CC BY
73
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 09. С. 352-375.
ISSN 1994-0408
Б01: 10.7463/0915.0789404
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 531.391.3: 534.015: 621.01
Определение динамических характеристик многозвенной маятниковой системы с сопоставлением расчетных и экспериментальных результатов
Грибков В. А.1*, Хохлов А. О.
03.06.2015 29.06.2015
zeшt-aЬiSmailJU :МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
1
Рассмотрена многозвенная маятниковая система, состоящая из шести физических маятников. Один маятник (несущий) имеет инерционные параметры существенно превосходящие остальные (несомые), размещенные на несущем. К анализируемой системе, в частности, приводится расчетная схема двухступенчатой ракеты на жидком топливе при использовании маятников в качестве аналогов колеблющегося топлива. Маятниковые модели применяют и при решении задач стабилизации космических тросовых систем. Цель исследования заключается в определении динамических характеристик указанной маятниковой шестизвенной системы, а также выявлении специфических динамических свойств, присущих объектам подобного рода. Расчетным путем определены динамические характеристики системы. Выполнено сравнение результатов расчета и эксперимента на физической маятниковой модели. Для проведения частотных испытаний маятниковой модели созданы три экспериментальные установки. Первые две установки оказались по разным причинам непригодными для выполнения поставленных экспериментальных задач. На третьей установке были получены необходимые экспериментальные результаты. Расхождение «расчет-эксперимент» по собственным частотам маятниковой модели составило для большинства частот менее 5 %. Проанализированы динамические особенности многозвенных маятниковых систем «несущее звено-несомые звенья». Результаты анализа применимы к отмеченным выше классам объектов ракетно-космической техники.
Ключевые слова: летательный аппарат на жидком топливе, маятниковая модель, динамические характеристики, частотные испытания
1. Введение. Постановка задачи
Стабилизируемые летательные аппараты (ЛА) на жидком топливе (ракеты-носители, космические аппараты) при определенных условиях могут входить в режим автоколебательной динамической неустойчивости. Этот вид неустойчивости возникает на собственных частотах колебаний, определяемых подвижностью жидкого топлива в баках.
Расчет динамики ЛА при этом выполняют с обязательным учетом топлива как жидкой среды, а также отказом от учета податливости стенок бака и корпуса ЛА в целом [1].
Задачам динамики твердых тел с полостями, заполненными жидкостью посвящено значительное количество научных работ. Основополагающими трудами считаются работы Н.Е. Жуковского [2], Д.Е. Охоцимского [3], Н.Н. Моисеева и В.В. Румянцева [4], Г.Н. Микишева и Б.И. Рабиновича [5]. В настоящее время продолжаются активные исследования в этой области [6-11].
Колебания свободной поверхности жидкого топлива анализируют, как теоретическими, так и экспериментальными методами.
На рис. 1 показаны полученные авторами результаты расчета колебаний свободной поверхности жидкости (три собственные формы квазипоперечных колебаний т=1, 2, 3), сопровождающиеся образованием одной окружной волны п=1. На рис. 2 приведена фотография установки, созданной авторами, для исследования колебаний жидкости в баках различной формы и целлулоидная составная модель, частично заполненная жидкостью, на стенде для частотных испытаний.
п=1, т=1 п=1, т=2 п=1, т=3
Рис. 1 Собственные формы квазипоперечных колебаний свободной поверхности
Рис. 2. Частотные испытания физических моделей, частично заполненных жидкостью
При теоретическом изучении колебаний жидкого топлива обычно принимают следующие допущения [1, 5]: жидкость в баке - идеальная и несжимаемая; движение жидкости в баке является потенциальным и происходит в потенциальном поле массовых
б
а
сил; колебания считаются малыми (перемещения и скорости частиц жидкости в возмущенном движении - малые).
При решении задачи устойчивости движения стабилизируемого аппарата используют твердотельную линейную маятниковую математическую модель, в которой колеблющееся жидкое топливо заменяется системой математических маятников [1, 5].
Летательный аппарат на жидком топливе представляется в виде твердотельной маятниковой системы с одним элементом (несущим) и остальными (несомыми), установленными на несущем. Несущий маятник моделирует корпус ЛА, а маятники, размещенные на нем - являются аналогами колеблющейся жидкости.
На рис. 3 показаны этапы создания маятниковой модели двухступенчатой ракеты-носителя на жидком топливе (3а - моделируемый объект; 3б - схематическое изображение компоновочно-силовой схемы объекта; 3в- расчетная схема (маятниковая модель объекта); 3г - физическая маятниковая модель на стапеле; 3д, 3е - твердотельная модель, выполненная в SolidWorks'е (SW)).
а б в где
Рис. 3. Варианты представления конструкции двухступенчатой ракеты на жидком топливе
Эквивалентность поведения маятниковой модели и реальной баковой конструкции с жидкостью достигается использованием метода маятниковой аналогии [1].
Метод позволяет получить параметры эквивалентных маятников-аналогов, обеспечивающих одинаковое динамическое нагружение бака колеблющимся жидким топливом и математическим маятником-аналогом. Маятниковые модели применяют не
только при решении отмеченного класса задач, но и при решении иных проблем, например, проблем стабилизации космических тросовых систем [12, 13].
Маятниковую модель обычно изображают в виде схемы, рисунка (рис. 3в). В данном случае маятниковая модель изготовлена из металла (рис. 3г). В металлической маятниковой физической модели маятники - физические, а в рисованной расчетной схеме (рис. 3е)- маятники обычно математические [1]. С металлической маятниковой физической моделью в отличие от классической рисованной расчетной схемы можно проводить эксперименты.
В данной работе выполнен расчет динамических характеристик маятниковой физической модели и проведены ее частотные испытания. Проанализированы динамические особенности летательных аппаратов на жидком топливе, моделируемых маятниковыми моделями указанного вида.
