Определение методом возмущений теплового режима прямоугольного окна вывода импульсной энергии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИК И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 621.372.8

А. В. Котович, Г. А. Несененко

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ОКНА ВЫВОДА ИМПУЛЬСНОЙ ЭНЕРГИИ

Предложен и обоснован приближенный аналитический метод решения нерегулярных задач теплопроводности с нелинейными источниками и стоками тепла. Метод основан на асимптотическом анализе интегральных представлений решений, записанных с помощью соответствующих функций Грина.

Стремление повысить выходную мощность современных приборов СВЧ при одновременном уменьшении их габаритов приводит к существенному увеличению удельных тепловых нагрузок во многих элементах и узлах этих приборов. Поэтому расчет тепловых режимов элементов конструкций оказывается необходимым при создании долговечных и надежных современных приборов СВЧ.

Волноводное окно вывода энергии представляет собой диэлектрическую пластину, которая отделяет вакуумную часть прибора СВЧ от внешней среды. При передаче по волноводному тракту большой мощ-ности СВЧ происходит сильный нагрев окна за счет диэлектрических потерь в материале окна [1]. Это обстоятельство может привести к образованию микротрещин в окне и, следовательно, к нарушению его вакуумной прочности [2].

Правильный выбор конструкции волноводного окна и режима его охлаждения невозможен без предварительного расчета температурного поля в окне. Исследованию нагрева волноводных окон посвящены работы [3-7]. В этих работах рассматривались различные математические модели: линейные [3, 6], нелинейные [4, 7], одномерные [3-6] и двумерные [7].

В настоящей работе авторами за основу исследования взята математическая модель процесса, предложенная в [7], как обладающая наибольшей общностью; однако, в отличие от [7], рассматривается окно прямоугольной формы.

Постановка задачи. Согласно принятой математической модели [4, 7] необходимо найти решение в = в(х, у, т) уравнения

д (с e)

дт

= div(Agrade) - M2(e - ек) - аёе4 + Q,

(1)

где а0 < x < b, c < y < d, 0 < т < ти, a0 < 0, c < 0, b > 0, d > 0, удовлетворяющее начальному условию

e(x,y,T) =e0(x,y), ao < x < b, c < y < d,

t=0

условию ограниченности температуры в центре окна

e(x,y,T )

x=0, y=0

< ж, 0 < т < ти,

(2)

(3)

и граничным условиям

д e(x, y, т )

dx

д e(x, y, т )

= 0, c < y < d, 0 < т < ти,

x=ao, x=b

дУ

(4)

= 0, a0 < x < b, 0 < т < ти

y=c, y=d

Краевая задача (1)-(4) — это так называемая нелинейная вторая краевая задача нестационарной теплопроводности. Возможно рассмотрение первой краевой задачи, т. е. задачи, в которой вместо граничных условий второго рода (4) рассматриваются граничные условия первого рода:

e(x,y^) e(x,y^)

x=ao, x=b

= 0, c < y < d, 0 < т < ти,

y=c, y=d

= 0, a0 < x < b, 0 < т < ти.

(4')

Во второй краевой задаче (1)-(4) приняты следящие обозначения: 9 = 9(х,у,т) — безразмерная температура: 9 = Т/Тмакс; 9к — безразмерная температура газа, охлаждающего окно: 9к = Тк/Тмакс; х,у,т — безразмерные координаты: x = X/H, y = y/H, т = aj^t/H2, где H — пространственный масштаб, a2 — коэффициент температуропроводности материала, из которого изготовлено окно вывода, при комнатной температуре Тк; T, X, y, t — соответствующие размерные переменные; Тмакс — некоторая фиксированная (масштабная) температура; ти — продолжительность импульса; M2 — критерий Био: M2 = aH/A^; a — приведенный коэффициент излучения:

a =

2a0 ТтксН 2

AKh

; Q = Q(x, y, т, e) — объемная плотность внутренних

источников тепла; С, А, ё — значения коэффициентов теплоемкости, теплопроводности и черноты, отнесенные к соответствующим значениям этих коэффициентов при комнатной температуре и являющиеся

заданными функциями температуры; к — толщина окна; Ак — коэффициент теплопроводности при комнатной температуре Тк; а0 — постоянная Больцмана; а — коэффициент теплообмена между поверхностью диэлектрического окна и газом со стороны невакуумной части волновода.

