Определение частот и форм колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С. П. Тимошенко Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ НАНООБЪЕКТ,

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ С. П. ТИМОШЕНКО

А. Н. Тулкина

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, anyatoolkina@mail.ru

Введение. Постановка задачи и описание системы кантилевер — исследуемый нанообъект в данной статье является развитием работы [1], в которой рассматриваемый нанообъект обладает собственными динамическими характеристиками. В качестве механической модели рассматривается стержневая система. Получены частотное уравнение, уравнение для определения «антирезонансных» частот и соответствующие им формы колебаний системы. Основным отличием от работы [1] является то, что в основу решения поставленной задачи положена теория С. П. Тимошенко.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате микро- и макроэкспериментов, отмечали многие исследователи [2], [3]. В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта. В работе [1] обсуждались особенности, возникающие при использовании резонансного метода применительно к нанообъектам, и предлагался метод, основанный на явлении «антирезонанса» при классической постановке задачи. В настоящей работе исследуется задача, рассмотренная в [1], учитывающая деформации сдвига в поперечном сечении стержня.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ) [4]. Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд — канти-левер. Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1, 5 мкм и резонансные частоты порядка 10-400 кГц; радиус кривизны иглы меняется в интервале 10-50 нм (данные компании НТ-МДТ с официального сайта www.ntmdt.ru/smp-principles). При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кан-тилевер — исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекта.

Это указывает на принципиальное отличие условий экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование. Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными приборами. В работе [1] эта проблема обсуждалась применительно к задаче экспериментального определения упругих характеристик нанообъектов с помощью АСМ и была предложена реализация

© А. Н. Тулкина, 2011

известной в классической теории методики определения резонансных и «антирезонанс-ных» частот.

Постановка задачи о свободных колебаниях и исходные соотношения.

В динамических задачах расчета колебаний системы консольных, по сравнению с классической теорией Бернулли—Эйлера, необходим учет стержней влияния в уравнениях равновесия инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения, введенный Д. В. Стреттом (Рэлеем) [5]. В дальнейшем С. П. Тимошенко дополнил уравнение Рэлея еще одним слагаемым, учитывающим деформации сдвига, и в окончательном виде оно получило название уравнения Тимошенко.

Рассмотрим систему из двух стержней, соединенных между собой шарнирно. Первый стержень моделирует кантилевер длиной 11, ось которого Оух\ лежит в вертикальной плоскости симметрии Х1О1У1 (0 ^ Х1 ^ /1), правый конец Х1 = /1 шарнирно соединен с концом Х2 = /2 второго стержня (исследуемый объект), противоположные концы обоих стержней жестко заделаны. Положительные направления изгибающего момента Ыг и поперечной силы ^ в сечениях хг и хг + <1x1, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки (хг, £) и распределенного инерционного момента тг(хг, Ь) при повороте элемента показаны на рис. 1, где г —номер стержня (г = 1, 2).

Взаимодействие между кантилевером и нанообъектом моделируется упругим элементом с коэффициентом податливости с [1], который связывает прогиб и усилие по формуле 6 = cQ, где 6 — удлинение (сжатие) упругого элемента, Q — растягивающая (сжимающая) сила в упругом элементе.

Рис. 1. Система координат и действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента г-го стержня (неизменные для всех рассматриваемых в дальнейшем задач) имеют вид

-Т,-----Чі + ті{хі,і = 0, —— = Ф(х,:, і).

дхі дхі

(1)

Первое уравнение в (1) отличается от уравнений Тимошенко [6] только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления оси О2У2 (рис. 1). Нагрузки Цг(хг, £) и тг(х*,£) определяются формулами

д2Уг дҐ2 ’

Ші(хі ,і) = -р^і

д3Уі

ді2дхі

(2)

в которых уі = уі(хі,ї) —уравнение изогнутой оси і-го стержня, Рі,Еі,^ —соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения [6-7].

