Определение квадратных параметрических обобщенных обратных матриц Мура–Пенроуза применением дифференциальных преобразований Пухова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика

УДК 621.52+511.52

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ МУРА-ПЕНРОУЗА ПРИМЕНЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПУХОВА

С.О. Симонян

Государственный инженерный университет Армении (Политехник), г. Ереван E-mail: [email protected]

Предложен достаточно простой численно-аналитический метод определения квадратных параметрических обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза. Рассмотрена известная тестовая задача.

Ключевые слова:

Квадратная параметрическая матрица, обобщенная обратная матрица, дифференциальные преобразования.

Key words:

Square parametric matrix, generalized inverse matrix, differential transformations.

Введение

Пусть А(і)є.№"х“ - параметрическая матрица (параметр і может быть временем, оператором Лапласа

dt

или другим параметром), а X(t)=A+(t)eRmx“ -

соответствующая ей обобщенная обратная, подлежащая определению. По аналогии с известными соотношениями для числовых матриц [1] введем следующие условия Мура-Пенроуза для матриц A(t) и X(t): A(t) ■ X(t) • A(t) = A(t), (1)

X (t) • A(t) • X (t) = X (t),

(A(t) • X (t ))T = A(t) • X (t), (X (t) • A(t))T = X (t) • A(t).

(З)

(3)

(4)

Тогда параметрическая обобщенная обратная матрица Xединственным образом будет определяться условиями (1)-(4). Далее, используя обозначения, приведенные в [2], можно определить ряд других обратных матриц: если выполняется условие (1), то Х(^=А(1)(^; если условия (1) и (2) выполняются одновременно, то Х(^=А(1,2)(^; если одновременно выполняются условия (1) и (3), то Х(^=А(1,3)^); если одновременно выполняются условия (1) и (4), то Х(^=А(1,4)(^; если одновременно выполняются все условия (1)-(4), то Х(^=А(1-4)(^.

С учетом этих обозначений по аналогии с числовыми матрицами А(1)(^ назовем g(t) обратной; А(1,2)(£) рефлексивной g(t) обратной (Ак(^); А(1,3)(^-£^) обратной со свойством наименьших квадратов (А^)); А(1,4)(^-£^) обратной со свойством минимальной нормы (А"(^); А(1-4)(^-£^) обратной (обобщенной обратной) Мура-Пенроуза (А+(^).

Как показывают исследования [3-6], для определения матриц Х^) весьма эффективными оказываются дифференциальные преобразования [7, 8]. Так, при применении этих преобразований метод определения Х (^ на основе раздельного использования условия (1) был предложен в работе [3], метод определения Х(^ на основе раздельного использования условия (2) - в работе [4], метод определения Х^) на основе совместного использования условий (1) и (2) - в работе [5], метод определения Х^) на основе раздельного использования простейших соотношений (см. далее) - в работе [6]. В настоящей работе предлагается новый метод определения Х^) на основе совместного использования этих простейших соотношений также с применением дифференциальных преобразований.

Математический аппарат

Рассмотрим произведение соотношений (1) и (2). При этом имеем:

[А(?)] • X(?) • А(0] • [X(?) • А(?) • X(0] = А(?) • X(?) (5)

или

или

[ А(?) • X (?)]3 = А(?) • X (?)

[[А(?) • X(?)]2 - Е] • А(?) • X(?) = [0], (6)

где Е - единичная матрица порядка т.

Из соотношения (6) имеем

А(?) • X (?) = [0], (7а)

либо

А(?) • X (?) = -Е, (7б)

либо

А(?) • X (?) = Еихи. (7в)

Теперь рассмотрим произведение соотношений (2) и (1). При этом имеем:

[X(?) • А(?) • X(?)] • [А(?) • X(?) • А(?)] = X(?) • А(?) (8)

или

или

[ X (?) • А( ?)]3 = X (?) • А(?),

[[X(?) • А(?)]2 - Е] • X(?) • А(?) = [0],

где Е - единичная матрица порядка п.

