CC BY
10
УДК 521.9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ УРОВЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВМЕСТЕ С ЗЕМЛЕЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
Александр Викторович Елагин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, е-шаИ: [email protected]
Инна Евгеньевна Дорогова
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, е-шаИ: [email protected]
В работе определяется форма релятивистской уровенной поверхности осесимметрич-ной модели Земли во вращающейся вместе с Землей системе отсчета. Работа основана на пространственно-временной метрике Р. Керра, полученой в 1963 г. для случая поля тяготения осесимметричного вращающегося тела в неподвижной относительно звезд системе отсчета. Релятивистская уровенная поверхность представляет собой двумерную поверхность, в любой точке которой скорость хода часов статического наблюдателя, расположенного на этой поверхности является величиной постоянной. Поэтому для получения уравнения искомой поверхности коэффициент при временной координате метрики Керра был принят равным константе. Эта константа связана с потенциалом тяготения. В статье выполнено решение полученного уравнения уровенной поверхности двумя способами. Один способ основан на решении алгебраического уравнения четвертой степени, а второй - на итеративном решении уравнения второй степени. Оба способа привели к одному и тому же результату. В ходе исследования установлена форма релятивистской уровенной поверхности вращающейся осе-симметричной модели Земли при условии совпадения ее с поверхностью эллипсоида на экваторе и полюсах. Показано, что таким образом согласованная с эллипсоидом релятивистская уровенная поверхность располагается выше поверхности эллипсоида. Максимальное
отклонение достигает двенадцати метров для кошироты 9 = 45°.
Ключевые слова: уровенная поверхность, пространственно-временная метрика Керра, земной эллипсоид, релятивистский геоид, инерциальная система отсчета, гравитационный радиус Земли, релятивистская геодезия, общая теория относительности.
Высокий уровень точности, необходимый в настоящее время для решения многих научных и практических задач геодезии, требует учета релятивистских эффектов [1-6].
В работе [1] исследовалась форма релятивистской уровенной поверхности осесимметричной модели Земли в неподвижной относительно звезд системе отсчета, в данной статье форма поверхности определяется во вращающейся вместе с Землей системе отсчета (рис. 1). Выражение для интервала метрики Керра в невращающейся системе отсчета имеет вид [7, 8]
С*2
' г гл 1 + Г?Г
V
р
2
с 2 сИ 2 + + р2 d 0 2 + А
с 2 ^
2 2 а Äà 2 г2 + а2 +—I- Sin2 0
р
2
22 sin 0 Сф
2г„аг 2
, sin2 0 Сф С?.
Р2
где
2 2 ■ 2 2 /л .
р = г + а cos 0;
г = 2М.
„ с2 ;
(1)
(2)
2 2 А = г - гёг + а .
В формулах (1), (2) введены следующие обозначения: / - гравитационная постоянная; г - время, которое показывают часы подвижного относительно
звезд наблюдателя, расположенного в центре масс модели Земли; М - масса тела; а обозначает нормированный на скорость света удельный момент количества движения; г - геоцентрическое расстояние в метрике Керра; ф - долгота;
0 - приведенная коширота, отсчитываемая от северного полюса; г„ - гравитационный радиус Земли.
Преобразуем выражение для интервала в систему отсчета, вращающуюся вместе с Землей. Долготы и их дифференциалы в неподвижной и подвижной системах отсчета связаны соотношениями [9]:
ф = к + ю•г, Сф = Ск + ю Сг, (3)
2 2 2 2 Сф = Ск + 2 ю Ск Сг + ю Сг ,
(4)
где к - долготы точек во вращающейся вместе с Землей системе отсчета.
Подставим выражения (3) и (4) в формулу (1). Приведя подобные члены, получим выражение для интервала во вращающейся системе отсчета
г, Г 2 Л
С*2 =
2
л г„г ю -1 + ^ +
2 2 Р с
2 2 а г „г 2 г2 + а2 +—sinz 0
V
. 2п 2® г„аг • 2п
Sinz 0---Sinz 0
о 2
с Сг2 +
Сг2 +р2С 02 +
+
А
2ю
2 2 а г„г 2 г + а +—sin 0
V
sin2 0 С к2 -
2 2 а г„г 2 г + а +—I— sin 0
2 2 г„ а г 2 sinz 0--^2—sin2 0
Р2
С к сСг.
