CC BY
427
Определение коэффициентов концентрации напряжений в нестандартных задачах поляризационно-оптическими методами
Г.Н. Албаут, В.Н. Барышников, В.В. Пангаев, М.В. Табанюхова, Н.В. Харинова
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, Новосибирск, 630008, Россия
Анализируются экспериментальные и расчетные данные о величинах коэффициентов концентрации напряжений. Расчет выполнен при использовании программного комплекса SCAD, в основе которого лежит метод конечных элементов. Экспериментальные исследования проводились с помощью поляризационно-оптического метода при исследовании плоских моделей на просвет и методом фотоупругих покрытий. Исследовано два типа задач: упругая работа плоских моделей из пьезооптического оргстекла с ромбическими вырезами, конечные пластические деформации в элементах стальных конструкций с различными концентраторами.
1. Введение
В реальной строительной практике зачастую встает вопрос об эксплуатации конструкций с различными дефектами (трещины, отверстия, выколы и т.д.) или деталями сложной геометрической формы, имеющими источники концентрации напряжений. Вблизи них возникает концентрация напряжений и деформаций, которую необходимо учитывать. В работе приводятся результаты экспериментального определения коэффициентов концентрации напряжений в нестандартных задачах, полученных поляризационно-оптическим методом [1], не имеющих теоретических решений и не включенных в известные справочники по их определению [2, 3]. Выполненные прикладные исследования направлены на корректировку или разработку критериев оценки надежности таких конструкций с дальнейшими рекомендациями по внесению изменений в инженерные методы их расчета.
2. Изменение коэффициентов концентрации напряжений в зависимости от угла раствора симметричных ромбических вырезов
Выполнен поляризационно-оптический и численный эксперимент по изучению влияния угла раствора ромбов, вырезанных в центре прямоугольных моделей, на величину коэффициентов концентрации напряжений. Моделировались плоские элементы конструкций, которые могут быть изготовлены из любого изотропного
строительного материала (металл, кирпич, мелкозернистый бетон и др.). В качестве модельного материала как в расчете, так и в экспериментальном исследовании было использовано пьезооптическое оргстекло марки Э2, с основными характеристиками: модуль упругости Е = 3 500 МПа; коэффициент Пуассона v = 0.4; цена полосы материала по напряжениям Ф0'0 = 1.65 МПа • см.
Для расчетного эксперимента были использованы конечно-элементные схемы с ромбическими вырезами на осях симметрии (рис. 1). Углы раствора ромбов для шести образцов имеют следующие величины: 0°, 22°, 42°, 64°, 90°, 106°. Расчет каждой из пластин был выполнен трижды для конечно-элементных схем с разными базовыми квадратными ячейками со стороной а = = 5; 2.5 и 1 мм. В результате расчета поведения образцов по методу конечных элементов с использованием программного комплекса SCAD получены квазиглавные напряжения в плоскости XOY.
Для поляризационно-оптических испытаний была изготовлена партия образцов, аналогичных расчетным, из оргстекла марки Э2. Эксперименты проводились по схеме исследования образцов на просвет. В исследуемом диапазоне деформирования осуществляется упругая линейная работа образцов, поэтому в данном эксперименте растяжение заменялось сжатием (нагружение обратное по знаку), поскольку при сжатии технически легче обеспечить равномерное нагружение. Схематическое изображение образца и результаты исследований в виде картин полос интерференции при одинаковой
© Албаут Г.Н., Барышников В.Н., Пангаев В.В., Табанюхова М.В., Харинова Н.В., 2003
номинальной нагрузке в трех из шести испытанных образцах с разными вырезами приведены на рис. 2.
По результатам численного и поляризационно-оптического экспериментов определены коэффициенты концентрации напряжений К у вершин ромбических вырезов, расположенных на оси симметрии, с помощью зависимости
V4 (!)
К = -
где атах и а0 — соответственно максимальное и номинальное напряжения. Последнее определяется как отношение нагрузки к площади брутто (для К) или нетто (для К ) горизонтального поперечного сечения образца.
Расчетные максимальные напряжения взяты по результатам численного расчета с использованием метода конечных элементов, а экспериментальные получены с помощью картин полос интерференции. Поскольку на ненагруженном контуре нормальное к нему напряжение равно нулю, а следовательно, реализуется одноосное напряженное состояние, максимальное контурное напряжение можно определить на основании простой зависимости
Л / \ 1 \ / \ 1 \ ! \ ! \ ! \ I \ / \ ! \ / \ / \ ! \ ! \ ! \ ! \ 1 \ 1 \ / *0
А
_ р Ч-
2
>
ч А
! \ / \ { \ / \ ! \ ! / \ { \ / ^ / \ / ^ / \ / ^ / ^ / \ ! \ { \ / \
, 30 , 100
а т
■па 0,
(2)
Рис. 1. Конечно-элементная схема исследуемых моделей
где п — порядок полосы; а 0 — цена полосы образца. Полученные коэффициенты концентрации напряжений представлены в виде таблицы 1 и графиков (только для площади брутто) на рис. 3. Подобные задачи не приводятся в известных справочниках по коэффициентам концентрации, например [2, 3], и потому их решение расширяет границы наших знаний в этой области.