Из соотношения (9) имеем

X (?) • А(?) = [0],

либо

либо

X (?) • А(?) = -Е,

X (?) • А(?) = Еи:

(9)

(10а)

(10б)

А(?) • ^( ?) • А(?) = Е, г;(?) - X 2(?) = 0

X X А(1) • ^(т -1) • А(К - т) = Е • 5(К), (14)

1=0 т = 0

К

вд-XX(1) • X(к -1) = 0, (15)

где

8( К) =

1, если К = 0, 0, если К >;

(16)

тейлоровская единица, а матричные дискреты у ( К) = НК ^ (?)

X (К1="КГ .?.,

К = 0,о- X (?) = К;(?, ?у, Н, X (К)),

К) = Н1. ,

К! а?К I?=?у

К = 0,0- 7;(?) = К2 (?, ?у, Н, 7 (К)),

К) = НК ^А(?)

А( К) = ^7—,

К! а? ?=?,,

(17)

(18)

(19)

(10в)

Очевидно, при условиях (7а), (7б) и (10а), (10б) соотношения (1) и (2) не выполняются. Следовательно в итоге образования сверток (5) и (8) условия (1) и (2) трансформируются в условия (7в) и (10в), при которых как условия (1) и (2), так и условия симметричности (3) и (4) выполняются автоматически. Таким образом, условия (7в) и (10в) полностью эквивалентны условиям (1)-(4), ввиду чего для определения матрицы Х^) в дальнейшем будем оперировать простейшими соотношениями (7в) и (10в), о которых шла речь выше [6].

Вариант 1.

Рассмотрим произведение соотношений (7в) и (10в), что, очевидно, может иметь место лишь при условии т=п. При этом

[ А(?) • X (?)] • [ X (?) • А(?)] = Е

или

А(?) • X 2(?) • А(?) = Е. (11)

Матричное уравнение (11) представим в виде системы

(12) (13)

и переведем ее из области оригиналов в область Д-изо-бражений [7, 8], допустив при этом, что все матрицы Х(^, У() и А(t) обладают элементами, аналитическими в центре аппроксимации. При этом получим:

К = 0, о- А(?) = Кз(?, ?у, Н, А( К)),

где Н - масштабный коэффициент; tv - центр аппроксимации; ^1(0,К2(0 и К3(0 - обратные Д-преобразования, восстанавливающие оригиналы-матрицы X(t), 71(t) и А^) соответственно; символ и - знак перехода из области оригиналов в область Д-изображений и наоборот [7].

Рассмотрим, к чему приводят соотношения (14)-(16) с учетом (17)-(19) при изменении целочисленного аргумента К=0,со. Итак, при К=0:

[ А(0) • 7;(0) • А(0) = Е,

[7;(0) = X (0) • X (0) = [ А+ (0)]2

откуда

А(0) • X 2(0) • А(0) = Е;

при К=1:

' А(0) • 7;(0) • А(1) + А(0) • 7;(1) • А(0) +

■ + А(1) • 7;(0) • А(0) = 0,

7;(1) = X(0) • X(1) + X(1) • X(0),

откуда

X(0) • X(1) - X(1) •[-X(0)] =

А(0) • 71(0) • А(1) +

+А(1) • 71(0) • А(0) при К=2:

'А(0) • 71(0) • А(2) + А(0) • ^(1) • А(1) +

+А(0) • ^(2) • А(0) + А(1) • 71(1) • А(0) +

[ + А(2) • 71(0) • А(0) + А(1) • ^(0) • А(1) = 0,

7 (2) = X(0) • X(2) + X(1) • X(1) + X(2) • X(0), откуда

(20)

= - X (0) •

X (0);

(21)

X(0) • X(2) - X(2) •[-X(0)] =

А(0) • 7(0) • А(2) +

+А(0) • 7(1) • А(1) +

= - X (0) • + А(1) • 7(1) • А(0) + • X (0) - X 2(1); +А(2) • 7(0) • А(0) +

+А(1) • 7(0) А(1)

(22)

при К=К:

откуда

А(0) ^7( К) • А(0) +

т К

+ ££ А(1) ^7(т -1) • А(К - т),

1=0 т = 0

т-1 * К

7( к ) = X (0) • X ( к ) +

К-1

+£ X(1) • X(К -1) + X(К) • X(0),

X(0) • X(К) - X(К) • [-X(0)] =

-X(0) • [ £ £ А(1) • 7(т -1) • А(К - т)] • X(0) -

1= 0 т= 0

т-1 *К

К-1

-£ X(1) • X(к -1).