(5)
В работах [10-22] представлено определение релятивистской уровенной поверхности. Эта поверхность представляет собой двухмерную поверхность, в любой точке которой скорость хода часов статического наблюдателя, расположенного на поверхности является величиной постоянной.
Поэтому если в уравнении (5) коэффициент при с2 dt2 приравнять константе -1+С, то получим уравнение уровенной поверхности осесимметричной модели Земли в системе отсчета вращающейся вместе с Землей
г г
-1+Р"
+ ■
ю
г 2
2 2 a rg Г . 2 г 2 + a2 +■ 5 —2
c
Р
2
-Б1П2 0
Б1П2 0-
2ю r2ar ,
Б1П2 0 = -1 + С . (6)
Р
Подставим в формулу (6) выражение (2). После преобразований получим уравнение четвертого порядка, где в качестве неизвестного будет выступать радиус-вектор г в пространственно-временной метрике Керра во вращающейся системе отсчета
4 2 л
г + pr + qr + u = 0,
(7)
где
п 2
2 2 2 п Cc p = a + a соб 0--2-2
б1п 0ю
(8)
2
Г£С
2 • 2а о aC
q = —2-г + г'ga Б1П 0- 2г„ —;
б1П2 0ю2 ^ ю
(9)
4 2
ы = a соб 0 - Ca
соб20c2
2 2 Б1П 0Ю
(10)
Для определения корней уравнения четвертого порядка, найдем вначале три корня кубической резольвенты, которая соответствует уравнению (7)
3 2
х +ах +у = 0,
(11)
где а = 2 р, Р = р2 - 4ы, у = -q2.
Если неизвестное х представить в виде
а
х = у--
с
и подставить в уравнение (11), то получим приведенное уравнение третьей степени
y + py + q = 0,
(13)
2
~ „ а ~ 2 3 aß
где p = ß--, q =—а--- + у .
3 27 3
Эксперименты показали, что в нашем случае определения релятивистской уровенной поверхности дискриминант уравнения (13) имеет отрицательное значение
D =
г /q \
+ 1
3
V J
2
< 0.
(14)
Поэтому уравнение (13) имеет три действительных корня, которые могут быть найдены по формулам
p = J- 27 ; ш =arccos
с ~ \ q
2p
(15)
У1
2VP
cos
У2
cos
ш 2 — +
V 3 3 ,
У3
cos
ш 4 — +
V 3 3 ,
(16)
С учетом подстановки (12) находим корни уравнения (11)
_ а _ а _ а
x1 = y1 - — ; х2 = y2 -3 х3 = y3 -у
(17)
Корни уравнения (11) связаны с корнями уравнения (7) соотношениями
r1 = 1 + 4*2 + ^[xз ); r2 = 1 (Vx1+ ^[xз );
2
1 (-V*1
+ л/+
); r4 = "2(Vx1 + -^[xз).
(18)
В качестве решения выбирается такой корень, в котором произведение с учетом знаков трех членов в круглых скобках равно коэффициенту д в уравнении (7) с обратным знаком. Таким корнем является корень г4, так как для него
* д/
(-V*3 )=
-q.
Именно этот корень имеет физический смысл.
r
3
Представленные формулы (7)-(19), предназначенные для вычисления уро-венной поверхности, на полюсах имеют особенности, так как при вычислении
коэффициентов p , q , u по формулам (8), (9), (10) в знаменателях sin 0 = 0,
при 0 = 0° и 0 = 180°.