При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента балки (1) сохраняют свой вид, а угол поворота поперечного сечения в теории Тимошенко записывается в виде суммы:

дуг ,

-7— = Фг+Ц, дхі

где 'уі — угол сдвига і-го стержня, а фі — угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу 7і, момента не вызывают). Тогда связь момента Мі и угла поворота фі представима формулой

Mi EiJi

дфі дxi ’

а соотношение между поперечной силой Qi и углом сдвига 'уг, полученное по формуле Журавского, будет иметь вид

Я1 = -С^Г (3)

Здесь Ог — модуль сдвига г-го стержня, п — коэффициент формы поперечного сечения, имеющий значение п = 3/2 в случае прямоугольника. Знак «минус» в формуле (3) необходим для соблюдения равенства знаков в левой и правой частях формулы, так как при положительных значениях поперечной силы Qi (рис. 1) угол сдвига в плоскости хгОгуг будет отрицательным [8].

С учетом формул (2) уравнения равновесия (1), связывающие статические величины Ыг, Qi с функциями прогиба уг = уг(хг,Ь) и угла поворота фг = фг(хг,Ь), получаем систему уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями уг = уг(хг,Ь) и фг = Фг(хг, £) [9]. Исключая из этой системы функцию фг = фг(хг,Ь), получаем разрешающее уравнение относительно функции уг = уг(хг,Ь):

д4уг (Рг , прЛ д4уг ргЕг д2уг_

~ + ТГ I о 2 - и- I4-1

дх\ \Ei ' Gi J dx2dt2 ' dt2

Такое же уравнение имеет место и для функции фг = фг(хг ,t)), в нем оператор в левой части относительно фг = фг(хг,t) точно совпадает с оператором относительно уг = У г (хг ,t) в (4).

При изучении нормальных форм гармонических колебаний применяется метод Фурье уг(хг,t) = Xj(xj)sinwt, фг(xi,t) = Фг(хг) sinwt с частотой системы ш. Перейдем к

безразмерной координате £ = хг/1г (0 ^ ^ 1) и запишем разрешающее уравнение

системы для Хг (£):

дАХг Л пЕЛ Pi 2 2d2Xi PiFi ,4, ,2v _ Q ('5')

Ж + 1+crj^‘ ()

Для функции Фг (£) оператор в точности совпадает с оператором в (5). Введем обозначения

1 hi ,4 PiFi, 4 2 (РЛ

“• = Т2(Г’ к,=Ш()

где Н —высота г-го стержня, а — малый параметр. Для обоих стержней из (5) получаем характеристические уравнения

А4 + (\ + -^г~^ к\а1 А2 -^1=0, Л4 + ^1 + -^г-^ к2“2А2 - к2 = 0. (7)

Корни уравнения (7) для первого стержня имеют вид

Ai?2 = =Ьл/А = =^7i ПРИ ft > 0 и Л3 4 = =Ьгд/| /?2 | = =Ь^72 при /?2 < 0; для второго стержня —

А12 = ±\//?1 = i^l при /?1 > 0 И А3 4 = il\JI /?2 I = ±*<^2 при /?2 < 0.

Таким образом, системой фундаментальных решений уравнений относительно X*(£), ^*(£) будут гиперболические и тригонометрические функции, а их общими решениями для первого стержня

Xi (£) = Ai cosh yi£ + Bi sinh 71 £ + Ci cos 72£ + Di sin 72£, (8)

^i(£) = Ai cosh7i£ + Вi sinh7i£ + C\ cos72£ + D\ sin72£, (9)

а для второго

X2(£) = A2 cosh6i£ + B2 sinh 6i£ + C2 cos 62^ + D2 sin 62£ (10)

^2(0 = A2 cosh Si£ + B2 sinh Si£ + C2 cos S2£ + D2 sin J2£. (11)

Связь между коэффициентами для первого стержня определяется из системы уравнений равновесия в перемещениях, и после некоторых преобразований приводится к уравнению (см. [9])

d2X 1 с№1 np^lj

——— ацХ\ + а\2——, ац —--------------—---, а\2 — 1\. (12)

d£2 d£ Gi

После приравнивания коэффициентов при соответствующих фундаментальных функциях получаем выражение для постоянных:

2 2 2 37=2!^ИВь в7=2!^Нль d, = J^c7, 75T = -S±«lCl.