Известно [8], что решение нелинейной краевой задачи (1)-(4) при заданных начальных (2) и граничных (3), (4) условиях является единственным в классе функций, непрерывных вместе с первыми и вторыми частными производными при условии, что функции С (в), А(в) и Ц(х, у, т, в) являются гладкими.

Поскольку в работе предполагается, что температурное поле в(х,у,т) диэлектрического окна соответствует импульсному режиму прибора СВЧ, то краевая задача (1)-(4) является сингулярно возмущенной краевой задачей [9, 10].

Действительно, вводя в рассмотрение безразмерное время т' по формуле

' 1 Н2 /-о

т = т = акт, (5)

где ¿и — продолжительность импульса (далее вместо т' пишем т), имеем

^ = ^ЦАgradв] - Мв2(в - вк) - авев4 + е^, (6)

а0 < х < Ь, с<у < (, 0 < т < 1, а0 < 0, с < 0, Ь > 0, ( > 0,

в(х,у,т)|т=о = в0(х,у), ао < х < Ь, с < у < (, (7)

в(х,у,т)|а.=о, у=0 < ж, 0 < т < 1, (8)

д в(х, у, т

дх дв(х, у, т

дУ

= 0, c < у < d, 0 < т < 1, (9)

x=ao, x=b

= 0, ао < х < b, 0 < т < 1; (10)

y=c, y=d

здесь 2I

ак п л ч

ев = Н, (11)

М = е-М 2= Ш, (12)

п2+ т3

ак ^и2^0тмакс /тгч

ав = ева =-—-. (13)

А кк

Поскольку рассматривается импульсный режим работы приборов СВЧ, то ¿и ^ 1 си, значит, безразмерный параметр ев (в предположении, что (а2/Н2) = 0(1)) удовлетворяет неравенству

ев 1.

Итак, мы действительно показали, что в импульсных режимах работы температурное поле прямоугольного окна вывода энергии приборов СВЧ описывается решениями нелинейного сингулярно возмущенного (по иной терминологии — нерегулярного [11]) уравнения (6).

Цель авторов настоящей работы состоит в применении "геометро-оптического" асимптотического метода [9, 10] (который является одним из методов теории возмущений) для нахождения при ёв ^ 1 приближенного аналитического решения ©(ж, у, т) исследуемой нелинейной двумерной краевой задачи (6)-(10).

Приступая к построению приближенного аналитического решения исследуемой нерегулярной нелинейной краевой задачи (6)-(10) "геометро-оптическим" асимптотическим методом, отметим, что согласно данным из работы [7] функции Л = А(©), а2 = а2(©) и ё = ё(©) меняются незначительно в рабочем интервале температур. Поэтому при первоначальном варианте применения "геометро-оптического" асимптотического метода [9, 10] будем считать, что справедливы равенства

Л = А(©) = Лср = const, а2 = а2(©) = аср,

ё = ё(©) = ёср, с = с (©) = Сср. (14)

Вид функции Q = Q(x, у, т, ©) определяется типом волны в тракте вывода энергии СВЧ. Согласно работе [6] будем считать, в первом приближении, что при прохождении прямоугольного импульса волны типа ТЕ10 справедливо равенство

Q = Q(x,y,T, ©) = Qср = const. (15)

С учетом соотношений (14), (15) получаем окончательный вид исследуемой нерегулярной нелинейной краевой задачи (ё = Лсрев/Сср, M2 = Мв2/Сср, ав = ав/Сср):

д© г

— = еД© - MB2(© - ©к) - авгСр©4 + -В-Qcp, (1

дт Ccp

а0 < x < b, c < y < d, 0 <r< 1, a0 < 0, c< 0, b> 0, d> 0,

©(x,y,r) =©0(x,y), a0 < x < b, c < y < d, (17)

t=0

©(x,y,r)

d©(x, y, r)

< то, 0 < r < 1, (18)

x=0, y=0

dx

= 0, c < y < d, 0 < r < 1, (19)

x=ao, x=b

д ©(х, у, т)

ду

= 0, ао < х < Ь, 0 < т < 1, (20)

у=с, у=4

где А — двумерный оператор Лапласа.