Анализируемая маятниковая система на первый взгляд достаточно проста. Однако это далеко не так. Систему нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным маятникам. Последовательными маятниками называют цепочку маятников (обычно математических), у которых следующее звено соединяется с предыдущим в месте нахождения точеной массы (материальной точки) предыдущего звена. У физических маятников ось подвеса (вращения) следующего звена может находиться как выше, так и ниже центра тяжести (ЦТ) предыдущего звена и, даже, выше оси подвеса предыдущего звена. Последнее возможно, если ось подвеса несомого маятника расположена ниже метацентра маятниковой системы. Параллельными маятниками называют маятники, имеющие оси подвеса расположенные на общем основании, или другом физическом маятнике, но не друг на друге.
Анализируемая маятниковая система может быть условно отнесена к смешанным маятниковым системам: несущий маятник связан последовательно с каждым несомым, а несомые маятники следует рассматривать как параллельные на несущем звене. Оси подвеса несомых маятников-аналогов расположены ниже и выше оси подвеса (вращения) несущего звена. Вторая особенность маятниковой модели - система имеет звенья с сильно различающимися инерционными параметрами. Корпус (несущее звено) имеет инерционные параметры (моменты инерции, массы), существенно превосходящие инерционные параметры отдельных маятников и всех маятников-аналогов в целом. Третья особенность системы - при шарнирном закреплении несущего звена (моделирующего корпус аппарата) в метацентре система оказывается в положении равновесия, которое может быть нарушено при малых отклонениях маятников от вертикального положения. Произойдет потеря устойчивости системы. Критическому значению положения соответствует обнуление низшей собственной частоты колебаний маятниковой модели. Это особенность также анализируется в работе. Четвертая особенность - низкочастотность спектра колебаний модели. Собственные частоты колебаний модели - от долей герца до нескольких герц. Низкие собственные частоты создают дополнительные проблемы при проведении частотных испытаний системы. Пятая
особенность - миниатюрность несомых маятников, исключающая возможность применения контактных средств измерения при экспериментальных исследованиях.
2. Основная часть
2.1. Описание объекта исследования. Геометрические и физико-механические
параметры маятниковой системы
Рассматриваемая в данной работе металлическая маятниковая модель имеет вид заостренной в верхней (носовой) части П-образной рамы, моделирующей абсолютно жесткий корпус ракеты (рис. 3г, 4, 5).
Рис. 4. Чертеж маятниковой модели в сборе
В верхней части в раму вмонтировано тело, имитирующее полезную нагрузку ракеты (на рис. 4 треугольной формы со скругленным верхним углом).
К раме-корпусу с внутренней стороны прикреплены дополнительные массы в форме прямоугольных параллелепипедов с продольными пазами. Дополнительные массы хорошо видны на внутренней поверхности рамы на рис. 3г и рис. 4 (три пары прямоугольных параллелепипедов трех разных размеров расположенных симметрично
относительно оси модели). Эти массы имитируют часть топлива, не участвующую в колебаниях свободной поверхности жидкости.
Рис. 5. Чертеж модели корпуса ракеты (рамы маятниковой модели)
При решении задачи устойчивости ЛА, как правило, ограничиваются одним низшим (основным) тоном колебаний жидкости в каждом баке и получают адекватную реальному объекту динамическую модель системы с конечным числом степеней свободы. В данном случае для двухступенчатой ракеты тандемной схемы с четырьмя баками имеем систему с пятью степенями свободы плюс еще одна степень свободы - корпус. Корпус несет оси подвеса четырех маятников-аналогов, имитирующих колеблющееся в баках жидкое топлива, а пятый (нижний маятник) - имитирует маршевый двигатель. Корпус опирается на горизонтальную ось, расположенную выше центра тяжести, но ниже метацентра системы.
При опорожнении баков изменяется положение свободной поверхности жидкого топлива. Изменение положения колеблющейся массы жидкости учитывается перемещением осей подвеса маятников. Положения осей подвеса маятников-аналогов можно менять в некотором диапазоне, определяемом продольными прорезями в
материале корпуса и дополнительных масс и фиксировать гайками-барашками, хорошо видными на рис. 3г. Также с помощью двух продольных вертикальных стержневых элементов (расположенных по бокам ракеты) и зажимов-хомутов можно менять положение оси подвеса корпуса на стапеле (рис. 3г).
Рис. 6. Чертежи отдельных маятников-аналогов
Ось вращения корпуса модели и оси вращения отдельных маятников-аналогов, моделирующих жидкость имеют шарнирные узлы с миниатюрными приборными шариковыми подшипники качения, обеспечивающими колебания в одной плоскости (маятниковая система - плоская).
Ниже будем называть физические маятники, моделирующие колеблющуюся жидкость наряду с маятником-аналогом двигательной установки ракеты - маятниками-аналогами, несущее звено маятниковой модели - корпусом. Анализировать будем два варианта модели: с дополнительными массами, моделирующими головную часть (полезную нагрузку) и массы жидкого топлива в баках, не участвующие в колебательных
движениях свободной поверхности. Этот вариант обозначим как корпус с дополнительными массами. Второй вариант - корпус без дополнительных масс. Дополнительные массы полезной нагрузки состоят из верхней части и нижней части. Любой из маятников (корпус и маятники-аналоги) будем называть звеном маятниковой системы. Пронумеруем звенья системы: № 1 (корпус), №№ 2-6 М-А от верхнего до нижнего (рис. 4, 6).
Для выполнения расчетов динамических характеристик необходимо иметь значения масс, моментов инерции маятников, координат осей подвеса маятников, а также координаты центров тяжести каждого звена. В работе для определения инерционных параметров модели использованы возможности программного пакета SW. Создана геометрическая модель, по чертежам, снятым с маятниковой модели (рис. 4-6) и по ней трехмерная модель исследуемой системы в SW (рис. 3д, 3е). Для проверки расчетных результатов, в тех случаях, когда это было возможно, массы определялись через взвешивание элементов модели на электронных весах.