7i ai2 Yiai2 72 + aii 72ai2

Из граничных условий для первого стержня Xi(0) = ^i(0) = Mi(0) = 0 определяются константы

7i (7i — an) cosh71 + (7I + an) cos72

Ci — —Ai, Ci — —Ai, Bi — —A

Yi — aii 7i sinh 7i + 72 sin 72

Тогда решение для первого стержня (8), (9) принимает вид (где все коэффициенты выражены через единственный неизвестный коэффициент A1)

Xi(£) = Ai j cosh7i£ — cos 72£—

~ ~r4~^------w12°?Sh7w+ ^ и ai|^ COS-72 ^ (7i(72 + an) sinh7i£ - 72(71 — an) sin7г£)j,

(72 — aii)(72 + aii)(7i sinh7i + 72 sin72) J

lTW^ Ai ( (7! + aii)cos72(cosh7i £ — cos72£) 7I — aii 7! + ai i . \

Ф1 £ =-------\---------------—-----------;-----------1-------smh 7i£H-------------sm72£ .

a i 2 L 7i sinh 7i + 72 sin 72 7i 72 J

Аналогично получаем связь между коэффициентами для второго стержня:

M = 5\~bllB2, B~2 = 5\~bllA2, D2 = 2^12 C2, = — ~гт~~C2,

0 ib i 2 0 ib i 2 0-2 + b i i 02b i 2

22

n/92W /2 ,

oil —-----------7;-, »12 — 12-

G2

Из граничных условий для второго стержня X2(0) = ^2(0) = M2(0) = 0 определяются константы

^ л — — U A (<^1-Ьи) cosh Ji + (<5|+6ц) cos J2

°2 — —^12, 1^2 — —^12, i>2 — — л2То-----;-------;—. , r——;—:—;----------------•

0 2 — b 11 01 sinh 01 + o2 sin o2

Тогда решение для второго стержня (10), (11) принимает вид (в нем все коэффициенты выражены через единственный неизвестный коэффициент A2, его связь с A выражается из кинематического условия сопряжения)

X2 (£) = A2 { cosh 0 i£ — cos S2£—

(02 — b 11) cosh 0 1 + (02! + b 11) cos 02 ,x,x2,u \ ■ v. x e x ■ x c\\

~ 772----T 'Ц2 I U MX ■ и I Л Л ^ ^ ^2 +bn)smhS1£ - S2(S1 - bnsmc52£

(02 — b 1 i)^ + b 1 i)(0 1 sinh0i + 02 sin02) -1

lT( A2 f (02 + b 11)cos 02 , , ■- <- x I °2 — b 1 1 • U X с I °2 + b 1 1 • r Л

фг(£) = 7—1 - с • , с , с—:—^(cosh(5i£—cos<52£)Ч----------- ---------------------sinhJi£-|- ----------sinJ2£f.

b12 ^ 01 sinh 01 + 02 sin 02 01 02 j

(13)

Условия кинематического и статического сопряжений в данной задаче имеют вид Xi(1)+ X2(1) = cQ, Qi(1) = Q2(1) = Q. (14)

Подставляя в (14) значения амплитудных функций и поперечных сил при £ = 1, получаем систему для составления частотного уравнения, которое после преобразований имеет вид

—-q——■ —-7)—X2 ^---------- (A + В cosh Ji cos S2 + С sinh Ji sin S2) x

I3 (7i2 — aii)(72 + aii)

x {72(71 — aii) cosh71 sin72 — 71(72 + an) sinh71 cos72}+

Ei Ji г 02 + 0‘21

H---7T2-, 1 ч/х22 , I, ^ (■A + B cosh 71 cos 72 + с sinh 71 sin 72) x

11 (01 — bii)(02 + bii)

x {02(02 — bii) cosh0i sin02 — 51(5i + b11) sinh01 cos02}+

E\ J\ E2 J2 _ ___ __

+c—-3--3—(A-\-B cosh 61 cos 62-\~Csinh 61 sin 62){A-\-B cosh 71 cos 72-\-Csinh 71 sin 72) = 0.

h *2

В (15) использованы следующие обозначения для коэффициентов:

А = 7?

2 , Р 11 1^2

7і -ап +

Еі

+ 72

о Р112^2

72 + «11 -

Еі

в — 72(72 + «и) + 72(72 - «и) +

22

Р^2 72(722 + «11)2 - 722(72 - «11)

Е1

(7і - «11)(72 + «11)

С — -7172

7? - 7? - 2«11 + 2

Ріі\и2

Е!