Решение сингулярно возмущенной нелинейной краевой задачи нестационарной теплопроводности "геометро-оптическим" асимптотическим методом. Будем искать решение уравнения (16) в следующем виде:

в(х,у,т ) = и(х,у,т Мх,у,т). (21)

Краевую задачу для функции V = -у(х, у, т) сформулируем следую-им образом:

^ — — = еАv - Mв2v,

дт

(22)

а0 < х < b, c < у < d, 0 < т < 1, а0 < 0, c < 0, b > 0, d > 0,

-(х,у,т) = ©0(х, у), а0 < х < b, c < у < d,

т=0

-(х,у,т)

д-(х, у, т)

x=0, y=0

< то, 0 < т < 1,

дх д-(х, у, т)

= 0, c < у < d, 0 < т < 1,

x=ao, x=b

ду

(23)

(24)

(25)

(26)

= 0, ао < х < Ь, 0 < т < 1.

У=с, 'у=(1

С учетом соотношений (22)-(26) для функции и = и(х, у, т) полу чаем следующую краевую задачу:

.4„,4

дм Г . du д- du д-1 -bQot>

-— = ^ -A- + 2— — + 2—— \ + Мв2©к + - ав-р-'-', дт [ дх дх ду ду J Сср

(27)

а0 < х < b, c < у < d, 0 < т < 1, а0 < 0, c < 0, b > 0, d > 0,

-(х,у,т) -(х,у,т)

д-(х, у, т)

т=0

= 1 , а0 < х < b, c < у < d,

x=0, y=0

< то, 0 < т < 1,

дх д-(х, у, т)

= 0, c < у < d, 0 < т < 1,

x=ao, x=b

ду

(28)

(29)

(30)

(31)

= 0, ао < х < Ь, 0 < т < 1.

У=с, 'У=(1

Задача (22)-(26) — это линейная нерегулярная краевая задача, а задача (27)-(31) — это нелинейная нерегулярная краевая задача, поскольку уравнение (27) содержит в качестве слагаемого неизвестную функцию и(х, у, т) в четвертой степени.

В основе "геометро-оптического" асимптотического метода лежат идеи, ранее использованные в механике жидкости и газа [12]. Согласно этим идеям пространственно-временная область, в которой ищется решение сингулярно возмущенной краевой задачи типа (32)-(36), а таюке нерегулярной задачи типа (37)-(41), разбивается на подобласти ("зоны"). Автором работ [9, 10] доказано, что для каждой "зоны" асимптотики Пуанкаре решения нерегулярной задачи имеют соответствующую структуру, которая достаточно просто и с единых методических позиций определяется при помощи асимптотического анализа интегрального представления решения, записанного при помощи соответствующих функций Грина. При этом существенно используется метод Лапласа — частный случай метода перевала [13], а также его модификации, разработанные автором работ [9, 10].

Возвращаясь к асимптотическому анализу решения V = т)

линейной нерегулярной задачи (22)-(26) и нелинейной задачи (27)-(31), отметим, что в этом случае прямоугольник, заданный неравенствами а° < х < Ь, с < у < А, разбивается на "зоны" следующих трех типов [9, 10]: "ядро зоны света области задания начальных условий", "пограничные слои" и "угловые пограничные слои".

риведем математически корректные определения этих "зон".

Определение 1. Ядро зоны света области задания начальных условий обозначим (А°). В зоне (А1) одновременно при 0 < т < 1 выполняются следующие условия:

А - у = 0(1), е ^ 0, у - с = 0(1), е ^ 0, а° - х = 0(1), е ^ 0, Ь - х = 0(1), е ^ 0.