Чтобы избежать особенностей можно составить уравнение второй степени, в коэффициентах которого присутствует искомое неизвестное r, умноженное на малый множитель. Такое уравнение может быть решено методом приближений. Вывод уравнения второй степени следует из выражений (2), (6). Оно имеет вид
_ 2 _ _
pr -qr + u = 0,
(20)
где
— п ®2 ■ 2Ü p = C —^sm 0
c
22 r2 + a2 +
a 2 rg 2 s rsin2 0
P
2
(21)
- o® ■ 20
q = rg - 2— rgasin 0;
c
g
(22)
_ _ 2 2
u = pa cos 0 .
(23)
Приближенное решение квадратного уравнения находится по формуле
q +д/q 2 - 4pu 2p
В качестве приближенного значения г в первой итерации может быть принят средний радиус Земли или соответствующее кошироте значение радиус-вектора эллипсоида, вычисленного по формулам (25)-(27).
Экспериментально установлено, что достаточно выполнить три итерации. Решение на третьей итерации отличается от решения на второй итерации на 0,1 мм.
После выполнения трех итераций найденное решение отличается от решения полученного по формулам решения уравнения четвертой степени (7)—(19), не более чем на 0,2 мм.
Зададим определенные значения постоянной С и удельному моменту количества движения а и подставим их формулы (8)-(10) либо в формулы (21)-(23). Тогда, изменяя кошироту дискретно с определенным шагом от северного полюса до экватора, получим форму уровенной поверхности осесимметричной модели Земли во вращающейся вместе с Землей системе отсчета.
Так как форма уровенной поверхности зависит только от двух параметров:
а, С , - то подберем их так, чтобы при 0 = 0° г совпала с малой полуосью,
r
а при 0 = 90° - с большой полуосью общеземного эллипсоида системы координат аяБ-во.
Для оценки параметров а и С используем значения параметров модели Земли системы координат 0Я8-80: большой полуоси а = 6 378 140 м, малой полуоси Ь = 6 356 755,302 м; угловой скорости вращения Земли
5 —113 2
ю = 7,292115 • 10 5 рад/с; гравитационной постоянной / = 6,673 • 10 м /(с кг);
3 2
гравитационного параметра /Ы = 398 600,5 м / с ; гравитационного ра-
—3
диуса ^ = 8,87 • 10 м; нормального потенциала на поверхности эллипсоида и0 = 62 636 861 м2 / с2.
2 —9
Тогда приближенно константа С « 2^/ с = 1,393 858 • 10 м. Однако с этим значением релятивистская уровенная поверхность не совпадает на полюсе и экваторе соответственно с малой и большой полуосями эллипсоида. Экспериментально было установлено, что для совпадения уровенной поверхности с эллипсоидом на полюсах и экваторе константа С должна иметь значение
С = 1,393 107 157 • 10—9 м . С учетом этой константы и условия совпадения на полюсах, удельный момент количества движения может быть получен по формуле
a
i
r2
Í2Cb - r„)
v 256 477,2619 м. (24)
4C 2
Геоцентрические расстояния точек поверхности эллипсоида в галилеевой метрике могут быть вычислены по формулам
a • sin 6
X = I 2 2 ; (25)
V1 + e cos2 6
a • cos 6
Уе = I 2 2 ; (26)
V1 + e cos2 6
re
= Vxe + Уе2 , (27)
где в'2 - квадрат второго эксцентриситета эллипсоида.
Расчеты радиусов-векторов уровенной поверхности осесимметричной модели Земли во вращающейся вместе с Землей пространственно-временной метрике Керра выполнены по формулам (7)-(10) и (20)-(23). Расхождения между полученными результатами представлены на рис. 1, характер графика объясняется описанными выше особенностями решения на полюсах по формулам (7)-(10).
Радиусы-векторы эллипсоида с дискретностью изменения коширот 0 пять градусов от северного полюса до экватора вычислены по формулам (25)-(27). Отклонения релятивистской уровенной поверхности вращающейся модели Земли от поверхности эллипсоида представлены на рис. 2 и в таблице.