А — 52

52 - Ъц +

Р2І2и;2 Е2

Л2

+ ои--------------

Е2

В — 51(52 + Ъ11) + 52(51 - Ъ11) +

Рі/і^2 52(5? + би)2 - 5?(5? - 611)

Е2

(5? - 611)(5? + 611)

С — -5152

5І-5Ї-2Ьп + 2^

Е2

Нетрудно показать, что формула (15) при переходе к теории Бернулли—Эйлера дает частотное уравнение, приведенное в работе [1].

Решение задачи о вынужденных колебаниях. Исходные соотношения (1), (2), система уравнений равновесия в перемещениях, ее разрешающая система, фундаментальные и общие решения, условия сопряжения (14) остаются такими же, как в задаче о свободных колебаниях. На левом жестко защемленном конце первого стержня задается кинематическое вертикальное перемещение с амплитудой Ао.

Решения уравнений должны удовлетворять граничным условиям Х1(0) — Ао, ^1(0) — М1(1) — 0 и Х2(0) — ^2(0) — М?(1) — 0.

Если, аналогично первой задаче, выразить все константы для первого стержня через А1, Ао, а для второго — через А2, то решение для первого стержня примет вид

Х1(£) — А11 совИ71£ - сов 72£-

Ы - ац)со8Іі7і + (7І + ац)со8 72 Ь\ ~ ац)(7І + аіі)(7і віпі^і + 72 віп72)

(71(72 +«11) БІпЬ71 £--72(7? «11) вІП72^) [ +

(7і - «11) (71 віпЬ 71 + 72 вІп 72)

+Ао

Фі(0 = — -

«12

2

72 + «11 •

СОБ 72

(71 (72 +«11) вІпИ 71 £ - 72 (7? - «11) БІП 72^) +СОБ 72 £ },

А1 ґ (72 - «11) совИ 71 + (7І + «11) сов 72

71 БІпИ 71 + 72 БІП 72

(совИ 71 £-сов 72 £)+

2

7? - «11 •

71

біпИ 71£+

. 72 + «11 • Л1 , А0 (

Н----------------вт 72£ > Н------------<

72 } «12 1

(7° + «11) сов 72

Ао Г 7° + «11 •

-----1 ---------------вт 72 Н : г-----------------:------:------

«12 І 72 71 БІПП 71 + 72 БІП 72

(совИ 71 £ - сов 72£) І,

(16)

а Х2(£), Ф2(£) будут определяться формулами (13).

Из условий сопряжения (14) получаем систему для определения неизвестных коэффициентов А1, А2:

А.!»!! + ^2«12 = А0П1, ^1«21 + А2«22 = АоП2,

2

где aij(*,3 = 1, 2) —соответствующие коэффициенты уравнений в (14) при А1, А2, а Пг (*, 3 = 1, 2) —соответствующие коэффициенты при Ао. Коэффициенты А1, А2 определяются формулами

Д 1 Д 2

^1=^0^, А2=Ао(17)

\

\

в которых значение \ имеет вид

£■2^2

А =--------^—{72(71 - ап) соэЬ71 8Ш72 - 71(72 + <*п) втЬ71 со8 72}х

12

{71 + 7г }(А + В соэ!! <?1 соэ $2 + С этЬ <?1 эт 82)

X

(71 - ап)(72 + аи)(71 ^пИ71 + 72 вт72)^1 втИ£1 + £2 вт£2) з

7з—{<Ы<52 — Ьц) соэЬ^! вт(^2 — ^1(^2 + &п) соз(52}х

11

{£2 + £2}(А + В совИ 71 сов 72 + С втИ 71 вт 72)

х

(£2 - Ь11)(£2 + 611X71 втИ 71 + 72 вт 72)^1 втИ £1 + £2 вт £2)'

(18)

При Д = 0 после сокращения (18) на постоянный множитель —(71 втИ71 + 72 вт72)(£1 втИ £1 + £2 вш£2), получаем частотное уравнение (15). Величина Д1 определяется формулой

Д

1=

£-2^2 71(71 + 72) в1пЬ71 соэ 72 {А + В созЬ (51 соэ 62 + С этЬ (51 в1п (?2) Ы - ап) (71 втЬ71 + 72 зт72)((51 втЬ ^ + 62 йш^)

Е171 {£2 + £2} (.А + В совИ 71 сов 72 + С втИ 71 вт 72)

1\ (31 - Ьц)((52 + 6ц) (71 этЬ71 + 72 зт72)((51 + 62 вт(52)

х {£2(£2 — Ь11) совИ£1 вт£2 — £1(£2 + 611) втИ£1 сов£2}. (19)

Здесь введены обозначения

А-

72

72 + °11 —

Е1

В

71

2 72 + а11

■ 72 — «11

2 , Р11(и

ъ + а11-----------

С

7172

72 + °11 —

Р\1\и2

Е!