Определение 2. Пограничный слой части границы прямоугольника а° < х < Ь, с < у < А, заданной уравнением у = А, обозначим "ПГРСЛ-А", при этом (х, у, т) € "ПГРСЛ-А", если при £ < т < 1, 8 > 0 выпол-ня тся условия

А - у = о(е1/2), е ^ 0, а <х< Ь, (33)

где а° < а < Ь < Ь, причем а° - а = 0(е), е ^ 0, и Ь° - Ь = 0(е), е ^ 0.

Определение 3. Угловой пограничный слой в правом верхнем углу прямоугольника а° < х < Ь, с < у < А обозначим " гл. ГР -А и Ь", при этом (х, у, т) € "Угл. ПГРСЛ-А и Ь", если одновременно при 8 < т < 1, 8 > 0 выполняются условия

А - у = о(е1/2), е ^ 0, Ь - х = о(е1/2), е ^ 0. (34)

Замечание. Аналогично определяются пограничные слои тех частей границы прямоугольника а° < х < Ь, с < у < А, которые заданы

уравнениями у = с, х = а0, х = Ь, а таюке три оставшихся угловых пограничных слоя.

В статье [7] установлено, что наибольших значений температурное поле окна вывода энергии СВЧ достигает в центре окна. Поэтому в настоящей работе авторы ограничились нахождением приближенного аналитического решения исследуемых нерегулярных краевых задач в случае, когда (х,у,т) € (А0). Заметим, что "геометро-оптический" асимптотический метод позволяет находить приближенные аналитические решения нерегулярных краевых задач как в любом из пограничных слоев прямоугольника а0 < х < Ь, с < у < так и в любом из его угловых пограничных слоев [9, 10].

Приближенные решения исследуемых нерегулярных краевых задач при е ^ 1 будем искать в виде их асимптотических разложений Пуанкаре [13]. Итак, чтобы найти при е ^ 1 асимптотику Пуанкаре решения нерегулярной краевой задачи (22)-(26), сначала представим ее решение V = v(x, у, т) в следующем виде:

v(x,y,т) = е-мм2 Ты(х,у,т). (35)

Тогда для функции ы = ы(ж, у, т) получаем нерегулярную линейную краевую задачу, которая отличается от краевой задачи (22) - (26) только тем, что в дифференциальном уравнении для функции ы(х, у, т) отсутствует слагаемое -М2ы. Обозначая через Гп(х,у,т; £, п, С) функцию Грина этой краевой задачи, запишем ее решение в следующем интегральном виде [14, 15]:

Ь й

ы(х,у,т) = 11 0°(е,п)Гп(х,у,т; £,п, (36)

ао с

К интегралу, стоящему справа в равенстве (36), применяем метод Лапласа [13]. Тогда, полагая функцию ©0(х,у) достаточно гладкой и разлагающейся в двойной ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен, получаем следующее асимптотическое разложение Пуанкаре [9, 10] (для случая (х,у,т) € (А0)):

те

ы(х, у,т) - ^ 4А)(х, у, т)е\ е ^ 0. (37)

г=0

В асимптотическом разложении (37) коэффициенты ^(А)(х, у, т) не являются функциями малого параметра е > 0 и вычисляются в явном виде. Например:

4А)(х,у,т) = 00(х,у), (х,у,т)= тА00(х,у). (38)

Подставляя (37) в правую часть (35), получаем асимптотику Пуанкаре функции у, т) — решения нерегулярной краевой задачи (22)-(26):

те

ф,у,т) - е-м2т ^ £г<А)(ж,у,т). (39)

г=0

Таким образом, нами доказана следующая

Лемма 1. Пусть функция в0(ж, у) имеет частные производные (по аргументам ж и у) любого порядка и разлагается в ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен, в любой точке (ж, у), принадлежащей прямоугольнику а0 < ж < Ь, с < у < 1.

Тогда в случае (ж,у,т) € (А°) для решения ^(ж,у,т) нерегулярной краевой задачи (22)-(26) справедливо асимптотическое разложение Пуанкаре вида (39). Коэффициенты , у, т) асимптотического разложения (39) не зависят от малого параметра £ > 0 и вычисляются в явном виде (см. (38)).

