CC BY
2ЖЫ 20 77-1738. Сборник научных трудов ДонГТУ. 2015. № 2
МЕХАНИКА
УДК 620.171.2:519.2
к.т.н. Долголаптев В.М., Козачишена Е. С. (ДонГТУ, г. Алчевск, ЛНР)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАЙНИХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОЧНОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ СТЕКЛА
Приведены результаты обработки механических испытаний на изгиб образцов электровакуумного стекла марки С 90-1 при помощи методов математической статистики.
Ключевые слова: нормальное распределение, среднеквадратичное отклонение, накопленная частота, критерий со2, электровакуумное стекло марки С. 90-1.
Проблема и ее связь с научными и практическими задачами.
Все характеристики механических свойств материалов являются непрерывными случайными величинами. Проведя испытания п образцов, мы вправе ожидать п различных значений интересующей нас характеристики. При этом особый интерес представляет задача о распределении крайних значений. Например, с точки зрения расчетов на прочность, наибольший интерес представляет минимальное значение прочности материала.
Решение данной задачи является сугубо математическим и описано в классических работах таких как [1, 2, 3]. Вместе с тем, следует отметить, что данные работы содержат огромный объем теоретических выкладок, практическое использование которых часто затрудняется отсутствием примеров расчета с численными результатами конкретных испытаний.
Представленный алгоритм определения крайних значений прочности позволяет облегчить обработку результатов механических испытаний и правильно оценить реальные прочностные характеристики образцов.
Постановка задачи. Задачей данной работы является показать, как при помощи методов математической статистики практически определить минимальные значения прочности результатов механических испытаний.
Изложине материала и его результаты.
Проведем обработку результатов испытаний на изгиб образцов из электровакуумного стекла марки С. 90-1 диаметром 4 мм. Испытания проводились по схеме трехточечного изгиба при расстоянии между опорами 100 мм. Полученные значения прочности при изгибе представляют собой случайные величины X1, которые можно представить в виде вариационного ряда от меньшего значения к большему значению: Х1 < Х7 < Х3 < ...Хп . Задача заключается в
подборе функции распределения полученных значений.
Предпримем попытку оценить соответствие результатов испытаний нормальному закону распределения. Проверку гипотезы о нормальности распределения проведем при
помощи критерия со2, который рекомендуется использовать при объемах п <100 [2].
12л /=1
г 2 Л
F(x<xl) = 0.5 +
1
А/2тг
|ехр
V У
X: -X
Щх) =
ISSN 2077-1738. Сборник научных статей ДонГТУ. 2015. №>2
МЕХАНИКА
где F(x) - значение функции нормального распределения, вычисленное на основе выборочных значений среднего и среднеквадратичного отклонения; zi - нормированная случайная величина; i - номер образца в вариационном ряду; х - среднее значение; S - среднеквадратичное отклонение; W(x) - накопленная частота; п -число значений случайной величины х .
После вычисления псо~ составляют неравенство
псо2 < za , (2)
где 2и - критическое значение критерия псо1; а - уровень значимости. Значения га можно найти в таблице 7.3.4
работы [1] или таблице II работы [2].
Необходимые расчеты для проверки гипотезы о нормальности распределения производим при помощи формул (1) и сводим в таблицу 1. Среднее значение прочности составило х = 89,6 МПа, среднеквадратичное отклонение 5* = 15,55 МПа,
коэффициент вариации V = ^ ^ = 0,174.
2
Таблица 1 - Проверка гипотезы о нормальности распределения с помощью со' критерия
i x¡, МПа x¡ - х , МПа z¡ F(x,) W(x,) F(x,)-W(x,)
1 60,7 -28,90 -1,8585 0,0315 0,0417 0,0102
2 72,4 -17,20 -1,1061 0,1344 0,1250 0,0094
3 82,8 -6,80 -0,4373 0,3310 0,2083 0,1227
4 84,0 -5,60 -0,3601 0,3594 0,2917 0,0677
5 85,1 -4,50 -0,2894 0,3861 0,3750 0,0111
6 86,5 -3,40 -0,1993 0,4210 0,4583 0,0373
7 88,1 -1,50 -0,0965 0,4616 0,5417 0,0801
8 93,8 4,20 0,2701 0,6054 0,6250 0,0196
9 97,9 8,30 0,5338 0,7032 0,7083 0,0051
10 100,4 10,80 0,6945 0,7563 0,7917 0,0354
11 100,9 11,30 0,7267 0,7663 0,8750 0,1087
12 122,6 33,00 2,1222 0,9831 0,9583 0,0248
Найденное значение псо2 = 0,0488 удовлетворяет условию формулы (2) при уровне значимости а > 0,5 [г0 5 = 0,1184), т.е.
