Определение коэффициентов энергетической связи двух балок с использованием метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/

2005, 24

И. В. Грушецкий, А. В. Смольников

ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова

Россия, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44, e-mail: [email protected]

Определение коэффициентов энергетической связи двух балок с использованием метода конечных элементов

Получена 10.06.2005, опубликована 11.08.2005

Среди исходных данных при расчете звука и вибрации энергетическим методом особенно важны коэффициенты энергетической связи (КЭС) подсистем, которые наряду с коэффициентами внутренних потерь составляют матрицу системы уравнений энергетического баланса. КЭС могут быть определены аналитически, экспериментально или путем численного моделирования. Наиболее универсальным, но менее разработанным на сегодняшний день, является последний способ. В данной работе представлено определение КЭС двух балок в угловом соединении путем моделирования системы методом конечных элементов. Показано, что полученные таким способом КЭС отличаются от аналитических значений, но дают лучшие результаты при использовании для расчета вибрации в конструкции, состоящей из четырех последовательно соединенных балок.

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее распространенными в современной практике методами расчетов в области колебаний сложных инженерных конструкций являются метод конечных элементов (МКЭ) и энергетический метод (ЭМ). Энергетический метод часто называют статистическим энергетическим методом (СЭМ), имея в виду особенности допущений при его применении. Эти методы реализованы в виде коммерческих программ: АКБУБ,

МКЭ является более точным и универсальным, но дорогостоящим методом расчета, поскольку требует построения весьма подробной модели конструкции и высокопроизводительных средств вычислительной техники. Поэтому МКЭ применяется обычно на инфразвуковых и низких звуковых частотах. ЭМ приближенный, но более экономичный. Экономичность определяют упрощенное моделирование конструкции, меньший объем исходных данных, невысокие требования к вычислительной технике.

При расчете ЭМ надо знать коэффициенты энергетической связи (КЭС) элементов, составляющих конструкцию — подсистем. КЭС подсистем могут быть рассчитаны аналитически — из коэффициентов прохождения энергии через соединение подсистем. Однако такие коэффициенты прохождения известны из аналитических решений лишь

NASTRAN, ABACUS (МКЭ), AutoSEA, SEAM, SEADS (ЭМ) и др.

для некоторых элементарных типов соединений (Г-, Т-, крестообразные соединения полубесконечных балок или пластин и некоторые другие [1]). Для практических расчетов такой информации зачастую бывает недостаточно. Экспериментальный способ определения КЭС не отличается по сути от рассматриваемого ниже численного способа, но является трудоемким и дорогостоящим, поскольку требует организации сложного физического эксперимента.

В основе универсального способа определения КЭС (для любых соединений) лежит численное моделирование подсистем, входящих в соединение. При этом МКЭ рассчитываются энергии колебаний подсистем при введении энергии в каждую из подсистем по отдельности, а КЭС находятся решением системы линейных уравнений, коэффициентами которой являются энергии колебаний подсистем. Пример определения КЭС с использованием МКЭ для соединений пластин (строительных панелей) представлен в работе [2]. Причем размеры пластин задавались в виде случайных величин, что отражает реальную ситуацию, когда характеристики конструкции неизвестны точно. Такой подход к практическим расчетам представляется единственно правильным, однако не показывает достаточно ясно, как соотносятся КЭС, полученные аналитически и численно, и конечные результаты расчета (энергии колебаний подсистем), полученные с использованием тех и других КЭС. В данной работе такое сравнение выполняется на примере балок с детерминированными свойствами в угловом соединении.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ ДВУХ ПОДСИСТЕМ МКЭ

Для определения КЭС системы уравнений энергетического баланса (СУЭБ) составляются для случаев введения энергии в систему через каждую из подсистем по отдельности. Например, для системы из двух подсистем получается система из четырех уравнений для определения четырех неизвестных: двух КЭС (п12, П21) и двух коэффициентов внутренних потерь (п, П2):

П1Е11 + П12 Е11 — П21Е21 _ Щ / ®;

П2Е21 + П21Е21 — П12Е11 _ 0; (1) П1Е12 + П12Е12 — П21Е22 _ 0;

П2Е22 + П21Е22 — П12Е12 _ Щ2 /®,

где Е11, Е12 Е21, Е22 — энергии колебаний подсистем 1 и 2 (первый индекс) при введении энергии в подсистему 1 и 2 (второй индекс), соответственно; Щ и W2 — вводимые мощности. Энергии колебаний и вводимые мощности определяются МКЭ.