Теперь обратимся к нахождению асимптотики Пуанкаре решения и = и(ж,у,т) нерегулярной задачи (27)-(31), по-прежнему предполагая, что справедливо включение (ж, у,т) € (А°).

Известно, что асимптотические разложения, полученные методом Лапласа, можно дифференцировать [13]. Поэтому уравнение (27) можно записать следующим образом:

те / Я \ ( те

£<(А)(ж,у,т)( = £ е^У £1 '(ж,у,т)(ди

^ / я \ f ^

^ ^ (x,y,T И ) = Л е-мМв2т £ e4(A) (x,y,T )(Ам) + (=0 \ / ^ (=0

dd(A)(x, y, t) /дм"

(=0 v 7 v (=0

дх \ дх

+ 2е-Мвт У^ . ( y, T ) ^ +

—' дх \ дх I

i=0

+ 2е-ммв2т ^ . ш(а)(х,У,т V дм^ \ -

(=0

С^ср

оо

ду \ду

лл w

в к 1

с.

4м4 + MX + ^. (40)

ср

е-^ (ж, у, т)

г=0

Для нахождения асимптотик рвения и = и(ж,у,т) уравнения (40) используем метод неопределенных коэффициентов, часто применяющийся в теории возмущений [12]. А именно, ограничиваясь только двумя членами разложения функции в ряд Пуанкаре, решение и = и(ж, у, т) мо но записать в виде

и = и(ж, у, т) = и0(ж, у, т) + £и (ж, у, т) + 0(£2). (41)

Подставляя (41) в уравнение (40) и ограничиваясь в разложении функции V = -у(ж, у, т) тоже только двумя членами, приравнивая сомножители при одинаковых степенях малого параметра £ > 0 и учитывая

начальные условия для функции и = и(х, у, т), получаем задачи Коши для определения функций и0(х, у, т) и и^х, у, т).

Задача Коши для определения функции и0(х, у, т) имеет вид

ди0 — аве^3^ (4А)) 3и0 + -4е^ (М2©к + ^

дт " " в°сро V« J ^ 4A) Гв к Сс^ (42)

= 1.

т=0

Задача Коши для определения функции Mi(x, у, т) следящая:

е-Мв2т d0A) ддт1 + (d0A))4Ui =

= е-матd0A)A«o + 2е-Мв2т f ^ ^ +

dd(A) дм0 dd0A) дм0

dx dx ду ду J (43) e-^d1A) - 4^в£срd^V4^ (d0A))3M4,

дт

Mi(x,y,T )

= 0.

т=0

Чтобы найти приближенное аналитическое решение задачи Коши (42), согласно принятым предположениям ев ^ 1, М2 = евМ2 ^ 1

оценим постоянную V:

" = (М'е" + ^) « 1

Следовательно, нелинейное дифференциальное уравнение в задаче Коши (42) — это регулярно возмущенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, а именно

= -^е-3^ (4А)) 3и4 + ve-2т. (44)

Ограничиваясь учетом слагаемых порядка О (V) включительно, представим решение и0(т) уравнения (44) в следующем виде:

и0(т) = и00)(т) + vu01)(т) + ©(V2). (45)

рименяя к уравнени (44) метод неопределенных коэффициентов, получаем следующие задачи Коши для функции и00) (т):

^ = (d0A))3(u00)(T ))4, (46)

«00)(т)

= 1;

т=0

и функции (т):

дт

вС^г(^Wм(0)(тЛ ^ + e^,

= -4äR£cpe-3MJвT( d

«fV)

= 0.