для статистической обработки полученных результатов оправдано применение нормального закона распределения. В этом случае для определения крайних значений возможно использование асимптотических формул согласно [3].
XI я X -
1 V 6 • 1гш
где Х\ - математическое ожидание минимального значения случайной величины
X ; X - среднее значение; 5* - средне
квадратичное отклонение для X \ — среднеквадратичное отклонение для Х\; п -число значений случайной величины X .
Для исследуемых испытаний
XI я 89,6-15,55-л1м2 я 65,1 МПа; = к -15,55 = П65МПа
V6-Ы2
Определить значение X, при котором гарантированная доверительная вероятность обнаружить неравенство 65,1 ММП> X была бы равна 95 %, можно по формуле
Х095=Х1-1,64-^. (4)
Следовательно, минимальное значение прочности результатов механических ис-
ISSN 2077-1738. Сборник научных трудов ДонГТУ. 2015. № 2
МЕХАНИКА
пытаний на изгиб образцов из электровакуумного стекла марки С 90-1 составит
Х095 = 65,1-1,64-12,65 = 44,35МПа .
Выводы и направление дальнейших исследований.
Предложенный в статье алгоритм позволяет при помощи методов математической статистики практически определить минимальные значения прочности результатов механических испытаний и может быть использован при статистической обработке любых числовых данных, представленных в виде вариационного ряда. При проверке гипотезы о нормальности распределения при ограниченном объеме выборки (л <50) также целесообразно ис-
Библиографический список
пользование критерия согласия Шапиро-Уилка Ж. Дальнейшие исследования могут быть направлены на оценку влияния условий проведения механических испытаний на прочностные характеристики образцов при помощи различных критериев и методов статистической обработки полученных результатов. Найденное минимальное значение прочности при изгибе электровакуумного стекла марки С. 90-1, создает предпосылки для прогнозирования на основе прочностных расчетов возможности использования данного стекла в качестве конструктивного материала.
1. Смирнов Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений / Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1965. — 511 с.
2. Степнов М. Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний / М. Н. Степнов. —М. : Машиностроение, 1972. —231 с.
3. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике / В. В. Болотин. — 2-е изд., перераб. и доп. —М. : Стройиздат, 1965. —279 с.
Рекомендована к печати д.т.н., проф. ЛГУ им. Даля Харламовым Ю.А.,
к.т.н., проф. ДонГТУ Ульяницким В.Н.
Статья поступила в редакцию 11.11.15.
к.т.н. Долголаптев В.М., Козачишена О.С. (ДонДТУ, м. Алчевськ, ЛНР) ВИЗНАЧЕННЯ ГРАНИЧНИХ ЗНАЧЕНЬ М1ЦНОСТ1 ШЛЯХОМ ОБРОБКИ РЕЗУЛБТАТ1В МЕХАН1ЧНИХ ВИПРОБУВАНБ СКЛА
Наведено результаты обробки мехатчних випробувань на згинання зразтв електровакуумно-го ск.иа марки С. 90-1 за допомогою Memodie математичног статистики. Отримат дат утво-рюють передумови для прогнозування на tpynmi розрахунюв мщноат можливоат використання даного скла в якоат конструкцшного матер1алу.
Ключовг слова: нормальне розподтення, середньоквадратичне вЮхилеппя, накопичена час-
w 2
тота, критерш ОУ, електровакуумне скло марки С. 90-1.
PhD in Engineering Dolgolaptev V.M., Kozachishena E.S. (DonSTU, Alchevsk, LPR) END-POINT STRENGTH VALUES DEFINITION AT PROCESSING THE RESULTS OF MECHANICAL TESTS ON GLASS
Mathematical statistics methods have been used for mechanical bending tests on electron-tube glass samples С 90-1 with the treatment results given. Obtained data create the prerequisites for prognosticating the opportunities of using the glass as a structural material basing the structural analysis.
Key words: normal distribution, root-mean-square deviation, cumulative frequency, criterion (O1, electron-tube glass С 90-1.
