cû О
> H
ш <
m
о
X
<
и
a <