т=0

Решая задачи Коши (46) и (47), получаем выражение для функции

ио(т) = ио(х,у,т):

uo (x, у, т) =

ММв2/3еМ0в2т

e

,4Ai?T

1/3

+

1/3

+ V-

ln-

1 +

(ММв2/3 + q1/3)2

3pe

3Mb2T

MM,

2/3

i+q-

3p -

1/3

9q2/3 | (MMb4/3 - MMb2/3q1/3 + q2/3) |

+ -2- ln |r2/3 - r1/3q1/3 + q2/3| - ln |r1/3 + q1/3| +

9q2/3

x arctg

9q2/3

/_MMb2/3 - r1/3_

\q1/3(2q1/3 - MMb2/3) + г1/3(2ММв2/3 - q)1/3

■x

3^ q2/3 + O(v2), (48)

где

(¿Л

p = C^cpf + M2, q = er,£ср(, r = pe

„3Mb2T

q.

(49)

Если подставить правую часть равенства (48) в дифференциальное уравнение задачи Коши (43), в итоге получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции м^т). Решение этого уравнения, как известно, записывается в квадратурах, однако из-за сложности аналитического выражения мы его выписывать здесь не будем.

Таким образом, нами доказана

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1.

Тогда в случае (х,у,т) € (А0) для решения м(х,у,т) нерегулярной краевой задачи (27) — (31) справедливо асимптотическое разложение уанкаре вида

u(x, у, т) = Uo (x, у, т) + е«1(х,у,т) + O(e2),

(50)

где м0(ж,у,т) — решение задачи Коши (42), а М1(ж,у,т) — решение задачи Коши (43). Функции м0(х, у, т) и м1(х, у, т) не зависят от малого параметра е, вид асимптотики м0(х,у,т) дается равенством (48), а функция м1(х, у, т) записывается в квадратурах.

q

r

1

2

4

3

3

Возвращаясь к решению нерегулярной нелинейной краевой задачи (16)-(20), используя леммы 1 и 2 и подставляя (39), (50) в (21), получаем следующее

Утверждение. Пусть функция 00(х,у) имеет частные производные (по аргументам х и у) любого порядка и разлагается в ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен, в любой точке (х,у), принадлежащей прямоугольнику а0 < х < Ь, с < у < &.

Тогда в случае (х, у, т) € (А0) для решения 0(х, у, т) нерегулярной нелинейной краевой задачи (16) - (20) справедлива при е ^ 1 асимпто-ика вида

0(х,у,т) = е-^ (&0(х,у,т) + е&1(х,у,т) + 0(е2)), (51)

где

&о(х,у,т) = &0А)(х,у)и0 (х, у, т), &1 (х, у, т) = &0А)(х,у)и1(х,у,т) + &1А)(х,у,т )и0(х,у,т )•

(52)

Функции &0А)(х,у), &1А)(х,у,т), и0(х,у,т) выписаны в явном виде; функция и1(х,у,т) записана в квадратурах. Все эти функции не зависят от малого параметра е (см. (38) и (48)).

Сравнение с аналогичными результатами других авторов. В работе [6] при постановке задачи сначала отмечено, что при прохождении прямоугольного импульса волны типа ТЕ10 распределение в толще диэлектрика прямоугольного окна плотности объемных источников тепловой энергии ^(х, у) можно записать в следующем виде:

^(х,у) = ^0 сов2(2пу

где ^о — значение плотности объемных источников тепловой энергии в центре окна. Далее предполагается, что справедливо неравенство /2 ^ /1 (/1 и /2 — размеры прямоугольного окна вывода энергии), "поскольку решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности вызывает большие трудности". При таких допущениях "функция ^ (х,у) становится константой ^0, ... коэффициент температуропроводности а полагаем постоянным; отдачей тепла путем конвекции и излучением пренебрегаем" [6].

Обозначая через v = v(x,t) искомую температуру прямоугольного окна вывода энергии, авторы статьи [6] записывают следующую одномерную линейную краевую задачу:

дv д^ ^ . . „ ч

ш- = ™>, (53)

где Fi(t) = F0 ^ S(t - Nt){1 - S[t - т2 - Nt]} при т2 < т в области

N=0

0 < x < /1з 0 < t < то при начальном условии

v|t=0 = 0 (54)

и граничных условиях

dv dx

= 0, v|x=ii = 0. (55)

ж=0

В работе [6] представлены:

1) аналитическое выражение, дающее решение линейной краевой задачи (53)-(55);

2) распределение температур при малых значениях безразмерного времени;

3) средняя за период температура.