На чертежах рис. 4-6 показана конфигурация элементов модели в том виде, как она учитывалась при построении, сначала геометрической, затем твердотельной, модели и расчетах инерционных параметров. При проведении экспериментов элементы подвеса модели, состоящие из двух стержней и зажимов-хомутов (рис. 3г) снимались с модели, и при выполнении расчетов эти элементы не учитывались. При расчетах инерционных параметров в SW учитывались оси маятников-аналогов (они относились к корпусу маятниковой модели) и шарнирные узлы подвеса маятников-аналогов (относились к маятникам-аналогам), продольные пазы в теле рамы корпуса и пазы в дополнительных массах. Шарнирные узлы подвеса маятников-аналогов, состоящие из шариковых подшипников качения и дюралевой кольцевой обоймы, представлялись в виде однородного цилиндрического стального тела с размерами, указанными на рис. 6.
Не учитывались части осей выступающие наружу, за пределы корпуса и барашковые гайки крепления осей. Также не учтено при расчете отверстие в полезной нагрузке (нижняя часть). В состав каждого маятника-аналога входит груз+стержень+шарнирный узел без оси подвеса маятника (см. рис. 6).
Рама корпуса маятниковой модели изготовлена из алюминиевого сплава, дополнительные массы, имитирующие топливо, изготовлены из латуни, цилиндрические тела-грузы маятников - из латуни, стержневые элементы маятников - из дюрали, грузы, имитирующие полезную нагрузку: нижний - стальной, верхний - из алюминиевого сплава.
При расчетах инерционных параметров принимались следующие плотности материалов элементов маятниковой модели: корпус (без ДМ) 2700 кг/м , полезная
3 3
нагрузка (верхняя часть) 2700 кг/м , полезная нагрузка (нижняя часть) 7800 кг/м ,
3 3
«неподвижные» массы жидкого топлива 8500 кг/м , оси маятников 2700 кг/м , грузы
3 3
(массы) маятников 8500 кг/м , шарнирные узлы маятников 7800 кг/м .
Инерционные характеристики, полученные расчетом в SW с использованием функции «массовые характеристики» и путем взвешивания, представлены в табл. 1. Расчетное расстояние от оси подвеса корпуса до его центра тяжести для КБ ДМ 33,0 мм, а для модели с грузами КДМ 35,5 мм.
Таблица 1. Инерционные характеристики маятниковой модели
Элемент Масса элемента (расчет) mi, кг Масса элемента (взвешивание), кг Момент инерции элемента (центральный) 1а, кг м Расстояние от оси подвеса маятника до ЦТ элемента, /а , м Расстояние от оси подвеса корпуса до оси подвеса М-А, /, м
КБДМ 0,236 0,214 0,0064334 0,0331 -
ПНВ - 0,035 - - -
ПНН - 0,180 - - -
ДМ - 0,065*2+ 0,290*2+ 0,152*2=1,014 - - -
КДМ 1,504 1,443 0,03320414 0,0355 -
М-А №2 0,0831 0,071 (груз) 0,00000706 0,0175 -0,130
М-А №3 0,0536 0,040 (груз) 0,00000937 0,0240 -0,080
М-А №4 0,0896 0,076 (груз) 0,0000327 0,0438 0,050
М-А №5 0,0554 0,041 (груз) 0,0000390 0,0514 0,200
М-А №6 0,1131 0,100 (груз) 0,0000272 0,0362 0,300
Обозначения геометрических и физико-механических параметров, использованные в табл. 1 и ниже: т - массы элементов маятниковой системы; / - координаты осей вращения отдельных маятников; /С1 - расстояние от оси вращения корпуса до центра тяжести корпуса; /а - расстояние от оси вращения до центров тяжести маятников; /Сг -центральные моменты инерции маятниковых элементов; g - ускорение свободного
падения; 1 = 1, N. Расшифровка использованных сокращений: КБДМ - корпус без дополнительных масс; ПНВ - полезная нагрузка верхняя; ПНН - полезная нагрузка нижняя; ДМ - дополнительные массы; КДМ - корпус с дополнительными массами; М-А -маятники-аналоги.
2.2.Допущения и расчетная схема маятниковой модели
При построении математической модели многозвенного маятника приняты следующие допущения. Колебания - малые, уравнения движения - линейные. Трение в системе отсутствует (система - идеальная). Все звенья системы - абсолютно жесткие, недеформируемые. Колебания происходят в одной плоскости - плоскости колебаний. При выполнении расчетов использованы геометрические и физико-механические параметры маятниковой модели, приведенные выше в тексте и на чертежах (рис. 4-6) и в табл. 1.
Отличия расчетной твердотельной модели от реальной физической маятниковой модели указаны в предыдущем разделе.
С целью проверки полученных динамических характеристик маятниковой модели и выбора наиболее наглядного формата представления собственных форм колебаний в работе использованы два вида обобщенных координат:
- угловые отклонения ^ маятников-аналогов и корпуса от вертикали;
- угловые отклонения маятников-аналогов от корпуса, а корпуса от вертикали. Расчетная схема маятниковой модели, построенная с учетом введенных допущений
для первого вида обобщенных координат (отклонений от вертикали) показана на рис. 7.
Рис. 7. Расчетная схема маятниковой модели с основными обозначениями: а - массы, длины и угловые отклонения маятников от вертикали; б - положения осей подвеса маятников
Неподвижное закрепление положения оси вращения корпуса в плоскости рисунка обозначено треугольником. Ось подвеса корпуса показана окружностью. Оси вращения всех маятников-аналогов обозначены, также окружностями.
2.3. Математическая формулировка и решение спектральной задачи для многозвенной маятниковой системы
Маятниковая модель, как отмечалось выше, обладает шестью звеньями и соответственно шестью степенями свободы (6 угловых отклонений маятников). Уравнения движения маятниковой модели получены с помощью уравнений Лагранжа второго рода через аналитические выражения для потенциальной и кинетической энергии звеньев маятниковой модели для обоих видов обобщенных координат.
Аналитические выкладки с получением матриц инерционных и квазижесткости проводились с использованием средств Wolfram Mathematica (WM).
