CC BY
43
УДК 681.51.01
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ КАУЗАЛЬНОСТИ, СТРУКТУРНЫХ УПРАВЛЯЕМОСТИ, НАБЛЮДАЕМОСТИ, ДОСТИЖИМОСТИ И ВОССТАНАВЛИВАЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.М. Малышенко
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Предложен способ определения структурных инвариантов (индексов) таких фундаментальных свойств управляемых линейных динамических систем как каузальность, управляемость, наблюдаемость, восстанавливаемость и достижимость, базирующийся на использовании формируемых для этих систем матриц достижимости.
Ключевые слова:
Динамическая система, каузальность, управляемость, наблюдаемость, восстанавливаемость, достижимость, структурные инварианты, индексы, определение, матрицы достижимости.
Key words:
Dynamic system, causality, controllability, observebility, restorebility, reachability, structural invariant, indices, definition, matrix of reachability.
Введение
Практический интерес к таким фундаментальным свойствам управляемых объектов и систем как управляемость, наблюдаемость, достижимость и восстанавливаемость (УНДВ) и каузальность обусловлен их явно выраженным влиянием на разрешимость многих задач управления динамическими объектами (системами) и максимально возможные при этом результаты.
Оценка структурных свойств УНДВ и каузальности объектов и систем представляет практический интерес и все чаще используется в исследовательских работах на этапах предпроектных исследований или схемотехнического и параметрического синтеза. То есть, когда имеется возможность изменять (подстраивать) параметры, и важно знать, можно ли в принципе выбрать их так, чтобы обеспечивалась полная управляемость, достижимость, наблюдаемость и восстанавливаемость системы, минимизировалось временное запаздывание в ее реакциях на управляющие воздействия. В подобных случаях оценка структурных свойств УНДВ позволяет получить необходимые сведения о системе при относительно небольших затратах на вычисления, избежать тех сложностей, с которыми часто приходится сталкиваться при использовании для этого алгебраических ранговых критериев, связанных с плохой обусловленностью используемых при этом матриц управляемости, наблюдаемости, достижимости и восстанавливаемости. Заметим также, что количественные оценки вышеуказанных структурных свойств управляемых объектов широко используются в настоящее время при формировании специализированных форм математических моделей, используемых при исследовании свойств этих объектов и синтезе управляющих устройств в создаваемых для них системах автоматического управления.
Малышенко Александр
Максимович, д-р техн. наук,
профессор, зав. кафедрой
интегрированных
компьютерных систем
управления Института
кибернетики ТПУ.
E-mail: [email protected]
Область научных интересов:
теория автоматического
управления, управление
подвижными объектами,
моделирование и реинжиниринг
бизнес-процессов, диагностика
технологического
оборудования.
1. Основные определения
Каузальность (от англ. слова causality) характеризует вход-выходную (причинную) взаимообусловленность и инерционность процессов в управляемых объектах и системах. Связанные с каузальностью публикации в основном фиксируют наличие этого свойства у управляемого объекта или системы. Для квалиметрии этого свойства у линейных дискретных по времени и одномерных по входу и выходу динамических систем используется так называемое характеристическое число системы [1] равное числу тактов запаздывания выходного сигнала системы от начала изменения входного сигнала. Для аналогичных непрерывных по времени систем используют количественный показатель каузальности, получивший название дифференциальная степень системы.
Указанные выше показатели, как и индексы управляемости, наблюдаемости, достижимости и восстанавливаемости [2], характеризуют структурные и динамические свойства систем и имеют близкую с ними природу. В этой связи в [3, 4] автором было предложено для квалиметрии каузальности динамических систем использовать индексы каузальности.