В разделе этой работа, озаглавленном "Количественные результаты решения, его анализ и выводы", представлены результаты расчетов, проведенные с помощью ЭВМ по полученным авторами формулам. В итоге авторы приходят к следующим выводам:

1) распределение температуры по пространственной координате Ь разбивается во всем временном интервале 0 < т < то (т — безразмерное время) на две характерные зоны: 0 < Ь < Ь2 и Ь2 < Ь<Ь (Ь2 - 0,70);

2) распределение температуры в первой зоне практически не зависит от пространственной координат Ь;

3) вторая зона характеризуется резким спадом температуры по пространственной координате.

Возникающие при этом градиенты температуры для ряда режимов сопоставимы по величине с градиентами температуры для установившегося состояния. Отметим, что приведенные в работе [6] "зоны" качественно согласуются с "зонами", определенными в рамках "геометро-оптического" асимптотического метода [9, 10] (см. такке определение "зон" в настоящей работе).

В данной работе содержится новый достоверный результат, отличающийся от результатов работ [1-7], поскольку в этих работах не использовался метод возмущений. Тем не менее, полученный результат качественно совпадает с результатами, приведенными в [1-7]. А именно, если предположить, что ф(Т) = Тв, в > 1, то, как показано в работе авторов [18], решение исходной нелинейной нерегулярной задачи является функцией, неограниченно возрастающей за конечный интервал времени. Отметим, что этот вывод находится в полном согласии с

результатами монографии [8] и отличается от аналогичных результатов других авторов [16], исследовавших асимптотики решений сингулярно возмущенных уравнений параболического типа, поскольку в [16] получены асимптотики Эрдейи решений, а в настоящей работе получены асимптотики Пуанкаре. Как известно, асимптотики Эрдейи имеют недостатки по сравнени с асимптотиками уанкаре. В частности, они не позволя т проводить аналитический параметрический анализ свойств решений исследуемой задачи.

Выводы. 1. В работе предложен и обоснован способ расчета нерегулярных тепловых полей в окнах вывода энергии приборов СВЧ, работающих в импульсном режиме, который позволяет учитывать тепловые потери за счет излучения и конвекции.

2. Способ расчета основан на применении "геометро-оптического" асимптотического метода, разработанного одним из авторов.

3. Поскольку решение анализируемой нерегулярной краевой задачи представлено в виде асимптотики Пуанкаре, то возможен его аналитический параметрический анализ.

4. Предложенным методом можно учитывать нелинейную зависимость свойств материала окна от температур , нелинейну зависимость мощности тепловых источников от температуры, а такке про-извольну форму окна вывода энергии.

5. Результата настоящей работы легко обобщаются на случай трехмерных (по пространственным переменным) аналогичных нелинейных нерегулярных краевых задач.

6. Проведено сравнение результатов, полученных в настоящей работе, с аналогичными результатами, полученными другими авторами; на основании проведенного сравнения сделан достоверный вывод о качественном совпадении результатов данной работы с аналогичными результатами других авторов и о новизне предложенного метода.

В настоящее время авторами проводится серия расчетов по приведенному алгоритму.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гинзбург В. С., Кармазин В. Г. Мощные усилительные клистроны // Вопросы радиоэлектроники. Сер. I. "Электроника". - 1961. - № 3. - С. 25-43.

2. Самсонов Д. Е. Основы расчета и конструирования магнетронов. - М.: Сов. радио, 1974. - 327 с.

3. Денискин Ю. Д., Лыков П. Г. Тепловые процессы в дисковом выводе энергии приборов СВЧ // Вопросы радиоэлектроники. Сер. I. "Электроника". -1964.- № 6.- С. 102-109.

4. Лыков П. Г., Денискин Ю. Д. Приближенный расчет нагрева пластин из бериллиевой керамики, помещенных в волноводе // Электронная техника. Сер. I. "Электроника СВЧ". - 1966. - № 10. - С. 183-185.