Уравнения свободных колебаний маятниковой модели относительно вертикали
(IC1 + ¡1г m + ¡lm + + l4m4 + l^m5 + l2m6) p" + l2lC2m2 p" + 1ъ1сътъ (" + l4lC4m4 P4 +
+l5lC5m5 p"+p"+g (hm + hm + hm + hm + hm + hm )p = °;
l2lC2m2(l" + (IC2 + /2C2m2 )(2 + glC2miPl = 0;
y^m p(+ ( ic3 + /сз m )p('+g^m (ъ= o; (i)
l4lC 4m4p1" + (IC 4 + l2C4m4)p" + glC 4 m4p4 = 0;
l5lC 5m5Pl" + (IC5 + lC5m5)(5 + glC5m5P5 = 0;
l6lC 6m6Pi" + (IC 6 + lCem6)P"e+ glC 6 m6(6 = здесь p - угловое отклонение корпуса от вертикали, p - угловые отклонения
маятников-аналогов от вертикали, I = 2, 6
Уравнения свободных колебаний маятниковой модели относительно корпуса
(/С1 + ¡1Х т + ¡2т2 + ¡1т + ¡1т + 12т + + Ь^гт + т + ¡¿¡ст^ +
+/5/с5^5 + ¡б1с6тб Ус2т2^2 + Ус3™Зр"З + Ус4™4Р! + + Ус6ШбР"б +
+g (¡ст + ¡2т2 + ¡ътъ + ¡4т4 + ¡ътъ + ¡6т6 )р = 0;
(1С2 + ¡С2т2 + Ус2т2 )РГ + (1с2 + Ст2 )Р2 + g¡с2т2Р1 + g¡с2т2Р2 = 0; (/сз + ¡2СЪ т + ¡^сът )Р"+(/сз + ¡1Ъ т )р3+g¡cъmъ р + g^зm Р = 0;
(1с 4 + ¡с4™4 + ¡4¡с 4™4)р3 + (4 4 + ¡с4 ™4)р43 + g¡с 4 т4Р1 + g¡с 4 т4Р4 = 0;
(1С 5 + 4т5 + ¡5 ¡с 5т5)РГ+ (1с 5 + ^^К + g¡с Ъ™ьр + g¡с 5т5Р5 = 0;
(1с 6 + ¡2С6т6 + ¡6¡C 6т6)Р13 + (/с 6 + ¡С6т6)Р6 + g¡с 6 ВД + g¡с 6 ВД = 0. здесь р - угловое отклонение корпуса от вертикали, р - угловые отклонения
маятников-аналогов от корпуса, I = 2, 6 .
С учетом гармонического характера свободных колебаний идеальной (недиссипативной) системы получим систему линейных алгебраических уравнений. Из ее решения с использованием средств ¥М найдем собственные частоты и формы колебаний маятниковой модели.
2.4. Экспериментальная установка и методика испытаний
В эксперименте определены собственные частоты маятниковой модели и проконтролированы ее собственные формы колебаний.
Частотные испытания маятниковой модели выполнены на лабораторной установке (рис. 6с), созданной специально для решения указанной экспериментальной задачи. Установка состоит из объекта испытаний - маятниковой модели, узла подвески, удерживающего модель в подвешенном положении, и средств возбуждения колебаний.
Созданы три варианта установки (рис. 8а, 8б, 8в). Они отличаются средствами возбуждения, способами крепления модели и приводами, передающими колебательное
движение от платформы вибратора на объект испытаний. Три варианта потребовались, чтобы создать установку с необходимыми характеристиками и, в конечном счете, получить качественные экспериментальные результаты.
а б в
Рис. 8. Три варианта экспериментальных установок (разные схемы возбуждения и возбудители вибрации) с маятниковой моделью: а - первый вариант установки; б - второй вариант; в - третий вариант
Установка в первом варианте - модель на стапеле без масс, моделирующих «неподвижную» часть жидкости (рис. 8а) с возбудителем колебаний - миниатюрным электродвигателем постоянного тока (указан на рис. стрелкой). Управление скоростью вращения двигателя осуществлялось с помощью стабилизированного регулируемого лабораторного блока питания типа Yizhan РБ 305Б или У12Ьап ЯУ1 3005Б. На оси ротора двигателя установлен маховик со смещенным центром инерции (с эксцентриситетом массы). Силовое синусоидальное воздействие на модель создается возникающими при вращении асимметричного маховика силами инерции.
Вызвать низкочастотные колебания за счет инерционных сил в первом варианте установки не удалось. Инерционные силы от действия маховика с эксцентриситетом оказались слишком малыми для возбуждения колебаний тяжелой модели.
Во втором варианте установки (рис. 8б) колебания возбуждаются электродинамическим возбудителем колебаний ESE-201. Возбудитель колебаний виден в центре на заднем плане.
Электрический синусоидальный сигнал на ESE-201 подается от низкочатотного генератора сигналов специальной формы Г6-26, через 100-ватный усилитель мощности ЬУ-103. Колебательное движение от стола вибратора передается на модель через стержневой элемент. Горизонтальная ось подвески модели опирается на два неподвижнях горизонтальных стержневых элемента (с двух сторон от модели, указаны на рис. 6Ь стрелками) и перемещается по ним (скользит) при движении стола (платформы) вибратора
Б8Б-201. Для уменьшения сил трения в паре скольжения использовалась пластическая смазка. Несмотря на это, довольно значительный вес модели вызывал при скольжении оси вращения модели по горизонтальным направляющим к возникновению сил трения, искажающих синусоидальный характер движения модели.
Третий вариант (рис. 8в) отличался от второго подшипниками качения на оси вращения маятниковой модели и элементами привода. Схема возбуждения колебаний модели и использованные аппартные средства в третьем варианте не отличались от второго. Переход на подшипники качения вместо подшипников скольжения существенно снизил трение в паре, исключив искажение формы синусоидального сигнала кинематического возбуждения модели.