Рассмотрим класс многомерных по входу и/или выходу динамических систем с дискретным временем, уравнениями динамики
х(t+l)=g(x(t), u(t)), y (t) = h (x(t), u(t)), (1)
в которых x e Rn - вектор состояния системы; y e Rp - вектор ее выхода; u e Rm - вектор управления; начальное состояние
x
(0) = 0; у (б) = 0; (2)
g : Яп х Ят х Яг ^ Яп ; И : Яп х Ят х Яг ^ Яр - гладкие вектор-функции, причем £■((),0,0) = 0; /?(0,0,0) = 0. Если воспользоваться обозначениями: С х ( 0 ) ; иу □ и ( у) ;
ЯУ □ #(#(...( я(я(х0,и0, /0),71Ь /^,712, /2УУиу_ъ
И (') - г -я строка вектор-функции И(•) и допущением, что Ь о gV - однозначное (сюрьективное) вход-выходное отображение такой системы на интервале 0 < t < V , то индекс каузальности ■ системы (1) по выходу у, / е 1, р и управлению иу, у е 1, т - это
наименьшее целое t, для которого при начальном состоянии (2)
д
д uj
(hi°gr)
* 0.
Пусть динамическая система линейна и описывается математической моделью в форме «вход-состояние-выход» вида
а х(ґ) = Ах(ґ) + Ви(ґ) , у (ґ) = Сх(ґ) + Би(ґ) , (3)
в которой использованы те же обозначения, что и в (1). При этом а х (ґ) в случае непрерывных систем означает dx / dt, а в случае дискретных по времени систем соответствует х (ґ + 1), причем в последнем случае ґ представляет собой относительное время. Тогда под индексом каузальности к^ по выходу Уі, і є 1, р и управлению и^, ] є 1, т для такой непрерывной системы следует понимать минимально возможный порядок а > 0 отличной от нуля в момент
^ = 0 + производной у( а ) (I) реакции системы на управление и ^ ( /) при начальном условии
(2). В случае дискретной по времени системы указанный индекс каузальности к и .■ равен числу
1 V
тактов запаздывания начала изменения уг- от начала изменения управления и ^ при том же начальном условии.
Для многомерных по входу и выходу систем каузальность следует характеризовать матрицей индексов каузальности, сформированной из индексов каузальности ки между
1 ]
всеми входами и выходами системы.
2. Вычисление индексов каузальности
Процедура вычисления индексов каузальности для линейных динамических систем, описываемых моделью «вход-состояние-выход» (3), может быть проведена по диграфу системы (что эффективно лишь при относительно небольшой суммарной размерности ее векторов и, X, у). В противном случае она согласно [3] может быть заменена вычислением
этих показателей по матрицам достижимости SN, N = 1, п , которые для рассматриваемого
■а = ((Л + Е)" ) ' =(( ^ 1)" ), (4)
класса систем определяются как
А
SN =
где 11 - единичная аха матрица, где а = П + m + p, а символ « * » здесь и далее означает,
что соответствующие преобразования выполняются по правилам булевой алгебры. Используемая в (4) матрица смежности системы
А '• пп • /? • 11111 • а, к О
E = 0 m а • ^111111 • ^111 р
С рп ■ ^ р 111 ■ ®рр
(5)
Последняя для систем класса (3) представляет собой квадратную булеву матрицу размера аха, и формируется по матрицам параметров А, В, С, О системы (3) путем замены
этих матриц на эквивалентные им (0,1)-матрицы Апп, Впт, Срп, Орт, отличающихся от
А, В, С, О тем, что в них заменены единицами все их ненулевые элементы. Индексы в (5)
указывают на размерность соответствующих блочных матриц. В случае, когда в (3) О = 0,
вместо матрицы Орт в (4) вводится нуль-матрица 0рт .
Индексы каузальности системы могут быть определены и непосредственно по матрице смежности, точнее по множеству
EN =((=)= ) , N = == . (6)
Если представить EN как блочную матрицу вида
EN І1і1у пп : FN ^71 p
EN = 0 m л ■ ІЦ1 111 • ^111 p
FN -E1N pn : /гдT ■ ’ p m • Ipp
(7)
то индексы каузальности системы будут определяться блочными матрицами ENpm, N = 1,2,3,...,п . В частности, индекс каузальности системы по входу иV и выходу у
определяется как = q — 1, где q - наименьшая степень в ряду (6), при которой в матрице ЕЦрт (і,І) -ый элемент равен единице. Индексом каузальности к системы по выходу у;-будет уменьшенное на единицу значение q, при котором в І -й строке Eqpm впервые
появится единица, а индексом каузальности всей системы в целом - уменьшенное на единицу значение q , при котором в ряду Eqpm впервые появится отличный от нуля элемент.