Анализ расчетных коэффициентов концентрации напряжений показывает, что уменьшение размеров конеч-
а = 0о
а = 22°
а = 106°
Рис. 2. Схема нагружения и картины полос в моделях с вырезами
Таблица 1
а° Эксперимен- тальные значения Расчетные значения
а = 5 мм а = 2.5 мм а = 1 мм
K K1 K K1 K K1 K K1
0 6.16 4.31 2.76 1.93 3.98 2.79 6.08 4.26
22 6.60 4.62 2.72 1.91 3.81 2.67 6.55 458
42 6.82 4.77 2.95 2.07 4.20 2.94 6.62 4.63
64 7.04 4.93 2.76 1.93 3.92 2.74 6.14 4.30
90 7.26 5.08 2.71 1.90 3.80 2.66 5.84 4.09
106 6.60 4.62 2.79 1.95 3.90 2.73 5.92 4.14
ных элементов приводит к значительному увеличению напряжений у источников концентрации и приближению их к экспериментальным значениям, т.е. к повышению точности расчета. Это хорошо видно на основе анализа положения трех нижних графиков на рис. 3. С измельчением сетки графики приближаются к верхней экспериментальной кривой. Причем для небольших значений угла выреза, экспериментальная и расчетная кривые практически совпадают (для размера ячейки а = = 1 мм). Однако характер поведения расчетных и экспериментальной кривых различен. По экспериментальным данным происходит рост величины максимальных напряжений при увеличении угла выреза ромба, что иллюстрируется возрастанием верхнего графика изменения коэффициентов концентрации напряжений. Это явление, на первый взгляд, выглядит парадоксальным, поскольку с увеличением угла выреза происходит смягчение сингулярности и, казалось бы, должна уменьшиться концентрация напряжений, но этого не происходит. В то же время, расчетные кривые убывают практически во всем диапазоне исследования, т.е. напряжения уменьшаются при увеличении угла выреза.
Рассмотренная задача моделирует влияние выколов и трещин в элементах конструкций на напряженное со-
-<ч
=гу ♦ Эксперимент ■ ■■■■ Расчет при а = 5 мм —а— Расчет при а = 2.5 мм —о— Расчет при а = 1 мм
*
1 ^ * | 4.
0 40 80
Рис. 3. Графики изменения коэффициентов концентрации напряжений Ка (для площади брутто) в зависимости от угла выреза а
стояние и дает представление об их реальной работе. Экспериментальная проверка численного решениия, выполненного с помощью программного комплекса SCAD, позволяет заключить, что расчет дает систематически заниженные величины коэффициентов концентрации напряжений. Это необходимо учитывать при проведении расчетов реальных конструкций.
3. Определение концентрации напряжений в пластической области металлических элементов с различными концентраторами
В элементах металлических строительных конструкций и деталях машин часто встречаются изменения геометрической формы в виде выкружек, отверстий и т.д., вызванные конструктивной необходимостью, вблизи которых возникают концентрация напряжений и деформаций и области пластического деформирования. В случае линейно-упругой работы материала конструкций коэффициенты концентрации напряжений, необходимые для оценки прочности, определяются с помощью справочников [2, 3]. В пластической области нет надежных расчетных способов их определения, несмотря на значительное количество опубликованных исследований. Поэтому здесь целесообразнее всего определять их экспериментально методом фотоупругих покрытий без использования каких-либо гипотез, допущений, эмпирических формул.
Для проведения исследований изготовлены три типа симметричных полос с выкружками из мягкой строительной стали СтА1 (рис. 4), диаграмма растяжения материала показана на рис. 5. Выбраны наиболее типичные, часто встречающиеся в элементах конструкций виды выкружек: круговая радиусом r = 8 мм, V-образная с радиусом закругления r = 4 мм и углом раствора 60о, U-образная с радиусом r = 4 мм. Схемы, размеры образцов и картины полос в покрытиях представлены на рис. 4.
В качестве пьезооптических материалов для покрытий использовалась композиция на основе эпоксидной смолы ЭД40 с ценой полосы по деформациям £0° = 6.1 • Ю-4 см и полиуретановый каучук СКУ-6 с 80° = 0.01 см. Эти материалы работают при разных условиях деформирования. На исследуемые образцы наклеивались покрытия толщиной 2 мм с двух сторон: с одной — из эпоксидной смолы для изучения небольших упруго-пластических деформаций порядка 2-5 %, с другой — из каучука СКУ-6 для определения больших деформаций.
Растяжение образцов проводили на разрывной машине ступенями с фиксацией нагрузки и картин полос на каждой. До разрушения произведено по 15-20 этапов нагружения. Упругоработающие покрытия позволили определить деформации с помощью V-образного полярископа, работающего в отраженном свете.
