CC BY
6
ПЕРЕЛ1 К ПОСИЛАНЬ
1. Черноруцкий И,Г, Оптимальный параметрический синтез.-Л.: Энергоатомиздат, 1987.-128с.
2. Соболь И,М,, Статников Р,Б, Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. - М.: Наука, 1981.-108с.
3. Жданюк Б,Ф, Основы статистической обработки траектор-ных измерений.-М.:Сов. Радио,1978.-384с.
4. Крамер Г, Математические методы статистики./Пер. с англ. -М.:Мир,1975.-648с.
Надшшла 17.02.2000
УДК 621.38
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В СТАТИКЕ
А. И. Вершина, Л. В. Кузьмина
Рассматриваются пути повышения эффективности определения функций чувствительности при моделировании радиоэлектронных схем в статике. Учет закономерностей, которые имеют место в описывающих их уравнениях, позволяют предложить новые алгоритмы решения этой задачи.
Розглядаються шляхи тдвищення ефективностг визначен-ня функцп чутливостг при моделюванш радгоелектронних мереж у статицг. Врахування закономгрностей, якг мають мгсце в ргвняннях, що ¿х описують, дозволяють запропонува-ти новг алгоритми ргшення цге'( задачг.
Presented are the ways for increasing the efficiency of determining functions of sensitivity while simulating radio-electronic networks in static. Consideration of relationships occurring in equations describing the latter permits to propose new algorithms for solving this problem.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важнейших задач моделирования радиоэлектронных схем является определение функций чувствительности, под которыми понимаются значения частных производных выходных переменных по параметрам элементов, образующих эту схему [1-3]. Функции чувствительности лежат в основе различных градиентных методов оптимизации, могут использоваться для оценки статистических характеристик и для решения задач синтеза радиоэлектронных схем. При моделировании относительно сложных радиоэлектронных схем определение функций чувствительности представляет собой довольно трудоемкую задачу, связанную с многократным решением систем уравнений высокого порядка. В связи с этим поиск методов повышения эффективности нахождения функций чувствительности является актуальной задачей.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В общем случае радиоэлектронная схема описывается системой нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений
f (*х. p) = 0,
(1)
Эх
где ^ и т—■ - значения неизвестных переменных и их от
производных по времени;
р - параметры элементов радиоэлектронной схемы.
Для статических режимов имеем ^ = 0 и уравнение
дЬ
имеет вид
F(х, p) = 0 .
(2)
Производная по параметрам запишется следующим образом:
dF дх + dF _ о Эх dp dp '
отсюда
dF dp
эп4 эг dp '
"[эх]
(3)
(4)
Набор выходных переменных можно представить как матрицу-столбец
ф(х, p) ,
(5)
для которой значение функции чувствительности запишем в виде
(6)
Аф( х, p) = дфдх+дф. dp И дх dp dp
„ дх
После подстановки выражения для ^, получим
d , ч Эф rdF"| 1 dF , Эф /7ч
^ф(х'p) = эх Ы Э-^+ dp, (7)
d p dp
где —ф(х, p) - матрица производных выходных пере-dp
менных по варьируемым параметрам;
Эш
д* - матрица частных производных выходных переменных по неизвестным;
ЭХ - матрица Якоби; ЭР
др - матрица частных производных уравнении по варьируемым параметрам;
Эш
др - матрица частных производных выходных переменных по варьируемым параметрам.
Выражение (7) лежит в основе двух основных подходов к определению чувствительности: метода моделеИ и метода присоединенных схем. Оба этих метода могут рассматриваться с позиции последовательности выполнения операции данного выражения. Так, если выполнять сначала операции умножения
,-1
матрицы ЭХ на [д^ , то такоИ подход может быть интерпретирован как метод присоединенных схем. В случае, если выполнить сначала операции умножения мат-
рицы
[эх]
1
ЭР
на эр , то такой подход интерпретируется
как метод моделеИ. Целесообразность использования того или иного подхода определяется объемами вычислении, которые зависят от количества выходных переменных и количества варьируемых параметров. Эта проблема имеет место, когда моделируемая схема достаточно сложна и описывается системои уравнении высокого порядка, что не позволяет непосредственно находить об-
ратную матрицу ^ЭХ] , а все необходимые
или иного подхода к определению функциИ чувствительности в основном зависит от количества выходных переменных и от количества варьируемых параметров.
Если обозначить через т - количество выходных переменных, а через I - число варьируемых параметров, то при т > I целесообразно применять метод моделеИ. В случае, когда т < I, применяется метод присоединенных схем. При этом, как т , так и I должны быть меньше количества неизвестных п иначе объем вычислениИ превысит объем операциИ для нахождения всеИ обрат-ноИ матрицы, после нахождения котороИ трудоемкость определения функциИ чувствительности любых выходных переменных по любым варьируемым параметрам незначительна.