[X(?) • А(?)] • [А(?) • X(?)] = Е

или

X (?) • А2(?) • X (?) = Е. (24)

Матричное уравнение (24) представим в виде

системы

X (?) • 7(?) • X (?) = Е, 7(?) - А2(?) = 0.

(25)

(26)

в область Д-изображений, имея ввиду, что (аналогично (18)) вместо матричных дискрет У^К) будут фигурировать матричные дискреты У2(К). Следовательно получим:

т К

XX X(1) • 7(т -1) • X(К - т) = Е • 8(К), (27)

7(К) -£ А(1) • А(К -1) = 0.

(28)

Теперь рассмотрим, к чему приводят соотношения (27), (28), (16) с учетом (17)-(19)при изменении целочисленного аргумента К=0,да. Итак, при К=0:

Г X (0) • 72(0) • X (0) = Е,

откуда

при К=1:

ад = а2(0),

X (0) • А2(0) • X (0) = Е;

(29)

(23)

Таким образом, получена рекуррентная цепочка линейных матричных уравнений (21)-(23) типа уравнений Сильвестра [1] с инвариантными, по отношению к номерам неизвестных матричных дискрет Х(1)Д(2),...Д(К), левыми частями (везде фигурируют матрицы Х(0) и -Х(0)). Вычислив начальные матричные дискреты Х(0)=А+(0) [1] и 7!(0)=Х2(0), далее некоторым численным алгоритмом [9] можно рекуррентно определить матричные дискреты Х(1)Д(2),...Д(К), а затем и восстановить аппроксимирующее решение Х(і) в соответствии с (17).

Вариант 2.

Теперь рассмотрим произведение соотношений (10в) и (7в), что также может иметь место лишь при условии т=п. При этом

X (0) • 7 (0) • X (1) + X (0) • 7(1) • X (0) +

■ + X (1) • 72(0) • X (0) = 0,

7(1) = А(0) • А(1) + А(1) • А(0),

откуда

X (0) • 72 (0) • X (1) - X (1) • [-72(0) • X (0)] =

= - X (0) • [ А(0) • А(1) + А(1) • А(0)] • X (0); (30)

при К=2:

' X (0) • 72 (0) • X (2) + X (0) • 72(1) • X (1) +

+X (0) • 72 (2) • X (0) + X (1) • 72(1) • X(0) +

* + X (2) • 72 (0) • X (0) + X (1) • 72(0) • X(1) = 0,

7 (2) = А(0) • А(2) + А(1) • А(1) + А(2) • А(0), откуда

X(0) • 72 (0) • X(2) - X(2) • [-72(0) • X(0)] =

"X(0) • [А(0) • А(1) + А(1) • А(0)] • X(1) -" А(0) • А(2) +

- X (0) •

• X (0) -

+А(1) • А(1) +

+А(2) • А(0)

-X(1) • [А(0) • А(1) + А(1) • А(0)] • X(0) --X (1) • 72(0) • X (1)

(31)

при К=К:

X(0) • 7 (0) • X(К) - X(К) • [-7,(0) • X(0)] =

т К

= -££ X(1) • 7(т -1) • X(К - т), (32)

Здесь обратим внимание на то, что системы (12), (13) и (25), (26), несмотря на то, что по виду вполне идентичны, по содержанию отличны друг от друга ввиду отличия матриц У^і) и У2(0. С учетом этого обстоятельства и соотношений (16)-(19), систему (25), (26) переведем из области оригиналов

где

7 (К) = £ А(1) • А(К - 1).

(33)

Таким образом, получается другая рекуррентная цепочка линейных матричных уравнений

I=0

I=1

I=1

(30)-(32) также типа уравнений Сильвестра [1] с инвариантными, по отношению к номерам неизвестных матричных дискрет X(1),X(2),...,X(K), левыми частями (здесь везде фигурируют матрицы Х(0)Т2(0) и - У2(0)-(0)). Вычислив начальные дискреты Х(0)=А+(0) [1] и Х2(0)=А2(0), далее некоторым численным алгоритмом и здесь можно рекур-рентно определить матричные дискреты X(1),X(2),...,X(K), а затем и восстановить аппроксимирующее решение X (^ в соответствии с (17).