Аналитическое решение системы уравнений (1) имеет вид:

П2 _ ЕшЕи - Е21 Е„’ (2) Щ' ЕггЕ„ - ЕгЛг' (3)

(»»22 -О)Е2, . (4) п (Ш2/т)Еп-(1У,/а)Е,2

^ ЕЕ - ее ’ () ЕЕ - ЕЕ

22 11 21 12 22 11 21 12

При известных коэффициентах внутренних потерь для определения двух неизвестных ,12 и ,21 можно использовать по одному уравнению из каждой пары, например:

П2 Е21 + П21Е21 - П12 Е11 _ 0,

П1Е12 + П12 Е12 П21Е22 0' Отсюда

(6)

, _ Е21 (2Е22 + ,1Е12 ) . , _ Е12 (ПЕ11 +,2Е21 ) (7)

Е Е Е Е ’ ЕЕ -ЕЕ (7)

Е11Е22 Е12Е21 Е11Е22 Е12Е21

При одинаковых внутренних потерях в подсистемах:

,, ПЕ21 (Е22 + Е12) . п _ ПЕ.2 (Е„ + Е„) (8)

Е11Е,2 - Е„Е2/ ,2‘ Е11Е22 - Е„Е„' (8)

При использовании решений (7) или (8) не требуется определять вводимую мощность, что упрощает расчеты.

2. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ КЭС ДВУХ БАЛОК В УГЛОВОМ СОЕДИНЕНИИ

Найдем, для примера, КЭС соединения двух одинаковых балок, рис. 1. Жесткое соединение балок свободно оперто; в такой конструкции под действием поперечной силы возникают только поперечные колебания, что упрощает расчеты и анализ результатов, но не ограничивает выводы. Длина балок — 1 м, поперечное сечение — 5x1 см (балки соединены между собой вдоль длинной стороны сечения), материал — сталь, коэффициент внутренних потерь — 0.01. Гармоническая сила поочередно приложена к свободным концам.

Рис. 1.

Конструкция, используемая для расчета КЭС МКЭ

При моделировании МКЭ балки разбивались на стандартные балочные элементы длиной около 1 см. Энергии колебаний балок (Еь) рассчитывалсь из комплексных смещений в узлах сетки элементов, полученных в результате решения МКЭ, по формуле

где ¿;п — амплитуда смещения в узле, Мп — масса балки, приходящаяся на узел, N —

число узлов сетки элементов.

Расчеты энергии колебаний выполнялись на частотах свободных колебаний конструкции, результаты суммировались в октавных полосах частот. Расчет КЭС выполнялся по формулам (8).

Аналитически КЭС определялись по формуле

где Ту — коэффициент прохождения (по энергии) изгибных волн из балки і в балку у;

— групповая скорость изгибных волн в балке і, Ьі — длина балки і. Для соединения

балок под прямым углом коэффициент прохождения энергии через соединение (т) получен аналитически [3] и составляет 0.5 для балок одинакового поперечного сечения (при этом виброизоляция соединения — 3 дБ).

Результаты численного и аналитического расчетов КЭС представлены на рис. 2. Разница результатов очевидна. Рассмотрим, как это влияет на результаты расчета энергии колебаний балочной конструкции.

(9)

(10)

КЭС

10'

Рис. 2.

Результаты расчета КЭС

___ с использованием МКЭ

аналитически

10'

.-2

31 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

3. РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИИ

Для расчета была использована конструкция из четырех одинаковых балок (1 м), последовательно соединенных под прямым углом, представленная на рис. 3. Характеристики балок те же, что и при определении КЭС (раздел 2).

Рис. 3. Конструкция из последовательно соединенных балок, используемая для проверки рассчитанных КЭС

Расчеты выполнялись ЭМ (приближенным методом) и МКЭ (более точным методом). СУЭБ для такой конструкции имеет вид

а

П +П12 -Пі 0

Пі2 П +П21 +П23 Пз2

0 -Пз Пз +П32 +П34

0

0

П34

0 0

П43 П +П43

Г Е Л

е2

Ез

V Е4 У

fW1 ^ 0 0 0

(11)

где п ... п4 — коэффициенты внутренних потерь в балках; п12 • • • П43 — коэффициенты энергетической связи балок; Ж1 — мощность, вводимая балку 1 силой Е (1 Н); Е1 . Е4 — неизвестные энергии колебаний, а — круговая частота.

Чтобы можно было сравнивать результаты расчетов МКЭ и ЭМ, в правой части уравнений (11) использовалась вводимая мощность, полученная МКЭ для конструкции из 4-х балок при действии силы 1 Н.