3. Определение индексов структурных управляемости, наблюдаемости, достижимости и восстанавливаемости
Структурная управляемость (это понятие введено в теорию динамических систем, по-видимому, С.Т. Лином (С. Т. Lin) в [5] и распространено на многомерные по входу и выходу системы в [6]), а также структурные наблюдаемость, достижимость, восстанавливаемость характеризуют соответствующие свойства не при фиксирован-ных параметризациях математических моделей систем, а на всем многообразии численных значений всех их параметров. В частности, для систем (3) это соответствует оценке данных свойств при условии замены всех ненулевых элементов матриц А, В, С, О единичными значениями, т. е. замене
этих матриц на эквивалентные им (0,1)-матрицы АПп, Впт, Срп, Орт.
Описанные выше матрицы смежности (5) динамических систем могут успешно использоваться не только при определении индексов каузальности таких систем, но и при исследовании их структурных УНДВ. Если предположить, что процессы в исследуемом управляемом объекте описываются моделью (3) и он является строго каузальным (О = 0), то
блок-матрицы ЕЫ пт матриц смежности ЕЫ, определенных по (6) и (7) при N = 1, п в
совокупности формируют матрицу структурной достижимости
(8)
_п—1 *
р = В, А■ В,...,А ■ В = 1пт, Е 2 пт,Е 3 пт,-., Еппт
а блок-матрицы S N рп - матрицу структурной наблюдаемости
— -Т-Г-
в
-Т -Т -Т 1-т\2-Т С , А ■ С , (А ) С ,.. , (АТ) СТ * - ^ 1рп, Е -рп , Е 3рп,.. Е р п 1
\ ! \ /
(9)
Для обратимых систем структурная управляемость может быть определена по матрице Р в соответствии с (8), а структурная восстанавливаемость - по матрице (9).
Таким образом, вычислив матрицы ЕН, N = 1, п и сформировав по ним матрицы структурных УНДВ согласно (8), (9), можно в дальнейшем по ним проверить, выполняются ли у исследуемого объекта ранговые условия структурных УНДВ. Для этого необходимо вычислить структурные ранги матриц соответственно (8), (9). По этим же матрицам могут быть определены и индексы структурных управляемости, достижимости, наблюдаемости и восстанавливаемости.
Выводы
Определение структурных инвариантов (индексов) каузальности, управляемости, достижимости, наблюдаемости и восстанавливаемости обратимых линейных динамических систем, описываемых моделью (3), может быть сведено к формированию для этих систем матриц смежности (5), а затем по ним - матриц достижимости (4), структурных управляемости и наблюдаемости (соответственно, (8) и (9)) и рангов последних. Этим самым обеспечивается
единообразие определения указанных инвариантов и сокращение необходимых для этого
вычислительных процедур.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lee H.G., Aropostathis A., Markus S.I. Linearisation of discrete-time systems // International Journal of Control. - 1987. - V. 45. - № 5. - P. 1803-1822.
2. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем. - М.: Наука, 1985. - 296 с.
3. Малышенко А.М. Определение индексов каузальности управляемых динамических систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1990. - Т. 36. - № 1.- С. 32-36.
4. Малышенко А.М. Системы автоматического управления с избыточной размерностью вектора управления. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - 302 с.
5. Lin C. T. Structural controllability // IEEE Transactions Automatic Control. - 1974. - V. AC-19. - № 3. - P. 201-208.
6. Shields R.W., Pearson J.B. Structural controllability of multi-input linear systems // IEEE Transactions Automatic Control. - 1976. - V. AC-21. - № 2. - P. 203-212.
Поступила 08.11.2011