Все результаты частотных испытаний, приведенные в работе, получены на последнем третьем варианте установки (рис. 8в). На рис. 9 показаны элементы передачи колебательного движения на маятниковую модель (узлы стапеля и привода) третьей установки. Фотографии на рис. 9 выполнены в разных масштабах (на 9б узлы стапеля и привода показаны в большем масштабе). Стрелки на рис. 9б показывают шариковые подшипники качения, обеспечивающие снижение трения в узле подвеса корпуса.
Собственные частоты в эксперименте определялись резонансным методом по пикам амплитудно-частотной характеристики. Амплитудные пики (максимальные отклонения) находились визуально.
Формы колебаний оценивались также визуально по видеосъемке и фотографиям маятниковой модели на резонансных режимах. Использование визуальных средств контроля колебаний объекта стало возможно благодаря инфразвуковому частотному спектру модели. Применение иных средств измерений, обычно используемых при проведении частотных испытаний физических моделей ракетно-космической техники [14] в данном случае не представлялось возможным, главным образом, из-за миниатюрности элементов модели.
Рис. 9. Элементы передачи колебательного движения на маятниковую модель (узлы подвески и привода):
а - общий вид привода; б - элементы подвески модели
2.5. Анализ результатов испытаний и расчетов
Результаты экспериментов и расчетов сведены в табл. 2 и 3. Собственные частоты маятниковой модели с дополнительными массами приведены в табл. 2, модели без дополнительных масс - в табл. 3. Собственные формы в столбце 4 табл. 2 и 3 представлены в виде номеров маятников, принимающих участие в колебаниях по соответствующему тону. Номера маятников указаны в порядке величин отклонений. На первом месте - номер маятника с максимальным отклонением, на последнем - с минимальным. Если отклонения маятников существенно меньше максимального, их номера не указываются. Переход от маятниковой модели с дополнительными массами к маятниковой модели без дополнительных масс вызван стремлением облегчить корпус, увеличить относительные инерционные параметры маятников-аналогов и за счет этого увеличить динамическую связанность степеней свободы в маятниковой модели.
Таблица 2. Собственные частоты маятниковой модели с дополнительными массами
Номер тона Парциальная частота, Гц (маятник с №) Собственная частота, Гц Собственная форма (от максимального отклонения маятника с № к минимальному) Эксперимент, Гц Погрешность по отношению к эксперименту, %
1 0,615(1) 0,657 (1+6+5+2+3+4) 0,695 5,48
2 1,953 (5) 1,981 (5) 1,95 -1,59
3 2,183 (4) 2,186 (4) 2,18 -0,275
4 2,408 (6) 2,669 (6+3+2+5+4) 2,60 -2,65
5 2,817 (3) 2,841 (3) 2,85 0,316
6 3,333 (2) 3,404 (2) 3,35 -1,61
Расхождение «расчет-эксперимент» по собственным частотам маятниковой модели составило для большинства частот менее 5 %. У маятниковой модели без дополнительных масс для двух частот (пятого и шестого тонов колебаний) расхождение составило соответственно 10,4 % и 20,5 %. Результаты расчета собственных частот для обобщенных координат, отсчитываемых от вертикали и отсчитываемых от корпуса совпали. Для дополнительно проверки полученных собственных частот был выполнен расчет в МБСАОАМБ. Результаты оказались очень близкими к частотам, полученными по уравнениям движения (1) и (2).
Таблица 3. Собственные частоты маятниковой модели без дополнительных масс
Номер тона Парциальная частота, Гц (маятник с №) Собственная частота, Гц Собственная форма (от максимального отклонения маятника с № к минимальному) Эксперимент, Гц Погрешность по отношению к эксперименту %
1 0,538 (1) 0,688 (1+6+5+4+2+3) 0,69 0,290
2 1,953 (5) 1,998 (5+6) 1,96 -1,94
3 2,183 (4) 2,187 (4+6) 2,18 -0,321
4 2,408 (6) 2,793 (6+3+2+5+1) 2,68 -4,22
5 2,817 (3) 3,091 (2+6+3) 2,80 -10,4
6 3,333 (2) 3,975 (2+6+5) 3,30 -20,5
Полученные расчетом собственные формы колебаний маятниковой модели для обобщенных координат, отсчитываемых от вертикали (система уравнений (1)), приведены на рис. 10. Собственные формы, отсчитываемые от корпуса, полученные по уравнениям (2), приведены на рис. 11. Формы нормированы по максимальному значению элемента собственного вектора.
Для маятниковой модели с дополнительными массами (рис. 8) первая собственная форма характеризуется совместными колебаниями корпуса модели и сравнимыми отклонениями всех маятников-аналогов (номера маятников, принимающих участие в колебаниях от номера маятника с максимальным отклонением до номера маятника с минимальным отклонением 1+6+5+4+2+3). В этом состоит одна из динамических особенностей анализируемой динамической системы, подтвержденная частотными испытаниями.
1-ая собственная форма 2-ая собственная форма 3-ая собственная форма
4-ая собственная форма
5-ая собственная форма
6-ая собственная форма
Рис. 10. Собственные формы колебаний маятниковой модели относительно вертикали (корпус с
дополнительными массами)
На собственной форме первого тона в обобщенных координатах относительно вертикали (рис. 10) отклонения выше и ниже оси подвеса имеют разные знаки, выше оси подвеса маятников-аналогов колеблются в противофазе с корпусом, ниже оси подвеса корпуса - в фазе. При этом первая собственная форма колебаний и маятниковой модели с дополнительными массами, и маятниковой модели без дополнительных масс характеризуется отклонениями маятников-аналогов от корпуса в сторону наклона корпуса. Нижние маятники-аналоги, лежащие ниже оси подвеса корпуса, отклоняются от вертикали на углы меньшие, чем корпус. Они, как бы, «отстают» от корпуса при
колебаниях. Верхние маятники-аналоги отклоняются на углы другого знака, чем корпус. Они как бы «опережают» корпус.