Рис. 1. Расхождения между значениями радиуса-вектора, полученными разными способами
Рис. 2. Отклонения осесимметричной модели Земли от эллипсоида
в плоскости меридиана
Таблица
Отличие осесимметричной модели Земли от поверхности эллипсоида
Значения кошироты, 0 Отклонения осесимметричной модели Земли от земного эллипсоида, Дг (м)
0° 0,000
5° 0,373
10° 1,445
15° 3,088
20° 5,103
25° 7,247
30° 9,262
35° 10,904
40° 11,975
45° 12,347
50° 11,974
55° 10,901
60° 9,258
65° 7,243
70° 5,100
75° 3,085
80° 1,443
85° 0,372
90° 0,000
Из полученных результатов видно, что уровенная поверхность модели Земли в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, располагается выше поверхности согласованного эллипсоида, как и в случае неподвижной системы отсчета [1]. Максимальное отклонение достигает двенадцати метров для точек
с коширотой 0 = 45° (рис. 3).
С а
и
Рис. 3. Отличие земного эллипсоида от осесимметричной модели Земли:
--поверхность земного эллипсоида; - - поверхность
осесимметричной модели Земли
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-27-00068).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Елагин А. В., Дорогова И. Е. Определение формы уровенной поверхности вращающейся осесимметричной модели Земли в неподвижной пространственно-временной метрике Керра // Вестник СГУГиТ. - 2016. - Вып. 2 (34) . - С. 47-54.
2. Проблемы обеспечения точности координатно-временных определений на основе применения ГЛОНАСС технологий / А. С. Толстиков, Ю. В. Сурнин, К. М. Антонович,
B. А. Ащеулов // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 3-11.
3. Антонович К. М. Пути развития ГНСС технологий в геодезии // Вестник СГГА. -2006. - Вып. 11. - С. 52-57.
4. Елагин А. В., Дорогова И. Е. Оценка влияния релятивистских эффектов на траекторию движения искусственных спутников Земли // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). -
C. 32-39.
5. Елагин А. В., Дорогова И. Е., Мареев А. В. Исследование взаимосвязи смешанных и чистых аномалий силы тяжести // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 3 (27). - С. 70-83.
6. Определение разности потенциалов силы тяжести и высот в геодезии посредством гравиметрических и спутниковых измерений / В. Ф. Канушин, А. П. Карпик, Д. Н. Голдобин, И. Г. Ганагина, Е. Г. Гиенко, Н. С. Косарев // Вестник СГУГиТ. - Вып. 3 (31). - 2015. -С. 53-69.
7. Kerr R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metric // Phys. Rev. Letters. - 1963. - Vol. 11. - P. 237-238.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 7-е изд. - М. : Наука, 1988. - 512 с.
9. Bjerhammar A. On a relativistic geodesy // Bull. Geod. - 1985. - 207 рр.
10. Kopeikin S., Efroimsky M., Kaplan G. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. - Berlin : Wiley-VCH, 2011.
11. Kopeikin S. M., Petrov A. N. Post-Newtonian celestial dynamics in cosmology: Field equations // Phys. Rev. - 2013. - D87 (4). arXiv:1301.5706, doi:10.1103/PhysRevD.87.044029.
12. Kopeikin S. M., Petrov A. N. Dynamic field theory and equations of motion in cosmology // Annals of Physics. - 2014. - Vol. 350. - P. 379-440. arXiv: 1407.3846, doi:10.1016/j.aop.2014.07.029.
13. Kopejkin S. M. Relativistic Manifestations of gravitational fields in gravimetry and geodesy // Manuscripta Geodaetica. - 1991. - No. 16. - P. 301-312.
14. Kopeikin S. M., Han W.-B., Mazurova E. M. Post-Newtonian theory of Earth's reference-ellipsoid // Geophys. J. Int. - 2015. - Vol. XX. - P. 1-19.
15. Kopeikin S. M., Mazurova E. M., Karpik A. P. Towards an exact relativistic theory of Earth's geoid undulation // Physics Letters A. - 2015. Vol. 379. - P. 1555-1562.
16. Müller J., So_el M., Klioner S. A. Geodesy and relativity // Journal of Geodesy. - 2008. No. 82. - P. 133-145. doi:10.1007/s00190-007-0168-7.