Тестовая задача [10].

Пусть дана матрица

(? +1) t (? +1) t ^ -1) t ^ +1) t (t +1)

Тогда при маклореновском центре аппроксимации (^,=0) имеем:

А(0) =

0,25

0

0,25

0

-1

0

0,25

0

0,25

) =

) = 0.

0 5 сТ 1 0,25" 0 0 0

+X (2) • 0 -1 0 = 0 0 0

0,25 0 0,25_ 0 0 0_

обладающее решением

"0 0 0"

X (2) = 0 0 0

0 0 0

"1 0 1" "1 1 1"

0 -1 0 ; Л(1) = 1 1 1

1 0 1 1 1 1

Л(К) = [0], УК > 2; X(0) =

0.25

0

0,25

0

-1

0

0.25

0

0,25

Такая же картина имеет место и для последующих матричных дискрет Х(К)=[0], УК>3. Следовательно, обратные дифференциально-маклоре-новские преобразования [7] приводят к решению

"(0,25 - 0,25 • t) 0,5 • t (0,25 - 0,25 • 0"

X (t) = 0,5 • t (-1 - 0 0,5 • t

(0,25 - 0,25 • 0 0,5 • t (0,25 - 0,25 • 0_

= Л(1-4)^) = Л+ (t),

точно совпадающему с известным решением, полученным в [10].

б) При применении варианта 2 получаем:

а) При применении варианта 1 получаем: "2 0 2" 4 1 4"

"0,125 0 0,125' 7(0) = 0 1 0 , 7 (1) = 1 -2 1

ад = 0 1 0 , 2 0 2 4 1 4

0,125 0 0,125 _ т т т

"-0,25 -0,25 -0,25"

*1(1) = -0,25 2 -0,25

-0,25 -0,25 -0,25 _

" 0,375 -0,75 0,375

ад = -0,75 1,5 -0,375

_ 0,375 -0,75 0,375

7(2) =

а матрицы

X (0) • 7(0) = 7(0) • X (0) =

0

-1

0

Далее, в соответствии с (21), имеем матричное уравнение

Тогда, в соответствии с (30), имеем матричное уравнение

"0,25 0 0, 2 " "0,25 5" ,2 0, 0 "1 0 1" "1 0 1"

0 -1 0 • X (1) + X (1) • 0 -1 0 = 0 -10 1 0 1_ • X (1) + X (1) • 0 -10 1 0 1_

0,25 1 5 ,2 0, 0 0,25 1 5 ,2 0, 0

-0,25 -0,25 -0,25

-0,25 2 -0,25

-0,25 -0,25 -0,25

обладающее решением

"-0,25 0,5 -0,25'

X (1) = 0,5 -1 0,5

-0,25 0,5 -0,25

-1 0,5 -1

0,5 2 0,5

-1 0,5 -1 _

обладающее решением, совпадающим с решением, полученным выше при применении варианта 1.

Далее, в соответствии с (31), имеем матричное уравнение

В соответствии с (22), имеем матричное уравне-

ние

"1 0 1" "1 0 1" "0 0 0"

0 -10 • X (2) + X (2) • 0 -10 = 0 0 0

1 0 1_ 1 0 1_ 0 0 0_

обладающее решением, полученным выше при применении варианта 1. Такая же картина имеет место и для последующих матричных дискрет Х(К)=[0], УК>3. Следовательно, и при этом обратные дифференциально-маклореновские преобразования [7] приводят к решению, полученному выше при применении варианта 1 и точно совпадающему с известным решением, полученным в [10].

Наконец, сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Использование соотношений (7в) и (10в), из-за известных свойств обобщенных обратных матриц, не гарантирует их точное выполнение при найденном Х^). Обычно имеет место одно из следующих четырех возможных двойных условий:

1) А(^-Х(^=Е, А(0-Х(0=£;

2) А(г)-Х(г)ФЕ, А(0Х(0=£;

3) А(г)-Х(г)=Е, а(ох(о*£;

4) А(г)-Х(г)ФЕ, А(0Х(0*£.