На рис. 4 представлены энергии колебаний балок конструкции, рассчитанные МКЭ и ЭМ. Видно, что результаты расчета МКЭ и ЭМ хорошо совпадают, если в ЭМ использованы КЭС, полученные МКЭ. Небольшое различие результатов (менее 1 дБ) может быть связано с тем, что при определении КЭС МКЭ моделировалась не полная конструкция, а только ее фрагмент из двух балок, причем с отличными от балок в конструкции граничными условиями. К тому же при моделировании фрагмента не учитывается отток энергии в присоединенные конструкции. Использование в ЭМ аналитических значений КЭС, очевидно, дает заниженные результаты для наиболее удаленной балки (рис. 4(4)).

Е +101§ а , дБ

Е +101§ а , дБ

1)

3)

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Е + 101§а , дБ

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

2)

4)

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Е + 101§а , дБ

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Рис. 4. Энергия колебаний балок 1.4 конструкции из четырех одинаковых балок,

___□___ расчет ЭМ, КЭС получены МКЭ

_______ расчет ЭМ, КЭС аналитические

___о___ расчет МКЭ

На рис. 5 также представлены рассчитанные энергии колебаний, но

сгруппированные иным образом. Из рис. видно, что на частотах выше 1000 Гц энергии колебаний балок 2, 3 и 4, рассчитанные МКЭ, меньше энергии балки 1 и практически одинаковы (рис. 5а). Этот результат согласуется с теоретическими представлениями [4], согласно которым перепад вибрации в конструкции с периодически расположенными препятствиями (в данном случае препятствиями являются угловые соединения) наблюдается лишь на одном-двух первых препятствиях, а далее ослабления вибрации практически не происходит. На такую же тенденцию указывают результаты расчета ЭМ при использовании КЭС, полученных МКЭ (рис. 5б). Если же применяются аналитические КЭС, то снижение вибрации при удалении от точки возбуждения заметно больше (рис. 5в).

Е + 101%ю , дБ

Е +101§ а , дБ

а)

в)

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Е + 101§а , дБ

б)

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Рис. 5. Энергия колебаний балок 1.4

конструкции из четырех одинаковых балок

а) расчет МКЭ

б) расчет ЭМ, КЭС получены МКЭ

в) расчет ЭМ, КЭС аналитические

о балка 1

---+— балка 2

---о---- балка 3

---л— балка 4

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Таким образом, использование КЭС, полученных МКЭ при моделировании фрагмента конструкции, дает хорошие результаты расчета конструкции в целом. В представленном примере расчет ЭМ с использованием таких КЭС практически совпадает с расчетом МКЭ. Использование аналитических КЭС дает худшие результаты для удаленных от точки возбуждения элементов конструкции.

Отметим, что на низких частотах исследованного диапазона результаты двух расчетов ЭМ примерно одинаковы, несмотря на большее, чем на высоких частотах, и значительное (более чем на порядок) различие КЭС. Здесь важно, что КЭС в обоих случаях больше коэффициента внутренних потерь и что т]у = Пц. Для совпадения

результатов расчетов ЭМ с МКЭ важно также правильно определить вводимую мощность (в данном примере расчета мощность для правой части СУЭБ была получена МКЭ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рассмотренном примере расчета использование в СУЭБ КЭС, полученных численно (МКЭ), дает лучшие результаты расчета ЭМ вибрации балочной конструкции, чем применение известных аналитических решений. Причем важно, что с использованием МКЭ КЭС получены напрямую, без каких-либо допущений.

Результаты расчета ЭМ совпадают с МКЭ несмотря на то, что при моделировании МКЭ фрагмента конструкции КЭС определяются приближенно, поскольку не учитываются отток энергии из фрагмента в остальную часть конструкции и обратный приток, а также не моделируются граничные условия. Если моделировать МКЭ конструкцию целиком, то найденные КЭС будут точными в том смысле, что их подстановка в СУЭБ для определения энергий даст те же решения, что и МКЭ. Однако в таком случае решение ЭМ не требуется: вибрационные характеристики конструкции уже определены МКЭ. Оптимальная комбинация ЭМ и МКЭ состоит именно в том, что для определения КЭС МКЭ моделируются фрагменты сложной конструкции, входящие в соединения, а расчет конструкции в целом выполняется более экономичным ЭМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. С. Н. Овсянников. Распространение звуковой вибрации в гражданских зданиях.

Издательство Томского государственного архитектурно-строительного

университета, 2000.

2. C. Hopkins. Statistical energy analysis of coupled plate systems with low modal density and low modal overlap. JSV. 2002, V. 251, No 2, pp. 193-214.

3. L. Cremer, M. Heckl, E. E. Ungar. Structure-Borne Sound, 2nd edition, Springer, Berlin, 1988.

4. В. Т. Ляпунов, А. С. Никифоров. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л. «Судостроение», 1975.