17. Mai E. Time, atomic clocks, and relativistic geodesy // Deutsche Geodatische Kommission der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (DGK). Report No 124, (2014). -128 pp. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://dgk.badw.de/fileadmin/docs/a-124.pdf.
18. Mai E., Muller J. General remarks on the potential use of atomic clocks in relativistic geodesy // ZFV - Zeitschrift fur Geodasie, Geoinformation und Landmanagement. - 2013. - Vol. 138, No 4. - P. 257-266.
19. Petit G., Wolf P., Delva P. Atomic time, clocks, and clock comparisons in relativistic spacetime: a review / S. Kopeikin, De Gruyter (Eds) // Frontiers in Relativistic Celestial Mechanics: Vol. 2, Applications and Experiments. - Berlin, 2014. doi:10.1515/9783110345667.249.
20. Ashby N. Relativity in the global positioning system // Living Rev. Relativity. - 2003. -Vol. 6. - 42 pp. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.livingreviews.org/lrr-2003-1. doi: 10.12942/lrr-2003-1.
21. Klioner S. Angular velocity of rotation of extended bodies in general relativity // Proceedings of the 172nd Symposium of the IAU Kluwer: Dynamics, ephemerides, and astrometry of the solar system. - Dordrecht, 1995. - P. 309-320.
22. Earth's rotation in the framework of general relativity: rigid multipole moments / S. Klioner, M. Soffel, Ch. Xu, X. Wu // Proc. of Les Journées. Session V: Ephemeris and dynamical reference systems. - Paris, 2001. arXiv:astro-ph/0303377.
Получено 06.06.2016
© А. В. Елагин, И. Е. Дорогова, 2016
THE DEFINITION OF RELATIVISTIC LEVEL SURFACE OF AXE-SYMMETRICAL EARTH'S MODEL IN ROTATING WITH THE EARTH COORFINATE SYSTEM
Aleksandr V. Elagin
Siberian State University Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhot-nogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (383)243-29-11, e-mail: [email protected]
Inna E. Dorogova
Siberian State University Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Pla-khotnogo St., Ph. D., Senior Lecturer, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (383)243-29-11, e-mail: [email protected]
The article represents the basic theoretical and methodological base of cadastral cost calculation of land parcels on the main types of legitimate use on the basis of modeling social and economical potential of such land parcels with the use of measurement theory and astrogeophysical space (AGPS) estimation. The modeling base - exponent function, universal space measurement unit -square radian, polar coordinate, market conditions of estimation objects and their types of legitimate use. The article suggests general model of random AGPS point and gives methodological recommendation of its application depending on cost forming factors of estimated objects. There is a practical example of the suggested calculation method, containing calculated statistic model of cadastre value estimation of land parcels for individual housing construction in country settlements of Buryatiya Republic, value parameters of such model, determining the impact of main cost forming factors, among which are the position of object, the distance from basic life-support centres, transport availability, the own infrastructure etc. The article makes conclusions about possible industrial application of the method, in the frame of specialized cadastre estimation centre.
Key words: land parcel, type of legitimate use, cost forming factor, cadastral cost, social and economical potential, additional cadastral information, cadastral estimation centre
REFERENCES
1. Elagin, A. V., Dorogova, I. E. (2016). Determining the level surface forms a rotating axial-ly symmetric model of the Earth in a fixed space-time Kerr's metric. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 2(34), 47-54 [in Russian].
2. Tolstikov, A. S., Surnin, Yu.V., Antonovich, KM. & Ashcheulov, V.A. (2012). Accuracy guarantee for coordinate-time determinations using GLONASS techniques. Vestnik SGGA [Vestnik SGGA], 2(18), 3-11 [in Russian].
3. Antonovich, K. M. (2006). Ways of GNSS technology's development in geodesy. Vestnik SGGA [Vestnik SGGA], 11, 52-57 [in Russian].