а формула для Д1 имеет вид

Д2

72 + 72

11 (71 -ац)(7| + аи)(71 втЬ71 +728Ш72)2

{71(72 + ац^тИ 71 сов 72 х

х (А + В совИ 71 сов 72 + С втИ 71 вт 72) + (72 (72 — а11) совИ 71 вт 72 —

— 71(72 + а11) в^пЬ71 сов72)(А + В совИ71 сов72 + СвтИ71 вт72)}.

Условия динамического гашения колебаний. Экспериментально можно фиксировать не только резкое возрастание амплитуды колебаний, но и обращение амплитуды колебаний в нуль. В системах с распределенными параметрами, состоящими из нескольких тел, обращение амплитуды колебаний в нуль может иметь место в двух

случаях: когда точка, в которой измеряется амплитуда, является узлом данной формы колебаний, и когда происходит динамическое гашение колебаний одного тела на собственной частоте другого тела (зачастую это явление называют «антирезонансом») [1].

Чтобы найти частоты вынужденных колебаний, при которых правый конец первого стержня, сопряженный со вторым стержнем, остается неподвижным в любой момент времени, необходимо решить уравнение

yi(1,t) = 0.

Подставляя формулы (18), (19) в решение для первого стержня (16) при £ =1 с учетом (17), получаем уравнение

{(72(71“ап) COSI171 sin72— 7i(72+an) sinh71 cos72)(A+B cosh(5i cos^+C*sinh(5i sin £2)+ + 71 (y2 + a11) sinh 71 cos 72 (A + B cosh 71 cos 72 + C sinh 71 sin 72) }x

f (Sf + S2)(S2(Sl — Ъц) cosh(5i sin £2 — 5i{82 + &u) sinh(5i cos £2)

X \ (Sj-bnM+bn) +

Eo Jo -- - - 1

+ с—-g—(A + В cosh (5i cos S2 + С sinh Ji sin S2) / = 0. (20)

*2 )

Как и в классическом случае, уравнение (20) распадается на два уравнения, одно из которых зависит только от параметров первого стержня, а второе только от параметров второго стержня:

(72(71 ~аи) cosh7i sin 72 — 71(72 +ац) sinh 71 cos72)(A+B cosh Ji cos S2+Csinh Ji sin S2)+ +71(72 + a11) sinh71 cos72(A + B cosh71 cos72 + Csinh71 sin72) = 0, (21)

(Sf + S2)(S2(Sf — 6ц) cosh(5i sin £2 — Si(S2 + 6ц) sinh(5i cos £2)

+

E2 J2 — — —

+ с—-g—(A + В cosh (5i cos S2 + С sinh Ji sin S2) = 0. (22)

*2

Наибольший интерес представляет второе уравнение, так как именно оно определяет «антирезонансные» частоты колебаний нанообъекта.

Нетрудно показать, что уравнения (21) и (22) переходят в соответствующие уравнения теории Бернулли—Эйлера [1].

Пример расчета. Для системы стержней получены спектры собственных и «ан-тирезонансных» частот системы и соответствующие им формы колебаний. В качестве примера расчета рассмотрена система с одинаковыми стержнями: длина *1 = *2 = 200 мкм, ширина 61 = 62 = 35 мкм, высота h-1 = h-2 = 1,5 мкм, модуль Юнга E = 2.1 * 106 кг/см2, коэффициент жесткости C = 1/c = 0, 001 кг/см.

В табл. 1 даны спектры первых трех собственных круговых частот системы в классической теории и теории С. П. Тимошенко. В четвертом столбце показано соответствующее уменьшение частоты в процентах (по сравнению с классическим случаем). В пятом столбце приводится значение частот, полученных на основе теории С. П. Тимошенко, в кГц.