Предлагается решение задачи дальнеИшего повышения эффективности определения функциИ чувствительности путем учета закономерностеИ, которые являются следствием представления моделеИ радиоэлектронных схем взаимосвязью двухполюсных элементов. Эти зако-
ЭР Эф
номерности заключены в матрицах эр и эХ •
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим матрицу ^. Как правило, для таких уравнениИ функция ф(х) может быть представлена в
ЭФ* _ ЭФ* _ ЭФ*
виде ф^(а) где а = (X; - хА . Отсюда
Э х; Э X: Э а
вычисления
производить путем решения систем линеИных уравнениИ с учетом разреженности матрицы ЭХ [4]. На этапе решения матрица ЭХ подвергается Ьи-разложению. При этом
в методе моделеИ последовательно решаются две системы уравнениИ с полученными в результате разложения треугольными матрицами. В методе присоединенных схем матрица, описывающая присоединенную схему, может рассматриваться как транспонированная по отноше-
ЭР
нию к исходнои матрице ^х и также решаются системы
уравнениИ с ранее полученными, но транспонированными треугольными матрицами.
Следует отметить, что Ьи-разложение осуществляется на каждоИ итерации решения системы нелинеИных уравнениИ (2) и для последующего нахождения функциИ чувствительности используется это разложения на последнеИ итерации. Объемы операциИ с транспонированными и исходными треугольными матрицами примерно одинаковы. Поэтому целесообразность того
Тогда матрица Э* может быть записана в виде про-
Эф
изведения диагональноИ матрицы ^ на прямоугольную
матрицу М , размерностью т х п, элементы котороИ принимают значения 0, 1, -1:
Эф = ЭФ. М =
Э х Эа а
Эф1
Эа
Эф2
Эа
0 0 0 Э^ Э а1
1 _ -1 ......
... 1 ... -1 ...
... -1 ...... 1 ...
(8)
Легко убедиться, что выражение не измениться, если его умножить справа на диагональную матрицу Еа,
размерностью п х п , содержащую единицы в тех элементах, для которых столбцы матрицы Ма имеют ненуле-
0
0
0
0
10
"Радюелектронжа, шформатика, управлшня" № 1, 2000
вые элементы, и нули в остальных элементах:
Эф = ЭФ. М = ЭФ. М . Е .
Эх Э а а да а а
Выражение (7) принимает вид
(9)
Нетрудно видеть, что умножение слева на диагональную матрицу Ер , размерностью п х п , содержащеИ в диагонали единицы, для которых в матрице Мр, соответствует ненулевая строка, а в остальных элементах диагонали будут нули, не изменит результата:
ЭрФ( X' Р) = Й-Ма-Еа-ЦРТ'- ЭР + ЭФ "0)
Эр = ^. м. ■ г^
Э р
[др]
р |_Эр.
(12)
Рассмотрим своИство произведения Еа ■ • Его
особенностью является то, что произведение строк, содержащих ненулевые элементы, соответствует нахождению соответствующих строк обратноИ матрицы. Количество возможных аргументов равно числу сочетаниИ 2
5 = Ск , где К - количество ненулевых элементов матрицы Еа . При этом может оказаться, что К значительно
меньше количества выходных переменных т . Это приводит к существенному выигрышу.
Рассмотрим особенности матрицы Эр, связанные с
тем, что функция описывает электрическую схему. Представление модели электрическоИ схемы в виде взаимосвязи двухполюсников, содержащих зависимые от одного аргумента, источники токов и напряжениИ, индуктивности, емкости и проводимости приводит к тому, что варьируемыИ параметр входит в два уравнения, причем в каждом уравнении двухполюсник в общем случае представлен в виде произведения некото-роИ нелинеИноИ функции Д х, р) на разность аргументов (X; - Ху) либо в виде функции д(р) . Произведение соответствует, как правило, пассивным элементам схемы, а функция д(р) является составляющеИ правоИ части уравнениИ, еИ соответствуют независимые источ-
ЭР
ники тока и напряжения. Матрица ^ может быть записана в виде произведения прямоугольноИ матрицы
Эр]
М„ на диагональную матрицу ^Эр^ :
р
ЭР = М щ =
Эр р |_др]
р 1_Эр.
(х; - Ху)
"(Х; - Ху)
1 -1
Э^ эр1 .
Э/2_ . Эр2
Эд_
.........Эр
Рассмотрим своИства произведения ^д— ' Ер. Его
особенностью является то, что произведение столбцов, содержащих ненулевые элементы, соответствует нахождению столбцов обратноИ матрицы. Количество возможных варьируемых параметров определяется числом 2
сочетаниИ 5 = Ск , где К - количество ненулевых элементов матрицы Ер . При этом может оказаться, что К значительно меньше количества варьируемых параметров I . Это также может привести к существенному выигрышу.