4. Elagin, A. V., & Dorogova, I. E. (2015). Influence of the relativistic effects on the trajectory of artificial Earth satellites. VestnikSGUGiT[VestnikSSUGT], 3(31), 32-39 [in Russian].
5. Elagin, A. V., Dorogova, I. E., & Mareev, A. V. (2014). Research of relationship gravity disturbance and gravity anomaly. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(27), 70-83 [in Russian].
6. Kanushin, V. F., Karpik, A. P., Goldobin, D. N., Ganagina, I. G., Gienko, E. G., & Kosarev N. S. (2015). The definition of gravity potential and heights differences in geodesy by gravimetric and satellite measurements. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(31), 53-69 [in Russian].
7. Kerr, R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metric. (1963). Phys. Rev. Letters, 11, 237-238.
8. Landau, L. D., & Lifshits, E. M. (1988). Teoriyapolya [Field theory] (7-e izd). Moscow: Nauka [in Russian].
9. Bjerhammar, A. (1985). On a relativistic geodesy. Bull. Geod, 207 pp.
10. Kopeikin, S., Efroimsky, M., & Kaplan, G. (2011). Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. Berlin: Wiley-VCH.
11. Kopeikin, S. M., & Petrov, A. N. (2013). Post-Newtonian celestial dynamics in cosmology: Field equations. Phys. Rev. D87 (4). arXiv:1301.5706, doi:10.1103/PhysRevD.87.044029.
12. Kopeikin, S. M., & Petrov, A. N. (2014). Dynamic field theory and equations of motion in cosmology // Annals of Physics, 350, 379-440. arXiv:1407.3846, doi:10.1016/j.aop.2014.07.029.
13. Kopejkin, S. M. (1991). Relativistic Manifestations of gravitational fields in gravimetry and geodesy. Manuscripta Geodaetica, 16, 301-312.
14. Kopeikin, S. M., Han, W.-B., & Mazurova, E. M. (2015). Post-Newtonian theory of Earth's reference-ellipsoid. Geophys. J. Int., Vol. XX, 1-19.
15. Kopeikin, S. M., Mazurova, E. M., & Karpik, A. P. (2015). Towards an exact relativistic theory of Earth's geoid undulation. Physics Letters A., 379, 1555-1562.
16. Müller, J., So_el, M., & Klioner, S. A. (2008). Geodesy and relativity. Journal of Geodesy, 82, 133-145. doi:10.1007/s00190-007-0168-7.
17. Mai, E. (2014). Time, atomic clocks, and relativistic geodesy. Deutsche Geodatische Kommission der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (DGK). Report No 124, 128 pp. Retrieved from http://dgk.badw.de/fileadmin/docs/a-124.pdf.
18. Mai, E., & Muller, J. (2013). General remarks on the potential use of atomic clocks in relativistic geodesy. ZFV - Zeitschrift fur Geodasie, Geoinformation und Landmanagement, 138(4), 257-266.
19. Petit, G., Wolf, P., & Delva, P. (2014). Atomic time, clocks, and clock comparisons in relativistic spacetime: a review. In S. Kopeikin & De Gruyter (Eds), .Frontiers in Relativistic Celestial Mechanics: Vol. 2, Applications and Experiments. Berlin. doi:10.1515/9783110345667.249.
20. Ashby, N. (2003). Relativity in the global positioning system. Living Rev. Relativity, Vol. 6, 42 pp. doi: 10.12942/lrr-2003-1, url: http://www.livingreviews.org/lrr-2003-1.
21. Klioner, S. (1995). Angular velocity of rotation of extended bodies in general relativity. In Proceedings of the 172nd Symposium of the IAU Kluwer: Dynamics, ephemerides, and astrome-try of the solar system (pp. 309-320). Dordrecht.
22. Klioner, S., Soffel, M., Xu, Ch., & Wu, X. (2001). Earth's rotation in the framework of general relativity: rigid multipole moments. In Proc. of Les Journées. Session V: Ephemeris and dynamical reference systems. Paris. arXiv:astro-ph/0303377.
Received 06.06.2016
© A. V. Elagin, I. E. Dorogova, 2016