Для второй и третьей собственных форм имеем колебания в основном пятого (5+6) и четвертого (4+6) маятников, почти изолированные, несвязанных с другими звеньями.
Для собственных форм четвертого, пятого и шестого тонов характерно взаимодействие двух или большего количества звеньев. Для формы 4-го тона имеем взаимодействие шестого, третьего, второго, пятого, четвертого и первого звеньев (6+3+2+5+4+1). Для формы 5-го тона имеем взаимодействие, в основном, третьего и шестого маятников-аналогов. В форме 6-го тона колебания 2-го маятника-аналога, связаны с колебаниями шестого. Необходимо отметить участие практически во всех собственных колебаниях шестого маятника-аналога. Это объясняется его положением. Его ось подвеса максимально отстоит от оси подвеса корпуса, что приводит к увеличению динамической связанности степеней свободы корпуса и шестого маятника-аналога.
1-ая собственная форма 2-ая собственная форма 3-ая собственная форма
4-ая собственная форма
5-ая собственная форма
6-ая собственная форма
Рис. 11. Собственные формы колебаний маятниковой модели (корпус относительно вертикали, остальные маятники относительно корпуса). Корпус без дополнительных масс
Для той же маятниковой модели, но без дополнительных масс картина собственных форм колебаний для первых трех низших тонов несколько отличается от результатов для маятниковой модели с дополнительными массами, но несущественно. Для четвертого, пятого и шестого тонов различия ощутимые, вплоть до смены резонирующего маятника-аналога в пятой собственной форме (с дополнительными массами резонирует третий маятник, в то время как без дополнительных масс резонирует второй). Однако необходимо признать, что переход от маятниковой модели с дополнительными массами к маятниковой модели без дополнительных масс не повлиял на динамическую связанность радикально.
Из сопоставления результатов, полученных для обобщенных координат в виде отклонений от вертикали (рис. 10) и отклонений от корпуса (рис. 11), следует вывод о большей наглядности отклонений от корпуса (рис. 11). Это связано с тем, что синфазные колебания по первому тону при использовании координат относительно вертикали имеют разные знаки угловых отклонений для маятников-аналогов, лежащих выше и ниже оси подвеса корпуса, хотя угловые отклонения маятников относительно корпуса - одного направления (противоположного отклонению корпуса).
Относительно слабую связанность по частотам колебаний звеньев маятниковой модели несмотря на близость парциальных частот, можно объяснить значительной разницей в моментах инерции корпуса и маятников-аналогов (моменты инерции отличаются на несколько порядков). Массивный корпус разделяет маятниковую систему на динамически слабо связанные маятники-аналоги, снижая их взаимодействие.
Следует обратить внимание, что на высших тонах (четвертый - шестой) сильнее проявляет себя шестой маятник-аналог. Именно его участие в колебаниях приводит к связанным колебаниям всех маятников-аналогов. Шестой маятник обладает не самым большим (после корпуса) моментом инерции, но он дальше всех расположен от точки подвеса корпуса маятниковой модели.
Особое динамическое свойство присуще последовательным физическим маятникам с первым (несущим) звеном, имеющим часть, расположенную выше оси подвеса корпуса (подобно корпусу - несущему звену маятниковой модели). Покажем это на примере двойного маятника, состоящего из двух стержневых элементов. Это цилиндрические сплошные стальные стержни длиной 200 мм и диаметром 3 мм каждый, с безинерционными шарнирами.
Первый маятник имеет шарнир на верхнем конце. Положение этого шарнира неизменно. Положение шарнира второго звена меняется от нижнего торца первого маятника до метацентра, до положения при котором отклонения звеньев маятниковой модели от вертикали приводят к опрокидыванию маятника. При достижении метацентра низшая собственная частота двойного маятника падает до нуля. При подъеме шарнира второго маятника над шарниром первого считаем, что первое звено имеет безинерционное продолжение первого стержня вверх по его оси. Первое звено является несущим, на нем расположен второй несомый маятник.
При перемещении оси подвеса несомого маятника от оси вращения несущего связанность увеличивается, при приближении оси подвеса несомого звена к оси подвеса несущего связанность уменьшается (рис. 12). При совмещении точек подвеса - имеем отсутствие динамической связанности. В этом случае собственные частоты совпадают с парциальными (рис. 12а), а если парциальные частоты равны (как у рассматриваемого двойного маятника), то собственные частоты оказываются кратными.
Диаграмма собственных частот двойного маятника при изменении положения точки подвеса второго маятника относительно шарнира первого маятника. Диаграмма имеет вид диаграммы Вина в смысле наличия пересечения частотных кривых первого и второго
тонов (по вертикальной оси отложены частоты безразмерные, частота колебаний несущего маятника - соответствует единичному значению на графике). Пересечение соответствует случаю совпадения осей первого и второго маятников. В этом случае имеем кратные частоты равные единице. Собственные частоты колебаний двойного прямого маятника в случае, когда ось подвеса весомого маятника лежит ниже оси подвеса несущего всегда состоят из значения близкого к единице и большей частоты. Чем дальше от оси подвеса несомого маятника находится ось подвеса маятника-аналога, тем больше динамическая связанность.
При смещении оси вращения (шарнира) несомого звена за центр вращения несущего свойства системы качественно меняются. Меняя положение точки подвеса относительно центра вращения, мы меняем инерционную связанность между элементами системы, что приводит к изменению в собственных формах. Собственные формы системы с нижним расположением оси подвеса несомого маятника - традиционные (рис. 126). Низшей собственной частоте соответствует собственная форма одного знака.