5. Д енискин Ю ^.^ыков П. Г. Распределение температуры в волновод-ных окнах выводов энергии приборов СВЧ // Вопросы радиоэлектроники. Cep. I. "Электроника". - 1965. - № 12. - С. 184-188.

6. Деомидов А. И., Сазонов В. П. К расчету теплового режима окна в прямоугольном волноводе при импульсном прохождении СВЧ мощности // Электронная техника. Сер. I. "Электроника СВЧ". - 1966. - № 10. - C. 69-85.

7. Блейвас И.М., Захаров М. И., Paкитский Ю. В., Тарасов В. С. Расчет нелинейных тепловых процессов в волноводном окне вывода энергии приборов СВЧ // Электронная техника. Сер. I. "Электроника СВЧ". - 1968. - № 1. -С. 63-84.

8. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. - М.: Наука, 1987. - 480 с.

9. Несененко Г. А. Решение задач нерегулярного нелинейного тепло- и мас-сопереноса "геометро-оптическим" асимптотическим методом. - Бирск: Изд-во Бирского ГПИ, 2003. - 127 с.

10. Несененко Г. А. Асимптотики Пуанкаре решений нелинейных нерегулярных задач тепло- и массопереноса // Успехи современной радиоэлектроники. - 2003.

- № 2. - С. 3-78.

11. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

12. Ван - Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. - М.: Мир, 1967. -310 с.

13. Федорюк М. В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977. - 368 с.

14. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

15. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968.-427 с.

16. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

17. О л в е р Ф. Асимптотика и специальные функции. - М.: Наука, 1990. - 528 с.

18. К о т о в и ч А. В., Несененко Г. А. Решение нелинейной нерегулярной многомерной задачи теплопроводности с тепловым источником степенного типа "геометро-оптическим" асимптотическим методом // Современные естественнонаучные и гуманитарные проблемы: Сб. трудов научно-методич. конфер., посвященной 40-летию НУК ФН. 1 декабря 2004 г., г. Москва. - М.: Логос, 2005.

- С. 323-333.

Статья поступила в редакцию 18.02.2005

Александр Валерианович Котович родился в 1960 г., окончил в 1983 г. МАИ. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 45 научных работ в области численных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными.

A.V. Kotovich (b. 1960) graduated from the Moscow Aviation Institute in 1983. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 45 publications in the field of numerical methods to solve differential equations with partial derivatives.

Георгий Алексеевич Несененко родился в 1939 г., окончил в 1961 г. Харьковский политехнический институт и в 1983 г. Харьковский государственный университет. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 257 научных работ в области асимптотических разложений решений нелинейных краевых задач.

G.A. Nesenenko (b. 1939) graduated from the Kharkov Polytechnic Institute in 1961. D.Sc. (Phys.-Math.), professor of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 257 publications in the field of asymptotic expansions of solutions to nonlinear boundary problems.

жутл "ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени Н.Э. БАУМАНА"

В журнале публикуются наиболее значимые результаты фундаментальных и прикладных исследований и совместных разработок, выполненных в МГТУ имени Н.Э. Баумана и других научных и промышленных организациях.

Журнал "Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана" в соответствии с постановлением Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации включен в перечень периодических и научно-технических изданий, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Журнал издается в трех сериях: "Приборостроение", "Машиностроение", "Естественные науки" — с периодичностью 12 номеров в год.

Подписка по каталогу "Газеты, журналы" агентства "Роспечать"

Индекс Наименование серии Объем выпуска Подписная цена (руб.)

Полугодие 3 мес. 6 мес.

72781 "Машино строение" 2 150 300

72783 "Приборо строение" 2 150 300

79982 "Естественные науки" 2 150 300

Подписывайтесь и публикуйтесь!

Адрес редакции журнала "Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана": 105005, Москва,

ул. 2-я Бауманская, д. 5.

Тел.: (095) 263-62-60; 263-60-45.

Факс: (095) 265-42-98; 263-67-07.

E-mail: [email protected], [email protected]