п си (классика), с 1 си (Тимошенко), с 1 % кГц

1 195610 195599 -0.01 31.3

2 1225864 1225408 -0.04 195.0

3 3432456 3429414 -0.09 545.8

Аналогично, в табл. 2 даны спектры «антирезонансных» частот системы. Ввиду практически полного совпадения частот в классическом случае и в теории Тимошенко графики спектров не приводятся.

Таблица 2. Спектры «антирезонансных» частот системы при С = 0.001 кг/см

п о; (классика), с ІО (Тимошенко), с 1 % кГц

1 857742 857505 -0.0003 136.5

2 2779379 2777295 -0.0008 442.0

3 5798141 5789738 -0.0015 921.5

Как видно из табл. 1, 2, «антирезонансные» частоты гораздо выше собственных частот колебаний, и более высокие частоты выходят за возможности современных измерительных приборов.

Данный пример расчета (Ь > к) показывает, что поправка, вносимая теорией С. П. Тимошенко, очень мала, и, следовательно, для расчетов можно использовать классическое решение. В примерах, где Ь < к, как было показано в работе [10], лучше использовать теорию Тимошенко. Она дает более точный результат, так как изменение угла сдвига 7 зависит от высоты сечения к.

На рис. 2 показано влияние прочности материала на спектры собственных частот; для расчетов использовались материалы, по свойствам, близким к стали. На графике ш — собственная частота системы, п — ее номер, Е — Модуль Юнга. Менее прочным материалам соответствуют более низкие собственные частоты.

О) * 10 6 , с1

4

3.5 3

2.5 2

1.5 1

0.5

Е= 1.89* 10* Е = 2.10*10*

Е = 2.31*1 0"

...

Рис. 2. Влияние прочности материала на спектры собственных частот на основе теории С.П. Тимошенко.

Ь - 1.5, цгп Ь = 2.5, цт

11 - 3.5, Цш

г

'

: -

1 2 3

п

Рис. 3. Влияние геометрических параметров исследуемого нанообъекта на спектры собственных частот на основе теории С. П. Тимошенко.

у* 10 й, т

/\

/

/ / > Х\ /

//^' \ \ / ; 'х.\

\ ■ ■

! \ : Ь - Ь ь ь

аг 1, ш2

аг 2, со.

иш и»2 Ьаг 2, со-,

0 0.5 1 0.5 О

5

Рис. 4. Формы свободных колебаний системы одинаковых стержней на основе теории С. П. Тимошенко.

На рис. 3 показано влияние геометрических параметров исследуемого нанообъекта на спектры собственных частот при варьировании только высоты нанообъекта. Более гибким стержням соответствую более низкие собственные частоты.

На рис. 4 представлены формы свободных колебаний системы одинаковых стержней для первых трех собственных частот основе теории С. П. Тимошенко при коэффициенте податливости упругого элемента с = 0; для определенности Л\ = 1 см.

Заключительные замечания. Определение параметров жесткости нанообъекта в составе колеблющейся стержневой системы выполнено как на основе классической теории, так и теории С. П. Тимошенко. Методом исследования является анализ спек-

тров частот системы, получаемых из варьирования исходных параметров жесткости элементов системы. Показано влияние параметров геометрии и прочности материала нанообъекта на спектры частот.

Литература

1. Иванова Е.А., Индейцев Д. А., Морозов Н. Ф. Об определении параметров жесткости нанообъектов // Доклады Академии Наук, 2006. Т. 410, №6. C. 1-5.

2. Быков Д. Л., Коновалов Д.Н. // Тр. XXXVI междунар. сем. «Актуальные проблемы прочности». Витебск, 2000. C. 428-433.

3. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии наук, 2001. Т. 381, №3. С. 345-347.

4. Binning G., Quate C.F., Gerber C. Atomic force microscopy // Phys. Rev. Lett., 1986. Vol. 31. P. 22-26.

5. Стретт Дж. В. (Рэлей). Теория звука. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1940. Т. I. 499 c.

6. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1959. 439 c.

7. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство «Ассоциации строительных ВУЗов», 2005. 736 c.

8. Пономарев С. Д. Бидерман В. Л., Лихарев К. К., Макушин В. М., Малинин Н. Н., Фео-досьев В. Н. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1959. Том III. C. 320.

9. Павилайнен В. Я., Тулкина А. Н. Расчет частот и форм свободных колебаний консольной балки на основе теории С. П. Тимошенко // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2007-2008 гг. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008. C. 40-60.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.