а 6
Рис. 12. Диаграмма связанности для двойного маятника, состоящего из одинаковых звеньев, со вторым звеном, изменяющим положение оси подвеса на первом звене: а - изменение частот (вариант классической диаграммы Вина); 6 - изменение собственных форм - отклонений звеньев от вертикали
Собственные формы системы с верхним расположением оси подвеса несомого маятника имеют иной вид собственных форм. Низшей частоте соответствуют собственные формы разных знаков угловых отклонений от вертикали, высшей частоте -одинаковых знаков. Причина особого поведения маятников-аналогов, лежащих выше и ниже оси подвеса корпуса, заключается в следующем. Оси подвеса маятников-аналогов, лежащие ниже точки подвеса корпуса при колебаниях корпуса поднимаются и поднимают маятники, увеличивая потенциальную энергию системы. А точки подвеса, лежащие выше точки подвеса маятника-корпуса при его поворотах опускаются и уменьшают потенциальную энергию (при колебаниях) уменьшают высоту и соответственно уменьшают потенциальную энергию малых маятников при вертикальном их положении.
При совмещении осей подвеса обоих маятников кроме кратности собственных частот получим одну собственную форму с нулевым отклонением первого и ненулевым
второго маятника и - вторую собственную частоту с ненулевым отклонением первого и нулевым отклонением второго. Система распадается на несвязанные маятники, обладающие собственными частотами равными парциальным частотам. В метацентре система теряет устойчивость, входит в положение безразличного равновесия.
Интерес представляет также изменение собственных форм колебаний двойного маятника с равными (или близкими собственными частотами) и сильно отличающимися инерционными характеристиками (массами и моментами инерции). На рис. 13, в качестве примера, показано изменение собственных форм такого двойного маятника. Первое звено маятника - стержневое длиной 150 мм, диаметром 2 мм, из стали (р = 7800кг/м3), т = 3,676•Ю-3кг,/С1 = 6,892-10 6кг• м2.
Рис. 13. Собственные формы двойного стержневого маятника с равными частотами и сильно отличающимися моментами инерции звеньев
Второе звено маятника имеет одинаковую с первым собственную частоту 1,576 Гц. Его масса существенно меньше первого т2 = 1,5 • 103 кг. Из условия равенства частот определен момент инерции второго 1С2 = 1,046 • 10~6 кг • м2.
В таком двойном маятнике с заметно различающимися инерционными характеристиками сильнее проявляет себя малый маятник: его отклонения оказываются существенно больше отклонений двойного маятника с равными звеньями. Хотя характер изменения собственных форм в зависимости от положения оси подвеса второго маятника в двух рассмотренных вариантах двойных маятников совпадает.
Отдельные положения данной работы нашли отражение в докладах авторов на Второй и Третьей международных научно-технических конференциях «Аэрокосмические технологии», Реутов-Москва, в 2009 и в 2014 гг. Материалы работы внедрены в учебный процесс кафедры «Аэрокосмические системы (СМ-2)» МГТУ им. Н.Э. Баумана, используются в цикле лабораторных работ по курсу «Гидроаэроупругость конструкций аэрокосмических систем».
3. Заключение. Основные результаты работы и выводы
1. Получены уравнения свободных колебаний в поле сил тяжести физической модели двухступенчатой жидкостной ракеты - многозвенной маятниковой системы смешанного типа, состоящей из одного несущего и пяти несомых звеньев.
2. Выполнен расчет собственных частот и собственных форм колебаний шестизвенной маятниковой модели жидкостной ракеты
3. Создана установка для частотных испытаний многозвенной физической маятниковой модели, на которой получены собственные частоты колебаний модели жидкостной ракеты.
4. Для системы маятников, состоящих из несущего и несомых с сильно отличающимися параметрами, выявлена слабая динамическая связанность между степенями свободы несомых маятников для большинства собственных тонов.
5. Рассмотрены динамические особенности двухзвенной маятниковой модели, состоящей из несущего звена и несомого звена. В частности, проанализировано влияние положения оси подвеса несомого маятника, моделирующего колебания жидкого топлива, на частотные характеристики и динамические свойства маятниковой системы из двух одинаковых или сильно отличающихся по инерционным параметрам маятников (несущего и несомого).
Список литературы
1. Колесников К.С. Динамика ракет: учебник для вузов. 2-е изд., испр. и доп. М.: Машиностроение, 2003. 520 с.
2. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Избранные сочинения. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1948. С. 31-153.
3. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 3-20.
4. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439 с.
5. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968. 531 с.
6. Мухин А.Д., Темнов А.Н. Построение областей устойчивости ракет-носителей в пространстве параметров компоновки // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2010. № 4. С. 3-16.
7. Ефименко Г.Г., Кондрашкин И.В., Кривоносова Н.В., Чурилов Г.А. Экспериментальное определение параметров механического аналога жидкости, используемого в математической модели разгонного блока в режиме его вращения // Космонавтика и ракетостроение. 2012. № 2 (67). С. 86-92.
8. Narayanaswamy M., Dalrymple R., Frandsen J. Experimental and numerical investigations of forced oscillations in rectangular tanks // Proceeding of the 30th International Conference on Coastal Engineering (ICCE'2006) (San Diego, CA, 2006). Coastal Engineering 2006. P. 1172-1183. DOI: 10.1142/9789812709554 0100
9. Горелова К.В. Моделирование вынужденных колебаний свободной поверхности жидкости в баках космических летательных аппаратов // Восточноевропейский журнал передовых технологий. 2013. Т. 5, № 7 (65). С. 30-34.
10. Бужинский ВА. О колебаниях жидкости в баках с демпфирующими решетками // Космонавтика и ракетостроение. 2007. № 1 (46). С. 110-120.
11. Гордеев ВА., Тимушев С.Ф., Фирсов В.П., Ципенко A3., Яковлев A.A. Численное исследование поведения жидкости в баках ракет-носителей // Вестник Московского авиационного института. 2011. Т. 18, № 1. Ст. № 7. Режим доступа: http://www.mai.ru/science/vestnik/publications.php?ID=25060 (дата обращения 01.05.2015).
12. Aлпатов A.n., Белецкий В.В., Драновский В.И., Закржевский A.E., Пироженко A3., Трогер Г., Хорошилов В.С. Динамика космических систем с тросовыми и шарнирными соединениями. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т. компьютерных исследований, 2007. 559 с.