Естественно, эти условия остаются в силе с точностью до начальных матричных дискрет А(0)=А(^,) и Х(0)=Х(^,). Следовательно, нелинейные матричные уравнения (20) при варианте 1 и (29) при варианте 2 в общем случае также не будут выполняться точно.

Замечание 2. При переходах от (1), (2) к (11) и от (2), (1) к (24) порождаются квадратичные матричные уравнения по отношению к неизвестной матрице Х^), ввиду чего, наряду с единственным решением исходной задачи, могут появляться также «побочные решения» [5]. С целью выделения этого единственного решения из полученного множества решений, естественно, необходимо провести дополнительные вычисления, в частности, убедиться в одновременном выполнении условий (1)-(4).

Замечание 3. Для решения систем рекуррентных матричных уравнений типа уравнений Сильвестра (21)-(23) или (30)-(32) может быть использован известный алгоритм Бартельса-Стюарта [9].

Замечание 4. В рассмотренном примере матрицы Х(0) и -Х(0) (вариант 1), а также матрицы Х(0)Т2(0) и - 72(0) х(0) (вариант 2) имеют общие нулевые собственные значения. Ввиду этого, матричные уравнения Сильвестра для определения

матричных дискрет Х(1) и Х(2) в обоих вариантах, в зависимости от свободных членов, либо противоречивы (что в данном случае, естественно, не могут иметь место), либо могут иметь бесчисленное множество решений [1. С. 207; 11. С. 240].

В частности, при применении обоих вариантов получаются также следующие «побочные» матричные дискреты:

" 0,25 0 0,25"

X (0) = 0 -1 0 ,

_ 0,25 0 0,25_

0 0,5 -0,5"

X (1) = 0,5 -1 0,5 ,

-0,5 0,5 0 _

"0 0 0"

X ( K) = 0 0 0 , V K > 2

0 0 0

Очевидно, при этом первые приближения - начальные матричные дискреты Х(0) и матричные дискреты Х(К), УК>2 точного решения и «побочного решения», полностью совпадают. Следовательно, «побочное решение» выглядит так:

" 0,25 0,5 •? (0,25 - 0,5 •?)"

0,5 • t (-1 - 0 0,5 ^

(0,25 -0,5 •О 0,5 •г 0,25

при котором, как нетрудно убедиться, условия (1)-(4) также выполняются точно.

Таким образом, в общем случае с учетом отмеченных обстоятельств вопрос об определении окончательного решения - матричного оригинала Х(^=А(1-4)(^=А+(^ (обобщенной обратной матрицы) ввиду ее существования и единственности, требует дополнительного изучения.

Замечание 5. Теоретические исследования решения уравнений Сильвестра-Ляпунова при невыполнении условий однозначной разрешимости рассмотрены, в частности, в работах М.Г. Крейна [12].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Физматлит, 2010. - 560 с.

2. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. - М.: Мир, 1998. - 208 с.

3. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Симонян А.С. Метод определения параметрических обобщенно-обратных матриц (I) // Известия НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. - 2008. - Т. ЬХ1. - № 3. - С. 452-464.

4. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Симонян А.С. Метод определения параметрических обобщенно-обратных матриц (II) // Известия НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. - 2008. - Т. ЬХ1. - № 4. -С. 584-591.

5. Аветисян А.Г. Способ определения параметрических обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза решением матричных уравнений // Известия НАН РА и гИуА. Серия ТН. - 2011. -Т. ЬХ1У. - № 1. - С. 76-82.

6. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Симонян А.С. Метод определения параметрических обобщенно-обратных матриц, основанный на дифференциальных преобразованиях // Вестник

ГИУА. Сер. «Моделирование, оптимизация, управление». -2008. - Вып. 11. - Т. 1. - С. 78-85.

7. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. - Киев: Наукова думка, 1990. - 184 с.

8. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Прикладная теория дифференциальных преобразований. - Ереван: Чартарагет, 2010. -361с.

9. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. -М.: Наука, 1984. - 190 с.

10. Stanimirovic P.S., Tasic M.B., Krtolica P.V., Karampetakis N.P. Generalized Inversion by Interpolation // Filomat. - 2007. -V. 21. - № 1. - P. 67-86.

11. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1978. - 280 с.

12. Демиденко Г.В. Матричные уравнения. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2009. - 203 с.

Поступила 11.04.2013 г.