Ш
Рис. 4. Картины интерференционных полос в покрытиях при ступенчатом нагружении стальных элементов с концентраторами различной формы
Результаты поляризационно-оптического исследования на каждом этапе нагружения позволили определить коэффициенты концентрации напряжений вблизи концентраторов. Для их вычисления по картинам полос интерференции в покрытии вначале были получены максимальные деформации вблизи концентратора с по-
мощью цены полосы материала покрытия или тариро-вочного графика. Далее напряжения в натурной детали у источника концентрации определялись с помощью диаграммы растяжения, представленной на рис. 5. Номинальные напряжения вычисляли как отношение нагрузки к площади в ослабленном сечении образцов, а
Рис. 5. Графики изменения Ка и Ке при развитых пластических деформациях (а); диаграмма растяжения стали класса А1 (б)
номинальные деформации до предела пропорциональности находили по закону Гука, а далее по известному напряжению с помощью диаграммы растяжения. На основании полученных экспериментальных данных построены графические зависимости изменения Кс и КЕ от номинальных деформаций, которые представлены на рис. 5.
Анализ графических зависимостей Кс и КЕ показывает, что есть общие закономерности их характера для стальных образцов с разными выкружками. При малых упругих деформациях Кс = КЕ. Экспериментальные значения этих коэффициентов в упругой области для первого образца равны 2.12; для второго — 2.24; для третьего — 2.4 (рис. 5, а). Эти результаты практически совпадают со значениями, полученными с помощью справочника Р. Петерсона [2]: Кс = 2.1; 2.25 и 2.41 соответственно. В пластической области Кс и КЕ ведут себя по-разному. При выходе на площадку текучести Кс резко уменьшается до своего минимального значения, порядка 1.09-1.15. Далее при переходе материала на стадию упрочнения Кс вначале возрастает, достигая местного максимума (по значению меньшего, чем при упругой работе) при номинальных деформациях порядка 1.5 %, и затем плавно уменьшается до разрушения. Перед разрушением Кс уменьшается до значений: в образце с круговой выкружкой Кс = 1.14; с V-образным вырезом Кс = 1.33; с и-образным Кс = = 1.35. Графические зависимости КЕ с ростом уровня пластического деформирования ведут себя по сравнению с зависимостями Кс с противоположными тенденциями в смысле убывания-возрастания. Так, когда деформации у концентратора проходят площадку текучести, КЕ возрастает до экстремальных значений 4.065.1. Затем в зоне упрочнения КЕ уменьшается вначале быстро, затем медленно, достигая местного минимума при номинальных деформациях 1.5 %, далее плавно и несущественно изменяется до разрушения.
В качестве примера показана возможность экспериментальной проверки методом нелинейной фотоупругости теоретического решения Г. Нейбера [4] — формулы (3), связывающей коэффициенты концентрации напряжений и деформаций в нелинейной области деформирования для любых физически и геометрически нели-
нейных материалов. Зависимость Нейбера взята в форме [4]
к = 7 К Ке , (3)
где К — коэффициент концентрации напряжений и деформаций в стадии линейно-упругого деформирования. Величины К, полученные с помощью (3) по экспериментально определенным величинам Кс и КЕ, нанесены на рис. 5 пунктирными линиями. Можно отметить, что результаты проверки хорошо подтверждают теоретическую зависимость (3) для используемой стали А1 в рассматриваемом диапазоне деформирования. В данных примерах элементы разрушались при номинальных деформациях около 6 %.
4. Заключение
Предложен и отработан надежный экспериментальный способ, основанный на использовании метода фо-тоупругих покрытий, для определения коэффициентов концентрации напряжений и деформаций в пластической области при конечных деформациях. Отмечено, что с ростом деформаций происходит расширение зоны возмущения напряженного состояния вблизи концентратора, сглаживание пиковых значений напряжений, что уменьшает концентрацию напряжений, которая в области больших перемещений становится менее опасной, чем при малых упругих перемещениях. Этот важный факт может быть использован в инженерном проектировании.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Гранты №№ 02-01-00222, МАС 03-01-06128).
Литература
1. Александров А.Я., Ахметзянов М.Х. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого тела. - М.: Наука, 1973. - 573 с.
2. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. Графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. -М.: Мир, 1977. - 450 с.
3. Савин Г.Н., Тулъчий В.И. Справочник по концентрации напряжений. - Киев: Высшая школа, 1976. - 412 с.
4. Нейбер Г., Ханн Г Проблема концентрации напряжений в научных
исследованиях и технике // Сб. переводов «Механика». - М.: Мир, 1967. - № 3. - С. 109-131.
Determination of stress concentration factors in nonstandard problems by polarization-optical methods
G.N. Albaut, V.N. Baryshnikov, V.V Pangaev, M.V. Tabanyukhova, and N.V. Kharinova
Novosibirsk State Architecture-Building University, Novosibirsk, 630008, Russia
Experimental and calculation data on the values of stress concentration factors are analyzed. The calculations are performed with the use of the software SCAD based on the finite-element method. The experimental studies are carried out using a polarization-optical method by examining plane models in transmitted light and by the photoelastic coating method. Consideration is given to two types of problems, namely, the elastic behavior of plane models from piezo-optical plexiglas with rhomb-shaped notches and finite plastic deformations in steel constructional elements with different concentrators.