13. Грибков ВА., Хохлов A^. О повышении эффективности численного решения задач устойчивости периодических движений // XXI Международный симпозиум "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. AT. Горшкова: матер. Т. 1. М.: ООО "ТР-принт", 2015. С. 63-64.
14. Грибков ВА., Шиян Д.Н. Виброизмерительная аппаратура: структура, работа датчиков, калибровка каналов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 109 с.
Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 09, pp. 352-375.
DOI: 10.7463/0915.0789404
Received: Revised:
03.06.2015 29.06.2015
Science^Education
of the Bauman MSTU
ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Defining Dynamic Characteristics of Multilink Pendulum System with Comparison of the Calculated and Experimental Results
V.A. Gribkov1'*, A.O. Khokhlov1
£enit-ab@mailju
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: aircraft with liquid fuel, pendulum model, dynamic characteristics, frequency tests
We consider the multilink pendulum system consisting of six physical pendulums. A pendulum (carrier) has inertia parameters, which significantly exceed the remaining (carried) ones placed on the carrier. In addition to the system under analysis, in particular, the paper presents a design scheme for a two-stage liquid fuel rocket using pendulums as the analogues of fluctuating fuel. Pendulum models also find application to solve problems of stabilization of space tether systems. The objective of the study is to determine dynamic characteristics of the said six-membered pendulum system, as well as to identify specific dynamic properties inherent in objects of this kind. Dynamic characteristics of the system are determined by calculations. A physical model of the pendulum allowed us to compare the calculated and experimental results. To conduct the frequency tests of the pendulum model three pilot units have been created. The first two units turned out to be inappropriate for fulfilling the experimental tasks for various reasons. The third unit enabled us to obtain desirable experimental results. The "calculation-experiment" discrepancy on the natural frequencies of the pendulum model for the majority of frequencies was less than 5%. We analyzed the dynamic features of multilink pendulum systems "carried by the carrier unit links". The analysis results are applicable to the above-noted object classes of rocket and space technology.
References
1. Kolesnikov K.S. Dinamika raket [Missile dynamics]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p. (in Russian).
2. Zhukovskii N.E. On the motion of rigid body having cavities filled with homogeneous dripping fluid. In: Izbrannye sochineniya. T. 1 [Selected Writings. Vol. 1]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1948, pp. 31-153. (in Russian).
3. Okhotsimskii D.E. On the theory of motion of a body with a cavities partially filled with liquid. Prikladnaya matematika i mekhanika = Applied Mathematics and Mechanics, 1956, vol. 20, iss. 1, pp. 3-20. (in Russian).
4. Moiseev N.N., Rumyantsev V.V. Dinamika tela s polostyami, soderzhashchimi zhidkost' [Dynamics of body with cavities containing liquid]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 439 p. (in Russian).
5. Mikishev G.N., Rabinovich B.I. Dinamika tverdogo tela s polostyami, chastichno zapolnennymi zhidkost'yu [Dynamics of rigid body with cavities partially filled with liquid]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968. 531 p. (in Russian).
6. Mukhin A.D., Temnov A.N. Construction of Areas of Rocket-Booster Stability in Space of Configuration Parameters. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Mechanical Engineering, 2010, no. 4, pp. 3-16. (in Russian).
7. Efimenko G.G., Kondrashkin I.V., Krivonosova N.V., Churilov G.A. Experimental determination of parameters of mechanical analog of liquid used in mathematical model of booster mode rotation. Kosmonavtika i raketostroenie = Cosmonautics and rocket engineering, 2012, no. 2 (67), pp. 86-92. (in Russian).
8. Narayanaswamy M., Dalrymple R., Frandsen J. Experimental and numerical investigations of forced oscillations in rectangular tanks. Coastal Engineering 2006. Proceeding of the 30th International Conference on Coastal Engineering (ICCE'2006), San Diego, CA, 2006, pp. 1172-1183. DOI: 10.1142/9789812709554 0100
9. Gorelova K.V. Determination of trajectories of polydisperse heterogeneous flow components. Vostochnoevropeiskii zhurnal peredovykh tekhnologii = Eastern-European Journal of Eenterprise Technologies, 2013, vol. 5, no. 7 (65), pp. 30-34. (in Russian).
10. Bouzhinskiy V.A. On Oscillations of Liquid in Propellant Tanks with Damping Grids. Kosmonavtika i raketostroenie = Cosmonautics and rocket engineering, 2007, no. 1 (46), pp. 110-120. (in Russian).
11. Gordeev V.A., Timushev S.F., Firsov V.P., Tsipenko A.V., Yakovlev A. A. Design basics of aggregates disclosure of centrifugal space systems. VestnikMoskovskogo aviatsionnogo instituta, 2011, vol. 18, no. 1, art. no. 7. Available at:
http://www.mai.ru/science/vestnik/publications.php?ID=25060 , accessed 01.05.2015. (in Russian).
12. Alpatov A.P., Beletskii V.V., Dranovskii V.I., Zakrzhevskii A.E., Pirozhenko A.V., Troger G., Khoroshilov V.S. Dinamika kosmicheskikh sistem s trosovymi i sharnirnymi soedineniyami [Dynamics of space systems with tether and pivotal connections]. Moscow-Izhevsk, Scientific publishing center "Regular and Chaotic Dynamics", Institute of Computer Science Publ., 2007. 559 p. (in Russian).
13. Gribkov V.A., Khokhlov A.O. On improving the efficiency of numerical solution of problems of stability of periodic motions. 21 Mezhdunarodnyi simpozium "Dinamicheskie i
tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsii i sploshnykh sred". T. 1 [Proc. of the 21 International Symposium "Dynamical and technological problems of mechanics of structures and continuous media". Vol. 1]. Moscow, TR-print Publ., 2015, pp. 63-64. (in Russian).
14. Gribkov V.A., Shiyan D.N. Vibroizmeritel'naya apparatura: struktura, rabota datchikov, kalibrovka kanalov [Vibration measurement instrument: structure, work of sensors, calibration of channels]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 109 p. (in Russian).