Выражение (7) может быть представлено следующим образом:
эрФ( х'р) = - эаЫ
а с учетом (10) -
1
Е„ . М . + ЭФ ,
1_Эр] Эр
р |_Эр] Эр
(13)
ЭрФ( X' р ) = - ЭФ-Ма-Еа-ЦРГ -Ер-Мр-Цр] +£■(«)
Эр] Эр '
С точки зрения объема выполняемых операциИ, наиболее трудоемкоИ частью данного выражения явля-
связано с много-
(11)
ется произведение Еа ■ ^Цр ' Ер . Оно
кратным решением системы линеИных уравнениИ. При этом, как уже отмечалось выше, Ьи-разложение выполняется при решении системы нелинеИных уравнениИ (1) и соответствует разложению на последнеИ итерации метода Ньютона. В то же время введение матриц Еа и
Ер позволяет повысить эффективность определения коэффициентов чувствительности за счет учета особенно-стеИ уравнениИ, описывающих электронные схемы, модели которых представлены двухполюсными элемен-
РЕЗУЛЬТАТЫ
Пусть Ыа и Nр количество ненулевых элементов матриц Еа и Ер соответственно. Тогда условия эффективного расчета функциИ чувствительности в статике можно представить следующим алгоритмом:
при min{Na, m }> min{Np, l} и Na > m , то расчет нужно производить, используя метод моделей;
при min{Na, m}> min{Np, l} и Na < m - использовать (13);
при min{Na, m}< min{Np, l} и Na > 1 - использовать метод присоединенных схем;
при min{Na, m}< min{Np, l} и Na < 1 - использовать (10).
ВЫВОДЫ
Моделирование радиоэлектронных схем, представленных в виде взаимосвязей двухполюсных элементов,
находит свое отражение в свойствах систем уравнений, которые описывают их работу. Получены выражения и предложены новые алгоритмы расчета функций чувствительности, которые учитывают эти свойства и дают возможность получить дополнительный выигрыш.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Петренко А,И, Основы автоматизации проектирования. - К.: Техшка, 1982. - 295 с.
2. Основы построения систем автоматизированного проектирования. Петренко А,И,, Семенков 0,И, - К.: Вища школа. Головное изд-во, 1984. - 296 с.
3. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Петренко А,И,, Власов А,И,, Тимченко А,П, - К.: Вища школа, 1977. - 195 с.
4. Тьюарсон Р, Разреженные матрицы. - М.: Мир, 1977.- 185с.
Надшшла 15.03.2000 Шсля доробки 22.03.2000
УДК621.3.049.77
ЛОКАЛЬНОЕ ОСАЖДЕНИЕ ПЛЁНОК В ТЕХОЛОГИИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ИС
А. Н. Горбань, В. В. Кравчина
Электрическое смещение, режим и конструкция установки подбираются таким образом, что происходит селективное плазмохимическое травление кремния и осаждение продуктов травления в области над SiO2. Последующее их плазмохи-мическое взаимодействие с кислородом приводит к образованию локального плазмохимического SiO2 на термическом окисле кремния. Исследования структуры локальных плёнок SiO2 показали, что полученные плазменные плёнки имеют
поликристаллическую структуру из монокристаллов а -
кристобалита и а -кварца.
Електричну напругу, режим та конструкцгю установки налагоджують таким чином, що вгдбуваеться селективне плазмохгмгчне травлення Si вгдносно SiO2 г осадження продуктгв травлення на плгвцг високотемпературного окису кремнгю. Наступна плазмохгмгчна взаемодгя осаджених про-дуктгв травлення з киснем спричиняе утворення локального SiO2. Дослгдження побудови локальних плгвок показали, що утвореннг плгвки мають полгкристалгчну структуру з монокристалгв а -кристобалгта г а -кварцу.
The characterisation of plasma etch process selected thus what silicon was etched and plasma products make set on the areas over silica. These plasma products are ojidised in plasma o%y-gen. There are created local films self-aligned with silica. The structure of creating local films is polycrystalline silicon o%ide.
Важность вопросов разработки высокотемпературных и низкотемпературных методов формирования диэлектрических плёнок для полупроводниковых приборов общеизвестна [1,2]. Диэлектрические слои, полученные методами плазмохимического осаждения, нашли применение для пассивации и межуровневой изоляции интегральных схем. А локальное формирование слоев, самосовмещаемое с определённым топологическим ри-
сунком, например, со сформированными на поверхности подложки островками 81О2, всегда рассматривается с интересом и часто предпочтительнее других технологий получения диэлектрических плёнок для многих применений.
На плазмохимическое, ионное травление материалов оказывает влияние, как структура материалов, так и фазовое состояние. В работе [4] исследовалось влияние фазового состояния на вторичную эмиссию и другие эффекты, сопровождающие ионную бомбардировку материала.
Особенностям травления структур кремния и окисла кремния посвящено достаточное количество работ [4]. Энергия активации травления значительно меньше для кремния чем для его окислов. Поэтому травление 81 атомами и радикалами фтора может протекать спонтанно, а для травления 81О2 необходима стимуляция ионной бомбардировкой.
Известно использование локального формирования плёнок 81О2 на поверхности фоторезиста для формирования маскирующих покрытий с элементами субмикронных размеров [5]. В этом случае производится экспонирование поверхностных слоёв фоторезиста ультрафиолетовым облучением с последующими прививкой к экспонированным областям кремнийорганических соединений из газовой фазы и проявлением не привитых областей. Проявление проводится в плазме кислорода с одновременным превращением кремнийорганических соединений на привитых областях в двуокись кремния.
В данной работе определяются условия для проте-
12
"Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня" № 1, 2000
